第52講非勻強(qiáng)電場中的場強(qiáng)電勢電勢能的定性分析與定量計算（解析版）

第52講非勻強(qiáng)電場中的場強(qiáng)、電勢、電勢能的定性分析與定量計算1．（2020?浙江）空間P、Q兩點處固定電荷量絕對值相等的點電荷，其中Q點處為正電荷，P、Q兩點附近電場的等勢線分布如圖所示，a、b、c、d、e為電場中的5個點，設(shè)無窮遠(yuǎn)處電勢為0，則（）A．e點的電勢大于0B．a(chǎn)點和b點的電場強(qiáng)度相同C．b點的電勢低于d點的電勢D．負(fù)電荷從a點移動到c點時電勢能增加【解答】解：A、根據(jù)電場等勢面的圖象可以知道，該電場是等量異種電荷的電場，中垂面是等勢面，無窮遠(yuǎn)處電勢為零，故中垂面電勢也為0，故A錯誤；B、等量異種電荷的電場，它具有對稱性（上下、左右），a點和b點的電場強(qiáng)度大小相等，而方向不同。故B錯誤；C、b點離正電荷的距離更近，所以b點的電勢較高，高于d點的電勢。故C錯誤；D、a點離正電荷近，a點電勢高于c點，根據(jù)負(fù)電荷在電勢高處電勢能小，知負(fù)電荷從a點移到c點，電勢能增加，故D正確。故選：D。2．（2018?天津）如圖所示，實線表示某電場的電場線（方向未標(biāo)出），虛線是一帶負(fù)電的粒子只在電場力作用下的運動軌跡，設(shè)M點和N點的電勢分別為φM、φN，粒子在M和N時加速度大小分別為aM、aN，速度大小分別為vM、vN，電勢能分別為EPM、EPN．下列判斷正確的是（）A．vM＜vN，aM＜aNB．vM＜vN，φM＜φNC．φM＜φN，EPM＜EPND．a(chǎn)M＜aN，EPM＜EPN【解答】解：帶電粒子所受電場力指向軌跡彎曲的內(nèi)側(cè)，根據(jù)帶負(fù)電粒子受力情況可知，電場線方向斜向左上方，又沿著電場線方向，電勢逐漸降低，故φM＞φN①；若粒子從M到N過程，電場力做負(fù)功，動能減小，電勢能增加，故帶電粒子通過M點時的速度比通過N點時的速度大，即vM＞vN②，在M點具有的電勢能比在N點具有的電勢能小，即EPM＜EPN③；根據(jù)電場線疏密可知，EM＜EN，根據(jù)F＝Eq和牛頓第二定律可知，aM＜aN④；A、由②④可知，A錯誤；B、由①②可知，B錯誤；C、由①③可知，C錯誤；D、由③④可知，D正確；故選：D。一.知識回顧1．靜電力做功(1)特點：靜電力所做的功與電荷的起始位置和終止位置有關(guān)，與電荷經(jīng)過的路徑無關(guān)。(2)計算方法①W＝qEd，只適用于勻強(qiáng)電場，其中d為沿電場方向的距離，計算時q不帶正負(fù)號。②WAB＝qUAB，適用于任何電場，計算時q要帶正負(fù)號。2．電勢能(1)定義：電荷在電場中由于受到靜電力的作用而具有的與其相對位置有關(guān)的能量叫作電勢能，用Ep表示。(2)靜電力做功與電勢能變化的關(guān)系靜電力做的功等于電勢能的減少量，即WAB＝EpA－EpB。(3)大小：電荷在某點的電勢能，等于把它從這點移動到零勢能位置時靜電力所做的功。（4）特點：①系統(tǒng)性：電勢能是相互作用的電荷系統(tǒng)所共有的，或者說是電荷及對它作用的電場所共有的。我們說某個電荷的電勢能，只是一種簡略的說法。②相對與絕對電荷在某點的電勢能是相對的，與零勢能位置的選取有關(guān)，但電荷從某點運動到另一點時電勢能的變化是絕對的，與零勢能位置的選取無關(guān)。③電勢能正負(fù)的意義電勢能是標(biāo)量，有正負(fù)，無方向。電勢能為正值表示電勢能大于在參考點時的電勢能，電勢能為負(fù)值表示電勢能小于在參考點時的電勢能。④常規(guī)零勢能位置的選取是任意的，但通常選取大地表面或離場源電荷無限遠(yuǎn)處為零勢能位置。3.電勢(1)定義：電荷在電場中某一點的電勢能與它的電荷量之比，叫作電場在這一點的電勢。