第一章-概率與分布課件

第一章概率與分布【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解事件等的基本概念及運算關(guān)系，統(tǒng)計概率、主觀概率和概率的基本性質(zhì)。2.了解隨機變量及其分布函數(shù)的概念。3.掌握古典概率及計算，概率的加法公式、乘法公式及計算，條件概率與事件獨立性的概念及計算，離散型、連續(xù)型隨機變量的分布及性質(zhì)，數(shù)學(xué)期望和方差等常用數(shù)字特征及其性質(zhì)，二項分布、泊松分布、正態(tài)分布等分布的性質(zhì)及概率計算。4.（技能培養(yǎng)）學(xué)會用Excel計算二項分布、泊松分布、正態(tài)分布等常用分布的概率。案例1-1某種彩票每周開獎一次，每次中大獎的可能性是十萬分之一，若你每周買一張彩票，盡管你堅持了十年（每年52周），但是從未中過大獎。問題：買彩票十年從未中過大獎,該現(xiàn)象是否正常？案例1-2某地區(qū)流行某種傳染病，患者約占3%，為此該地區(qū)的某高校決定對全校5000名師生進行抽血化驗。現(xiàn)有兩個方案：（1）逐個化驗；（2）按5人一組分組，并將血液混在一起化驗，若發(fā)現(xiàn)有問題再對5人逐個化驗。問題：試比較哪種方案更好？第一節(jié)隨機事件和概率一、隨機事件為了研究隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性，我們把各種科學(xué)實驗或觀測等統(tǒng)稱為試驗（experiment）。如果試驗具有下列特點：（1）試驗可以在相同的條件下重復(fù)進行；（2）每次試驗的可能結(jié)果不止一個，并且能事先明確試驗的所有可能結(jié)果；（3）進行一次試驗之前不能確定哪一個結(jié)果會出現(xiàn)。稱這種試驗為隨機試驗（randomexperiment），簡稱試驗。

樣本空間（samplespace），記為

?；臼录╡lementalevent）或樣本點（samplepoint），記為ω。隨機事件(randomevent)，簡稱事件（event），通常用大寫字母A、B、C

表示。事件A發(fā)生。必然事件（certainevent），記為

。不可能事件（impossibleevent），記為

。二、事件間的關(guān)系和運算（一）事件的包含與相等（二）事件的和(或并)（三）事件的積(或交)（四）事件的差（五）互不相容事件（六）對立事件（七）事件的運算律（1）交換律：A+B=B+A；AB=BA。（2）結(jié)合律：(A+B)+C=A+(B+C)；(AB)C=A(BC)。（3）分配律：(A+B)C=AC+BC

；

A+(BC)=(A+B)(A+C)。（4）差積轉(zhuǎn)換律：（5）德·摩根(DeMorgan)對偶律：

事件式與事件的運算順序事件式（eventexpression）：以運算符號聯(lián)結(jié)起來的事件表示式。在事件式中，事件的運算順序：先求“對立”，再求“積”，最后求“和”、“差”，遇有括號，先算括號內(nèi)的。例1-3現(xiàn)從一批含有次品的藥品中連續(xù)抽取3件，設(shè)A、B、C分別表示抽取的第一件、第二件、第三件為合格品，試用A、B、C分別表示下列事件。（1）“只有一件合格”（2）“至少一件合格”（3）“3件都合格”（4）“3件全不合格”三、概率的定義定義1-1事件A發(fā)生的概率（probability）是事件A在試驗中出現(xiàn)的可能性大小的數(shù)值度量，用P(A)表示。（一）統(tǒng)計概率頻率的穩(wěn)定性

（stabilityofrelativefrequency）我國歷次普查中男性占的比例大致接近于0.515普查年份總?cè)丝谀行耘阅行哉伎側(cè)丝诘谋壤?9535943530799286360.518219646945835652338060.5133198210081851944488740.5152199011336858495548730.5160200012658365355612280.5163統(tǒng)計概率的定義例1-4例1-4（關(guān)于抽煙和肺癌的關(guān)系調(diào)查）在某城市隨機抽取10萬個40歲以上從不抽煙的男性和10萬個40歲以上抽煙的人，根據(jù)隨訪結(jié)果表明，前一組最后因肺癌死亡的是30個，而后一組是600個。因此我們得到：（二）古典概率定義1-4設(shè)隨機試驗具有如下兩個特征（1）樣本空間所含的基本事件只有有限個；（2）每一個基本事件發(fā)生的可能性相等則稱試驗所對應(yīng)的概率模型為古典概型（classicalprobabilitymodel）或有限等可能概型。古典概率的定義定義1-5對于給定的古典概型，若樣本空間中基本事件總數(shù)為m，而事件A包含其中的n個基本事件，則稱比值為事件A的古典概率（classicalprobability），記為P(A)，即實際求解古典概率問題時，往往需要用排列組合知識及概率性質(zhì)。例1-6已知10件藥品中有2件為次品。無放回的任取3件進行檢驗，求取出3件中恰有1件次品的概率。（三）主觀概率定義1-6人們根據(jù)自己的經(jīng)驗和所掌握的多方面信息，對事件發(fā)生的可能性大小加以主觀的估計，由此確定的概率稱為主觀概率（subjectiveprobability）。（四）概率的基本性質(zhì)1.（非負性）對任一事件A,有0≤P(A)≤1；2.（規(guī)范性）必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0，即P()＝1，P()＝0；3.（可列可加性）對于兩兩互不相容事件

