線性空間與線性變換重要

第三章線性空間與線性變換目前一頁\總數(shù)六十六頁\編于八點(diǎn)3.1線性空間的定義與性質(zhì)0數(shù)軸平面三維空間yxzOxyO常見的幾何空間：目前二頁\總數(shù)六十六頁\編于八點(diǎn)幾何空間R3的運(yùn)算運(yùn)算規(guī)律加法：數(shù)乘：目前三頁\總數(shù)六十六頁\編于八點(diǎn)目前四頁\總數(shù)六十六頁\編于八點(diǎn)對幾何空間進(jìn)行推廣，通過抽象出幾何空間線性運(yùn)算的本質(zhì)；在任意研究對象的集合上定義具有線性運(yùn)算的代數(shù)結(jié)構(gòu)。線性空間目前五頁\總數(shù)六十六頁\編于八點(diǎn)若對于任一數(shù)與任一元素，總有唯一的一個元素與之對應(yīng)，稱為與的積，記作定義１設(shè)是一個非空集合，為一個數(shù)域．如果對于任意兩個元素，總有唯一的一個元素與之對應(yīng)，稱為與的和，記作如果上述的兩種運(yùn)算滿足以下八條運(yùn)算規(guī)律:目前六頁\總數(shù)六十六頁\編于八點(diǎn)那么就稱為數(shù)域上的線性空間．目前七頁\總數(shù)六十六頁\編于八點(diǎn)

2．判別線性空間的方法：一個集合，對于定義的加法和數(shù)乘運(yùn)算不封閉，或者運(yùn)算不滿足八條性質(zhì)的任一條，則此集合就不能構(gòu)成線性空間．注

1．凡滿足以上八條規(guī)律的加法及數(shù)乘運(yùn)算，稱為線性運(yùn)算．特別地，當(dāng)集合中定義的加法和乘數(shù)運(yùn)算是通常的實數(shù)間的加乘運(yùn)算，則只需檢驗對運(yùn)算的封閉性．目前八頁\總數(shù)六十六頁\編于八點(diǎn)例1實數(shù)域上的全體矩陣，對矩陣的加法和數(shù)乘運(yùn)算構(gòu)成實數(shù)域上的線性空間，記作．注目前九頁\總數(shù)六十六頁\編于八點(diǎn)加法：數(shù)乘:目前十頁\總數(shù)六十六頁\編于八點(diǎn)例3全體正實數(shù)R+,定義加法和數(shù)量乘法如下：解：零元為常數(shù)1目前十一頁\總數(shù)六十六頁\編于八點(diǎn)故在該加法和數(shù)乘運(yùn)算下，對應(yīng)集合構(gòu)成實數(shù)域上的線性空間。負(fù)元為1/a目前十二頁\總數(shù)六十六頁\編于八點(diǎn)注：線性空間的元素統(tǒng)稱為“向量”，但它可以是通常的向量，也可以是矩陣、多項式、函數(shù)等.線性空間的簡單性質(zhì)：零元素是唯一的；負(fù)元素是唯一的；

0=0;k0=0;(-1)=-；

如果k=0,那么k=0或=0。01=01+02=02

-1=(-1)+0=(-1)+(+(-2))=((-1)+)+(-2)=0+(-2)=-2目前十三頁\總數(shù)六十六頁\編于八點(diǎn)3.4線性子空間對三維幾何空間：yxzO任何過原點(diǎn)的平面是R3的子集在該平面上的所有向量對于向量的加法和數(shù)乘運(yùn)算構(gòu)成一個二維的線性空間。R3的線性子空間目前十四頁\總數(shù)六十六頁\編于八點(diǎn)線性子空間

定義：設(shè)W是數(shù)域F上線性空間V的非空子集合.如果W中的向量對V中所定義的向量加法和數(shù)乘運(yùn)算也構(gòu)成F上的線性空間，則稱W為V的線性子空間,簡稱子空間.定理:

W是V的非空子集合，則W是V的子空間的充要條件是V的子空間注V和零子空間是V的平凡子空間；其它子空間稱為V的真子空間.目前十五頁\總數(shù)六十六頁\編于八點(diǎn)生成子空間目前十六頁\總數(shù)六十六頁\編于八點(diǎn)3.2向量的線性相關(guān)性如果線性空間V以通常的向量作為元素，即V中含有無窮多個向量。如何用有限個向量刻劃空間中的所有向量？需要討論向量間的關(guān)系.如三維幾何空間：yxzO目前十七頁\總數(shù)六十六頁\編于八點(diǎn)線性組合與線性表示設(shè)V是數(shù)域F上的一個線性空間，是V中的一組向量，是數(shù)域F