(2)定義式：φ＝eq\f(Ep,q)。(3)標(biāo)矢性：電勢是標(biāo)量，有正負(fù)之分，其正(負(fù))表示該點電勢比零電勢高(低)。(4)相對性：電勢具有相對性，同一點的電勢與選取的零電勢點的位置有關(guān)。一般選取離場源電荷無限遠(yuǎn)處為零電勢點，在實際應(yīng)用中常取大地的電勢為0。4.電勢差(1)定義：在電場中，兩點之間電勢的差值。(2)定義式：UAB＝φA－φB。顯然，UAB＝－UBA。(3)影響因素：電場中兩點間電勢差由電場本身決定，與電勢零點的選取無關(guān)。(4)靜電力做功與電勢差的關(guān)系：電荷q在電場中從A點移到B點時，靜電力做的功WAB與移動電荷的電荷量q的比等于A、B兩點間的電勢差，即UAB＝eq\f(WAB,q)，計算時q要帶正負(fù)號。5.電勢高低的判斷方法判斷方法具體應(yīng)用依據(jù)電場線方向沿電場線的方向電勢逐漸降低，電場線由電勢高的等勢面指向電勢低的等勢面依據(jù)靜電力做功和電勢差的正負(fù)根據(jù)UAB＝eq\f(WAB,q)＝φA－φB，將WAB、q的正負(fù)號代入，由UAB的正負(fù)判斷φA、φB的高低依據(jù)電勢能大小正電荷在電勢較高處電勢能較大，負(fù)電荷在電勢較低處電勢能較大依據(jù)場源電荷的正、負(fù)取無限遠(yuǎn)處為零電勢點，正電荷周圍電勢為正值，且離正電荷越近電勢越高；負(fù)電荷周圍電勢為負(fù)值，且離負(fù)電荷越近電勢越低6．電勢能大小的判斷方法判斷方法具體應(yīng)用根據(jù)電場線的方向判斷(1)正電荷順著電場線運動電勢能減小(2)負(fù)電荷順著電場線運動電勢能增加根據(jù)靜電力做功判斷(1)靜電力做正功，電勢能必減小(2)靜電力做負(fù)功，電勢能必增加根據(jù)電勢判斷由Ep＝qφ知，電勢越高，正電荷的電勢能越大，負(fù)電荷的電勢能越小根據(jù)能量守恒判斷在電場中，若只有靜電力做功，電荷的動能和電勢能相互轉(zhuǎn)化，動能增加，電勢能減小，反之，電勢能增加7．多個場源點電荷形成的電場中電勢高低的比較根據(jù)WAB＝－ΔEp及φ＝eq\f(Ep,q)判斷如圖所示，為了比較A、B點的電勢，引入試探電荷q，將q從A移到B，則Q1和Q2對q的靜電力對q做功：WAB＝WAB1＋WAB2；然后由WAB的正負(fù)根據(jù)WAB＝－ΔEp判斷q的電勢能是變大還是變小；再由φ＝eq\f(Ep,q)比較φA和φB的大小。8.電場線、電場強(qiáng)度、電勢、電勢能、等勢面之間的關(guān)系(1)電場線與電場強(qiáng)度的關(guān)系：同一電場，電場線越密的地方表示電場強(qiáng)度越大，電場線上某點的切線方向表示該點的電場強(qiáng)度方向。(2)電場線與等勢面的關(guān)系：電場線與等勢面垂直，并從電勢較高的等勢面指向電勢較低的等勢面。(3)電場強(qiáng)度大小與電勢無直接關(guān)系：零電勢位置可人為選取，電場強(qiáng)度的大小由電場本身決定，故電場強(qiáng)度大的地方，電勢不一定高。(4)電勢能與電勢的關(guān)系：正電荷在電勢高的地方電勢能大；負(fù)電荷在電勢低的地方電勢能大。(5)電場場強(qiáng)的疊加遵從矢量合成法則，電勢的疊加遵從代數(shù)運算法則。二.例題精析題型一：一個點電荷形成的電場例1．如圖，∠M是銳角三角形PMN最大的內(nèi)角，電荷量為q（q＞0）的點電荷固定在P點。下列說法正確的是（）A．沿MN邊，從M點到N點，電場強(qiáng)度的大小逐漸增大B．沿MN邊，從M點到N點，電勢先減小后增大C．正電荷在M點的電勢能比其在N點的電勢能大D．