數(shù)分課件bit84重積分應(yīng)用

期中考試時間定于5月5日，考試范圍6，7，8章(具體時間，地點另通知）往年期中試卷在公共郵箱含參積分連續(xù)性表明:定義在閉矩形域上的連續(xù)函數(shù),其極限運算與積分運算的順序是可交換的.即對任意x0

?

[a,b],balimxfi

x0f

(x,

y)

d

y

=balim

f

(x,

y)

d

yxfi

x0機動目錄上頁下頁返回結(jié)束含參積分可積性表明:累次積分可交換求積順序,220y

cos(xy)

d

y例：limxfi

010ln

xabd

x

(0

<

a

<

b).x

-

x例.

求I

=bayx

d

y解:

由被積函數(shù)的特點想到積分:y=

ln

x

a

ln

xx

b

xb

-

xa=bayx

d

yd

x10\

I

=yb

1=

a

d

y0

xd

y0d

x

=

a

y

+1

b

x

y+1

11a

y

+1b=

a

+1d

y

=

ln

b

+1(x

y

在[0,1]·[a,b]上連續(xù))機動目錄上頁下頁返回結(jié)束矩形域R

=[a,b]·[定理3.

(可導(dǎo)性)若f

(x,y)及其偏導(dǎo)數(shù)f

x

(x,y)都在baf

(x,

y)

d

ya

,b]上連續(xù),則j

(x)=在[a,b]上連續(xù)可連,且d

xj

￠(x)

=

dbf

(x,

y)

d

y

=aaxbf

(x,

y)

d

y證:令bag(x)

=f

x

(x,y)dy,則g(x)是[a,b]上的連續(xù)函數(shù),故當(dāng)x

?

[a,b]時,axf

(x,

y)

d

y

]d

xa

x

x

bg(x)

d

x

=

[a[f

(x,

y)

d

x

]d

ya

?x?=b

xa機動目錄上頁下頁返回結(jié)束[f

(x,

y)

-

f

(a,

y)

]d

ybaj

(x)

=

g(x)xag(x)

d

x

=

===

j

(x)

-j

(a)因上式左邊的變上限積分可導(dǎo),因此右邊j

(x)可微，且有baf

x

(x,

y)

d

y此定理說明,被積函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)在閉矩形域上連續(xù)時,

求導(dǎo)與求積運算是可以交換順序的

.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例.10d

x.1

+

x2ln(1

+

x)求I

=解:

考慮含參變量

t

的積分所確定的函數(shù)10d

x.1

+

x2ln(1

+

x)j

(t)

=t顯然,ln(1

+t

x)在[0,1]·[0,1]上連續(xù),j

(0)=0,j

(1)=I

,由于xd

x0

(1

+

x2

)(1

+

t

x)1

+

x21j

￠(t)

=

[tt]d

x1

x101

+

t

x-1

+

x2+1

+

t

2

1

+

x2=機動目錄上頁下頁返回結(jié)束21[1

ln(1

+

x2

)

+

t

arctan

x

-

ln(1

+

t

x)=102

41

+

t

211

+

t

2=

[1

ln

2

+

p

t

-

ln(1

+

t)10

1

+

t

21I

=

j

(1)

-j

(0)

=

[1

ln

2

+

p

t

-

ln(1

+

t)

]d

t2

40112=0128ln

2

arctan

t

+

ln(1

+

t

)pd

t101

+

t

2ln(1

+

t)-

4=

p

ln

2

-

I故8I

=

p

ln

2因此得機動目錄上頁下頁返回結(jié)束二、積分限含參變量的積分在實際問題中,常遇到積分限含參變量的情形,例如,設(shè)f

(x,y)為定義在區(qū)域a

(x)

￡

y

￡

b(x)a

￡

x

￡

boyb

xay=a

(x)y

=

b(x)D上的連續(xù)函數(shù),

則f

(x,

y)

d

yb

(

x)a

(

x)j

(x)

=D

:也是參變量x

的函數(shù),其定義域為[a

,b

].利用前面的定理可推出這種含參積分的性質(zhì).機動目錄上頁下頁返回結(jié)束定理4.(連續(xù)性)若f

(x,y)在區(qū)域D

:{(

x,

y)

a

(x)

￡

y

￡

b

(x),

a

￡

x

￡

b}f

(x,

y)

d

y上連續(xù),其中a

(x),b(x)為[a,b]上的連續(xù)函數(shù),則函數(shù)b

(

x)a

(

x)j

(x)

=在[a,b]上連續(xù).證:

令

y

=a

(x)

+

t

[b(x)

-a

(x)],

t

?

