2021屆重慶市高三上學期第一次質量檢測數學試題(解析版)

2021屆重慶市南開中學高三上學期第一次質量檢測數學試題一、單選題1．已知集合，，則（）A． B． C． D．【答案】C【解析】求出集合A，B，再求出交集即可.【詳解】，，由得，解得或，或，.故選：C.【點睛】本題考查了集合交集的運算，考查了求函數值域，考查了分式不等式的解法，在求集合時，注意描述對象的確定，屬于簡單題.2．已知（為虛數單位），則實數等于（）A．1 B． C． D．0【答案】A【解析】由可知其實部大于0，虛部等于0，化簡出，即可求出.【詳解】由可知其實部大于0，虛部等于0，,，解得.故選：A.【點睛】本題考查復數的乘法運算，考查復數概念的理解，屬于基礎題.3．命題“，”的否定是（）A．，均有 B．，均有C．，使得 D．，使得【答案】C【解析】全稱命題的否定需要把改為，把結論否定即可.【詳解】“，”的否定是，使得，故選：C【點睛】本題主要考查了全稱命題的否定是特稱命題，屬于基礎題.4．下列函數中，值域為且在定義域上為單調遞增函數的是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】利用單調性的判斷方法和函數值域的求法逐個分析判斷即可【詳解】對于A，函數的定義域為，且函數在上單調遞減，在上單調遞增，所以A不滿足；對于B，函數的定義域為，且函數的值域為，函數在上單調遞增，所以B滿足；對于C，函數的定義域為，由，得，當時，，當時，，所以函數在上單調遞減，在上單調遞增，所以C不滿足；對于D，函數的定義域為，由，可知函數在上為單調遞增，因為，所以，所以，所以，所以函數的值為，所以D不滿足，故選：B【點睛】此題考查函數單調性的判斷，考查函數值的求法，屬于基礎題5．已知，若，則實數的取值范圍為（）A． B．C． D．【答案】D【解析】根據可得則是定義在的偶函數，且在單調遞減，則等價于，建立不等式組即可求解.【詳解】可知的定義域為，關于原點對稱，且，則是定義在的偶函數，，可知在單調遞減，在單調遞減，則等價于，，解得.故選：D.【點睛】本題考查利用函數奇偶性和單調性解不等式，屬于中檔題.6．“喊泉”是一種地下水的毛細現象，人們在泉口吼叫或發(fā)出其他聲音時，聲波傳入泉洞內的儲水池，進而產生“共鳴”等物理聲學作用，激起水波，形成涌泉.聲音越大，涌起的泉水越高.已知聽到的聲強與標準聲調（約為，單位：）之比的常用對數稱作聲強的聲強級，記作（貝爾），即，取貝爾的10倍作為響度的常用單位，簡稱為分貝.已知某處“喊泉”的聲音響度（分貝）與噴出的泉水高度（米）滿足關系式，現知同學大喝一聲激起的涌泉最高高度為70米，若同學大喝一聲的聲強大約相當于100個同學同時大喝一聲的聲強，則同學大喝一聲激起的涌泉最高高度約為（）米.A． B．7 C．50 D．60【答案】D【解析】設同學的聲強為，噴出泉水高度為，則同學的聲強為，噴出泉水高度為70，則由可得，，從而可求出的值【詳解】設同學的聲強為，噴出泉水高度為，則同學的聲強為，噴出泉水高度為70，，，相減得.故選：D【點睛】此題考查函數的實際應用問題，考查對數的運算，考查分析問題的能力，屬于中檔題7．已知函數，，若方程有4個不相等的實根，則實數的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】依題意畫出函數的圖象，令，，則關于的方程有兩個小于1的實根，數形結合即可得解；【詳解】解：因為，所以的圖象如下所示，因為所以開口向下，且最大值為1的二次函數，令，，則關于的方程有兩個小于1的實根，即與，有兩個交點，由圖象易知當且僅時滿足題意.故選：C【點睛】本題考查分段函數的性質的應用，考查數形結合思想，屬于中檔題.二、多選題8．已知函數，則下列區(qū)間中含零點的是（）A． B． C． D．【答案】AD【解析】計算出各端點處的函數值，若兩端一正一負即可判斷出存在零點.【詳解】，，，，，根據零點的存在性定理可知和存在零點.故選：AD.【點睛】本題考查零點的存在性定理，屬于基礎題.9．下列四個函數中過相同定點的函數有（）A． B．C． D．【答案】AB【解析】分別求出各個函數的定點，即可判斷.【詳解】對于，當時，，則過定點；對于，當時，，則過定點；對于，當時，，則過定點；對于，當時，，則過定點,故A，B中的函數過相同的定點.故選：AB.【點睛】本題考查函數定點的判斷，屬于基礎題.10．已知函數關于點對稱，對任意，都有成立，且當，時，都有，則下列結論正確的有（）A．B．函數為偶函數C．函數在上有1011個零點D．