將正電荷從M點移動到N點，電場力所做的總功為負(fù)【解答】解：A、點電荷的電場以點電荷為中心，向四周呈放射狀，如圖所示：∠M是最大內(nèi)角，所以PN＞PM，因為△PMN是銳角三角形，過P點作MN上的高線為P到線段MN的最短距離，所以點P到線段MN上的點的距離先減小后變大，即r先減小后變大，根據(jù)點電荷的場強(qiáng)公式E=kqr2，可知從M點到NB、電場線與等勢面（圖中虛線）處處垂直，沿電場線方向電勢降低，所以從M→N電勢先增大后減小，故B錯誤；C、兩點的電勢大小關(guān)系為φM＞φN，根據(jù)電勢能的公式Ep＝qφ可知正電荷在M點的電勢能大于在N點的電勢能，故C正確；D、正電荷從M點移動到N點，電勢能減小，電場力所做的總功為正功，故D錯誤。故選：C。題型二：兩個點電荷形成的電場例2．真空中有兩個固定的帶正電的點電荷，電荷量不相等。一個帶負(fù)電的試探電荷置于二者連線上的O點時，僅在電場力的作用下恰好保持靜止?fàn)顟B(tài)。過O點作兩正電荷連線的垂線，以O(shè)點為圓心的圓與連線和垂線分別交于a、c和b、d，如圖所示。以下說法正確的是（）A．a(chǎn)點電勢低于O點B．b點電勢高于c點C．該試探電荷在a點的電勢能大于在b點的電勢能D．該試探電荷在c點的電勢能小于在d點的電勢能【解答】解：A、由于帶負(fù)電的試探電荷置于二者連線上的O點時，僅在電場力的作用下恰好保持靜止?fàn)顟B(tài)，可知O點合場強(qiáng)為零，根據(jù)同種電荷之間電場線的分布可知aO之間電場線由a到O，故a點電勢高于O點電勢，故A錯誤；B、同理可得，c點電勢高于O點電勢，兩個固定電荷在bO射線上的點電場方向斜向上，故b點電勢低于O點電勢，則b點電勢低于c點，故B錯誤；C、a點電勢高于O點電勢，b點電勢低于O點電勢，則a點電勢高于b點，試探電荷為負(fù)電荷，故該試探電荷在a點的電勢能小于在b點的電勢能，故C錯誤；D、根據(jù)電荷電場的對稱分布可得，b、d兩點電勢相同，則c點電勢高于d點，試探電荷為負(fù)電荷，則該試探電荷在c點的電勢能小于在d點的電勢能，故D正確。故選：D。題型三：多個點電荷形成的電場（多選）例3．電荷量相等的四個點電荷分別固定于正方形的四個頂點，O點是正方形的中心，電場線分布如圖所示，取無限遠(yuǎn)處電勢為零。下列說法正確的是（）A．正方形右下角電荷q帶正電B．M、N、P三點中N點場強(qiáng)最小C．M、N、P三點中M點電勢最高D．負(fù)電荷在P點的電勢能比在O點的電勢能小【解答】解：A、根據(jù)電場線的特點，正方形左上角電荷帶正電，順時針開始，第二個電荷帶負(fù)電，右下角電荷帶正電，第四個電荷帶負(fù)電，故A正確；B、根據(jù)電場線的疏密，M、N、P三點中M點場強(qiáng)最小，故B錯誤；CD、正方向四邊的中垂面為等勢面并且電勢為零，O、M點電勢為零，N、P兩點更接近負(fù)電荷，電勢為負(fù)，所以三點中M點電勢最高。將負(fù)電荷從P點移動到O點，電勢升高，電場力做正功，電勢能減少，所以負(fù)電荷在P點的電勢能比在O點的高，故C正確，D錯誤。故選：AC。三.舉一反三，鞏固練習(xí)A、B是某電場中一條電場線上的兩點，一正電荷僅在電場力作用下，沿電場線從A點運動到B點，速度圖像如圖所示。下列關(guān)于A、B兩點電場強(qiáng)度E的大小和電勢φ的高低的判斷，正確的是（）A．EA＝EBB．EA＜EBC．φA＜φBD．φA＞φB【解答】解：AB、從v﹣t圖象可知：正電荷僅在電場力作用下沿電場線從A點到B點做加速度不斷減小的減速運動，故正電荷在A點受到的電場力大于電荷在B點的電場力，A點的場強(qiáng)大于B點的場強(qiáng)，即EA＞EB，故AB錯誤；CD、由于電荷做減速運動，故電場力與速度方向相反，所以電場線方向從B到A，根據(jù)順著電場線電勢降低，則知φA＜φB，故C正確，D錯誤；故選：C。如圖所示，正電荷Q均勻分布在半徑為r的金屬球面上，沿x軸上各點的電場強(qiáng)度大小和電勢分別用E和?表示．