中的數(shù)，那么向量稱為向量的一個線性組合，有時也稱向量

可以由線性表示。例1:

目前十八頁\總數(shù)六十六頁\編于八點(diǎn)目前十九頁\總數(shù)六十六頁\編于八點(diǎn)線性相關(guān)與線性無關(guān)設(shè)V是數(shù)域F上的一個線性空間，且如果在數(shù)域F中存在s個不全為零的數(shù),使得則稱向量組線性相關(guān).否則稱向量組線性無關(guān)，即若則必有此時至少有一個向量可以由其他向量線性表示。目前二十頁\總數(shù)六十六頁\編于八點(diǎn)進(jìn)一步來理解向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān)考慮等式目前二十一頁\總數(shù)六十六頁\編于八點(diǎn)注：(1)給定向量組，該向量組要么線性相關(guān)，要么線性無關(guān)。(2)含有零向量的向量組一定線性相關(guān)。(3)向量組只包含一個向量時：若,則說線性相關(guān)；若,則說線性無關(guān)。目前二十二頁\總數(shù)六十六頁\編于八點(diǎn)解：令即故目前二十三頁\總數(shù)六十六頁\編于八點(diǎn)解：令即系數(shù)矩陣為方陣故方程組Ax=0存在非零解.即線性相關(guān).目前二十四頁\總數(shù)六十六頁\編于八點(diǎn)即r(A)=2<3，故Ax=0存在非零解.另解：同理，對,令即故線性無關(guān).注：向量組只包含兩個非零向量時，則目前二十五頁\總數(shù)六十六頁\編于八點(diǎn)定理1n維列向量組線性相關(guān)的充要條件是r(A)<s，其中線性相關(guān)性的判定推論

n個

n維列向量組線性相關(guān)的充要條件是|A|=0，其中注：若給定的是行向量組，需要將其轉(zhuǎn)化成列向量組。目前二十六頁\總數(shù)六十六頁\編于八點(diǎn)例5設(shè)判斷是線性相關(guān)還是線性無關(guān)？解故r(A)=3<5目前二十七頁\總數(shù)六十六頁\編于八點(diǎn)

證28目前二十八頁\總數(shù)六十六頁\編于八點(diǎn)目前二十九頁\總數(shù)六十六頁\編于八點(diǎn)定理2

向量組線性相關(guān)的充要條件是其中至少有一個向量可以由其他向量線性表示.定理3線性相關(guān)線性相關(guān)定理4線性無關(guān)線性相關(guān)部分相關(guān),

則整體相關(guān);整體無關(guān),

則部分無關(guān).目前三十頁\總數(shù)六十六頁\編于八點(diǎn)向量組的等價性質(zhì)目前三十一頁\總數(shù)六十六頁\編于八點(diǎn)定理1下列命題等價(1)(2)C的行向量組可由B的行向量組線性表示(3)C的列向量組可由A的列向量組線性表示目前三十二頁\總數(shù)六十六頁\編于八點(diǎn)推論1矩陣A經(jīng)過初等行(列)變換化為B,則A的行(列)向量組與B的行(列)向量組等價。定理2若向量組線性無關(guān)，且可由線性表示，則推論2等價的線性無關(guān)向量組必含有相同個數(shù)的向量.目前三十三頁\總數(shù)六十六頁\編于八點(diǎn)3.4線性子空間對三維幾何空間：yxzO任何過原點(diǎn)的平面是R3的子集在該平面上的所有向量對于向量的加法和數(shù)乘運(yùn)算構(gòu)成一個二維的線性空間。R3的線性子空間目前三十四頁\總數(shù)六十六頁\編于八點(diǎn)線性子空間

定義：設(shè)W是數(shù)域F上線性空間V的非空子集合.如果W中的向量對V中所定義的向量加法和數(shù)乘運(yùn)算也構(gòu)成F上的線性空間，則稱W為V的線性子空間,簡稱子空間.定理:

W是V的非空子集合，則W是V的子空間的充要條件是V的子空間注V和零子空間是V的平凡子空間；其它子空間稱為V的真子空間.目前三十五頁\總數(shù)六十六頁\編于八點(diǎn)生成子空間目前三十六頁\總數(shù)六十六頁\編于八點(diǎn)如果線性空間中含有無窮多個向量。如何找出有限個向量刻劃空間中的所有向量？如三維幾何空間：yxzO3.4線性子空間目前三十七頁\總數(shù)六十六頁\編于八點(diǎn)基、維數(shù)和坐標(biāo)注:(1)規(guī)定V={}為零維空間.(2)有限維線性空間V的基不唯一.目前三十八頁\總數(shù)六十六頁\編于八點(diǎn)向量組的秩(一)：若以的部分組為基目前三十九頁\總數(shù)六十六頁\編于八點(diǎn)目前四十頁\總數(shù)六十六頁\編于八點(diǎn)尋基求秩的過程明確向量組線性關(guān)系的過程(找最大線性無關(guān)組的過程)目前四十一頁\總數(shù)六十六頁\編于八點(diǎn)目前四十二頁\總數(shù)六十六頁\編于八點(diǎn)解43目前四十三頁\總數(shù)六十六頁\編于八點(diǎn)繼續(xù)行變換(行最簡形)目前四十四頁\總數(shù)六十六頁\編于八點(diǎn)總結(jié)：求列向量組最大線性無關(guān)組或生成子空間的基：(1)將向量按列寫成矩陣：(2)用初等行變換將矩陣化為行階梯形；(3)行階梯形非零行的行數(shù)r即為空間的維數(shù)；

(4)如果行階梯形每個非零行的首非零元對應(yīng)列指標(biāo)為，則(5)若要明確其他向量和最大無關(guān)組的線性關(guān)系，需繼續(xù)進(jìn)行行變換將矩陣化為行最簡形…….目前四十五頁\總數(shù)六十六頁\編于八點(diǎn)注：若生成向量組為行向量組，則可以轉(zhuǎn)置為列向量組，選取部分組為對應(yīng)子空間的基.轉(zhuǎn)置不改變行向量組的線性關(guān)系。(二)：若不以的部分組為基目前四十六頁\總數(shù)六十六頁\編于八點(diǎn)則需要找與等價的線性無關(guān)向量組(二)：若不以的部分組為基Recall推論

矩陣A經(jīng)過初等行(列)變換化為B,則A的行(列)向量組與B的行(列)向量組等價。目前四十七頁\總數(shù)六十六頁\編于八點(diǎn)初等行變換(行階梯形)目前四十八頁\總數(shù)六十六頁\編于八點(diǎn)解：行變換故是所求空間的一組基.目前四十九頁\總數(shù)六十六頁\編于八點(diǎn)矩陣的行秩與列秩給定矩陣A，稱矩陣A的行向量組生成的子空間R(A),

對應(yīng)空間的維數(shù)為矩陣的行秩；稱矩陣A的列向量組生成的子空間C(A)，

對應(yīng)空間的維數(shù)為矩陣的列秩.目前五十頁\總數(shù)六十六頁\編于八點(diǎn)回顧：求列向量組生成子空間的維數(shù)：(1)將向量按列寫成矩陣：(2)用初等行變換將矩陣化為行階梯形；(3)行階梯形非零行的行數(shù)即為空間的維數(shù)。

初等行變換行向量組：(行秩=矩陣的秩)(列秩=矩陣的秩)目前五十一頁\總數(shù)六十六頁\編于八點(diǎn)3.6歐氏空間對三維幾何空間：yxzO定義了向量長度，向量夾角線性空間中對向量如何度量？目前五十二頁\總數(shù)六十六頁\編于八點(diǎn)向量的內(nèi)積目前五十三頁\總數(shù)六十六頁\編于八點(diǎn)目前五十四頁\總數(shù)六十六頁\編于八點(diǎn)向量的長度與夾角目前五十五頁\總數(shù)六十六頁\編于八點(diǎn)目前五十六頁\總數(shù)六十六頁\編于八點(diǎn)目前五十七頁\總數(shù)六十六頁\編于八點(diǎn)歐氏空間的標(biāo)準(zhǔn)正交基目前五十八頁\總數(shù)六十六頁\編于八點(diǎn)得即解：59目前五十九頁\總數(shù)六十六頁\編于八點(diǎn)施密特正交化目前六十頁\總數(shù)六十六頁\編于八點(diǎn)例2.用施密特正交化方法,將向量組化成標(biāo)準(zhǔn)正交向量組.先正交化：

取解：61目前六十一頁\總數(shù)六十六頁\編于八點(diǎn)再單位化：得規(guī)范正交向量組如下62目前六十二頁\總數(shù)六十六頁\編于八點(diǎn)證明