地下水向完整井地非穩(wěn)定運動論文

地下水向完整井的非穩(wěn)定運動?4-1承壓含水層中的完整井流當承壓含水層側向邊界離井很遠，邊界對研究區(qū)的水頭分布沒有明顯影響時，可以把它看作是無外界補給的無限含水層。4.1.1定流量抽水時的Theis公式承壓含水層中單井定流量抽水的數(shù)學模型是在下列假設條件下建立的:(1)含水層均質(zhì)各向同性，等厚，側向無限延伸，產(chǎn)狀水平;(2)抽水前天然狀態(tài)下水力坡度為零;(3)完整井定流量抽水，井徑無限小;(4)含水層中水流服從Darcy定律;(5)水頭下降引起的地下水從貯存量中的釋放是瞬時完成的。在上述假設條件下，抽水后將形成以井軸為對稱軸的下降漏斗，將坐標原點放在含水層底板抽水井的井軸處，井軸為Z軸，如圖4-1所示。圖4-1承壓水完整井流此時，單井定流量的承壓完整井流，可歸納為如下的數(shù)學模型:2*,s1,su,s，,2r,rT,t,rt>0，0<r>?(4-1)s(r，0)=00<r<?(4-2),sr,,,rs(?，t)=0，?=0t>0(4-3)Qs,limr,,r,0r2,T,(4-4)式中，s=H-H。下邊研究如何求降深函數(shù)s(r,t)。為此，利用Hankel變換，將方程式(4-1)0兩端同乘以rJ(βr)，并在0-?區(qū)間內(nèi)對r積分。0Ta,*,設導壓系數(shù)，則有:,,,,,1ss,,,arrJ(,r)drrJ(,r)dr,,00,,00,,,rrtt,,方程式右端,,,s,dsrJrdr,srJrdr,(,)(,)00,,00,t,tdt方程式左端，利用分部積分，同時注意到邊界條件式(4-3)與式(4-4)，有:,,1,,saQa(r)rJ(,r)dr,,a,sd,,rJ(,r)01,,00r,r,t2T,按Bessel函數(shù)的性質(zhì)，有:,,,,sdrJ(,r),s,rJ(,r)dr10,,00因此，有:,1,,saQ,,2()arrJ,rdr,,a,s,,0,02r,r,rT,,,上述定解問題，經(jīng)過Hankel變換，消去了變量r，轉變?yōu)槌Ｎ⒎址匠痰某踔祮栴}，即:dsaQ2,，as,,dt2Ts,0t,0其解為:t2aQ,a,(t,,)s,ed,,02T,s再通過Hankel逆變換由求s，即:,,,,,ssJ(r)d0,0t,2aQ,,,a(t,)，，eJ(r)dd,,,,,0,,,,00，，2T,(4-5)先計算方括號內(nèi)的積分，為此設:,2,a,t,,()F(r),e,J(,r)d,0,0(4-6)將(4-6)式對r求導數(shù)，有:,2,,,,at,(),,,,F(r)eJ(r)d,0,0r,,21,a,t,,()e,,J(,r)d,,,0,02a(t),,根據(jù)(4-60)式，有:r,,,F(r)F(r),,2a(t)dF(r)r,,dr,,F(r)2a(t)2rF(r),,，C1C,lnC4a(t,,)1兩邊積分得:ln;令，則有:2F(r)rln,,C4a(t,,)2r,4a(t,,)F(r),Ce故:(4-7)利用r=0時的F(r)值，由(4-6)可以確定C值:,21a,(t,),,,,F(0),eJ(0)d,0,02a(t,,)但由(4-7)式，有:1F(0),C,C,2a(t,,)2r,14a(t,,)(),Fre2(,,)at把上式代入(4-5)式，有:2r,t1aQ4()at,,,sed,,022(,)Tat,,(4-8)22rr,,,yd,dy24(,)4atay,為計算方便，對(4-8)式進行變量代換，令:2r,y,,04at,,t,同時更換積分上下限，當時，;當時，y=于是，y2y,,,,QerQe2s,dy,dyr22,,u4,4,TTy4ray4at4ay(4-9)22*rr,,,u4aT4Tt其中，(4-10)在地下水動力學中，采用井函數(shù)W(u)代替(4-9)式中的指數(shù)積分式:,y,eW(u),,E(,u),dyi,uy則(4-9)式可改寫成:Qs,W(u),4T(4-11)式中，s為抽水影響范圍內(nèi)，任一點任一時刻的水位降深;Q為抽水井的流量;T為導水系,數(shù);t為自抽水開始到計算時刻的時間;r為計算點到抽水井的距離;*為含水層的貯水系數(shù)。(4-9)式為無補給的承壓水完整井定流量非穩(wěn)定流計算公式，也就是著名的Theis公式。為了計算方便，通常將W(u)展開成級數(shù)形式:n,,1u,yn0.577216ln(1)edy,,,u，u,,,,uyn,nn,2W(u)=并制成數(shù)值表(表4-1)，只要求出u值，從表4-1中就可查出相應的W(u)值;反之亦然。4.1.2流量變化時的計算公式Theis公式是在假定流量固定不變的情況下導出的。這種情況通常只有在抽水試驗時才能做到。實際上，很多生產(chǎn)井的流量是季節(jié)性變化的。如農(nóng)用井在灌溉季節(jié)抽水量大，非灌溉季節(jié)抽水量小。工業(yè)用水也有類似情況，常隨需水量而變化。在這種情況下，怎樣應用Theis公式?首先需要繪出生產(chǎn)井的Q=f(t)關系曲線，即流量過程線。然后將流量過程線概化，用階梯形折線代替原曲線，坐標選擇如圖4-2所示。概化原則是矩形面積等于曲線于橫坐標所圍城的面積。其中，每一個階梯都可視為定流量，應用Theis公式。把各階梯流量產(chǎn)生的降深，按疊加原理疊加起來，即得流量變化時水位降深的計算公式。2,,,Qru1,,sW,,,4,T4Ttt,,i當0<t<時，水位降深為:圖4-2流量概化呈階梯狀變化圖t,t,ti,1i當時，水位降深為:2,2,2,，，，，,,QQQQQ,,rrr,,,ii,1121,,sWWW,，，,,,，,,,,,,4T4Tt4T4T(tt)4T4T(tt),,,,,1i,1,,，，，，t時刻經(jīng)歷若干個階梯流量后所產(chǎn)生的總水位降深為:2,n，，1r,s(QQ)W,,,ii,1,,t,t,t4T4T(tt),,i,1i,1i,1i，，，(4-12)式中，設t=0，相應的Q=0。00(4-12)式為流量變化時，經(jīng)概化呈階梯狀變化后的計算公式。4.1.3Theis公式的近似表達式如前述，Theis公式中的井函數(shù)，可以展開成無窮級數(shù)形式，即:n,,1u,ynedy,,0.577216,lnu，u,(,1),,uyn,n!n,2W(u)=前三項之后的級數(shù)是一個交錯級數(shù)。根據(jù)交錯級數(shù)的性質(zhì)可知，這個級數(shù)之和不超過u。