[0,

1],

則1)j

(x)

=

0

f

(x,由于被積函數(shù)在矩形域[a,b]·[0,1]上連續(xù),由定理1知,上述積分確定的函數(shù)j

(x)在[a,b]上連續(xù).f

(x,

y)

d

ya

(

x)j

(x)

=在[a,b]上可微，且b

(

x)a

(

x)j

￠(x)

=f

x

(x,

y)

d

y

+

f

(x,

b(x))b

(x)-

f

(x,a

(x))a

(x)j

(x)

=

H

(x,a

,

b)=證:把j

(x)看作復(fù)合函數(shù),令baf

(x,

y)

d

y,

b

=

b(x),

a

=a

(x)定理5.(可微性)

若

f

(x,

y)

及其偏導(dǎo)數(shù)

f

x

(x,

y)

都在矩形域

R

=[a,b]·[c,

d

]上連續(xù),

a

(x),

b(x)為定義在[a,

b]上

其值域含于

[c,

d

]中的可微函數(shù),

則b

(

x)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則及變限積分求導(dǎo),得j

(x)

=

H

(x,a

,

b)

=bf

(x,

y)

d

y,

b

=

b(x),

a

=a

(x)a?x

?a

?bj

￠(x)

=

?H

+

?H

a

￠(x)

+

?H

b￠(x)=b

(

x)a

(

x)f

x

(x,

y)

d

y

+

f

(x,

b(x))b

(x)-

f

(x,a

(x))a

(x)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束yx2

sin

xyd

y

,求j

￠(x).例3.

設(shè)j

(x)=xx2解:

j

(x)

=xx2sin

x3cos

xy

d

y

+12x

-xsin

x2xx

sin

xy

x2=

x2sin

x3+xsin

x2-x3sin

x3

-

2sin

x2=機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例4.設(shè)f

(x)在x

=0

的某鄰域內(nèi)連續(xù),驗證當(dāng)|

x

|

充分小時,函數(shù)x0(

x

-

t

)n-1

f

(t

)

d

t(n

-

1)!

1

j

(

x)

=的n

階導(dǎo)數(shù)存在,且j

(n)(x)=f

(x).證:

令

F

(

x,

t

)

=

(

x

-

t

)n-1

f

(t

)

,

顯然,

F

(

x,

t

)

及

F

(

x,

t

)x在原點的某個閉矩形鄰域內(nèi)連續(xù),

由定理5

可得￠x0n-2

1

(n

-

1)!j

(

x)

=(n

-

1)(

x

-

t

)

f

(t

)

d

t1(

x

-

x)n-1

f

(

x)(n

-

1)!+=x0n-2f

(t

)

d

t(

x

-

t

)

1

(n

-

2)!￠x0n-2f

(t

)

d

t(

x

-

t

)

1

(n

-

2)!j

(

x)

=即同理0￠xn-3f

(t

)

d

t

,(

x

-

t

)

1

(n

-

3)!j

(

x)

=x0(

n-1)f

(t

)

d

tj

(

x)

=j

(

n)

(

x)

=

f

(

x)當(dāng)x=0

時，有j

(0)

=

j

￠(0)

=

=

j

(

n-1)

(0)

=

0含參量反常積分1、含參量反常積分的定義若對每一個固定的

,

反常積分x

?

[a,b]設(shè)f

(x,y)是定義在無界區(qū)域R{(x,y)a

￡

x

￡

b,c

￡

y

<+￥}上+￥cf

(x,

y)dycf

(x,

y)dy,

x

?

[a,

b]I

(x)

=都收斂,則它的值是x

在區(qū)間[a,b]上取值的函數(shù),表為+￥稱為定義在[a,b]

上的含參量

x的無窮限反常積分,

或簡稱為含參量反常積分.1.

積分順序交換定理

+￥

+￥dcdca

adxdyf

(x,

y)

dyf

(x,

y)

dx

=2.