函數在上為減函數【答案】ABC【解析】根據題意可判斷關于對稱且關于對稱，可知在單調遞增，可得出函數是周期為4的函數，即可依次判斷每個選項正誤.【詳解】函數關于點對稱，關于對稱，，，關于對稱，當，時，都有，在單調遞增，綜上，可畫草圖，可知，是以4為周期的函數，則，，故A正確；可看作向左平移5個單位得到，平移后關于軸對稱，是偶函數，故B正確；在的零點個數有個，故C正確；在的圖象和在的圖象一致，應為增函數，故D錯誤.故選：ABC.【點睛】本題考查函數奇偶性、單調性、周期性的綜合運用，屬于中檔題.11．已知，且實數，滿足成立，則以下正確的是（）A．的最大值為 B．的最小值為C．的最小值為9 D．的最大值為3【答案】ABD【解析】根據條件可得，其中，，即可判斷每個選項正誤.【詳解】為奇函數，，定義域為，則，，并且，，A正確；當，時，最小值為，最大值為3，B、D正確；，C錯誤.故選：ABD.【點睛】本題考查函數奇偶性的應用，屬于基礎題.12．已知，，則（）A． B．C． D．【答案】ACD【解析】根據條件表示出，即可分別判斷各個選項的正誤.【詳解】，又，即，由得，則，得，則，所以A正確；可知，，則，故C正確；對于B：∵B錯；對于D：由和知與均遞減，再由，的大小關系知D正確.故選：ACD.【點睛】本題考查指數式和對數式的互換，考查大小的判斷，屬于基礎題.三、填空題13．______.【答案】【解析】利用指數和對數的運算性質運算即可.【詳解】.故答案為：.【點睛】本題考查指數和對數的混合運算，屬于基礎題.14．已知函數（其中為的導函數），則______.【答案】0【解析】先求出函數的導數，代入，可求出，即可求出函數解析式，得出.【詳解】，，，，.故答案為：0.【點睛】本題考查導數的求解，屬于基礎題.15．已知，，若對任意的，都存在，使得成立，則實數的取值范圍為______.【答案】【解析】由條件知，分別求出和，即可建立不等式求解.【詳解】由條件知，而，，，由分母遞增知遞減，，所以.故答案為：.【點睛】本題考查不等式的恒成立問題，考查指數函數的單調性，考查含有根式函數的單調性，屬于基礎題.16．已知函數為奇函數，且的圖象和函數的圖象交于不同兩點、，若線段的中點落在直線上，則實數的值為______.【答案】【解析】由函數是奇函數得，從而求出，聯立兩個函數方程，利用可求出.【詳解】為奇函數，，即，解得，經檢驗為奇函數，設，聯立兩個函數的方程，消去得到關于的二次方程，，因為中點縱坐標為，所以，，解得.故答案為：.【點睛】本題考查利用函數的奇偶性求參數，考查函數的交點問題，屬于中檔題.四、解答題17．已知二次函數頂點坐標為，且圖象和軸兩交點間的距離為4.（1）求函數的解析式；（2）若關于的不等式在上恒成立，求實數的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由題可知和軸兩交點為，，故可設，然后將頂點坐標為代入，可求出的值，從而可得到二次函數的解析式；（2））設，則在上恒成立，所以，進而可求出的取值范圍【詳解】（1）由題可知和軸兩交點為，，故可設，由題可知：，所以.（2）設，則在上恒成立，故有.【點睛】此題考查二次函數解析式的求法，考查一元二次不等式恒成立問題，考查轉化思想和計算能力，屬于中檔題18．為了解學生課余學習時間的多少是否與成績好壞有關，現隨機抽取某校高三年級30名學生進行問卷調查，得到如下列聯表（以平均每天課余學習時間是否達到4小時，最近一次月考總成績是否在年級前100名（含）為標準）：4小時以上不足4小時合計前100名（含）2100名以后18合計30已知在這30人中隨機抽取1人，抽到最近一次月考總成績在前100名的學生的概率為.（1）請將上面的列聯表補充完整，并據此判斷是否有％的把握認為課余學習時間達到4小時和成績在年級前100名有關？說明你的理由；（2）通過統(tǒng)計發(fā)現，這30位同學最近一次月考數學成績（分）近似服從正態(tài)分布，若這30位同學所在的高三年級有800人，試以這30人的成績分布情況估計高三年級最近一次月考數學成績在130分及以上的大概有多少人？（最后結果小數部分四舍五入成整數）參考公式：，其中，，.【答案】（1）答案見解析，有，答案見解析；（2）127人.【解析】（1）根據抽到最近一次月考總成績在前100名的學生的概率為，設這30人中有人在前100名，由，解得，完成列聯表，然后利用，求得，與臨界表對照下結論.（2）根據數學成績（分）近似服從正態(tài)分布，則由由題可知求解.