也就是說，當u很小，井函數(shù)W(u)用級數(shù)前兩項(-0.577216-lnu)代替時，其舍掉部分不超過2u。因此，2,ru,25T當u?0.01(即t)井函數(shù)用級數(shù)前兩項代替時，其相對誤差不超過0.25%;2,ru,5T當u?0.05時(即t)，相對誤差不超過2%;2,ru,2.5T當u?0.1時(即t)，相對誤差不超過5%。一般生產(chǎn)上允許相對誤差在2%左右。因此，當u<<0.01或u<<0.05時，井函數(shù)可用級數(shù)的前兩項代替，即:2.25Tt,,,,W(u)0.577216lnuln2,,r于是，Theis公式可以近似地表示為下列形式:QTtQTt2.250.1832.25s,,lnlg2*2,Tr,Tru,4(4-13)(4-13)式稱為Jacob公式(1946)。2,ru,25utii,1T流量階梯狀變化時，當?0.01時，即(t-)(i=1，2…n)，(4-12)式可近似地表示為:n2.25T(t,t)0.183i,1s,(Q,Q)lg,ii,12,Tr,i,1(4-14)4.1.4對Theis公式和與之有關的幾個問題的討論1.Theis公式反映的降深變化規(guī)律s1,W(u)W(u),,Q/4Tu將(4-11)式改寫成無量綱降深形式，即，并給出曲線〔圖4-3(a)〕。曲線表明，同一時刻隨徑向距離r增大，降深s變小，當r??時，s?0，這一點符合假設條件。同一斷面(即r固定)，s隨t的增大而增大，當t=0時，s=0，符合實際情況。當t??時，實際上s不能趨向無窮大。因此，降落漏斗隨時間的延長，逐漸叫擴展。這種永不穩(wěn)定的規(guī)律是符和實際的，恰好反映了抽水時在沒有外界補給而完全消耗貯存量時的典型動態(tài)。圖4-3反映了上述結論。1W(u),u圖4-3(a)曲線;(b)承壓含水層中的降深s(r，t)從(4-11)或(4-13)式還可以看出:同一時刻的徑向距離r相同的地點，降深相同。這說明抽水后形成的等水頭線(s=常數(shù))是一些同心圓，圓心在井軸。當u?0.05時直接由(4-13)式導出描述它們的方程式為:Ts4,,2.25Tt22Qx，y,e,,(4-15)2.Theis公式反映的水頭下降速度的變化規(guī)律將(4-9)式對t求導數(shù)，得:2r,,u,,,，，,s,Qe,uQ14Tt,du,e,,,0,,,t,uTu,tTt44，，(4-16)2,ru,4Tte式(4-16)表明，抽水初期隨著r的增大，值減小。因此，近處水頭下降速度大，21,s,ru,4Ttet,t遠處下降速度小。當r一定時，(4-16)式又表明，不同時刻的水頭下降速度，由于和,s,t兩個因素起著增、減兩個方向相反的作用，所以不是t的單調(diào)函數(shù);s-t曲線(圖4-3b)2,s2,t不能沿著同一斜率變化，存在著拐點。可以利用=0，找出拐點的位置。為此有:2,r,22,,,,sQr,1,Tt4,,e,,1,022,,TTt44tt,,,,2,r,,1Tt4所以2,r,t,i4T拐點出現(xiàn)的時間(此時u=1)為:(4-17)圖4-3的曲線也反映了上述結論，即每個斷面的水頭下降速度初期由小逐漸增大，當1u=1時達到最大;而后下降速度由大變小，最后趨近于等速下降。ti式(4-17)還表明不同斷面拐點出現(xiàn)的時間不同。將(4-17)式代入(4-11)式，得2,,,QrQ,,,sW,,0.0175i,,TTtT44s,ii,,拐點處降深為:(4-18)ssii式(4-18)還反映出拐點處降深與r無關。說明任一斷面都經(jīng)歷著一個相同的過程，當s=時，出現(xiàn)最大下降速度，即:2,r,,sQQ,10.117,,4Ttie,,,,2,t,Tt,,r4,,ii2,2,2,r,,r,r,,0.01,Tt4e,0.99,1TtT4當抽水時間足夠長時，t>25(即u=)。(4-16)式變?yōu)?sQ1,,t4,Tt,(4-19)上式意味著:t足夠大時，在抽水井一定范圍內(nèi)，下降基本上是相同的，與r無關。換言之，經(jīng)過一定時間抽水后，下降速度變慢，在一定范圍內(nèi)產(chǎn)生大致等幅的下降。3.Theis公式反映出的流量和滲流速度變化規(guī)律將(4-9)式對r求導數(shù)，得:,u,，，,s,Qe,u,du,,,u,,t,u4Tu,r，，2,,r,,sQ4Ttr,,e,r2,T(4-20)又根據(jù)Darcy定律，可些導出r處過水斷面的流量為:,sQ,,KMr2,r,r將(4-20)式代入上式，得:2,r,,4TtQ,Qe(4-21)r2,2,,r,r,4TtQ,QQ,Qe,14Ttrr因為恒取正值，所以，，因而，當r?0時，。式(4-21)說明，通過不同過水斷面的流量是不等的，r值越小，即離抽水井越近的過水斷面，流量越大。這一點是和穩(wěn)定流理論無垂向水量交換條件下通過任何斷面的流量都是相等的結論不同。它反映了地下水在流向抽水井的過程中，不斷得到貯存量的補給。當抽水2,2,,r,r,Tt4Q,Qe,0.99,1Tr延續(xù)時間t大到一定程度以后(如t?25，)則。換言之，Q,Qr這時在該斷面范圍內(nèi)釋放出的水量()就微不足道了。2,r,,Q,s4Tt,,,K,e2,,rMr由(4-20)式還可知，水井抽水時地下水滲流速度為:Q2,Mr式中負號表示速度與r的正方向相反。式中為抽水達到穩(wěn)定時的滲流速度。由于沿途2,,r,4Tte含水層的釋放作用，使得滲流速度小于穩(wěn)定狀態(tài)的滲流速度。但隨著時間的增加，逐2,,r4Tt漸趨于1，又接近穩(wěn)定滲流速度。當=0.01時，與穩(wěn)定流速相差只有1%了。這時可以認為達到相對穩(wěn)定(似穩(wěn)定)。在距離r處，似穩(wěn)定出現(xiàn)的時間為:2,,rTt=254.關于“影響半徑”的問題Theis公式本身不包含“影響半徑”的概念。因此，理論上講，在無限延伸的無越流補給的承壓含水層中是不存在“影響半徑”的。但把(4-13)式稍加改變，即可改寫為:12,1.5，，,TtQln,s2Tr,和Dupuit公式比較，有人定義影響半徑為:12,,Tt,,,1.5R,,,,,,(4-22)它能近似地說明某一時刻的相對影響范圍。實際上，由(4-21)式可以得到:QTtTt,2(ln)2(ln),,R,*,*QrTtTt3.463.0349R,R,,*,*,,若=0.1，則;若=0.05，則;TtTt4.294.60R,R,,*,*,,若=0.01，則;若=0.005，則;Tt5.254R,,*,若=0.001，則。