積分號下求連的定理+￥

+￥aa

d

dy?

f

(x,

y)

dx?yf

(x,

y)

dx

=例6

計算積分+￥02a

2-(

x

+

)

e

x

2

dx解+￥022dxexa

2-(

x

+

)=+￥02dxexa-(

x-

)

-2adxx-(

x-a

)2+￥=

e-2a

e令xa=

t0x

-+￥

e-t-￥2+￥(1

+)22

)dxxadt

=

e0ax-(

x-0adx-(

x

-

a

)

20+￥dx

-

e+￥=

ex-(

x-a

)2在第二項積分中令-

a

=

yx得02d

ax+￥

-(

x-a

)-

e

x0)2dy+￥=

eayx-(

y

-故+￥0)22dxexa2-(

x

+0dxx-(

x-a

)2+￥=

e-2a

e2-2a=

ep2-te

dt-2a=

e+￥0四、重積分的應(yīng)用幾何方面面積

(

平面域或曲面域

)

,

體積物理方面質(zhì)量,轉(zhuǎn)動慣量,質(zhì)心,引力其它方面證明某些結(jié)論等機動目錄上頁下頁返回結(jié)束1.

能用重積分解決的實際問題的特點所求量是分布在有界閉域上的整體量對區(qū)域具有可加性用重積分解決問題的方法用微元分析法(元素法)解題要點畫出積分域、選擇坐標系、確定積分序、定出積分限、計算要簡便機動目錄上頁下頁返回結(jié)束一、立體的體積二重積分的幾何意義當(dāng)被積函數(shù)大于零時，二重積分是曲頂柱體的體積．xzyoDz

=

f

(

x,y)占有空間有界域W

的立體的體積為V

=

W

dxd

ydzV

=

f

(

x,

y)ds

.D曲頂、曲底柱體體積v

=[f2(x,y)-f1(x,y)]dxdyD例1

求球體x2

+

y2

+

z2

￡

4a2被圓柱面x2

+y2

=2ax所截得的（含在圓柱面內(nèi)的部分）立體的體積。(a

>0)解 顯然，所求立體應(yīng)在第一、第四、第五、第八卦限。而且，四個卦限部分的體積是對稱相等的。因此，若設(shè)第一卦限部分的體積為V1

，則所求立體的體積為V

=

4V1

.yzo2a2a2axV1

可以看成是一個曲頂柱體，它的曲頂為yzo2a2a2axz

=

4a2

-

x2

-

y2

.它的底D

由半圓周y

=2ax

-x22axyor

=

2a

cosqD及x

軸圍成。用極坐標系表示D

:p0

￡

q

￡

2

,0

￡

r

￡

2a

cosq

.于是，4a2

-

x2

-

y2

dsrdrdqV1

=

D=

D4a2

-

r

22a

xyor

=

2a

cosqD4a2

-

x2

-

y2

dsrdrdqDV1

=

D=

4a2

-

r

2004a2

-

r

2

rdr=2a

cosqp

2dq

1

2004a2

-

r

2

d

(4a2

-

r

2

)=

-2a

cosqp

2dq=033

8

3p

2a3

2

3(1

-

sin

q

)dq

=

8

a3

(

p

-

2

)所求立體體積V

=

4V1=

32

a3

(

p

-

2

)3

2

3另解：V=4V1W

1Ddz4a2

-x2

-

y2V1

=

dv

=

dxdy0yzxzyxD4a2

-

x2

-

y2

dxdy=

D二、面積D1.

平面圖形面積AD

=

ds解：例1.求由拋物線y=(x-2)2+1,

直線y=2x所圍圖形的面積.y=(x-2)2+1y=2x(1,

2),

(5,

10)A

=ds=2x(x-2)

+1512dydx=D512(6x

-

x

-5)dx323=y=(x-2)2+110012525=

A

A

dxdyD=

rdrd

qD以ds

邊界為準線，母線平行于z軸的小柱面，截曲面s

為ds；截切平面S

為dA，則有dA

?ds.在xoy

面上的投影區(qū)域為D,如圖，設(shè)小區(qū)域ds

?

