答案-如何證明圓的切線

圓的切線證明一、連徑證直要證明某直線是圓的切線已知直線過圓上的某一個點作出過這一點的半徑直垂直于半徑．、圖，已知為⊙O的徑，點D在的長線上＝，圓上，CAB．求證：DC是O的線．思路：要想證明DC是O的線，只要我們連接，證明＝90o即可．證明：連接，．∵AB為O的徑，∴ACB＝90o．∵∠CAB，∴＝＝．∵＝OB，∴＝

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OD．∴∠OCD＝．∴O的線．【評析】一定要分清圓的切線的判定定理的條件與結論，特別要注“經(jīng)半徑的外端和垂直于這條半”兩個條件缺一不可，否則就不是圓的切線．本題在證明＝90o時運用“在一個三角形中，如果一條邊上的中線等于這條邊的一半么這個三角形是直角三角然也可以從角度計算的角度來求．、圖，已知⊙Ｏ是△ABC的接圓AB是Ｏ的直徑，是AB的長線上的一點⊥DC交DC的長線于點E，平∠EAB求證是⊙的切線．證明：連接，=，所以∠=∠ACO，因AC平∠EAB所以∠==AC，所以∥CO又⊥DE，所CO⊥，所以DEO的線．、知⊙O是直徑過B作O的線結CO∥交⊙O于D求CD是⊙O的線。點：證是的線，須證CD垂于切點的徑，由此想到連結OD證：結OD∵AD∥，∴∠COB＝A及COD＝ODA∵＝OD∴＝∠OAD∴∠COB＝∠COD∵CO公用邊OD＝OB∴△COB≌△，即∠B∠ODC∵BC是切線是徑，∴∠B90°，∠＝，∴CD是的線。二、作直證徑如果直線與圓的公共點沒有確定，則應過圓心作直線的垂線，證明圓心到這條直線的距離等于徑．、圖所示，ABC為腰三角形O是邊BC的中點，O與AB相切于點D。求證：與O切。證明:連接OD，作OE，垂足為E∵AB=AC,=OC．∴AO為∠BAC角分線，∠∵⊙O與AB相于點D，∴∠=．AO=AO∴ADO≌AEO所以OE=．∵是⊙O的徑，OE是的徑．∴⊙O與AC邊切．

0000⌒⌒00、知：如圖AC，與切A、且ACBD若COD=90.0000⌒⌒00求證：⊙O的線證：結OAOB，作⊥E，長DO交長線于F.∵，⊙O相，∴⊥，BDOB.∵∥，∴∠F=∠又∵OA=OB，∴△AOF△BODAAS）∴OF=OD.∵∠COD=90，∴CF=CD∠∠2.又∵OAAC，⊥CD，∴OE=OA.∴點⊙O上.∴O的三角分證切作心，用股理）、如圖，AD是BAC的平分線，為延長線上一點，且，求證：與⊙O相證一作直徑AE，連結∵ADBAC的分線，∴DAC.∵，∴2=1+DAC.∵∠2=∠DAB，∴1=又∵∠∠，∴1=E∵是⊙O直徑，∴⊥EC∠∠EAC=90.∴∠∠EAC=90即OA⊥PA.∴PA與O切證二延長AD交于，連結OA，OE.∵AD是BAC的分線，∴BE=CE，∴OE⊥∴∠∠BDE=90.∵OA=OE，∴∠∠1.∵PA=PD，∴∠PAD=∠又∵∠PDA=∠∴∠∠即OA⊥∴PA與O、圖，是⊙O的徑，AC是，BAC的平分線AD交于D⊥AC交AC的長線于點，OE交于F.（1）求證DE⊙O的線；（2）若

AF=求的。5DF

、圖，為⊙O的徑C為⊙O上點∠BAC的平分線交O于D，過D點作∥BC交AB的長線于點，交AC延長線于點F。（1）求證：為⊙的線；（2）若sin∠ABC=

求O的徑及的。、圖為⊙O的徑AD分BAC交于點DDE⊥交AC的延長線于點E是的切線交AD的長線于點F.(1)求證DE是的線；

E(2)若DE=3O的徑為5，求BF的長.

D

F2

1

O

、ABC中，，AE是平線BM平分∠交AE于經(jīng)過、M兩的O交BC于，交AB于點恰⊙O的直徑（1）求證AE與相；1（2）當BC=4時求⊙O半徑。3（1）連接OM,則∠OMB=∠OBM=∠MBE又∵AE⊥BC∴∠OMB+∠BME=∠MBE+∠BME=90°∴AE與⊙O相切（2）由AE與⊙O相切,AE⊥BC∴OM∥BC∴△AOM∽△ABE∴∵BC=4,cosC=

，∴BE=2，AB=6，即

，

四平證切已知行角等行3.中位平）、知⊙Ｏ是△外接圓是Ｏ的直徑D是的長線上的一點⊥交DC的長線于點，且AC平∠．求證：DE是O的線．證明：連接，=，∴CAO=∠，∵AC平，∴∠∠ACＯ，∴AECO，又⊥DE，∴CO⊥DE，∴O的線．、知：如圖，

中，，

為直徑的

交

于點，

于點．（1）求證：

是

的切線；（2）若

，求

的值．（1證明：

，又

，又

于，，是

的切線、圖，O是eq\o\ac(△,Rt)的接圓，，弦BD=BA，AB=12，，BE⊥DCDC的長線于點（1）求證：BCA=∠BAD；（2）求DE長；（3）求證是⊙O的線。解）明BD=BA，∠∠BAD∵∠BCA=∠BDA圓周角定理∴∠BCA=∠BAD（2∵BDE=∠（圓周角定理BED=∠CBA=90°，∴△BED∽△CBA∴