QTt(ln)Q,*dRr,dttR的擴展速度為:2,,rrrT12經(jīng)過長時間抽水后(t>25)，由(4-13)式可得某一時刻離井和兩點的降深分別為:Q2.25TtQ2.25Tts,lns,ln1222,,4Tt4Ttrr,,12;兩式相減得:rQ2s,s,ln212Ttr1r,r,r,r1w2和穩(wěn)定流的Thiem公式(3-6)完全相同。如取，則可得(3-5)式。這說明，在無越流補給且側向無限延伸的承壓含水層中抽水時，雖然理論上不可能出現(xiàn)穩(wěn)定狀態(tài)，但隨著抽水時間的增加，降落漏斗范圍不斷向外擴展，自含水層四周向水井匯流的面積不斷增大，水井附近地下水測壓水頭的變化漸漸趨于緩慢，在一定的范圍內(nèi)，接近穩(wěn)定狀態(tài)(似穩(wěn)定流)，和穩(wěn)定流的降落曲線形狀相同。但要注意，這不能說明地下水頭降落以達穩(wěn)定。5.關于假設井徑r?0和天然水力坡度為零的問題w要求r?0是為了不必考慮井筒中的水量，可以把井當作匯點或源點來處理。實際上，w井徑rw總是個有限值。這樣一個假設條件對Theis公式的應用有什么限制呢?由(4-20)式可以直接看出，在邊界條件式(4-4)中使用這個假設，是為了使2,ru,,,sQQ,4Tt,,lim(r)lime,,,,r0r0,,,,r2,T2,T,,,2,,r,,0.014Ttee,0.99即?1，我們知道，可近似地等于1，誤差不超過1%，所以只要要2,2,,,rr4TtT?0.01或t?25)，上述假設所引起的誤差不超過1%。實際上，要滿足上述要求并不困難，在抽水早期就能滿足。在推導Theis公式的過程中，假設初始的承壓水頭面是水平的，這一假設是否會影響公式的使用呢?從實際資料看來，承壓水頭面一般坡度很小，尤其在平原區(qū)，通常為千分之幾到萬分之幾。因此，從實用觀點看來，這種假設不影響Theis公式的實際使用。.4.1.5利用Theis公式確定水文地質(zhì)參數(shù)Theis公式既可以用于水位預測，也可以用于求參數(shù)。當含水層水文地質(zhì)參數(shù)已知時可進行水位預測，也可預測在允許降深條件下井的涌水量。反之，可根據(jù)抽水試驗資料來確定含水層的參數(shù)。這里著重介紹下列幾種求參數(shù)的方法:1.配線法(1)(1)(1)原理對(4-11)和(4-10)式兩端取對數(shù):,Qt1,lgslgW(u)lg,lglglg,，,，24Tu4Tr,二式右端的第二項在同一次抽水試驗中都是常數(shù)。因此，在雙對數(shù)坐標系內(nèi)，對于定流量抽,Q1,t和W(u),s,24T4Tur,水和標準曲線在形狀上是相同的，只是縱橫坐標平移了距離而已。只要將二曲線重合，任選一匹配點，記下對應的坐標值，代入(4-10)式(4-11)式即可確定有關參數(shù)。此法稱為降深-時間距離配線法。1W(u),2ur同理，由實際資料繪制的s-t曲線和與s-曲線，分別與和W(u)-u標準曲線有相似的形狀。因此，可以利用一個觀測孔不同時刻的降深值，在雙對數(shù)紙上繪出s-t曲1W(u),u線和曲線，進行擬合，此法稱為降深-時間配線法。如果有三個以上的觀測孔，可以取t為定值，利用所有觀測孔的降深值，在雙對數(shù)紙上2r繪出s-實際資料曲線與W(u)-u標準曲線擬合，稱為降深-距離配線法。(2)計算步驟?在雙對數(shù)坐標紙上繪制W(u)-1/u或W(u)-u的標準曲線。22r?在另一張模數(shù)相同的透明雙對數(shù)紙上繪制實測的s-t/曲線或s-t、s-r曲線。?將實際曲線置于標準曲線上，在保持對應坐標軸彼此平行的條件下相對平移，直至兩曲線重合為止(圖4-4)。圖4-4降深-時間距離配線法1u?任取一匹配點(在曲線上或曲線外均可)，記下匹配點的對應坐標值:W(u)，(或t22ru)、(或t、r)，代入(4-11)，(4-10)式，分別計算有關參數(shù)。Q4Tt，，,TWu,,,,，，,,2,,t1,,4sr,，，，，,,2ur，，s-法:Q4T[t],，，,,,,,TWu,1,,4s,，，,,u，，s-t法:Q4Tt[u],,,，，,T,Wu,,2,,,,4s,rs-r法:配線法的最大優(yōu)點是，可以充分利用抽水試驗的全部觀測資料，避免個別資料的偶然誤差提高計算精度。但也存在一定的缺點:第一，抽水初期實際曲線常與標準曲線不符。因此，非穩(wěn)定抽水試驗時間不宜過短(原因是是水有滯后現(xiàn)象，初期流量不穩(wěn)定)。第二，當抽水后期曲線比較平緩時，同標準曲線不容易擬合準確，常因個人判斷不同引起誤差。因此在確定2抽水延續(xù)時間和觀測精度時，應考慮所得資料能繪出s-t或s-t/r曲線的彎曲部分以便于擬合。如果后期實測數(shù)據(jù)偏離標準曲線，均可能是含水層外圍邊界的影響或含水層巖性發(fā)生了變化等。這就需要把試驗數(shù)據(jù)和具體水文地質(zhì)條件結合起來分析。有關邊界的影響，以后還要專門論述。3例題4-l:承壓含水層多孔抽水試驗，抽水井穩(wěn)定流量為60m/h，有4個觀測孔，其觀測資料如表4-2所示，試用配線法求含水層參數(shù)。2解:為了全面綜合利用試驗資料，按s-t/r配線法求參數(shù)，首先根據(jù)表4-2資料計算與2s對應的值。依據(jù)這些數(shù)據(jù)在透明雙對數(shù)紙上繪制s-t/r實際資料曲線;將此曲線重疊在W(u)-1/u標準曲線上，在保持對應坐標軸彼此平行的條件下，使實際資料曲線與標準曲線盡量擬合(圖4-5)。擬合之后，任選一匹配點A取坐標值:ts-2r圖4-5配線法1t，，Wu,1,,10,s,0.54,,0.0025,2代入(4,11)式、(4,10)式進行計算:urQ60*242T,Wu,,212.3m/d,,，，,4s4*3.14*0.54,,4Tt4*212.3，，,,4,,,*0.0025,1.47*102,,110*60*24r，，，，,,u，，例題4-2:根據(jù)例題4-1中第15號觀測孔觀測資料，利用降深-時間配線法求參數(shù)。解:首先根據(jù)實測的不同時間的降深值，繪制s-t曲線;然后將它與W(u)-l/u標準曲線擬合，方法同前(圖4-6)。取匹配點A的坐標值:1，，Wu,1,,10,s,0.58m,t,0.85minu代入有關公式計算:Q60*242，，,,T,Wu,*1,197.67m/d,,,4s4*3.14*0.584Tt4*197.67*85，，,,4,,,,2.31*1022,,1r10*140*1440，，，，,,u，，圖4-6降深-時間配線法2.Jacob直線圖解法當u?0.01時，可利用Jacob公式(4-13)計算參數(shù)。