選取無窮遠(yuǎn)處電勢為零，下列關(guān)于x軸上各點電場強(qiáng)度的大小E或電勢?隨位置x的變化關(guān)系圖，正確的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、B：金屬球是一個等勢體，等勢體內(nèi)部的場強(qiáng)處處為0，故A錯誤，B錯誤；C、D：金屬球是一個等勢體，等勢體內(nèi)部的電勢處處相等，故C正確，D錯誤。故選：C。（多選）如圖所示，是電視機(jī)顯像管主聚焦電場中的電場線分布圖，中間一根電場線是直線，電子從O點由靜止開始只在電場力作用下運動到A點，取O點為坐標(biāo)原點，沿直線向右為x軸正反向。在此過程中關(guān)于電子運動速度v、加速度a隨時間t的變化，電子的動能Ek、運動徑跡上電勢φ隨位移x的變化曲線，下列可能正確的是（）A．B．C．D．【解答】解A、在v﹣t圖象中，斜率表示加速度，而加速度由電場力產(chǎn)生，而F＝Ee，由于電場線的疏密表示電場強(qiáng)弱，故可得在電子運動過程中，電場先增強(qiáng)后減弱，故加速度應(yīng)先增大后減小，故斜率應(yīng)先增大后減小，故A錯誤；B、由A分析，結(jié)合電場線的分布特點可得，故B正確；C、由動能定理可得，Ek＝W＝Eex，故Ekx圖象中，斜率代表電場力，根據(jù)電場線分布特點知，電場力先增大后減小，故C正確；D、△φ＝U＝Ex，故在φ﹣x圖象中，斜率表示電場強(qiáng)度，故斜率應(yīng)先增大后減小，故D錯誤。故選：BC。如圖所示，三條虛線表示某點電荷電場的等勢面．一帶電粒子僅受電場力作用，沿實線運動，A、B、C、D、G是軌跡與等勢面的交點。則（）A．產(chǎn)生電場的點電荷和運動的帶電粒子都帶正電B．帶電粒子經(jīng)過B、G兩點時加速度一樣大C．帶電粒子從A點到B點的過程中電勢能減小D．帶電粒子從C點到D點的過程中動能一直不變【解答】解：A、根據(jù)電場線與等勢面垂直且指向電勢降低的方向，可知產(chǎn)生電場的點電荷帶負(fù)電；由圖可知，軌跡向下彎曲，則帶電粒子所受的電場力方向向下，則帶電粒子受到了排斥力作用，根據(jù)同種電荷相互排斥可知，帶電粒子也帶負(fù)電，故A錯誤；B、由于B、G兩點的電勢相等，結(jié)合點電荷的電場的特點可知，B與G點到點電荷的距離是相等的，所以B與G點的電場強(qiáng)度的大小也相等，則帶電粒子經(jīng)過B、G兩點時受到的電場力的大小相等，所以加速度一樣大，故B正確；C、帶電粒子受到了排斥力作用，則從A運動到B的過程中電場力做負(fù)功，帶電粒子的電勢能增大，故C錯誤；D、帶電粒子受到了排斥力作用，則從C到D的過程中電場力先做負(fù)功，后做正功，帶電粒子的動能先減小后增大，故D錯誤。故選：B。如圖所示，虛線a、b、c為某電場中的等差等勢面，其中等勢面b的電勢為0，實線為電子在該電場中的運動軌跡。若電子經(jīng)過等勢面a時的動能為16eV，經(jīng)過等勢面c時的速度大小為經(jīng)過等勢面a時速度大小的一半，以下說法正確的是（）A．等勢面a的電勢為16VB．等勢面c的電勢為6VC．實線可能是該電場的某條電場線D．電子不可能運動到電勢為﹣12V的等勢面【解答】解：A、電子從a到c，速度減小為原來的一半，根據(jù)Ek=12m根據(jù)動能定理得：﹣eUac＝Ekc﹣Eka＝4eV﹣16eV＝﹣12eV，解得，Uac＝12V；虛線a、b、c為某電場中的等差等勢面，則：Uab由于：Uab＝φa﹣φb，Ubc＝φb﹣φc等勢面b的電勢為0，則φa＝6V，φc＝﹣6V；故AB錯誤；C、根據(jù)電場線與等勢面垂直，由圖知等勢面c與實線不垂直，可知實線不可能是該電場的某條電場線，故C錯誤；D、電子的總能量：E＝Eka+EPa＝16eV+（﹣e）×（6V）＝10eV；若電子能到達(dá)電勢為﹣12V的等勢面時，電子的電勢能為12eV，根據(jù)能量守恒則電子的動能為﹣2eV，這顯然是不可能的，所以電子不可能運動到電勢為﹣12V的等勢面，故D正確。