材料力學(xué) 第十三章 能量法

材料力學(xué)(ChapterThirteen)第十三章能量法(EnergyMethod)1共1頁

第十三章能量法

(EnergyMethods)§13-1

概述（Introduction)§13-2

桿件變形能的計(jì)算(Calculationofstrainenergyforvarioustypesofloading)§13-3

互等定理（Reciprocal

theorems)§13-4

單位荷載法莫爾定理(Unit-loadmethod&mohr’stheorem)§13-5

卡氏定理(Castigliano’sTheorem)§13-6

計(jì)算莫爾積分的圖乘法

(Themethodofmomentareasformohr’sintegration)§13-1

概述（Introduction)

在彈性范圍內(nèi)，彈性體在外力作用下發(fā)生變形而在體內(nèi)積蓄的能量，稱為彈性變形能，簡稱變形能.

一、能量方法(Energymethods)三、變形能（Strainenergy)二、外力功（Workoftheexternalforce)固體在外力作用下變形，引起力作用點(diǎn)沿力作用方向位移，外力因此而做功，則成為外力功.利用功能原理U=W

來求解可變形固體的位移、變形和內(nèi)力等的方法.可變形固體在受外力作用而變形時(shí)，外力和內(nèi)力均將作功.對(duì)于彈性體，不考慮其他能量的損失，外力在相應(yīng)位移上作的功，在數(shù)值上就等于積蓄在物體內(nèi)的應(yīng)變能.

U=W四、功能原理（Work-energyprinciple)Theformula:（Work-EnergyPrinciple)Wewillnotconsiderotherformsofenergysuchasthermalenergy,chemicalenergy,andelectromagneticenergy.Therefore,ifthestressesinabodydonotexceedtheelasticlimit,allofworkdoneonabodybyexternalforcesisstoredinthebodyaselasticstrainenergy.

§13-2

桿件變形能的計(jì)算(Calculationofstrainenergyforvarioustypesofloading)一、桿件變形能的計(jì)算(Calculationofstrainenergyforvarioustypesofloading)1、軸向拉壓的變形能（Strainenergyforaxialloads)當(dāng)拉力為F1

時(shí)，桿件的伸長為△l1當(dāng)再增加一個(gè)dF1

時(shí)，相應(yīng)的變形增量為d(△l1)此外力功的增量為：PFllFlFoll1dl1dF1F1積分得：根據(jù)功能原理當(dāng)軸力或截面發(fā)生變化時(shí)：

U=W,可得以下變形能表達(dá)式（單位J/m3)比能（Strainenergydensity)：

單位體積的應(yīng)變能.記作u

當(dāng)軸力或截面連續(xù)變化時(shí)：▼2、扭轉(zhuǎn)桿內(nèi)的變形能（Strainenergyfortorsionalloads)或lMeMeMe純彎曲（purebending)橫力彎曲(nonuniformbending)3、彎曲變形的變形能（Strainenergyforflexuralloads)θMeMeMeMe4、組合變形的變形能（Strainenergyforcombinedloads)截面上存在幾種內(nèi)力，各個(gè)內(nèi)力及相應(yīng)的各個(gè)位移相互獨(dú)立，力獨(dú)立作用原理成立，各個(gè)內(nèi)力只對(duì)其相應(yīng)的位移做功.dxdydzxyzabd5、純剪切應(yīng)力狀態(tài)下的比能（Strainenergydensityforpureshearingstateofstresses)假設(shè)單元體左側(cè)固定，因此變形后右側(cè)將向下移動(dòng)dx.因?yàn)楹苄。栽谧冃芜^程中，上、下兩面上的外力將不作功.只有右側(cè)面的外力(dydz)對(duì)相應(yīng)的位移dx

作了功.dx

當(dāng)材料在線彈性范圍內(nèi)內(nèi)工作時(shí)，上述力與位移成正比，因此，單元體上外力所作的功為

比能為將

=G

代如上式得dxdydzxyzabddx等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)應(yīng)變能的計(jì)算將代入上式得

二、變形能的普遍表達(dá)式(Generalformulaforstrainenergy)F--廣義力（generalizedforce)包括力和力偶(includeforceandcouple)δ--廣義位移(generalizeddisplacement)包括線位移和角位移(includenormaldisplacement&angulardisplacement)

