信號(hào)與系統(tǒng)課件 第七章 系統(tǒng)函數(shù)

第七章系統(tǒng)函數(shù)§7.1系統(tǒng)函數(shù)與系統(tǒng)特性

系統(tǒng)函數(shù)的零、極點(diǎn)分布圖系統(tǒng)函數(shù)H(·)與系統(tǒng)的因果性系統(tǒng)函數(shù)與時(shí)域響應(yīng)系統(tǒng)函數(shù)與頻率響應(yīng)一、系統(tǒng)函數(shù)的零、極點(diǎn)分布圖LTI系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)是復(fù)變量s或z的有理分式，即A(.)=0的根p1，p2，…，pn稱為系統(tǒng)函數(shù)H(.)的極點(diǎn)；B(.)=0的根1，2，…，m稱為系統(tǒng)函數(shù)H(.)的零點(diǎn)。將零極點(diǎn)畫在復(fù)平面上得零、極點(diǎn)分布圖。例例：已知H(s)的零、極點(diǎn)分布圖如圖示，并且h(0+)=2。解：由分布圖可得根據(jù)初值定理，有求：H(s)的表達(dá)式。二、系統(tǒng)函數(shù)H(·)與系統(tǒng)的因果性因果系統(tǒng)是指：系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yzs(.)不會(huì)出現(xiàn)于f(.)連續(xù)因果系統(tǒng)的充分必要條件是：沖激響應(yīng)h(t)=0,t<0或者，系統(tǒng)函數(shù)H(s)的收斂域?yàn)椋篟e[s]>σ0

離散因果系統(tǒng)的充分必要條件是：?jiǎn)挝豁憫?yīng)h(k)=0,k<0或者，系統(tǒng)函數(shù)H(z)的收斂域?yàn)椋簗z|>ρ0

之前的系統(tǒng)。三、系統(tǒng)函數(shù)H(·)與時(shí)域響應(yīng)h(·)

沖激響應(yīng)或單位序列響應(yīng)h(·)的函數(shù)形式:由H(·)的下面討論H(·)極點(diǎn)的位置與其時(shí)域響應(yīng)的函數(shù)形式:所討論系統(tǒng)均為因果系統(tǒng)。1．連續(xù)因果系統(tǒng)

H(s)按其極點(diǎn)在s平面上的位置可分為:在左半開平面、虛軸和右半開平面三類。

（1）在左半平面

若系統(tǒng)函數(shù)有負(fù)實(shí)單極點(diǎn)p=–α(α>0)，則A(s)中有因子(s+α)，其所對(duì)應(yīng)的響應(yīng)函數(shù)為Ke-αtε(t)極點(diǎn)確定。

(b)若有一對(duì)共軛復(fù)極點(diǎn)p12=-α±jβ，則A(s)中有因子[(s+α)2+β2]Ke-αtcos(βt+θ)ε(t)

(c)若有r重極點(diǎn)，則A(s)中有因子(s+α)r或[(s+α)2+β2]r，其響應(yīng)為Kitie-αtε(t)或Kitie-αtcos(βt+θ)ε(t)(i=0,1,2,…,r-1)

以上三種情況：當(dāng)t→∞時(shí)，響應(yīng)均趨于0→暫態(tài)分量。系統(tǒng)函數(shù)H(·)與時(shí)域響應(yīng)h(·)

系統(tǒng)的穩(wěn)定性如何？

系統(tǒng)穩(wěn)定性問題？

系統(tǒng)的穩(wěn)定性如何？

系統(tǒng)穩(wěn)定：若系統(tǒng)對(duì)所有的激勵(lì)|f(.)|≤Mf，其零狀態(tài)

響應(yīng)|yzs(.)|≤My(M為有限常數(shù)），則稱該系統(tǒng)穩(wěn)定。

（2）在虛軸上

(a)單極點(diǎn)p=0或p12=±jβ，則響應(yīng)為Kε(t)或Kcos(βt+θ)ε(t)→穩(wěn)態(tài)分量

(b)

r重極點(diǎn)，相應(yīng)A(s)中有sr或(s2+β2)r，其響應(yīng)函數(shù)為L(zhǎng)TI連續(xù)因果系統(tǒng)的h(t)的函數(shù)形式由H(s)的

①H(s)在左半平面的極點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的響應(yīng)函數(shù)為衰減②H(s)在虛軸上的一階極點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的響應(yīng)函數(shù)為穩(wěn)③H(s)在虛軸上的高階極點(diǎn)或右半平面上的極點(diǎn)，其（3）在右半開平面：均為遞增函數(shù)。

Kitiε(t)或Kiticos(βt+θ)ε(t)(i=0,1,2,…,r-1)→遞增函數(shù)

的。即當(dāng)t→∞時(shí)，響應(yīng)均趨于0。穩(wěn)定態(tài)分量。穩(wěn)定③H(s)在虛軸上的高階極點(diǎn)或右半平面上的極點(diǎn)，其所對(duì)應(yīng)的響應(yīng)函數(shù)都是遞增的。即當(dāng)t→∞時(shí)，響應(yīng)均趨于∞。不穩(wěn)定極點(diǎn)確定。結(jié)論復(fù)習(xí)：s域與z域的關(guān)系

z=esT

式中T為取樣周期如果將s表示為直角坐標(biāo)形式s=+j，將z表示為極坐標(biāo)形式z=ej=eT，=T由上式可看出：s平面的左半平面（<0)--->z平面的單位圓內(nèi)部（z=<1)s平面的右半平面（>0)--->z平面的單位圓外部（z=>1)s平面的j軸（=0)--->z平面中的單位圓上（z==1)s平面上實(shí)軸（=0)--->z平面的正實(shí)軸（=0)s平面上的原點(diǎn)（=0，=0）---->z平面上z=1的點(diǎn)（=1，=0）2．離散因果系統(tǒng)

