【教案】點(diǎn)到直線的距離公式　教學(xué)設(shè)計(jì)高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第一冊

教學(xué)設(shè)計(jì)表教學(xué)設(shè)計(jì)標(biāo)題：點(diǎn)到直線的距離公式學(xué)情分析：點(diǎn)到直線的距離公式是選擇性必修第一冊第二章2.3.3的內(nèi)容，學(xué)生具備了函數(shù)、向量（平面向量和空間向量）模塊的知識儲備和相應(yīng)的思想方法，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離公式，初步具備了用代數(shù)方法研究幾何問題的解析幾何思想.教學(xué)目標(biāo)：1.通過探究，會推導(dǎo)點(diǎn)到直線的距離公式，發(fā)展學(xué)生的直觀想像、邏輯推導(dǎo)和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)；2.通過多種方法證明，學(xué)生能從不同角度思考問題，發(fā)展學(xué)生分析問題，解決問題的能力；3.通過應(yīng)用舉例，學(xué)生能利用點(diǎn)到直線的距離公式解決簡單的距離問題，發(fā)展學(xué)生知識應(yīng)用能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).教學(xué)重難點(diǎn)：重點(diǎn)：點(diǎn)到直線的距離公式推導(dǎo)；點(diǎn)到直線距離公式及其應(yīng)用.難點(diǎn)：點(diǎn)到直線的距離公式推導(dǎo).教學(xué)過程：一、提出問題如圖所示，已知點(diǎn)P(x0,y0)，直線l：二、探究問題如圖，過點(diǎn)P作l的垂線，垂足為Q，則線段PQ的長度，就是點(diǎn)P到直線l的距離.探究1線段PQ的長度，就是點(diǎn)P與點(diǎn)Q之間的距離，可以利用兩點(diǎn)的距離公式得到，你能求出來嗎？分析：可分為三步：第一步：利用垂直關(guān)系求出直線PQ的方程;第二步：聯(lián)立直線PQ與l的方程，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo);第三步：利用兩點(diǎn)的距離公式，求出PQ解：當(dāng)A=0,B≠0時，l:By+C=0,PQ當(dāng)A≠0,B=0時，l:Ax+C=0,PQ當(dāng)A≠0,B≠0時，由PQ⊥l，以及直線l的斜率為-AB，可知直線PQ的斜率為BA聯(lián)立Ax+By+C=0Bx-Ay=Bx0即點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(B根據(jù)兩點(diǎn)的距離公式，有PQ===綜上，點(diǎn)P(x0,yd思考：上述方法中，我們把點(diǎn)到直線的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到點(diǎn)的距離來求解，思路自然但運(yùn)算量大.反思解題過程，你能發(fā)現(xiàn)引起復(fù)雜運(yùn)算的原因嗎？由此能否給出簡化計(jì)算的方法？在上述方法中,若設(shè)垂足Q(x,y我們可以不求點(diǎn)Q坐標(biāo)，根據(jù)Ax+By+C=0Bx-Ay=Bx0觀察結(jié)構(gòu)，由Ax+By+C=0Bx-Ay=Bx將兩式平方相加得x-則PQ探究2我們知道向量是一個強(qiáng)有力的工具,我們已經(jīng)利用空間向量解決了空間中點(diǎn)到平面的距離問題.由此你能否利用平面向量方法解決平面中點(diǎn)到直線的距離問題嗎?受求空間中點(diǎn)到平面的距離方法啟發(fā)，又在平面中與直線垂直的向量易求，故可得以下解法：如圖所示，設(shè)點(diǎn)M(x,y)是直線l:Ax+By+C=0上任意一點(diǎn)，PQ由前面所學(xué)知道直線l:Ax+By+C=0的一個方向向量為n=1從而PM=因?yàn)辄c(diǎn)M(x,y)PM因此PQ探究3除了上述兩種方法，你還有其他方法嗎？請閱讀下面數(shù)學(xué)史材料，探究其中解法.材料1：19世紀(jì)英國數(shù)學(xué)家托德亨特對點(diǎn)線距離作了另一種方式的轉(zhuǎn)化，用三角形方法解決.如圖，過點(diǎn)P作x軸的平行線，交l于點(diǎn)R，則在Rt?PQR中，由線段PR和∠PRQ材料2：20世紀(jì)，美國數(shù)學(xué)家泰勒在其《微積分與解析幾何》中，抓住距離概念的本質(zhì)，通過函數(shù)的最值來求點(diǎn)到直線的距離.如圖，設(shè)M為直線l上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P到l的距離就是|PM|的最小值根據(jù)材料1，當(dāng)A≠0,B≠0時，由PR平行x軸可知點(diǎn)R的坐標(biāo)為(-By0+CA,y0),則PR=x0+PQ根據(jù)材料2，B≠0時,設(shè)點(diǎn)M(x,-PM=≥即點(diǎn)P到l的距離為Ax【設(shè)計(jì)意圖】借助數(shù)學(xué)史，引導(dǎo)學(xué)生思考，提升學(xué)生的求知欲和探索欲.三、應(yīng)用舉例例1求點(diǎn)P-1,2到直線l:3分析：將直線l的方程寫成3x-2=0,解：點(diǎn)P(-1,2)到直線ld例2已知?ABC的三個頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是A1,3,B3,1分析：由三角形面積公式可知，只要利用距離公式求出?ABC一解：設(shè)邊AB上的高為h，則h就是點(diǎn)C到直線AB的距離.邊AB所在的直線方程為y-3即x+根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，有h又AB=S四、小結(jié)回顧推導(dǎo)點(diǎn)到平面的距離的幾種方法，總結(jié)其中的數(shù)學(xué)思想方法.這幾種解法蘊(yùn)含了轉(zhuǎn)化與化歸的思想：探究1的解法是把點(diǎn)到直線的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到點(diǎn)的距離；探究2解法是把點(diǎn)到直線的距離轉(zhuǎn)化為投影向量