故選：D。靜電透鏡是利用靜電場使電子束會聚或發(fā)散的一種裝置。如圖所示，虛線表示這個靜電場在xOy平面內(nèi)的一簇等勢線，等勢線形狀相對于Ox軸、Oy軸對稱，且相鄰兩等勢線的電勢差相等，圖中實線為某個電子通過電場區(qū)域時的軌跡，不計電子重力，關(guān)于此電子從a點運動到b點過程中，下列說法正確的是（）A．a(chǎn)點的電勢高于b點的電勢B．電子在a點的加速度大于在b點的加速度C．電子在a點的動能大于在b點的動能D．電場力一直做正功【解答】解：A、根據(jù)等勢線與電場線垂直，可作出電場線，電子所受的電場力與場強(qiáng)方向相反，故電子在y軸左側(cè)受到一個斜向右下方的電場力，在y軸右側(cè)受到一個斜向右上方的電場力，故電子一直加速，對負(fù)電荷是從低電勢向高電勢運動，則a點的電勢低于b點的電勢，故A錯誤；B、根據(jù)等勢線的疏密知道b處的電場線也密，場強(qiáng)大，電子的加速度大，故B錯誤；C、電子一直加速，動能一直增大，則電子在a點的動能小于在b點的動能，故C錯誤；D、根據(jù)負(fù)電荷在電勢低處電勢能大，可知電子的電勢能一直減小，則電場力對電子一直做正功，故D正確。故選：D。如圖所示，在光滑絕緣水平面內(nèi)有一四邊形ABCD，其中∠ABC＝∠ADC＝90°，∠ACB＝∠ACD＝30°，AB＝AD，O點為AC與BD的交點。在B、D兩點分別固定一電荷量為+q的小球（可視為點電荷），取無窮遠(yuǎn)處電勢為零，下列說法正確的是（）A．O點的電勢為零B．A、C兩點的電勢關(guān)系為φA＜φCC．A、C兩點的電場強(qiáng)度大小之比為3：1D．若將一個帶負(fù)電的光滑小球從A點由靜止釋放，它將沿直線AC運動，并能經(jīng)過C點【解答】A、由題意可知，AC為BD的中垂線，由等量同種電荷電場分布規(guī)律可知，O點電場強(qiáng)度為零，AC上的電場線從O點發(fā)出，分別沿OA和OC方向指向無窮遠(yuǎn)，根據(jù)沿電場線方向電勢降低可知O點的電勢大于零，故A錯誤。B、由電場分布的對稱性可知UOA＜UOC，即φO﹣φA＜φO﹣φC，故φA＞φC，故B錯誤。C、根據(jù)平行四邊形定則畫出A、C兩點的電場強(qiáng)度疊加的矢量圖如圖所示：EA＝2×kqA聯(lián)立解得：EA：EC=3：1，故CD、若將一個帶負(fù)電的光滑小球從A點由靜止釋放，它將在A點與A點關(guān)于0點的對稱點之間往返運動，無法到達(dá)C點，故D錯誤。故選：C。在x軸上A、B兩點處分別有點電荷Q1和Q2，A、B之間連線上各點的電勢如圖所示，取無窮遠(yuǎn)處電勢為零，從圖中可以看出（）A．Q1和Q2是異種電荷B．Q2的電荷量大于Q1的電荷量C．P點的電場強(qiáng)度為零D．負(fù)電荷從P1點移動到P點，電勢能減小【解答】解：A、取無窮遠(yuǎn)處電勢為零，因Q1處電勢大于零，Q2處電勢小于零，根據(jù)沿電場線方向電勢降落可知，則Q1和Q2一定帶異種電荷，故A正確；B、在兩點電荷的連線上的P點的電勢是零，但P點離Q2近，所以Q1的電荷量要大于Q2的電荷量，故B錯誤；C、Q1帶正電，在P點產(chǎn)生的電場的電場強(qiáng)度沿x軸正方向，Q2帶負(fù)電，在P點產(chǎn)生的電場的電場強(qiáng)度沿x軸正方向，兩分場強(qiáng)疊加后合場強(qiáng)不為零，故C錯誤；D、負(fù)電荷從P1點移動到P點，電勢降低，沿電場線運動，電場力做負(fù)功，電勢能增大，故D錯誤。故選：A。（多選）如圖所示，固定的點電荷M，N均帶正電，M的帶電量為Q1，N的帶電量為Q2，Q1＞Q2，O是M、N兩電荷連線中點，A，B是連線上關(guān)于O