B'C'F3BCF2AF1假設(shè)廣義力按某一比例由零增致最后值對(duì)應(yīng)的廣義位移也由零增致最后值.對(duì)于線性結(jié)構(gòu)，位移與荷載之間是線性關(guān)系，任一廣義位移，例如

2可表示為F3ABCF1F2B'C1F1，C2F2，C3F3分別表示力

F1,F2,F3在C

點(diǎn)引起的豎向位移.C1，C2，C3是比例常數(shù).F3/F2在比例加載時(shí)也是常數(shù)F1/F2和2與

F2之間的關(guān)系是線性的.同理，1與F1，3與F3之間的關(guān)系也是線性的.在整個(gè)加載過程中結(jié)構(gòu)的變形能等于外力的功iFiF3ABCF1F2B'——克拉貝隆原理（只限于線性結(jié)構(gòu)）Fii三、變形能的應(yīng)用（Applicationofstrainenergy)1、計(jì)算變形能(Calculatingstrainenergy)2、利用功能原理計(jì)算變形（Work-energyprincipleforcalculatingdeflection)例1試求圖示懸臂梁的變形能，并利用功能原理求自由端B的撓度.ABFlx解：由U=W得例2試求圖示梁的變形能，并利用功能原理求C截面的撓度.ABCFx1x2abl解：由

U=W

得例3試求圖示四分之一圓曲桿的變形能，并利用功能原理求B截面的垂直位移.已知EI為常量.解：由

U=W

得ABFORθ例題4拉桿在線彈性范圍內(nèi)工作.抗拉剛度

EI

，受到F1和F2兩個(gè)力作用.若先在B截面加F1

，然后在C

截面加F2；若先在C

截面加F2

，然后在

B

截面加F1.分別計(jì)算兩種加力方法拉桿的應(yīng)變能.ABCabF1F2(1)先在B

截面加F1，然后在C

截面加F2ABCabF1在B

截面加F1，B截面的位移為外力作功為再在C上加F2F2C截面的位移為F2作功為在加F2

后，B截面又有位移在加F2過程中F1作功（常力作功）所以應(yīng)變能為ABCabF1F2(2)若先在C截面加F2

，然后B截面加F1.在C截面加F2

后，F(xiàn)2

作功在B截面加F1后，

F1作功ABCabF1F2加

F1引起C

截面的位移在加F1

過程中F2作功（常力作功）ABCabF1F2所以應(yīng)變能為注意：(1)計(jì)算外力作功時(shí)，注意變力作功與常力作功的區(qū)別.應(yīng)變能U只與外力的最終值有關(guān)，而與加載過程和加載次序無關(guān).2梁中點(diǎn)的撓度為梁右端的轉(zhuǎn)角為MeACBFl/2l/2梁的變形能為1先加力F

后，再加力偶Me先加力F后，C

點(diǎn)的位移力F所作的功為力偶由零增至最后值MeB

截面的轉(zhuǎn)角為力偶Me

所作的功為ACBFl/2l/2ACBFl/2l/2Me1先加上的力F所作的功為C截面的位移為3ACBl/2l/2F與力偶Me所作的功為ACBFl/2l/21Me兩力作用點(diǎn)沿力作用方向的位移分別為F1，F(xiàn)21、設(shè)在線彈性結(jié)構(gòu)上作用力1，2一、功的互等定理（Reciprocalworktheorem）§13-3

互等定理（ReciprocalTheorems)12F1F2F1F212F1和F2完成的功應(yīng)為2、在結(jié)構(gòu)上再作用有力F3，F(xiàn)4沿F3和F4方向的相應(yīng)位移為3,4F334F4F3和F4完成的功應(yīng)為3、在F3和F4的作用下，F(xiàn)1

和F2的作用點(diǎn)又有位移F1和F2在1′和2′上完成的功應(yīng)為F1F212F334F4，因此，按先加F1，F(xiàn)2后F3，F(xiàn)4的次序加力，結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能為F1F21234F4F3若按先加F3

，F(xiàn)4后加F1

，F(xiàn)2的次序加力，又可求得結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能為由于應(yīng)變能只決定于力和位移的最終值，與加力的次序無關(guān),故

