概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課件講

則稱(chēng)X為連續(xù)型隨機(jī)變量,稱(chēng)f(x)

為X的概率密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)為概率密度

.一、連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度,使

X取值于任一區(qū)間(a,b]的概率都可以表示為,

對(duì)于隨機(jī)變量X,如果存在非負(fù)可積函數(shù)f(x),

定義§2.3

連續(xù)型隨機(jī)變量與隨機(jī)變量的分布函數(shù)故

X在某點(diǎn)x的概率密度值f(x),恰好是X落在區(qū)間上的平均概率在時(shí)的的極限.對(duì)f(x)的進(jìn)一步理解:表示隨機(jī)變量X

取值于的概率近似等于.若不計(jì)高階無(wú)窮小,有注:概率密度的性質(zhì)1o2o【注】這兩條性質(zhì)是判定一個(gè)函數(shù)f(x)是否為某隨機(jī)變量X的概率密度的充要條件0xf(x)面積為1幾何意義:特征性質(zhì):可計(jì)算X落在(a,b]內(nèi)的概率對(duì)于任意區(qū)間(a,b],有0xf(x)ab1)其他性質(zhì)：幾何意義:令，

連續(xù)型隨機(jī)變量取任一指定實(shí)數(shù)值a的概率均為0.即這是因?yàn)椋?)即得由P(B)=1,不能推出

B=Ω由P(A)=0,不能推出結(jié)論：對(duì)連續(xù)型隨機(jī)變量X,有3)0xf(x)ab幾何意義:解先求待定常數(shù)a：例1：

再求X在區(qū)間上取值的概率：1.均勻分布則稱(chēng)X服從區(qū)間[a,b]上的均勻分布，二、常見(jiàn)的連續(xù)型隨機(jī)變量的密度函數(shù)若隨機(jī)變量X的概率密度為：記作X～均勻分布的意義：即：X落在區(qū)間[a,b]的任意子區(qū)間[c,d]內(nèi)的概率只與區(qū)間長(zhǎng)度有關(guān)而與區(qū)間所在位置無(wú)關(guān)。X在區(qū)間[a,b]中“等可能”地取值。

又如公交線路上兩輛公共汽車(chē)前后通過(guò)某汽車(chē)停車(chē)站的時(shí)間，即乘客的候車(chē)時(shí)間等.均勻分布常見(jiàn)于下列情形：

如在數(shù)值計(jì)算中，對(duì)小數(shù)點(diǎn)后第一位小數(shù)進(jìn)行四舍五入時(shí)產(chǎn)生的誤差（舍入誤差）一般認(rèn)為服從[-0.5,0.5]上的均勻分布；例2

某公共汽車(chē)站從上午7時(shí)起，每15分鐘來(lái)一班車(chē)，即

7:00，7:15，7:30,7:45

等時(shí)刻有汽車(chē)到達(dá)此站，如果乘客到達(dá)此站時(shí)間X

是7:00到7:30之間的均勻隨機(jī)變量,試求他候車(chē)時(shí)間不多于5分鐘的概率.解:依題意，以7:00為起點(diǎn)0，以分為單位X～為使候車(chē)時(shí)間少于5分鐘，乘客到達(dá)車(chē)站的時(shí)間X必須在7:10到7:15之間，或在7:25到7:30之間.故所求概率為：即乘客候車(chē)時(shí)間不多于5分鐘的概率是1/3.可靠性統(tǒng)計(jì)研究中，如元件壽命.2.指數(shù)分布

若隨機(jī)變量X具有概率密度為為常數(shù),則稱(chēng)X

服從參數(shù)為的指數(shù)分布.

記作：X～指數(shù)分布常見(jiàn)于：例3

設(shè)某類(lèi)日光燈管的使用壽命X(單位:小時(shí)).

服從參數(shù)為λ=0.0002的指數(shù)分布。任取一只這種燈管,求能正常使用3000小時(shí)以上的概率.

解:P{X>3000}X～3.正態(tài)分布

若連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為其中和(>0)都是常數(shù),則稱(chēng)X服從參數(shù)為的正態(tài)分布或高斯分布.記作X～事實(shí)上：

注：

必有下述性質(zhì)：

正態(tài)分布的密度函數(shù)的圖形與性質(zhì)關(guān)于x=

對(duì)稱(chēng)；（-，）升，（，+）降，單調(diào)性對(duì)稱(chēng)性拐點(diǎn)中間高兩邊低y-+x在處有拐點(diǎn)：漸近線當(dāng)時(shí)，曲線以x軸為漸近線。μ，σ對(duì)密度曲線的影響１2由兩個(gè)參數(shù)μ和σ唯一確定.正態(tài)分布:標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布是的正態(tài)分布，是最重要的一種正態(tài)分布。若X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，則記作：X～的密度函數(shù)常用表示：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布記則

