模n的剩余類環(huán)的子環(huán)

安慶師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院2012屆畢業(yè)論文第4頁共15頁模的剩余類環(huán)的子環(huán)作者：***指導(dǎo)老師：***摘要：模剩余類環(huán)是一種比較透徹的特殊環(huán)，模的剩余類環(huán)為有限可換環(huán)、整環(huán)及域都提供了豐富的例證，剩余類環(huán)對(duì)Euler函數(shù)關(guān)系式、Eisemstein判別法、整數(shù)多項(xiàng)式無整數(shù)根、Euler定理及Fermat小定理等數(shù)論的古典結(jié)果給出純代數(shù)的證明.并從代數(shù)的角度觀察熟知完全及簡(jiǎn)化剩余系的一些性質(zhì).關(guān)鍵字：模剩余類環(huán)的子環(huán)冪等元理想1引言環(huán)是有兩個(gè)二元運(yùn)算建立在群的基礎(chǔ)上的一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)，因此它的許多基本概念與理論是群的相應(yīng)內(nèi)容的推廣，同時(shí)環(huán)也有一些特殊的問題，例如因子分解問題等.2模的剩余類環(huán)的子環(huán)的性質(zhì)和運(yùn)用2.1基本概念定義2.1.1任取正整數(shù),令則為個(gè)剩余類的集合，對(duì)任意，規(guī)定，，則關(guān)于這兩個(gè)運(yùn)算做成一個(gè)環(huán),且是一個(gè)具有單位元的交換環(huán),稱之為以為模的剩余類環(huán),或簡(jiǎn)稱模剩余類環(huán).定義2.1.2對(duì)任意,若類中有一個(gè)整數(shù)與互素,則這個(gè)類中所有整數(shù)均同互素,因此稱類與互素.定義2.1.3稱環(huán)的一個(gè)非空子集叫做的一個(gè)理想子環(huán),假如:(i),(ii),在代數(shù)運(yùn)算中,我們都知道若,,則必有,相反若,則必有或成立,而在環(huán)中是否還存在這樣的運(yùn)算性質(zhì)呢?我們有：定義2.1.4模剩余環(huán)中,如果任意元,,但,那么稱為的一個(gè)左零因子,為的一個(gè)右零因子,若的左零因子與右零因子都為,稱為的零因子.定義2.1.5一個(gè)環(huán)中若有元素使得,有,那么稱元素叫做環(huán)的單位元，記作1.定義2.1.6在環(huán)中,如果,滿足:任意,有,則稱是中的逆元，且與互逆.定義2.1.7設(shè)為任意一個(gè)環(huán),而是的理想.那么稱作關(guān)于理想的剩余類環(huán)(也叫商環(huán)或差環(huán)),其中中,每個(gè)元素叫作模的剩余類.定義2.1.8模剩余環(huán)的乘法群(當(dāng)為素?cái)?shù),中的所有非零元作成乘法群,當(dāng)為合數(shù),中的所有可逆元作成乘法群)中,適合的元素稱為環(huán)的一個(gè)冪等元.定義2.1.9設(shè),若存在使得,則稱整除,記為,稱為的因數(shù),而稱為的倍數(shù).否則,稱不整除.2.2剩余類環(huán)的基本性質(zhì)定理2.2.1在模剩余環(huán)中,若,則有.定理2.2.2在中,每個(gè)元素的倍均為零.即.定理2.2.3設(shè),則的充要條件為.2.3剩余類環(huán)的一般性質(zhì)利用已有的定義和基本性質(zhì),可以得出模剩余環(huán)的更一般的一些性質(zhì).模剩余環(huán)是交換環(huán).在模剩余環(huán)中,所有左右零因子都是其零因子.取，則因?yàn)樗远徽使什皇钦麛?shù)，無單位元.命題3.2.2若，是素?cái)?shù)，是大于1的正整數(shù)，當(dāng)時(shí).的階子環(huán)是域；且；當(dāng)時(shí)，的階子環(huán)是零環(huán).證明的階子環(huán)當(dāng)時(shí)，所以是零環(huán).