首先把它改寫成下列形式:2.3Q2.25T2.3Qts,lg，lg,2,,4T4T,rt2.3Q24,Tr上式表明，s與lg呈線性關系，斜率為，利用斜率可求出導水系數(shù)T(圖4-7):2.3Q4,iT=t,,,,2r,,式中，i為直線的斜率，此直線在零降深線上的截距為。把它代入(4-13)有:2.3Q2.25Tt,,0,lg,,,2,4T,r,,因此，2.25Tt2.25Tt,,,,,1lg,0,,,,,2,2,r,r,,,,0,于是得:t,,,,2.25T,,,2r,,tlg2r以上是利用綜合資料(多孔長時間觀測資料)求參數(shù)，稱為s-直線圖解法。同理，由2.3Q2.3Q,2,T4T,(4-13)式還可看出，s-lgt和s-lgr均呈線性關系，直線的斜率分別為和。因此，如果只有一個觀測孔，可利用s-lgt直線的斜率求導水系數(shù)T，利用該直線在零降深線上截,,距t值，求貯水系數(shù)。0,,如果有三個以上觀測孔資料，可利用s-1gr直線的值求。這種方法的優(yōu)點是，既可以避免配線法的隨意性，又能充分利用抽水后期的所有資料。但是，必須滿足u?0.01或放寬精度要求u?0.05，即只有在r較小，而t值較大的情況下才能使用;否則，抽水時間短，直線斜率小，截距值小，所得的T值偏大，而,*值偏小。2r例4-3:根據(jù)例4-1資料，利用s-lgt/直線圖解法計算參數(shù)。2r解:(1)根據(jù)上述資料，繪制s-lgt/曲線(圖4-7);22rr(2)將s-lgt/曲線的直線部分延長，在零降深線上的截距為(t/)。=0.0092;(3)求直線斜率i。最好取和一個周期相對應的降深?s，這就是斜率i。由此得i=?s=1.36;(4)代入有關公式進行計算:2.3Q2.3*60*242T,,,194m/d,4,s4*3.14*1.36t,,,,4,,2.25T,2.25*194*0.00092/1440,2.78*10,,2r,,3(周文德法(1953)24Tr*,,s,W(u),lgt,lg,lguQ4T,uW(u)es,,F(u),,s2.3,lgt有表可查。根據(jù)某一刻t的降深，求得F(u)，查得u和,s,,sA,lgtW(u)。作s-lgt曲線，選取任意點A，通過點A作曲線的切線，其斜率為，于是有4T[t]Q,A，，,,T,Wu,,,[u]2,,4sr,A優(yōu)點是克服前兩種方法的缺點;缺點是求曲線的斜率是以產(chǎn)生人為誤差。4.水位恢復試驗如不考慮水頭慣性滯后動態(tài)，水井以流量Q持續(xù)抽水tp時間后停抽恢復水位，那么在時刻(t>tp)的剩余降深s′(原始水位與停抽后某時刻水位之差)，可理解為流量Q繼續(xù)抽水一直延續(xù)到t時刻的降深和從停抽時刻起以流量Q注水t-tp時間的水位抬升的疊加:兩者均可用Theis公式計算。故有:2,2,，，,,,,Qrr,,,,,,,s,W,W,,,,,,,4T4Tt4Tt,,,,,,,，，(4-23)式中，2,r,當,0.01時，(4,23)式可化簡為,t,t,tp,Tt4。,,,QTtTtQt52.3,,,s,,,lglglg2,2,,,,TTtt,44r,r,,,(4-24)2.3Qt,s,lg,t4,T式(4-24)表明，呈線性關系，i=為直線斜率。利用水位恢復資料繪出t,s,lg,t曲線，求得其直線段斜率i，由此可以計算參數(shù)T:2.3QQT,,0.1834,[i][i]*如已知停抽時刻的水位降深s，則停抽后任一時刻的水位上升值s可寫成:pat2.25QtQQtp,,s,s,s,,lg或lglgp2,,,Tt,TT,t444r(4-25)2.3Qt,lg,t2,T式(4-25)表明，s*與呈線性關系，斜率為。如根據(jù)水位恢復試驗資料繪出ts*,lg,t曲線，求出其直線段斜率，也可計算T值。兩者所求T值應基本一致。又根據(jù)2.25at2.3Qps,lgp2,4Tr2.3Q,2,i將求出的代入，可得:sp2,ria,0.4410tp(4-26),,利用式(4-26)可求出導壓系數(shù)a和貯水系數(shù)4.1.6定降深井流的計算hsww在側向無限延伸的承壓含水層中抽水，如果在整個抽水期間保持井中水頭或降深不變，那么抽水量Q將隨著抽水時間的延續(xù)而逐漸減少;除了抽水井本身以外，含水層中sw任一點的水頭H也將隨著時間的延續(xù)而逐漸降低。當t??時，Q?0，s(r)?。一口頂蓋密封住的自流井，會保持原來水頭。在打開井蓋的瞬間，水從井中溢出，水位迅速降低到井口附近。在一定時間內(nèi)，自流井內(nèi)保持一定的水位，流量則逐漸減少。對自流井放水來說，基本上屬于這種定降深變流量問題(圖4-8)?？拥婪潘@孔也類似于這種情況。如果其他條件同推導Theis公式時的假設一樣，則該定解問題的數(shù)學模型為:圖4-8承壓含水層中定降深抽(放)水試驗,1,,,s,s,,r,,,r,r,rT,t,,t>00<r<?，，sr,0,00<r<?，，s,,t,0t>0，，s0,t,swt>0這個數(shù)學模型通過Laplace變換求得其解為:，，s,sA,,rw(4-27)s，，A,,rw,和r式中，為井中降深;為以為變量的函數(shù)，稱為無越流補給承壓含水層定降Ttr,,r,2,r,rww深井流的降深函數(shù)，其值列于表4-3中;為無量綱徑向距離;為無量綱時間。表4-3函數(shù)A(λ，r)數(shù)值表(略)將(4-27)式對r求導數(shù)并代入Darcy定律，得:，，Q,2,TsG,w(4-28)，，G,式中，Q為隨時間變化的流量;為無越流補給承壓含水層定降深井流的流量函數(shù)(表4-4)。表4-4G(λ)數(shù)值表(據(jù)Jacob和Lohman)，，G,,,如果在雙對數(shù)坐標紙上繪制曲線(圖4-9)，由此曲線可以看出，隨時間的增，，G,加，λ增大，減小，流量Q也隨著減小。，，A,,r是一個小于1的函數(shù)。由(4-27)式可以看出，各點降深等于自流井或放水井的r降深乘以一個小于1的函數(shù)。這個函數(shù)在同一時刻隨著的增加而減小;在同一斷面上隨著t增加、λ增大而逐漸增加。因此，各點降深在同一時刻隨遠離自流(放水)井而逐漸減小;在同一斷面上隨著時間增加而增大。這是符合實際情況的。利用自流井做放水試驗可以確定水文地質(zhì)參數(shù)，這是一種既簡單又經(jīng)濟的辦法。