功的互等定理（Reciprocalworktheorem）：

第一組力在第二組力引起的位移上所作的功，等于第二組力在第一組力引起的位移上所作的功.二、位移互等定理（Reciprocaldisplacementtheorem)若第一組力F1，第二組力只有F3，則如果F1=

F3，則有位移互等定理(reciprocalworktheorem)：

F1作用點(diǎn)沿F1方向因作用F3而引起的位移等于F3作用點(diǎn)沿

F3方向因作用F1而引起的位移.(ThedeflectionatAduetoaloadactingatBisequaltothedeflectionatBduetothesameloadactingatA)三、注意（notice)

1、力和位移都應(yīng)理解為廣義的.2、這里是指結(jié)構(gòu)不可能發(fā)生剛性位移的情況下，只是由變形引起的位移.§13-4

單位荷載法莫爾定理(Unit-loadmethod&mohr’stheorem)一、莫爾定理的推導(dǎo)（Derivationofmohr’stheorem)求任意點(diǎn)A的位移fA

F1F2A

A圖b變形能為aA圖F1F2=1F0AF1F2圖cfAF0=11、先在A點(diǎn)作用單位力F0

，再作用F1,

F2力2、三個(gè)力同時(shí)作用時(shí)任意截面的彎矩：變形能：(Mohr’sTheorem)桁架：二、普遍形式的莫爾定理(Generalformulaformohr’stheorem)注意：上式中Δ應(yīng)看成廣義位移，把單位力看成與廣義位移相對(duì)應(yīng)的廣義力.三、使用莫爾定理的注意事項(xiàng)⑤莫爾積分必須遍及整個(gè)結(jié)構(gòu).①

M(x)：結(jié)構(gòu)在原載荷下的內(nèi)力;③所加廣義單位力與所求廣義位移之積，必須為功的量綱;

——去掉主動(dòng)力，在所求廣義位移點(diǎn)，沿所求廣義位移的方向加廣義單位力時(shí)，結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的內(nèi)力;M④

與M(x)的坐標(biāo)系必須一致，每段桿的坐標(biāo)系可自由建立;M(x)A例題5抗彎剛度為EI的等截面簡支梁受均布荷載作用，用單位載荷法求梁中點(diǎn)的撓度fc

和支座A截面的轉(zhuǎn)角.剪力對(duì)彎曲的影響不計(jì).qBCll/2ql/2ql/2解：在實(shí)際荷載作用下，任一x

截面的彎矩為AAB11/21/2C(1)求C

截面的撓度在C點(diǎn)加一向下的單位力，任一x

截面的彎矩為xqBCll/2ql/2ql/2ql/2AAB11/l1/lx(2)求A截面的轉(zhuǎn)角在A截面加一單位力偶引起的x截面的彎矩為qCll/2（順時(shí)針）ql/2B例題6圖示外伸梁，其抗彎剛度為EI.用單位載荷法求C點(diǎn)的撓度和轉(zhuǎn)角.ACqF=qaa2aBAABCa2a1解：xAB:（1）求截面的撓度（在c

處加一單位力“1”）CqF=qaa2aRAx1/2BC:BAABCa2aCqF=qaa2aRA1/2xx1BABC:AB:(2)求C

截面的轉(zhuǎn)角(在c

處加一單位力偶）1xxABCa2axCqF=qaa2aRAx1/2（）例題7剛架的自由端A作用集中力F.剛架各段的抗彎剛度已于圖中標(biāo)出.不計(jì)剪力和軸力對(duì)位移的影響.計(jì)算A點(diǎn)的垂直位移及B截面的轉(zhuǎn)角.aABCFlEI1EI2解：(1)計(jì)算A點(diǎn)的垂直位移，在A點(diǎn)加垂直向下的單位力AB:BC:aABCFlEI1EI2xxABC1lEI1EI2xxa(2)計(jì)算B截面的轉(zhuǎn)角，在B上加一個(gè)單位力偶矩AB:BC:ABCFlEI1EI2xxaABClEI1EI2xxa（）1C例題8圖示剛架，兩桿的EI

和EA

分別相同，試求C點(diǎn)的水平位移.FabABFab1abxx解：在C點(diǎn)加一水平單位力ABBACCCB:xxAB:Fab1abxxABBACCxx例題9圖示為一水平面內(nèi)的曲桿，B

處為一剛性節(jié)點(diǎn),ABC=90°在C

處承受豎直力F，設(shè)兩桿的抗彎剛度和抗扭剛度分別是

EI

和GIp

，求C

點(diǎn)豎向的位移.ABCFabxx解：在C點(diǎn)加豎向單位力BC:ABCFabABC1abxxAB:xxABCFabABC1abxx例題10由三桿組成的剛架，B，C為剛性節(jié)點(diǎn)，三桿的抗彎剛度都是EI，試用單位載荷法求A1，A2兩點(diǎn)的相對(duì)位移.A1A2BCllFFx解：在A1，A2處加一對(duì)水平單位力.