D,點(x,y)?

ds

,S

為S

上過M

(x,y,f

(x,y))的切平面.Mx(

x,

y)

ydszsdASo2.

曲面面積１．設(shè)曲面的方程為：z

=f

(x,y)A

=

dS思考問題因為ds

為dA

在xoy

面上的投影,所以

ds

=

dA

cosg,x

y1

+

f

2

+

f

2

dA

=

1

+

f

2

+

f

2

dsx

yDA

=1

+

f

2

+

f

2

ds

,x

y---曲面S

的面積元素曲面面積公式為：xyDA

=

1

+

(

?z

)2

+

(

?z

)2

dxdy?x

?ycosg

=

1

,即為平面的法向量與z軸的夾角g為切平面與xoy平面的夾角，３．設(shè)曲面的方程為：y

=

h(z,

x)曲面面積公式為：D

?y

2+

?x

dzdx.

?y

21

+

?z

A

=

zx２．設(shè)曲面的方程為：x

=

g(

y,

z)曲面面積公式為：yzD

?x

2+

?z

dydz;

?x

21

+

?y

A

=

同理可得注：1、確定投影區(qū)域、曲面方程

2、計算曲面微元3、計算二重積分若光滑曲面方程為隱式則x

y(x,

y)

?

D?

z

=

-

Fy

,?

y

Fz?

z

=

-

Fx

,?

x

Fz\

A

=

Dx

yFzFx

2

+

Fy

2

+

Fz

2且dx

d

y機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例1：求球面x2+y2+z2=a2含在圓柱面x2+y2=ax(a>0)內(nèi)部的那部分面積.yzxa2

-

x2

-

y2解：A=4A1S

:

z

=y≥0.yDxyxDxy:

x2+y2≤ax,zS22aa2

-

x2

-

y2)

=(

)

+(?z?x

?y1+

?za1Dxya2

-

x2

-

y2A

=22rdrdqaa

-rdxdy

=D*p020dqa

cosqdra2

-r2r=

a,xa2

-

x2

-

y2?x?z

=

-,ya2

-

x2

-

y2=

-?y?zzyxDxySp020dqa

cosqdra2

-r2r=

a00p=

a

2

[-

a2

-r2

]a

cosq

dq202(1-sinp=

a22-1)pq)dq

=

a

(\

A=4A1=2(p-2)a2例2.求由拋物線z=x2

上從x=1

到x=2

的一段繞z

軸旋轉(zhuǎn)一周所生成的旋轉(zhuǎn)曲面的面積.解：S:z=x2+y2Dxy:

1≤x2+y2≤222)2

=

1+4x2

+4y?z?x

?y1+(?z

)

+(A

=

1+4(x2

+

y2

)dxdyDxy=

1+

4r2

rdrdqDxyz=x2012

xyzDxyS=Dxy22101+4r2

rdr1+

4r

rdrdq

=2pdq8

11+

4r2

d(1+

4r2

)=

2p

1

2214

33(1+4r2

)2=p

26=

p

(17 17

-5

5)例3.求半徑相等且對稱軸垂直相交的兩個圓柱體的xyzRRoz

=

R2

-

x2公共部分的表面積.解:設(shè)兩個圓柱體的方程為x2

+

y2

=

R2

,

x2

+

z

2

=

R2如圖所示。其在第一象限內(nèi)公共部分的表面積利用對稱性,立體的表面積A1A

=16

A1A1

部分的曲面方程為投影區(qū)域為

D

={(x,

y)

|

x2

+

y2

￡

R2

,

x

>

0,

y

>

0}DR2

-

x2A

=16

1+(

-x

)2

dxdyDR2

-

x2=16

R

dxdy=16R2201RR2

-x2R

-

xdx0

dy0Rdx=16R=16R2xyzRRo1AxR2

-

x2y得12

2DA

=16

A

=161+(

-x

)2R

-

x由

z￠=

-x

, z￠=

0,dxdy二、物體的質(zhì)心設(shè)xoy平面上有n個質(zhì)點，它們分別位于(x

,y

)，(x

,y

)，,(x

,y

)處，質(zhì)量分別1

1

2

2

n

n為m

,

m

,,

m

．則該質(zhì)點系的質(zhì)心的坐標為1

2

nimMni=1Mx

=

y

=

i=1，in

ni

i

i

im

m

x

m

yMni=1y

=

Mx

=

i=1．2.