確定參數(shù)方法的原理和定流量抽水試驗相似。茲介紹如下:1.配線法Tt,,,2r,對(4-28)式和式兩側取對數(shù)，有:,,，，lgQ,lgG，lg2Tsw2,,rlg,lg，lgt,T，，，，G,,,G,,,在雙對數(shù)坐標紙上，Q-t曲線與曲線形狀相同，可以利用匹配點坐標，Q和t來確定參數(shù)。2.直線圖解法Tt2,r,根據(jù)(4-28)式，當λ=>5000時，有下列近似關系:2,G，，,Tt2.25ln2,r,w于是有:,Ts4w,G，，,Tt2.25ln2,r,w或:Tt12.32.25,lg2,,QTs4r,ww0.1832.25Tt0.183,lg，lgt2,TsTsr,www1Q由上式可以看出，與lgt為線性關系(圖4-10)。利用斜率i得:0.183T,siw將直線延長，交t軸于一點to，利用to點的1圖4-10定降深放水試驗應用直線圖解法,,Q=0，可計算。確定水文地質(zhì)參數(shù)思考題:1.Theis公式的假設條件是什么?它的應用有沒有局限性?2.有人說降深和時間關系為一對數(shù)曲線s=a+blgt，您認為有根據(jù)嗎?tpt3單對數(shù)紙上的水位恢復直線s'=f(1+)是否應該通過坐標原點，為什么??4-2有越流補給的完整井流4.2.1基本方程在第1章中，我們曾談到在越流含水層中抽水時會發(fā)生越流。有時，人們把這種系統(tǒng)，包括越流含水層、弱透水層和相鄰的含水層(如果有的話)稱為越流系統(tǒng)(圖1-30)。越流系統(tǒng)通常可以劃分為三種類型，第一越流系統(tǒng)是不考慮弱透水層彈性釋放、忽略補給層水位變化的越流系統(tǒng);第二越流系統(tǒng)是考慮弱透水層彈性釋放、不考慮補給層水位變化的越流系統(tǒng);第三越流系統(tǒng)是不考慮弱透水層彈性釋放、考慮補給層水位變化的越流系統(tǒng);。第3章探討了這種情況下的穩(wěn)定運動(圖3-9)?，F(xiàn)在進而探討這種情況下的非穩(wěn)定運動。研究時采用了和研究穩(wěn)定運動時相同的地質(zhì)模型(圖3-9)和假設，即:(1)越流系統(tǒng)中每一層都是均質(zhì)各向同性，無限延伸的第一類越流系統(tǒng)，含水層底部水平，含水層和弱透水層都是等厚的;(2)含水層中水流服從Darcy定律;(3)雖然發(fā)生越流，但相鄰含水層在抽水過程中水頭保持不變(這在徑流條件比較好的含水層中不難達到);(4)弱透水層本身的彈性釋水可以忽略，通過弱透水層的水流可視為垂向一維流;(5)抽水含水層天然水力坡度為零，抽水后為平面徑向流;(6)抽水井為完整井，井徑無限小，定流量抽水。在上述假設條件下，根據(jù)微分方程(1-83)，把水頭化為以降深表示，并改用柱坐標，于是有越流補給的抽水含水層中地下水運動的基本方程為:2,,s,ss,s1,，,,22r,rT,t,rB(4-29)相應的定解條件為:s,00,r,,t,0(4-30)s,0t,0r,,(4-31),sQ,,limr,,t,0,,r,0,,r2T,,(4-32)對方程(4-29)施行Hankel變換，于是原定解問題變?yōu)槌Ｎ⒎址匠痰某踔祮栴}，可以很容易地求得它的特解。再施行逆變換可求得其解為:Qr,,s,Wu,,,,4TB,,(4-33)其中，2r,,y,2r1,,4ByWu,edy,,,,uBy,,2,r,u,4Tt(4-34)有關推導過程請參閱文獻[2]。(4-33)式為Hantush和Jacob于1955年建立的有越流補給r,,Wu,,,B,,的承壓水完整井公式。其中，為不考慮相鄰弱透水層彈性釋水時越流系統(tǒng)的井函數(shù)，其值列于表4-5中。r,,Wu,,,,，，Wu,aB,,表4-5或數(shù)值表4.2.2公式討論1.降深-時間曲線的形狀將(4-33)式寫成無量綱降深形式:sr,,,Wu,,,QB,,4Ttr1,,Wu,,,B,,u根據(jù)表4-5的井函數(shù)表，繪制-曲線(圖4-11)。曲線反映出，有越流補給的s-t關系大致可分為三個階段:圖4-11越流潛水含水層的標準曲線(1)抽水早期，降深曲線同Theis曲線一致。這表明越流尚未進入主含水層，抽水量Kr,,1Wu,,,mB,,1幾乎全部來自主含水層的彈性釋水。在理論上，相當于=0或B??，?W(u)此時和Theis曲線一致。rB標準曲線組中又反映出，不同時，與Theis曲線吻合的時間也不一樣。在其他條件K1rm1B一定時，如果越流系數(shù)越小(即越小)，同Theis曲線一致的過程就越長。這說明，弱透層透水性越小，厚度越犬，阻力越大，越流進入抽水層的時間越晚。當弱透水層透水性無限小時，在有限的抽水時間內(nèi)，可能沒有明顯的越流反映，而同Theis曲線相一致。(2)抽水中期，因水位下降變緩而開始偏Theis離曲線，說明越流已經(jīng)開始進入抽水2r24yB含水層。這時，抽水量由兩部分組成:一是抽水含水層的彈性釋水，二是越流補給，值由零進入有限值，即:2r,y,,,2r11,,,y4By，，Wu,edy,edy,Wu,,,,,uuByy,,K1rm1B因此，越流含水層的降深小于無越流含水層的降深，而且隨增大(即越大)，越流含水層的降深比無越流含水層的降深小得越多。(3)抽水后期，曲線趨于水平直線，抽水量與越流補給量平衡，表示非穩(wěn)定流已轉化為穩(wěn)定流。此時方程(4-33)，當t??時，u?0，可簡化成(3-33)式，即:Qr,,s,K,,02,TB,,r,,K,,0B,,式中，為虛宗量第二類Bessel函數(shù)(表4-16)。r,,K,,0B,,表4-6數(shù)值表2.水頭下降速度2r,,,y,2,sQ,,u1,,4By,edy,,,,,t4T,uy,t,,2,,,,rTt,,,，,2,,Q14Tt,B,,,e,Ttt4(4-36)與(4-16)式比較可以看出，越流含水層水位下降速度比無越流含水層慢。另外，與無越流含水層一樣，當t足夠大時，在一定的范圍內(nèi)，水位下降速度是相同的。4.2.3利用抽水試驗資料確定越流系統(tǒng)的參數(shù)1.配線法r,,Wu,,,B,,用定流量抽水試驗實測的lgs-lgt曲線與標準曲線lg-lgu的形狀是相同的，只2,Q,rlg4,T4T是其縱、橫坐標彼此平移了lg和而已。