B，C

兩支座的反力均為零.A1B：BC：CA2：xxA1A2BCllFFxxxA1A2BCll11例題11剛架受力如圖，求A截面的垂直位移，水平位移及轉(zhuǎn)角.ABCllqAB：BC：解：求A點(diǎn)鉛垂位移（在A點(diǎn)加豎向單位力）xxxxABCllqABCllq1求A點(diǎn)水平位移（在A點(diǎn)加水平單位力）AB：BC：xxxxABCllqABCllq1xx求A點(diǎn)的轉(zhuǎn)角（在A點(diǎn)加一單位力偶）AB：BC：xxABCllqABCllq1（）例題12圖示為一簡單桁架，其各桿的EI相等.在圖示荷載作用下，A，C兩節(jié)點(diǎn)間的相對(duì)位移.FaaFABCDE132456789aFaaABCDE132456789aFaaFABCDE132456789a桁架求位移的單位荷載法為1112345678桿件編號(hào)90-F-F-FF-2F010000aaaaaaa02Fa0000A，C兩點(diǎn)間的距離縮短.例題13計(jì)算圖（a）所示開口圓環(huán)在P力作用下切口的張開量ΔAB.EI=常數(shù).BAORFF(a)BARPF(b)BARP1(c)解：OO213設(shè)彈性結(jié)構(gòu)在支座的約束下無任何剛性位移.作用有外力：F1，F(xiàn)2，，F(xiàn)i

，相應(yīng)的位移為：1，

2，，

i

，§13-5卡氏定理(Castigliano’sTheorem)F1F2F3結(jié)構(gòu)的變形能只給Fi

一個(gè)增量Fi

.引起所有力的作用點(diǎn)沿力方向的位移增量為213F1F2F3在作用Fi

的過程中，F(xiàn)i

完成的功為原有的所有力完成的功為結(jié)構(gòu)應(yīng)變能的增量為如果把原來的力看作第一組力，而把Fi

看作第二組力.根椐互等定理略去高階微量或者當(dāng)Fi

趨于零時(shí)，上式為這就是卡氏第二定理(Castigliano’sSecondTheorem)（卡氏定理）

(Castigliano’sTheorem)(1)卡氏第二定理只適用于線性彈性體(Applyingonlytolinearlyelasticbodies).說明

(Directions)

(2)Fi

為廣義力（generalizedforce)

i

為相應(yīng)的位移(displacementcorrespondingtoforceFi

).一個(gè)力一個(gè)力偶一對(duì)力一對(duì)力偶一個(gè)線位移一個(gè)角位移相對(duì)線位移相對(duì)角位移卡氏第二定理的應(yīng)用(Applicationofcastigliano’ssecondtheorem)軸向拉、壓(Axialtensionandcompression)扭轉(zhuǎn)(Torsion)彎曲

(Bending)平面桁架

(Planetruss)組合變形(Combineddeformation)

例題14外伸梁受力如圖所示，已知彈性模量EI.梁材料為線彈性體.求梁C截面的撓度和A截面的轉(zhuǎn)角.FABCMelaRAAB：BC：ABClaRAFx1x2解：MeABClaRAFx1x2Me（）例題15剛架結(jié)構(gòu)如圖所示.彈性模量EI已知。材料為線彈性.不考慮軸力和剪力的影響，計(jì)算C截面的轉(zhuǎn)角和D截面的水平位移.ABCDaa2aMe解:在C截面虛設(shè)一力偶

Mc

,

在D截面虛設(shè)一水平力F.FRDFRAxFRAyMcFCD:CB:AB:xxABCDaa2aMexFRDFRAxFRAy2axxABCDaaMeFRDFRAxFRAy（）McF例題16圓截面桿ABC，（ABC=90°）位于水平平面內(nèi)，已知桿截面直徑d