A1,A2,…,An,…,(AiAj=,ij)，有

P(A1+A2+…+An+…)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)+…四、概率的加法公式定理1-1（一般加法公式）對于任意兩個事件A、BP(A+B)=P(A)+P(B)－P(AB)推論1-1（互不相容事件加法公式）如果事件A與B互不相容，即AB=，則有P(A+B)=P(A)+P(B)

如果A1,A2,…,An是兩兩互不相容的事件，則有P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)。推論1-2（對立事件公式）對事件A及其對立事件，有P(A)=1－P()，P()=1－P(A)。推論1-3（事件之差公式）對任意兩個事件A、B，有P(A

－B)=P(A)－P(AB)

特別地，當(dāng)AB時，有P(A

－

B)=P(A)－P(B)例1-7例1-7在某一特定的人群中研究患糖尿病和高血壓兩種疾病的關(guān)系，已知有5%的人患糖尿病,4%的人患高血壓,其中有1%的人既患糖尿病又患高血壓?，F(xiàn)從中任取一人，試求：（1）被抽查到的人患糖尿病或高血壓的概率；（2）被抽查到的人既非糖尿病又非高血壓的概率五、條件概率與事件的獨立性（一）條件概率定義1-7設(shè)A、B是兩個事件，且P(A)>0

，稱

為在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的條件概率（conditionalprobability）。例1-9某藥廠生產(chǎn)一批藥品共20件，其中有18件是合格藥品，從這些藥品中不放回地連續(xù)取兩次，每次取一件藥品。求在第一次取得合格藥品的條件下，第二次取得合格藥品的概率。（二）概率的乘法公式（三）事件的獨立性定義1-8設(shè)

A、B是兩個隨機事件，如果P(AB)=P(A)P(B)則稱事件

A與

B是相互獨立的，簡稱獨立。定理1-3

（1）如果P(A)>0（或P(B)>0）,則事件A

與B

獨立的充要條件是

P(B|A)=P(B)（或P(A|B)=P(A)）；（2）若A與B相互獨立，則A與，與B，與也相互獨立。定理1-4

（1）A、B事件相互獨立的充要條件是

P(A|B)=P(A)具體應(yīng)用時，通常先由實際意義判斷事件A與B的相互獨立性，再利用上述獨立事件公式P(AB)=P(A)P(B)來計算事件A、B同時發(fā)生的概率。

例1-10

甲乙兩人獨立射擊同一目標(biāo)，已知甲擊中目標(biāo)的概率是0.7，乙擊中目標(biāo)的概率是0.6，求（1）甲、乙兩人都擊中目標(biāo)的概率；（2）甲、乙兩人中至少一人擊中目標(biāo)的概率。案例1-1某種彩票每周開獎一次，每次中大獎的可能性是十萬分之一，若你每周買一張彩票，盡管你堅持了十年（每年52周），但是從未中過大獎。問題：買彩票十年從未中過大獎,該現(xiàn)象是否正常？第二節(jié)隨機變量及其分布一、隨機變量二、離散型隨機變量及其分布例1-12一批藥品共10件，其中有兩件不合格，現(xiàn)在接連進行不放回抽樣，每次抽一個，直到抽到合格藥品為止。求抽取次數(shù)的概率分布。三、連續(xù)型隨機變量及其分布連續(xù)型隨機變量X的性質(zhì)例1-13四、隨機變量的數(shù)字特征隨機變量的某些概率特征的數(shù)字為隨機變量的數(shù)字特征(numericalcharacteristic)（一）數(shù)學(xué)期望例1-15例1-16數(shù)學(xué)期望的重要性質(zhì)：案例1-2

某地區(qū)流行某種傳染病，患者約占3%，為此該地區(qū)的某高校決定對全校5000名師生進行抽血化驗。現(xiàn)有兩個方案：（1）逐個化驗；（2）按5人一組分組，并將血液混在一起化驗，若發(fā)現(xiàn)有問題再對5人逐個化驗。問題：試比較哪種方案更好？（二）方差方差的定義公式例1-17方差的重要公式例1-18方差的重要性質(zhì)例1-19第三節(jié)常見隨機變量的分布一、二