質(zhì)心坐標的計算設(shè)薄板形成的有界區(qū)域為D,密度m

(x

,y

)問題:計算變密度平面薄板的質(zhì)心坐標(x,y)yx0D將D

劃分成n

個子區(qū)域:Ds

i

, i

=

1

,

2

,

,

n當(dāng)Dsi

充分小時,密度m

(x

,y

)在Dsi

上近似不變?nèi)稳?xi

,hi

)

?

Ds

i

, i

=

1

,

2

,

,

nnnx

?

i

=1

m(xi

,hi

)Ds

ii

=1xi

m(xi

,hi

)Ds

inny

?

i

=1

m(xi

,hi

)Ds

ii

=1hi

m(xi

,hi

)Ds

i記

l

=

max{d

(Ds

i

)}

,

則有1￡i￡nnni

=1lfi

0m(xi

,hi

)Ds

ixi

m(xi

,hi

)Ds

ix

=

lim

i

=1

=

D

m(

x,

y)dsD

xm(

x,

y)dsni

i

ini

=1lfi

0m(x

,h

)Dshi

m(xi

,hi

)Ds

iy

=

lim

i

=1

=

D

m(

x,

y)dsD

ym(

x,

y)ds薄板的質(zhì)心坐標:x

=

D

m(

x,

y)dsD

xm(

x,

y)dsy

=

D

m(

x,

y)dsD

ym(

x,

y)ds(1)若m(x

,y)=c,此時DDx

=

1

xdsDDy

=

1

yds稱為圖形D

的形心坐標空間物體占有空間區(qū)域V

,點(x,y,z)處的密度m(x,y,z)(連續(xù)),此空間物體的質(zhì)心(重心)(x,y,zV

ym

(

x,

y,

z)

d

x

d

y

d

zy

=V

m

(

x,

y,

z)

d

x

d

y

d

zV

zm

(

x,

y,

z)d

x

d

y

d

zz

=V

m(

x,

y,

z)d

x

d

y

d

zV

xm

(

x,

y,

z)

d

x

d

y

d

zx

=V

m

(

x,

y,

z)

d

x

d

y

d

z解zyx

2

+

y2例求曲面az

=x

2

+y

2

,(a

>0)與曲面z

=所界區(qū)域的重心坐標(設(shè)密度m

為常數(shù))重心坐標(x,y,z

)為

mdVWdVW

mxdV

xdVx

=

W

=

W

dVW

ydVy

=

W

dVWx

zdVz

=

W

由于Ω關(guān)于yz

,xz

平面對稱

xdV

=

0

,

ydV

=

0

x

=

y

=

0W

W利用柱面坐標計算三重積分Ω在xoy

平面上的投影區(qū)域:ar

2az

=

x

2

+

y2

fi

z=z

=

x

2

+

y

2

fi

z

=

raW

0

0rr

22p

adV

=

dq

dr

rdzx

2

+

y

2

￡

a

2zyxaW

0

0rr

22p

adV

=

dq

dr

rdza0r

26pa3=

2p

r(r

-

a

)dr

=arr

22p

a

aa021

zdV

=

dq

dr

rzdz

=

2p

r2

rz

r

2

dr421W

0

0a=

p

r(r

-

2

r

)dr0

apa

4=

122

z

=

a

重心坐標2(0

,

0

,

a

)例：設(shè)曲線y

=x2與直線x

=0,y=t(t>0)在第一象限圍成一均勻薄片，求此薄片形心的軌跡.

yds

dsD5=

3

ty

=

x2(

t

,

t

)yxD解:x

=

xdsD

ds22xtxt

tdx

xdytdx

dy=0

0

38t=22txtxtdxydytdx

dyy

=

D

=

00

35

x

=

8

t質(zhì)心軌跡的參數(shù)方程：

y

=

3

t64

15x

2直角坐標下：y

=例：半徑為b的半球體挖去一個半徑為a(a

<b)的同心半球體，求此均勻物體的質(zhì)心.解：建立坐標系,\

x

=

y

=

0設(shè)密度r(x,y,z)=k(常數(shù))以物體的球心為原點，對稱軸為z軸，xyz由對稱性，V

kxdV

=V

kydV

=

0,只需求

z

=

V

zkdVV02pdqzkdV

=k

0p2dj2bar

cosj

r

sinjdj3323Vkp

(bkdV

=-

a

),3(b4

-

a4

)z

=

W

=8(b3

-

a

3

)