下面僅簡單地寫出其步驟:r,,1Wu,,,B,,u(1)在雙對數(shù)坐標紙上繪制-標準曲線;(2)在另一同模數(shù)的透明雙對數(shù)坐標紙上，投上s-t實測數(shù)據(jù);rB(3)在保持對應坐標軸彼此平行的前提下，相對移動兩坐標紙;在一組標準曲線中找出最優(yōu)重合曲線(圖4-12);r,,1Wu,,,B,,u(4)兩曲線重合以后，任選一匹配點，記下對應的四個坐標值，，ts。將它們分別代入(4-33)和(4-35)式，可以計算含水層的參數(shù)T和μ，即:，，Qr,,T,Wr,,,,,,,,4sB,,，，,,4Tt,,,1，，2r,,u，，Kr，，1,,mB，，1(5)已知和r，可計算出B值和值:圖4-12越流含水層的配線法2.拐點法(1)原理(a)取(4-33)對lgt的導數(shù)，由(4-36)式有2,,rTt,,,2,s,sdtQlg14Tt,B,,e,,t,tdtTtlg4故有:2,,rTt,,,22.3,sQ4Tt,B,elg4,,tT(4-37)從(4-37)可看出，同一觀測孔的s-lgt曲線的斜率變化規(guī)律是由小到大，又由大變到小，存在著拐點?？梢酝ㄟ^s對lgt的二階導數(shù)等于零來確定其位置。設拐點為P，則:2,,rTt222,,,,,sTt,,,2Qr2.3，，p4Tt,B,,e,,,02,2,,,TTt44,B，，t,lgp,,故在拐點有:2,Tt,rp,,0,2Tt,B4p解得拐點處的時間tp為:,,Br,tp2T(4-38)相應的u值為:2,rr,u,,p4Tt2Bp(4-39)將(4-39)式代回(4-37)式，得拐點處切線的斜率為:r,2.3QBi,ep4,T(4-40)(b)求拐點處降深:把(4-39)式代入(4-33)式，得:2r,,y,2Q14Bys,edyrp,,Ty42B(4-41)進行變量代換:222rrr,,,,,,,ydyd,2222444ByBB,,設，,,,當y=0，2rr,,,22B4Buy,upp當則2r,,,,2QrQ1,,4B,s,K,ed,,,rp0,TBT24,,,,,2B(4-42)將(4-41)式和(4-42)式相加，得:Qr1,,sKs,,,,p0max4,TB2,,(4-43)(4-43)式表明，拐點處降深等于最大降深的一半(圖4-13)。圖4-13s-lgt曲線sipp(c)建立拐點P處降深與斜率之間的關系。用(4-40)式除(4-43)式得:rs2.3r,,pB,Ke,,0iB,,p(4-44)(4-44)式右端的值已列成表4-7xxx，，，，，，，，e,Kx,eKx,,E,x和,E,xeii表4-7的數(shù)值表(略)應用上述原理，根據(jù)某一觀測孔的觀測資料繪出s-lgt曲線，就可計算有關參數(shù)。(2)步驟:(a)單孔拐點法，有一個觀測孔時:?在單對數(shù)坐標紙上繪制s-lgt曲線，用外推法確定最大降深Smax(圖4-13)，并用(4-43)式計算拐點處降深Sp?根據(jù)Sp確定拐點位置，并從圖上讀出拐點出現(xiàn)的時間tp。?做拐點P處曲線的切線，并從圖上確定拐點P處的斜率ip。r,,r,,BB,,e?根據(jù)(4-44)，求出有關數(shù)值后，查表4-7確定和值rB?根據(jù)值求B值:rB,r，，,,B，，,,按(4-40)式和(4-38)式分別計算T和值:r2Tt,K2.3QTp,1BT,e,,,,,24iBrmB,1p?驗證，因為圖解出的Smax和Sp常有較大的隨意性而引起誤差，所以進行驗證是必要的。將所求得的參數(shù)代入(4-33)式，并給出不同的t值，計算理論深降。然后把它同實測降深比較，如果不吻合，則應重新圖解計算。(b)單孔拐點法，有多個觀測孔時:當抽水時間不長，觀測孔降深未趨于穩(wěn)定，不知道或不可能外推求出Sm時，不能用上面介紹的方法。此時可利用下述方法求參數(shù)。根據(jù)(4-40)式有:r,2.3QBi,ep4,T兩邊同時取對數(shù):2.3Qrlniln,,p4,TB2.3Qr,2.3Blg,2.3Blgip,4T(4-45)lgip式(4-45)表明，r與呈線性關系。如有三個以上的觀測孔資料能繪制出r-lgip曲線時，可以用它來計算參數(shù)。具體步驟如下:lgip?繪每個觀測孔的s-lgt曲線(圖4-140，并從圖上確定每條曲線直線段的斜率近似地代替拐點處的斜率。lgip圖4-14各觀測孔的s-lgt曲線圖4-15r-曲線lgip?根據(jù)各孔的斜率作r-曲線(圖4-15)，應為一條直線。取該直線的斜率，得:,r,r,,2.3B,B,,，，，，,lgi2.3,lgippip?將r-lgip直線段延長交橫軸于一點，讀得r=0時的()。把它代入(4-45)式，得:2.3Q，，r,0,lg,lgip0,4TK2.3QT1T,,2，，4,imBp10?將所求得的B、T代入(4-43)式，計算出不同觀測孔的拐點處降深:Qr,,s,K,,p04,TB,,,s,p利用從s-lgt曲線上讀得tp值，然后按(4-38)式算出各孔的值:2Ttp,,,Br最后取其平均值。思考題:式(4-33)的假設條件是什么?有何局限性??4-3有弱透水層彈性釋水補給和越流補給的完整井流在層狀含水層分布區(qū)一個含水層常被弱透水層覆蓋或下伏有弱透水層，形成雙層或多層結構的含水層組。從含水層中抽水時，會引起弱透水層彈性釋水補給抽水含水層。當弱透水層厚度較大時這種補給相當大，不能忽略不計。1960年M.s.Hantush研究了這個課題。4.3.1基本方程下面討論考慮弱透水層彈性釋水，而相鄰含水層(如果有的話)水頭保持不變的越流系統(tǒng)的基本方程。其他假設條件如下:(1)含水層和弱透水層是均質(zhì)各向同性和等厚的，產(chǎn)狀水平，分布無限.天然水力坡度為零。單井定流量抽水。(2)含水層抽水時，能得到弱透水層彈性釋水的補給。弱透水層滲透系數(shù)與含水層滲透系數(shù)相比，要小的多(差兩個數(shù)量級以上)。因此可以認為，通過弱透水層中的水流是垂向運動，而抽水含水層中則為水平徑向運動，服從Darey定律。在上述假設條件下，含水層中地下水的運動應遵循(1-83)式，相應地在弱透水層中地下水的運動服從(1-71)式。如果越流強度改用降深表示，則由(1-82)式有:,H,s,H,s1122v,,K,Kv,,K,K,111222,z,z,z,tK,H,K,H1122式中，分別為上、下弱透水層垂直方向的滲透系數(shù)和水頭。如整個方程組也改用降深表示，則有:2,s,,,s,H,s,s1,12,,T，，K,K,,122,,r,r,z,z,t,r,,,,,，，，，，，,,T,sr,t,,,T,sr,z,t,,,T,sr,z,t111222式中，分別為抽水含水層、上弱透水層下弱透水層的貯水系數(shù)、導水系數(shù)和水位降深。