及材料的彈性常數(shù)E,G.求C

截面處的鉛垂位移.不計(jì)剪力的影響.ABCllqBC：彎曲變形ABlQMBxABCllqFxxAB：彎曲與扭轉(zhuǎn)的組合變形（扭轉(zhuǎn)變形）（彎曲變形）例題17圖示剛架各段的抗彎剛度均為EI.不計(jì)軸力和剪力的影響.用卡氏第二定理求截面D

的水平位移D

和轉(zhuǎn)角D

.MeF1xFFABCDll2l解：在點(diǎn)虛設(shè)一力偶矩MeCD：彎曲變形但是軸力不計(jì)，因此橫截面上的內(nèi)力只計(jì)彎矩.FF1ABCF2FlMe將力F

向C

簡化得：力F（產(chǎn)生拉伸變形）力偶矩2Fl（產(chǎn)生彎曲變形）Me（產(chǎn)生彎曲變形）AC

產(chǎn)生拉伸與彎曲的組合變形.橫截面上的內(nèi)力有軸力和彎矩.F1xFFABCDll2lMe將Me

向C簡化得：FxBC段：BA段：FFABCDll2lxF2FlF1xMeMe§13-6

計(jì)算莫爾積分的圖乘法

(Themethodofmomentareasforthemohr’sintegration)在等直桿的情況下，莫爾積分中的EI、GIP、EA為常量，可提到積分號(hào)外面，只需計(jì)算,

因?yàn)槭怯蓡挝涣騿挝涣ε家鸬膹澗?故沿桿長方向的圖一般是由直線或折線組成.M(x)圖一般是曲線.M(x)M(x)ldxxcxcM(x)M(x)McMMωxcCM(x)xxl設(shè)在桿長為l的一段內(nèi)M(x)圖是曲線設(shè)直線方程是M(x)是直線，為l段內(nèi)圖M(x)的面積ωM(x)xlxωxcCC

為圖M(x)的形心，xc

為其坐標(biāo)為圖M(x)對(duì)y

軸坐標(biāo)的靜矩是和M(x)圖的形心對(duì)應(yīng)處的M(x)的值.M(x)xlxωxcC對(duì)于等直桿有即積分可用M(x)圖的面積ω

和與M(x)圖形心C對(duì)應(yīng)的的乘積來代替Mc當(dāng)M圖為正彎矩時(shí)，ω應(yīng)代以正號(hào).當(dāng)M圖為負(fù)彎矩時(shí)，ω應(yīng)代以負(fù)號(hào).也應(yīng)按彎矩符號(hào)給以正負(fù)號(hào).Mcb幾中常見圖形的面積和形心的計(jì)算公式alh三角形CClh頂點(diǎn)二次拋物線lh頂點(diǎn)cN

次拋物線lh頂點(diǎn)c二次拋物線3l/4l/4注意折線的轉(zhuǎn)折點(diǎn)為界，把積分分成幾段，逐段使用圖乘法，有時(shí)M(x)圖為連續(xù)光滑曲線，而為折線，則應(yīng)以M(x)然后求其和.例18均布荷載作用下的簡支梁，其EI

為常數(shù).

求跨中點(diǎn)的撓度.ABCql/2l/2FABCl/2l/2以圖的轉(zhuǎn)折點(diǎn)為界，分兩段使用圖乘法.M(x)C1C2ABCql/2l/2ABCFl/2l/2C1C2例19圖示梁，抗彎剛度為EI，承受均布載荷q及集中力F作用.用圖乘法求：

(1)集中力作用端撓度為零時(shí)的F值；

(2)集中力作用端轉(zhuǎn)角為零時(shí)的F值.FCABalqFCAB解：aalqMql2/8Fa1ABalCM

例20圖示開口剛架，EI=const.求A和B兩截面的相對(duì)角位移θAB

和沿F力作用線方向的相對(duì)線位移ΔAB.aaa/2a/2ABFFa/2Baaa/2A解：Fa/2a/2FFFa/2Fa/2a/2a/21A例21圖示剛架，EI=const.求A截面的水平位移ΔAH

和轉(zhuǎn)角θA.BAaaqa