H(z)按其極點(diǎn)在z平面上的位置可分為:在單位圓內(nèi)、在單位圓上和在單位圓外三類。根據(jù)z平面與s平面的影射關(guān)系，得結(jié)論：①H(z)在單位圓內(nèi)的極點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的響應(yīng)序列為衰減的。即當(dāng)k→∞時(shí)，響應(yīng)均趨于0。穩(wěn)定

②H(z)在單位圓上的一階極點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的響應(yīng)函數(shù)為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。穩(wěn)定

③H(z)在單位圓上的高階極點(diǎn)或單位圓外的極點(diǎn)，其所對(duì)應(yīng)的響應(yīng)序列都是遞增的。即當(dāng)k→∞時(shí)，響應(yīng)均趨于∞。不穩(wěn)定

分析連續(xù)系統(tǒng)如果全在左半開平面，則四、系統(tǒng)函數(shù)與頻域響應(yīng)

對(duì)任意極點(diǎn)和零點(diǎn)，令差矢量其中——差矢量的模——差矢量的幅角代入得例7.1-1粗略畫出二階系統(tǒng)函數(shù)的幅頻、相頻特性。解：上式的零點(diǎn)位于s=0，其極點(diǎn)在代入當(dāng)從隨之變化，得幅頻特性曲線、相頻特性曲線。由于>0，極點(diǎn)在左半開平面，H(s)在虛軸上收斂。頻率響應(yīng)令得全通函數(shù)如果系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)|H(jω)|對(duì)所有的ω均為常數(shù)，則稱該系統(tǒng)為全通系統(tǒng)，其相應(yīng)的系統(tǒng)函數(shù)稱為全通函數(shù)。以二階系統(tǒng)為例：二階全通系統(tǒng)的零點(diǎn)和極點(diǎn)對(duì)于jω軸是鏡像對(duì)稱的。其系統(tǒng)函數(shù)可寫為：幅頻相頻上述幅頻響應(yīng)為常數(shù)的系統(tǒng)，對(duì)所有頻率的正弦信號(hào)都一律平等地傳輸，因而被稱為全通系統(tǒng)，全通系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)稱為全通函數(shù)。由以上討論可知，凡極點(diǎn)位于左半開平面，零點(diǎn)位于右半開平面，且所有的零點(diǎn)與極點(diǎn)為一一鏡像對(duì)稱于的系統(tǒng)函數(shù)即為全通函數(shù)。最小相移函數(shù)如有一系統(tǒng)函數(shù)：兩個(gè)極點(diǎn)和，兩個(gè)零點(diǎn)和，它們都在左半開平面。另一系統(tǒng)函數(shù)具有同樣的幅頻特性，但相頻特性不同。

對(duì)于具有相同幅頻特性的系統(tǒng)函數(shù)而言，零點(diǎn)位于左半開平面的系統(tǒng)函數(shù)，其相頻特性最小，故稱為最小相移函數(shù)。右半開平面沒有零點(diǎn)的系統(tǒng)函數(shù)稱為最小相移函數(shù)。相應(yīng)的網(wǎng)絡(luò)稱為最小相移網(wǎng)絡(luò)。非最小相移函數(shù)——右半開平面有零點(diǎn)的系統(tǒng)函數(shù)。

任意非最小相移函數(shù)都可以表示為最小相移函數(shù)與全通函數(shù)的乘積。最小相移全通

§7.2系統(tǒng)的因果性與穩(wěn)定性一、系統(tǒng)的因果性如果系統(tǒng)滿足條件就稱此系統(tǒng)為因果系統(tǒng)，否則是非因果系統(tǒng)。連續(xù)因果系統(tǒng)的充要條件：因果系統(tǒng)是指：系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yzs(.)不會(huì)出現(xiàn)于f(.)之前的系統(tǒng)。

即收斂域?yàn)槭諗孔鴺?biāo)以右的半平面，換言之，系統(tǒng)函數(shù)的極點(diǎn)都在收斂軸Re[s]=的左邊。證明：（1）必要性設(shè)系統(tǒng)輸入，顯然，在。這時(shí)的零狀態(tài)響應(yīng)為，所以，若系統(tǒng)是因果的，則必有。證明了必要性。對(duì)任意激勵(lì)，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)

時(shí)，那么當(dāng)時(shí)，上式為零，當(dāng)時(shí)，上式為即時(shí)，。證明了充分性。二、系統(tǒng)的穩(wěn)定性對(duì)任意的有界輸入，其零狀態(tài)響應(yīng)也是有界的，稱為有界輸入有界輸出（BIBO）穩(wěn)定的系統(tǒng)，簡(jiǎn)稱穩(wěn)定系統(tǒng)。系統(tǒng)對(duì)于所有激勵(lì),有，則稱系統(tǒng)是穩(wěn)定的。例如連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)正指數(shù)項(xiàng)隨時(shí)間增長(zhǎng)而不斷增大。連續(xù)穩(wěn)定系統(tǒng)的充要條件：證明：（1）充分性

（2）必要性若無界，至少有某個(gè)有界輸入將產(chǎn)生無界輸出。選輸入函數(shù)于是有。由于令，有表明，若無界，則至少無界。證明了必要性。穩(wěn)定、因果（連續(xù)）H(s)極點(diǎn)都在左半開平面離散穩(wěn)定系統(tǒng)的充要條件：例7.2-1如圖所示反饋系統(tǒng)，子系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)當(dāng)常數(shù)滿足什么條件時(shí)，系統(tǒng)是穩(wěn)定的？解：加法器輸出信號(hào)系統(tǒng)輸出得極點(diǎn)極點(diǎn)在左半開平面