當(dāng)時(shí)，若，只要時(shí)，，所以有，即是無零因子環(huán)，又有限，所以是域.設(shè)是的單位元，則，有即，取，得.因?yàn)闉檎麛?shù)，只要適當(dāng)選取使為整數(shù)，即可求得單位元.命題3.2.3設(shè)，其中是合數(shù)，，則的階子環(huán)是含零因子的無單位元的環(huán).證明因是合數(shù)，設(shè)，的階子環(huán)，取，，則，故含有零因子.設(shè)有單位元，,有，即，設(shè)時(shí)，在取，，如有整數(shù)解，即整數(shù)方程中有整數(shù)解，所以方程有整數(shù)解的充要條件為，與假設(shè)矛盾，所以無單位元.設(shè)，在式中取，，，有整數(shù)解即為整系數(shù)方程有整數(shù)解，有整數(shù)解的充要條件是：.因，故不整除與假設(shè)矛盾，故無單位元.我們還相應(yīng)的討論了商環(huán)在什么條件下是域或是有零因子無單位元的環(huán).命題3.2.4設(shè)是正整數(shù)，是由生成的環(huán)，則商環(huán)（是正整數(shù)，且）是含零因子，無單位元的環(huán).證明當(dāng)時(shí)，是有限零環(huán).事實(shí)上，，，，當(dāng)時(shí)，取，，所以是含零因子的環(huán).設(shè)有單位元，則,有，即,取，,因?yàn)椋?所以不存在整數(shù)，故無單位元.命題3.2.5設(shè)是正整數(shù)，是素?cái)?shù)，是由生成的環(huán)，則商環(huán)，當(dāng)時(shí)是域且，當(dāng)時(shí)是零環(huán).證明設(shè),時(shí)，，，,如果,因?yàn)椋?當(dāng)時(shí)，即,所以是無零以你的環(huán)，中消去率成立，又是有限，所以是域.設(shè)是的單位元，，有對(duì)應(yīng)于,即可得.時(shí)，，,，所以是零環(huán).命題3.2.6設(shè)是正整數(shù)，且是合數(shù)，，是由生成的環(huán)，則商環(huán)是含零因子無單位元的環(huán).證明是階環(huán).設(shè)，，，取，，則所以是有零因子的環(huán).設(shè)有單位元，有，即所以(*)當(dāng)時(shí)，在(*)式中取，，即找到正整數(shù)使得，有整數(shù)解的充要條件是，而與假設(shè)矛盾，所以無單位元.4模的剩余類環(huán)，對(duì)冪等元的存在4.1設(shè)是一個(gè)模的剩余類環(huán)，考察中的乘法群（當(dāng)為素?cái)?shù)，中非零元作成乘法群;當(dāng)為合數(shù)則有中可逆的元作成乘法群），我們首先定義如下.定義：群中適合=的元素稱為環(huán)的一個(gè)冪等元由定義可知群中的單位元是的一個(gè)冪等元，且顯然有反之，若是環(huán)的一個(gè)冪等元，則必是的一個(gè)乘法群的單位元;例如是一元群的單位元.在一個(gè)低階的模的剩余類環(huán)，例如中，不難通過測(cè)試的方法確定其冪等元；一般地，在模的剩余類環(huán)中則可如下考慮.設(shè)施環(huán)中的一個(gè)冪等元，那么，我們有（1）因而（2）即和是互素的、相鄰的整數(shù)；且若為整數(shù)，有，若為合數(shù)，不妨設(shè)n=，不考慮的冪等元（即e既非環(huán)的零元也非單位元），或?qū)⒎謩e是的因子的倍數(shù)；此時(shí)可考慮取該因子的倍數(shù)判斷是否為環(huán)的冪等元.例如，設(shè)，于是在中若是取，則首先我們有9（9-1）0或者即是中的一個(gè)冪等元；其次，由于9和（9-1）=8互素，故在上式兩端分別加上，則可推算出并得到適合（2）式得兩個(gè)相鄰整數(shù)64和63，于是由，又可得到中的另一個(gè)冪等元10.對(duì)于上述中的兩個(gè)冪等元9和10，容易看出它們還具有如下有趣的性質(zhì)：10+91（），1090()因而，我們有如下4.2命題：設(shè)R是一個(gè)有單位元的環(huán)，是的非零非單位元的冪等元，則也是的冪等元，且具有性質(zhì)：.