zdV

dVW)3(b4

-

a4

)8(b3

-

a

3

)質(zhì)心為(0,0,4=

p

k(b4

-

a4

)例：半徑為R的半球上接半徑相同的直圓柱它們由同樣密度的均勻材料制成，問圓柱高h為多少時，形心在球心解：建立坐標系如圖x

=

y

=

0

Wz

=

zdV

W

dVh由對稱性，上

下W

W

W

zdV

=

zd

V

+

zdVW為

使

z

=

0，

只

需

zd

V

=

0xyzxyh上

下W

WW

zdV

=

zd

V

+

zdV24p

h

2

R2

p

R

4=-0hdz=020h-

R=

p

Rzdz

+

pz(

R2

-

z

2

)dzz2D

:

x2

+

y2

￡

R2

-

z2z1D

:

x2

+

y2

￡

R22R\

h

=Dz

1zdxdy0-

R+Dz

2zdxdydz

三、轉(zhuǎn)動慣量J

=

mr

2質(zhì)點組的轉(zhuǎn)動慣量等于各質(zhì)點的轉(zhuǎn)動慣量之和,故連續(xù)體的轉(zhuǎn)動慣量可用積分計算.rAl質(zhì)點

A

對于軸

l

的轉(zhuǎn)動慣量

J

等于

A

的質(zhì)量

m和A

與轉(zhuǎn)動軸l

的距離r

的平方的乘積,即因此該物體對z

軸的轉(zhuǎn)動慣量:Jz

=

(

x

+

y

)r

(

x,

y,

z)

d

xd

ydz2

2V=

(

x2

+

y2

)r

(

x,

y,

z)

d

vzd

JxVyoz對z

軸的轉(zhuǎn)動慣量為x

2

+

y2到z

軸的距離為x

2

+

y2從而設(shè)

r

(

x,

y,

z)為空間物體

V

的密度函數(shù)，求

V

對z

軸的轉(zhuǎn)動慣量.

在該物體位于(

x

,

y

,

z

)

處取一微元，其體積記為

dV

，質(zhì)量為

r

(

x,

y,

z)

dV?(

x,

y,

z)VJ

x

=

(

y2

+

z

2

)

r

(

x,

y,

z)

d

xd

ydz類似可得:對x

軸的轉(zhuǎn)動慣量對y

軸的轉(zhuǎn)動慣量(

x

2

+

z

2

)對原點的轉(zhuǎn)動慣量JO

=

(

x2

+

y2

+

z2

)

r

(

x,

y,

z)

d

xd

ydzV一般說來，若V

中的點(x

,y

,z

)到轉(zhuǎn)動軸l

的距離為r(x,y,z),

則轉(zhuǎn)動慣量為r

2

(

x,

y,

z)J

xy

=

z

2

r

(

x,

y,

z)

d

xd

ydz對坐標平面的轉(zhuǎn)動慣量分別為對xy

平面的轉(zhuǎn)動慣量V對yz

平面的轉(zhuǎn)動慣量x

2對xz

平面的轉(zhuǎn)動慣量y2如果物體

D

是平面薄片,

面密度為

r

(

x,

y),

(

x,

y)

?

Dxyo則轉(zhuǎn)動慣量的表達式是二重積分.y2x

2一般說來，若D

中的點(x

,y

)到轉(zhuǎn)動軸l

的距離為r(x,y),

則轉(zhuǎn)動慣量為r

2

(

x,

y)?D(

x,

y)例4

求密度均勻的圓環(huán)