根據(jù)連續(xù)性mm22原理，在抽水含水層的底板(即z=處)和頂板(即z=+M處)(圖1-30)分別有:，，，，sr,m,t,sr,t22，，，，sr,m，M,t,sr,t22常見的考慮含水層彈性釋水補給而相鄰含水層(如果有的話)的水頭保持不變的越流系統(tǒng)，主要有下列三種情況(圖4-16):第一種情況，與上、下弱透水層相鄰的是兩個定水頭的含水層;第二種情況，與上、下弱透水層相鄰的是兩個隔水層;第三種情況，與第一個弱含水層相鄰的是定水頭含水層，與另一個弱含水層相鄰的是隔水層。對于這三種情況，可以分別寫出它們的微分方程和定解條件。先看第一種情況:圖4-16弱透水層彈性釋水的三種情況(據(jù)Hantush)上弱透水層:2,s,s,11T,(4,46),11,s,t1sr,z,0,0(4,47)，，1sr,m，M，m,t,0(4,48)，，121，，，，sr,m，M,t,sr,t(4,49)12抽水含水層:2,,sss,1,,,,,,,,TKsrmMtKsrmt，，,，,,,,,(4,50)，，，，1122222,,rrzzt,,,,r,,,sr,0,0(4,51)，，1st，，,,,0(4,52)1，，srtQ,,limr,,(4,53)r,0r,T,2下弱透水層:2,s,s,22T,(4,54),22,s,t2sr,z,0,0(4,55)，，1sr,0,t,0(4,56)，，1，，，，sr,m,t,sr,t(4,57)12第二種情況和第一種情況基本相同，只是將(4-48)和(4-56)式分別以下式代替:,s，，sr,m，M，m,t,0121,z,s，，sr,0,t,02,z第三種情況也和第一種情況基本相同，只是將式(4-56)用下式代替:,s，，sr,0,t,02,z上述定解問題，對于足夠短的時間和足夠長的時間有近似解。(1)(1)(1)抽水初期的解:,,mm,,1122t，t，10K10K21當和時，三種情況有相同形式的近似解:Q，，s,Hu,,4T,y,，，,e,u，，,Hu,erfcdy,,,,uy，，,yyu,,，，式中，2,,r,u4Tt,,,,rr12,,，,,4B4B,,12TmTm12B,B,12KK12，，分別為上、下兩個弱水層的越流因數(shù)。，，Hu,,考慮弱透水層彈性釋水時，越流系統(tǒng)的井函數(shù)的值列于表4-8中。，，Hu,,表4-8數(shù)值表(據(jù)Hantush)(2)抽水時間較久時的解:,,mm,,1122t，5t，5KK21第一種情況:當，同時時，其解為:Q，，s,Wu,a1,4T(4-62)，，Wu,a1式中，為不考慮弱透水層彈性釋水的越流系統(tǒng)的井函數(shù)(表4-5),,,,,,2,12,,r，，,,,33,,u,14Tt,,mm,,2211t，10t，10KK12第二種情況:當，同時時，其解為:QsWu，，,24,T，，Wu2式中，為無越流含水層的井函數(shù)(表4-1);,,2,r，，,，,，,12u,24Tt,,mm,,2211t，5t，10KK12第三種情況:當，同時時，其解為:,,Qr,,s,Wu,3,,,4TB1,,,,r,,Wu,3,,B1,,式中，為不考慮弱透水層彈性釋水的越流系統(tǒng)的井函數(shù)(表4-5);,,,,,2,2,,r，，,,1,,3,,u,34Tt4.3.2公式討論1.上面列舉的是在一般情況下的解。如果在上述三種情況的任何一個解中，令,,，，B,B,,,,,,,0時，,,0，erfc0,11212就成了無越流補給的承壓含水層的Theis公式。,,K,0,,,,,0212在第一、第三種情況中，如果取，此時(4-62)式和(4-64)式轉化為(4-33)式，即不考慮弱透水層彈性釋水的越流系統(tǒng)。1，，Hu,,u2.在雙對數(shù)坐標紙上繪制-標準曲線(圖4-17)。由(4-60)式有:s，，,Hu,,Q4Tt可知，曲線反映出s與t的關系，也反映出s與β的關系。總的說來，s隨著β的增大而減,,,,21小。當β=0時，曲線和Theis曲線一致。這意味著:?隨著和的增大，s會減小。因此，弱透水層的貯水系數(shù)增大，可以釋放出更多的水，抽水含水層的降深就會相應地減小;?隨著r的增大，s會減小;?隨著越流因素B的減小，s也會減小。4.3.3利用抽水試驗資料確定水文地質(zhì)參數(shù)根據(jù)抽水初期或短時間抽水的資料，利用配線法求參數(shù)的原理同前。利用觀測孔的全部觀測資料，在雙對數(shù)透明紙上繪出s-t曲線，把抽水初期的曲線(或短時間抽水的曲線)同11，，，，Hu,,Hu,,,,s,tuu標準曲線-(圖4-17)重合，記下匹配點的坐標，，，代,,入公式(4-60)，求出含水層的參數(shù)T和。圖4-17考慮弱透水層彈性釋水，越流系統(tǒng)短期抽水時的標準曲線(據(jù)Walton),,4Tt,,,1Q，，2r，，T,,,Hu,,,,u,,4s,，，，對于長時間抽水，第一種情況〔(4-62)式〕和第三種情況〔(4-64)式〕利用配線法確定參數(shù)的原理和方法同有越流補給的(4-33)式相同，標準曲線都是用(圖4-11)所示的曲線。根據(jù)長期解的第二種情況〔(4-63)式〕，利用配線法確定參數(shù)和利用Theis公式的配線法相同。思考題:如果抽水含水層位于隔水層之上，它上面被一本身貯存有水、且釋放問題不能忽略不計的弱透水層覆蓋時，如何計算?請寫出有關公式??4-4潛水完整井流前面重點討論了承壓完整井流，下面討論潛水完整井流問題。潛水井流與承壓水井流不同，它的上界面是一個隨時間而變化的浸潤曲面(自由面)。因而它的運動與承壓含水層中的情況不同主要表現(xiàn)在下列幾點:(1)潛水井流的導水系數(shù)T=Kh隨距離r和時間t而變化，而承壓水井流T=KM，和r，t無關;(2)當潛水井流降深較大時，垂向分速度不可忽略，在井附近為三維流。而水平含水層中的承壓水井流垂向分速度可忽略，一般為二維流或可近似地當二維流來處理;(3)從潛水井抽出的水主要來自含水層的重力疏干。重力疏干不能瞬時完成，而是逐漸被排放出來，因而出現(xiàn)明顯地遲后于水位下降的現(xiàn)象。潛水面雖然下降了，但潛水面以上的非飽和帶內(nèi)的水繼續(xù)向下不斷地補給潛水。因此，測出的給水度在抽水期間是以一個遞減的速率逐漸增大的。只有抽水時間足夠長時，給水度才實際上趨于一個常數(shù)值。承壓水井流則不同，抽出的水來自含水層貯存量的釋放，接近于瞬時完成，貯水系數(shù)是常數(shù)。到目前為止，還沒有同時考慮上述三種情況的潛水井流公式。