證明事實(shí)上，由是的一個(gè)冪等元；又，.于是命題得證.運(yùn)用該命題，我們已經(jīng)可以容易地從中的一個(gè)非零非單位元冪等元求出另一個(gè)冪等元例：已知=13是的一個(gè)冪等元,則由F=1-e=1-13=-12=14(modn)故=14也是的一個(gè)冪等元由命題，我們還可以得出關(guān)于中的冪等元與元素之間另一關(guān)系的如下結(jié)果：設(shè)n=,且冪等元是或其倍數(shù)，則中每一個(gè)元素均可表為中冪等元和的唯一組合：（**）其中冪等元的系數(shù),而冪等元的系數(shù),例如：在上述中，=26=132,冪等元為13；任取=17,則由（**）有其中，而.以上討論了模的剩余類環(huán)中冪等元的存在和求法，那么，對(duì)于給定的一個(gè)整數(shù)，可以是哪一個(gè)模的剩余類環(huán)的冪等元呢？若要為的冪等元，則應(yīng)有：于是對(duì)于給定的一個(gè)整數(shù)，取定一個(gè)的因子,便可在模的最小非負(fù)剩余系中確定以為冪等元的包含于的群，為此，對(duì)于,令（4）則(1)Zn中以，冪等元為單位元的乘法群；(2)R中屬于G的元必須是一個(gè)關(guān)于R和G共同的單位元的的有逆元的元.為此，令：,則是一個(gè)滿足要求的、由R的可逆元作成、包含冪等元的乘法群.例：設(shè)=25，則n是的一個(gè)因子，不妨設(shè)=30，則顯然有，而由（4）式得：不難判斷R中關(guān)于單位元=25的可逆元為5,25，因此為所求中包含冪等元=25的乘法群.至此，上述對(duì)于模n的剩余類環(huán)及其乘法群的一些討論，闡述了群與環(huán)的部分關(guān)系;有群的單位元導(dǎo)出了冪等元，并給出了如何在中去確定冪等元；反之，對(duì)于給定的一個(gè)整數(shù)，也可以確定以其為冪等元的換及其所構(gòu)成的乘法群.5模剩余類環(huán)的理想結(jié)論：
模剩余類環(huán)的所有理想都是主理想.證明：對(duì)循環(huán)子群(對(duì)加法),,根據(jù)理想的定義,有;,同理;所以做為一個(gè)理想,顯然是主理想.由定理上敘定理的證明過程可以看出:所有循環(huán)子群(對(duì)加法)加上乘法都是模剩余類環(huán)的主理想.定理5.1環(huán)有且只有T()個(gè)子環(huán)(其中T()表示的正因子的個(gè)數(shù)),而且是一個(gè)階循環(huán)環(huán),從而其子加群、子環(huán)、理想是一致的.定理5.2設(shè)是模剩余類環(huán),則若是素?cái)?shù),是域,則只有零理想和單位理想;是域充分必要條件是()是的極大理想.證明(1)顯然成立.（2）由上述定理6知是域充分必要條件是為素?cái)?shù).因此只須證明()是的極大理想的充分必要條件是為素?cái)?shù).由于是有單位元的交換環(huán),設(shè)主理想.若()為極大理想,如果不是素?cái)?shù),則必有,于是,但,是的真包含()的理想.由()為極大理想知.但矛盾,所以是素?cái)?shù).反之,設(shè)是素?cái)?shù),是的理想,且,則存在.因?yàn)槭撬財(cái)?shù),所以與互素.于是存在,使,由可知因?yàn)?所以(n)是極大理想在模剩余類加群及其子群中，是單位元（有時(shí)也稱零元），的逆元是.但在模剩余類環(huán)中，必稱零元，的負(fù)元記作.又知“是的可逆元”，“是的零因子（注意這里）.6剩余類環(huán)的應(yīng)用本節(jié)將利剩余類環(huán)對(duì)Euler函數(shù)關(guān)系式、Eisenstein判別法、整系數(shù)多項(xiàng)式無整數(shù)根、Euler定理及Fermat小定理等數(shù)論的古典結(jié)果給出純代數(shù)的證明.并從代數(shù)的角度觀察熟知完全及簡(jiǎn)化剩余系的一些性質(zhì).定理6.1(Euler函數(shù)關(guān)系式)為Euler函數(shù)當(dāng)時(shí),有.證時(shí),而,,,所以.