D

對于垂直于圓環(huán)面中心軸的轉(zhuǎn)動慣量zyx解設(shè)圓環(huán)D

為密度為ρ，則D

中任一點(x

,y

)與轉(zhuǎn)軸的距離為于是轉(zhuǎn)動慣量D1cos

2q0

￡

r

￡

ax0p442

240dqpcos

q

cos

2qdq=

ma230(cos

2p4ma4q

)dq=q

+

cos

22ma4

p

24

4

3=(

+

),1IO

=

4m

(

x

+

y

)ds2

2D8a4pm=例:設(shè)D是由曲線(

x2

+

y2

)2

=

a2

(

x2

-

y2

)所圍的均勻薄片，求它對y軸和原點的轉(zhuǎn)動慣量解：曲線的極坐標方程

r2

=

a2

cos

2qyDI

y

=

=

4mx2

mds

=

4m

x2ds0D1a

cos

2qr3

cos2qd

rW=

r

(

r

2

sin

2

f

cos2

q

+

r

2

sin

2

f

sin

2

q)Wr

2

sinj

drdj

dqolzxy22

13=

r2p0dq球體的質(zhì)量3M

=

4pa3

rpsin

j

dj03ar

d

r04例.求均勻球體對于過球心的一條軸l

的轉(zhuǎn)動慣量.解:

取球心為原點,

z

軸為

l

軸,

設(shè)球所占域為則(x2

+y

2

)r

dxd

ydz

(用球坐標)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束求密度為 的物體

V對物體外質(zhì)量為

1的的單位質(zhì)點

A

的引力設(shè)A

點的坐標為在該物體位于(x

,y

,z

)處取一微元，其體積記為dV

，質(zhì)量為dm

=

r

(

x,

y,

z)

dV對質(zhì)點A

的引力為四、引力xr

3dF

=

k

x

-x

r

dV(

x

-x,

y

-h,

z

-V)rr

21

dm

1dF

=

k=

k

r

(

x,

y,

z)dV

(

x

-x,

y

-h,

z

-V)r

3其中k

為引力常數(shù)，r

=

(

x

-

x)2

+

(

y

-h

)2

+

(z

-

V)2該引力在坐標軸上的投影為yr

3dF

=

k

y

-h

r

dVzr

3dF

=

k

z

-V

r

dV于是所求力在坐標軸上的投影分別為rVxF

=

kr

3x

-x

r

dVVyF

=

kr

3

y

-h

r

dVVzF

=

kr

3z

-V

r

dV所以F

=

(Fx

,

Fy

,

Fz

)xyzaRo例7.

求密度ρ

的均勻球體V

：的單位質(zhì)量質(zhì)點的引力.解:

利用對稱性知引力分量

Fx

=

Fy

=

0F

=z

V[

x2

+

y2

+

(z

-

a)2

]3

2kr

z

-

a

dVR-R(z

-

a)dz=

krdq2p

R2

-z

2

0

0[r

2

+

(z

-

a)2

]3

2rdr對位于點Dz32

2

2[

x

+

y

+

(z

-

a) ]

2d

x

d

yADzR-R(z

-

a)dz=

kr2

2

2

2Dz

:

x

+

y

￡

R

-

zR-

R(z

-

a)=

2p

kr

d

z-221R

-

2az

+

a1a

-

z=

2p

kr

1aR

(z

-

a)

d-

R3a2=

-

4

pR3krR2

-

2az

+

a2

-

2R

-dq2p

R2

-z

2

0

0[r

2

+

(z

-

a)2

]3

2rdrR-R(z

-

a)dz=

krR-R(-1

-

z

-

a

)

d

zR2

-

2az

+

a2=

2p

krdszDF

=

-aG32r(x,

y)(x

+

y2

+

a2

)2=

-aGrD23

ds(x

+

y

+

a

)1222oyzxF例

求面密度為常量、半徑為R的均勻圓形薄片：x2

+

y2

￡

R2，z

=

0對位于z

軸上的點M

(0,0,a)處的單位質(zhì)點的引力．(a

>

0)0解

由積分區(qū)域的對稱性知

Fx

=

Fy

=

0,rdrR0032(r

2

+

a2

)12pdq=

-aGr11

-

.a+

aR2

2=

2pGar所求引力為1221

-

.aR

+

a0,

0,

2pGar利用對稱性知引力分量Fx

=

Fy

=

0mdvxyD

:

0

￡

r

￡

R0300Rz2pdqrdr-h

(z

-

a)

d=

Gmm解Rxyoza

mdvRr)dr-r2

+

(a

+

h)2r2

+

a2=

2pGmm

(0zF

=