事實(shí)上，為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)。即的關(guān)系式：的性質(zhì):

注：書(shū)末附有標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)Φ(x)在x>0時(shí)的函數(shù)值表，故Φ(x)的計(jì)算可完全解決：x>0時(shí),Φ(x)的值查表可得.x<0時(shí),Φ(x)的值可由得到。x=0時(shí),(3)若X～N(0,1),則注：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率計(jì)算問(wèn)題可由Φ(x)解決。正態(tài)分布的概率計(jì)算定理1若X～，則對(duì)任任意a,b(a＜b),有結(jié)論：定理1證明：則注:若則：

一般正態(tài)分布的概率計(jì)算問(wèn)題也可以由Φ(x)解決.定理1證明例5已知某臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)的螺栓長(zhǎng)度X（單位：厘米）服從參數(shù)的正態(tài)分布。規(guī)定螺栓長(zhǎng)度在內(nèi)為合格品，試求螺栓為合格品的概率。根據(jù)假設(shè)X～N（10.05,0.062），b=10.05+0.12,則=2×0.9772-1=0.9544=Φ(2)-Φ(-2)=2Φ(2)-1記a=10.05-0.12，X

～

,求該地區(qū)成年男性的身高超過(guò)175厘米的概率。例6

假定某地區(qū)成年男性的身高(單位：厘米)即該地區(qū)成年男性的身高超過(guò)175厘米的概率為0.2578根據(jù)假設(shè)X

～P{成年男性的身高超過(guò)175厘米},故解P(X≥h)≤0.01故即例7

公共汽車(chē)車(chē)門(mén)的高度是按男子在車(chē)門(mén)碰頭的機(jī)會(huì)在0.01以下來(lái)設(shè)計(jì)的.設(shè)男子身高X～N(170,62),問(wèn)車(chē)門(mén)的最低高度應(yīng)為多少?設(shè)車(chē)門(mén)高度為hcm,按設(shè)計(jì)要求因?yàn)閄～N(170,62),查表得(2.33)=0.9901因而≥

2.33,即

h≥170+13.98184因而車(chē)門(mén)的最低高度應(yīng)為184厘米.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上分位點(diǎn)設(shè)若數(shù)滿足條件則稱(chēng)點(diǎn)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上分位點(diǎn).注：若為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上分位點(diǎn).則四、分布函數(shù)分布函數(shù)

F(x)的值就是

X落在區(qū)間內(nèi)的概率.設(shè)

X

是一個(gè)隨機(jī)變量，稱(chēng)為X

的分布函數(shù)

,記作F

(x)

.=P{X≤b}-P{X≤a

}(1)在分布函數(shù)的定義中,X是隨機(jī)變量,x是自變量.(2)

對(duì)任意實(shí)數(shù)a<b，隨機(jī)點(diǎn)落在區(qū)間(a,b

]內(nèi)的概率為：P{a<X≤b}

因此，只要知道了隨機(jī)變量X的分布函數(shù)F(X),它取值的規(guī)律也可得到解決。=F(b)-F(a)請(qǐng)注意:分布函數(shù)的性質(zhì)(1)事實(shí)上:(2)

且(3)F(x)右連續(xù)，即

以上三條隨機(jī)變量的分布函數(shù)的特征性質(zhì).設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布律是P{X=xk

}=pk,

k=1,2,3,…

F(x)=P(X

x)=

即F(x)的值是X

取的諸值xk

的概率之和.則其分布函數(shù)離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)

當(dāng)x<0時(shí)，當(dāng)

0x<1時(shí)，F(xiàn)(x)=P{X

x}=P{X=0}=F(x)=P{X≤x}解:例1設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為X求X

的分布函數(shù)F(x).,故F(x)=0,故當(dāng)1x<2時(shí)，F(xiàn)(x)=P{X=0}+P{X=1}=F(x)=P{X=0}+P{X=1}+P{X=2}=1當(dāng)x2時(shí)，故圖形如下：連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)

(1)若已知連續(xù)型隨機(jī)變量X的密度函數(shù)f(x),則(2)若已知連續(xù)型隨機(jī)變量X分布函數(shù)F(x),則在其可導(dǎo)點(diǎn)處,有由此知連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)F(x)是一個(gè)連續(xù)函數(shù).設(shè)連續(xù)隨機(jī)變量的概率密度求：解：根據(jù)概率密度的性質(zhì)，有即常數(shù)的值；隨機(jī)變量落在區(qū)間內(nèi)的概率；隨機(jī)變量的分布函數(shù).(1)(3)(2)(1)例2由此得隨機(jī)變量的概率密度為于是,所求概率(3)(2)隨機(jī)變量的分布