注:為方便起見下面出現(xiàn)的函數(shù),都是Euler函數(shù).定理6.2(Eisenstein判別法):設(shè)是一個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式,如果有一個(gè)質(zhì)數(shù),使得滿足條件:P不整除;P|();不整除,那么在中不可約.證首先令,其中表示的模剩余類.現(xiàn)反設(shè)在中可約,其中.,.于是,另一方面.因|()不整除,故,于是有,，這說明的常數(shù)項(xiàng),的常數(shù)項(xiàng),那么|且|,所以|,這與不整除矛盾,故不可約.定理6.3(整系數(shù)多項(xiàng)式無整數(shù)根):設(shè)是整系數(shù)多項(xiàng)式,且及都是奇數(shù),則無整數(shù)根.證令,其中表示的模2剩余類,反設(shè)有一整數(shù)根.而或,若,則有,故有2|矛盾.若,則有,故2|,矛盾.故反設(shè)不成立,即無整數(shù)根.定理6.4(Euler定理)設(shè)是大于1的整數(shù),,則.證因,又,a-∈U(Z/(n)),但單位群的階為,所以,即,所以).定理6.5(Fermat小定理)若是質(zhì)數(shù),則.證若,由Euler定理及,即得,因而,若,則,故.下面從代數(shù)的角度觀察完全及簡(jiǎn)化剩余性質(zhì).定理6.6設(shè)為模的完全剩余系,則也是模的完全剩余系.證由題設(shè)知,而從得可逆,故有,從而也是模的完全剩余系.定理6.7設(shè)為模的簡(jiǎn)化剩余系,則也是模的簡(jiǎn)化剩余系.證由題設(shè)知,又因,得知可逆,故,從而是模的簡(jiǎn)化剩余系.結(jié)束語模剩余類環(huán)是一種比較透徹的特殊環(huán)，模的剩余類環(huán)為有限可換環(huán)、整環(huán)及域都提供了豐富的例證.模剩余類環(huán)的所有理想是主理想，并且它們都可由的所有因子作為生成元生成的(或者由與其所有因子的差作為生成元生成)，它們的個(gè)數(shù)都為的歐拉數(shù).使我們得以迅速求解其子環(huán)和理想.且當(dāng)是素?cái)?shù)時(shí)，模剩余類環(huán)只有零理想和單位理想.參考文獻(xiàn)[1]朱德高.關(guān)于模n剩余類環(huán)[J].高等函授學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),1996,(02).

[2]唐再良.論模n剩余類環(huán)Z_n的性質(zhì)與擴(kuò)張[J].綿陽師范學(xué)院學(xué)報(bào),2008,(08).

[3]陳水林.Z/(n)模n剩余類環(huán)的構(gòu)造[J].咸寧師專學(xué)報(bào),1994,(04).

[4]單桂華,張琴,葉濤.模n的剩余類Z/(n)的幾點(diǎn)應(yīng)用[J].湖南大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),1999,(S1).

[5]楊樹生.模n的剩余類加群(Z_n,+)及模n剩余類環(huán)(Z_n,+,·)的若干性質(zhì)[J].河套大學(xué)學(xué)報(bào),2004,(01).

[6]李曉毅,黃鳳琴.循環(huán)群中剩余類加群的討論[J].沈陽師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2003,(03).

[7]李伯葓.模n的剩余類環(huán)的子環(huán)[J].南京師大學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),1992,(03).

[8]韓清,胡永忠.剩余類環(huán)上的二階可逆矩陣[J].佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2002,(01).

[9]陳欣,李保紅.模n剩余類環(huán)中元素的周期分布規(guī)律[J].HYPERLINK