BD。AC∵=12，，根據(jù)勾股定理得AC=13∴

，得：。（3證明：連接OB，OD在ABO和△DBO中∵

ABBOBO，OAOD∴△≌△DBO∴∠DBO=ABO∵∠ABO=OAB=∠BDC∠DBO=BDC∥ED∵⊥ED，EB⊥?！郞BBE∵O的徑，∴是O的線。

、圖，⊙O的徑，C為O上點AD和C點直線互相垂直，垂足為D，AC分∠DAB（1）求證為O的線；（2）若⊙O的徑為，AD=，求AC的．試題分析OC可以得到∠OCA利用角平分線的性質可以證明∠OCA接著利用平行線的判定即可得到OC∥AD，然后就得到⊥，由此即可證明直線與O相于C點；（2）連接BC根據(jù)圓周角定理的推理得到ACB=90°，又∠DAC=OAC由此可以得ADCACB，然后利用相似三角形的性質即可解決問題．（1）證明：連接∵OA=OC∴∠∵AC平∠DAB∴∠DAC=OAC∴∠DAC=∠OCA∴OC∥∵ADCD∴OC⊥∴線與O相于點C（2）連接BC則ACB=90°．∵∠DAC=OAC，∠ADC=∠ACB=90°，∴△∽，∴，∴

=ADAB

，∵⊙O半徑為3，AD=4，∴，∴AC=2、圖，⊙O的徑，

于點，接OC交⊙O于E弦AD//OC,DF

于。（1）求證：點E是BD的點；（2）求證CD⊙O的線；（3）若sin∠BAD=

⊙的徑為，求的。、等腰⊿ABC中，為AB上點，以為心OB長為半徑的圓交BC于⊥交AC于（1）求證DE是O的線；（2）若⊙O與AC相切于F，sinA=

求⊙O半徑長。

00、圖，⊙O的徑，BD是的，長BD到，DC=BD,連結AC,點D作DE⊥垂足為E.(1).求證：AB=AC00(2).求證DE為O的(3).若⊙O的徑為，∠BAC=60°，求DE的五角轉證線中線證直角、角度轉化證直角、一條邊上的中線等于這條邊的一半）已⊙OAB是徑過點⊙O切線連CO若AD∥OC交⊙O于求CD是⊙O的線。點：證CD是⊙O的線，須證CD垂于過切點D的半徑，由此想到連結OD證：結OD∵AD∥OC∴∠COB＝A及COD＝ODA∵＝OD∴＝∠OAD∴∠COB＝∠COD∵CO公用邊OD＝OB∴△COB≌△，即∠B∠ODC∵BC是切線是徑，∴∠B90°，∠＝，∴CD是的線。點輔助線OD構“切的判定定與“等三角形兩基本圖形用切線的性質定理用判定定理。、圖，AB=AC，AB是O的徑，O交BC于D，⊥于M求：DM與相.證一連結∵AB=AC，∴∠∵OB=OD，∴∠∠∴∠∠C.∴∥AC.∵⊥，∴⊥∴與相證二連結OD，AD.∵AB是O直徑，∴ADBC.又∵AB=AC,∴∠∠∵⊥，∴∠∠

D∵，∴∠∠∴∠∠.即⊥DM.∴是的線

C說：明一是通過證平行來證明垂直的證明二是通過證角互余證明垂直的，

0002220、圖，已知是⊙O的直徑，點C在⊙O上，且∠CAB=30求證：PC是的線0002220證：結OC∵，

，BP=OBP在AB的延長線.∴∠1=∠30∠A+∠1=60又OC=OB∴△是等邊三角形∴OB=BC.D∵OB=BP，∴OB=BC=BP.∴OCCP.∴是的線說：題解法頗多，但這種方法較.、圖，⊙O的徑，CD⊥AB且OA=OD·OP.求證：是O切線證：結OC∵OA，OA=OC∴OC=OD·OP，OCOPOD又∵∠1=∠1∴△∽△ODC.∴∠∠ODC.∵⊥AB∴∠.∴是的線說：題是通過證三角形相似證明垂直的、知：如圖A是⊙O上點，半徑OC延長線與過點A的線交于B點OC=BC，AC=（1求證⊙O的線；（2若ACD=45°，OC=2求弦AD、的．

．

000、圖，點D是O的徑CA延線上一點，點B在O上且AB=AD=AO.000(1).求證BD是O切線。(2).若點是劣弧BC上點AE與相于點F，且⊿BEF的積為，cosBFA=

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，求⊿的積。六角相（明徑直的角和90°，明徑直線，、圖1，、是⊙O上點，線段AB經(jīng)圓心O連接AC、，點C作CD⊥ABD，∠AC⊙O的線嗎？為什么？解AC是O的線．理由：連接，∵OC=OB，∴OCB=∠．∵是的外角，∴=+=2∠B．∵ACD=2∠B，∴ACD∠．∵CD⊥于D∴+．∴+=90°．即OC⊥．∵為⊙O上的點，∴AC是O切線．、是方形，G是BC延線上一點，AG交于，交CD于F求證：CE與△的接圓相.分：題圖上沒有畫CFG的接圓，但