【詳解】（1）設這30人中有人在前100名，則由題可得：，解得，故聯表補充如下：4小時以上不足4小時合計前100名（含）628100名以后41822合計102030所以，故有％的把握認為課余學習時間達到4小時和總成績在年級前100名有關.（2）由題可知故高三年級800人中超過130的大約有（人）.【點睛】本題主要考查獨立性檢驗和正態(tài)分布的應用，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.19．已知函數.（1）討論的單調性；（2）若存在極小值，且極小值大于，求實數的取值范圍.【答案】（1）答案見解析；（2）.【解析】（1）求出函數的導數，討論的范圍，從而判斷函數的單調性；（2）由（1）中所得的單調性可求出極小值，列出不等式即可求解.【詳解】（1），因為，故由，①當時，在上恒成立，此時在上遞增②當時，，令或，此時在和上遞增，在上遞減③當時，，令或此時在和上遞增，在上遞減.（2）由（1）的分析可知：當時，有極小值，由題可知.當時，有極小值，顯然滿足，故，綜上，.【點睛】本題考查含參函數單調性的討論，考查極小值的判斷，屬于中檔題.20．重慶作為新興的“網紅城市”，有很多風靡網絡的“網紅景點”，近幾年每年都有大量游客來重慶參觀旅游.為了更合理的配置旅游資源，管理部門對首次來重慶旅游的游客進行了問卷調查.據統(tǒng)計，其中的游客計劃只游覽千年古鎮(zhèn)——磁器口古鎮(zhèn)，另外的游客計劃既游覽磁器口，又準備“打卡”洪崖洞景區(qū).每位游客若只游覽磁器口，則記0分，若既游覽磁器口，又“打卡”洪崖洞，則記一分.假設每位首次來磁器口游覽的游客是否“打卡”洪崖洞相互獨立，并且以頻率估計概率.（1）從游客中隨機抽取3人，記這3人的合計得分為，求的分布列和數學期望；（2）在參觀洪崖洞景區(qū)某特色景點入口處景區(qū)攝影部會為每位游客拍一張與該景點的合影，游客若要帶走則需支付20元，沒賣出去的照片統(tǒng)一銷毀.運營一段時間后，經過統(tǒng)計，只有20％的游客會選擇帶走照片.經過調查研究發(fā)現照片收費與游客消費意愿有較強的線性相關性，并統(tǒng)計出在原有的基礎上，價格每下調1元，游客選擇帶走照片的概率平均增加.已知每張照片的綜合成本為3元，若每位游客是否購買照片相互獨立，則應如何定價才能使得每天的平均利潤最大？【答案】（1）分布列見解析，；（2）每張照片定價（元）時利潤最大.【解析】（1）由題可知可能的取值為0，1，2，3，求出各個取值的概率，即可寫出分布列，求出數學期望；（2）設在20元基礎上下調元，建立函數關系，根據二次函數的性質可求出.【詳解】（1）由題可知可能的取值為0，1，2，3，且有，，，，所以的分布列為：0123.（2）假設在20元基礎上下調元，則每張照片的平均利潤為：，易知當時，即每張照片定價（元）時利潤最大.【點睛】本題考查離散型隨機變量的分布列和數學期望的求法，屬于基礎題.21．已知橢圓上任意一點到其左右焦點、的距離之和均為4，且橢圓的中心到直線的距離為.（1）求橢圓的方程；（2）已知以橢圓右頂點為直角頂點的動直角三角形斜邊端點、落在橢圓上，求動直角面積的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由距離之和為4可得，由到直線的距離為可得，求出，即可寫出橢圓方程；（2）設所在直線，聯立橢圓，寫出韋達定理，利用可求出，表示出三角形面積，即可求出最大值.【詳解】（1）由題可知.（2）由題易知斜邊不可能和軸平行，故可設所在直線，聯立消去整理得：，設，，則有，，，由題可知（舍）或可得所在直線方程為：，恒過定點，所以，令，，則，在上遞增，所以，所以面積的最大值為，此時所在直線方程為：.【點睛】本題考查橢圓標準方程的求法，考查橢圓中三角形面積的最值問題，屬于較難題.22．已知函數.（1）若函數在點處的切線經過點，求實數的值；（2）若關于的方程有唯一的實數解，求實數的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）求出的導數，求，斜率為，寫出切線的方程，再將點點代入切線方程即可求出實數的值；（2）易知為方程的根，只需證明當和時原方程均沒有實數解即可，分別討論，當時，，，方程的解得情況，以及當時，，，方程的解得情況，即可求出實數的取值范圍.【詳解】（1），所以在點處的切線的斜率，又，所以切線的方程為：，即，由經過點可得：.（2）易知為方程的根，由題只需說明當和時原方程均沒有實數解即可.①當時，若，顯然有，而恒成立，此時方程顯然無解若，，，令