在一定條件下，也可將承壓水完整井流公式應用于潛水完整井流的近似計算。如果滿足?4-1前面的四個假設條件，條件(5)雖然不同，但當抽水相當長時間以后，遲后排水現(xiàn)象已不明顯，可近似地認為已滿足條件(5)。因此，潛水完整井在降深不大的情況下，即s?0.1Ho，H。為抽水前潛水流的厚度，可用承壓水井流公式作近似計算。此時，潛水流厚度可近似地1H,(H，H)22m0H,H02用，來代替。于是承壓水井公式中的2Ms用代替，則有:2Qr,22,H,H,W(u),u,(T,KH)0m,2K4Tt,也可采用修正降深值，直接利用Theis公式:22sQr,,s,s,,W(u),u,(T,KH)02H4T4Tt,0,s式中，為修正降深;S為實際觀測降深;H。為潛水流初始厚度。有關計算潛水完整井流的方法主要有:?考慮井附近流速垂直分量的Boulton第一潛水井流模型;?考慮遲后排水的Boulton第二潛水井流模型;?既考慮流速的垂直分量又考慮潛水含水層彈性釋水的Neuman模型。這里簡單地介紹后兩種模型。4.4.1考慮遲后疏干的Boulton模型1.假設條件及井流狀態(tài)分析..Boulton是在下列條件下進行討論的:(1)均質(zhì)、各向同性、隔水底板水平的無限延伸的含水層;(2)初始自由水面水平;(3)完整井，井徑無限小，降深s<<Ho(潛水流初始厚度)的定流量抽水;(4)水流服從Darcy定律;(5)抽水時，水位下降，含水層中的水不能瞬時排出，存在著遲后現(xiàn)象。分析潛水完整井抽水時的降深-時間曲線，可以明顯地看到三個階段:第一個階段:抽水早期(也許只有幾分鐘)，降深-時間曲線與承壓水完整井抽水時的Theis曲線一致，主要表現(xiàn)為潛水位下降了。但含水介質(zhì)不能立即通過重力排水把其中的水排出，而只是由于壓力降低引起水的瞬時釋放，即彈性釋水。含水層的反應和一個貯水系數(shù)小的承壓含水層相似。一般來說，水流主要是水平運動。第二個階段:降深-時間曲線的斜率減小，明顯地偏離Theis曲線，有的甚至出現(xiàn)短時間的假穩(wěn)定。它反映疏干排水的作用，好象含水層得到了補給，使水位下降速度明顯減緩。含水層的反應類似于一個受到越流補給的承壓含水層。但降落漏斗仍以緩慢速度擴展著。第三個階段:這個階段的降深一時間曲線又與Theis曲線重合。說明重力排水已跟得上水位下降，遲后疏干影響逐漸變小，可以忽略不計。抽水量來自重力排水，降落漏斗擴展速度增大。此時，給水度所起的作用相當于承壓含水層的貯水系數(shù)。決定于含水層的條件，這一階段可以從抽水后的幾分鐘到幾天后開始。Boulton根據(jù)抽水過程中降深一時間曲線的特征提出了考慮遲后疏干的計算方法。他作了如下假設:抽水開始后的時間τ和τ+Δτ之間潛水面下降了Δs，此時含水層排出水量由兩部分組成:(1)彈性釋放出的水量:水位下降Δs時，單位面積含水層的彈性釋水量為:μΔs?1(2)遲后疏干排水量:降深Δs時，單位水平面積含水層于t時刻。(t>τ)排出的重力水量假設為:,,(t,,),s,,,,e,1式中，μ為給水度，α為一經(jīng)驗系數(shù)。假設是有一定道理的，因為:,,(t,,),s,,,,e,1(a)遲后疏干排水量與t-τ的關系如圖4-18所示，符合一般經(jīng)驗。(b)在τ時刻以后，單位水平面積含水層內(nèi)降深為一個單位時，遲后重力排水的總體積為:,,,(t,,),,,edt,,,,它等于含水層的給水度。因此，在水量均衡上沒有矛盾，符合實際，假設是合理的。圖4-18遲后疏干排水過程線(c)在τ和t區(qū)間遲后排水總量為:t,,(t,,),,(t,,),s,,,edt,,s,[1,e],,由上式可了解α的意義。若α大，則τ到t時間內(nèi)排出的水量大，即遲后性小;或者說，1/α小，遲后性小。因此，稱1/α為延遲指數(shù)。2.數(shù)學模型及其解如果只考慮貯存水的釋放，不考慮遲后重力排水，并假設降深很小(sH。)值保持不變，則潛水非穩(wěn)定徑向運動的偏微分方程可寫為:2,s,s,s1,T，,(),2r,r,t,r如果考慮遲后重力排水，則方程式的右邊還要加上一項，即在t時刻單位水平面積含水層中單位時間內(nèi)遲后重力排水的體積。這個值可以這樣來求得:,,,,,,(i,1,2,,,,,,,n,1,n,而iii,1將0到t這一時間段分成n個時間小段,,0),s(i,1,2,,,,,,,n,1,n),,0ii，每一小段對應的降深為。,(t,),,i,s,s,,eii由上述假設知，在t時刻由引起的排水量為。顯然，由于遲后排水，,sit時刻以前的每一個都會排水到達t時刻的潛水面。在t時刻單位水平面積的潛水面上，單位時間接受的遲后排水總量為:nn,s,,(,,)ti,,(t,,)iie,,,,,s,,e,,i,i,,,1iii,1,s,si,,,,,,,ii當n??，?0時，，則有:,st,,(t,,),,,ed,0,,,因此，考慮遲后重力排水時，流向潛水完整井非穩(wěn)定運動的偏微分方程為:2,,,,s1sss,t,,(t,,)T(，),,，,,ed,02,,,,rrt,r,相應的定解條件為:s(r，0)=0fs(?，t)=0t>0fsQ,lim(r),,r,0r2,T,t>0Boulton求得上述定解問題的解為:2,,Q2(1x)tr,,u,1s{1e[chushu]}J(x)dx,,，0220,,,4tx2uD2式中:s-一定流量抽水，距抽水井為r處t時刻的降深;22222(1)4at,，x,,x,t,,x(1)u,u,1222;,,,,,1,，,,;;,,,,,,,,,，T,,D=-疏干因素(量綱為L);,,-貯水系數(shù);μ-給水度;1,-延遲指數(shù);x-積分變量;-Jo(x)-第一類零階Bessel函數(shù)。當η??時，即給水度比貯水系數(shù)大得多時，(4-71)式可簡化為:2tx,,Qrdx12,x，1sJxeF,2()[1,,]00,2,tDxx4，122xr,,,t(x，1)e2ua,yx，1D式中，F(xiàn)=。(4-72)式的積分部分可W(，)來表示，稱為無壓uuua,yya含水層中完整井的井函數(shù)(表4一9)。其中的，在抽水早期取值，抽水后期取。它所描述的曲線形狀，也就是理論上降深一時間曲線的形狀。據(jù)此，可將上述解分為三部分:Qrs,W(u,)a,4TD抽水早期:QrsK,()0,TD2抽水中期:Qrs,W(u,)y,4TD抽水晚期:rW(u,)aD式中-無壓含水層中完整井流A組井函數(shù);rW(u,)yD-無壓含水層中完整井流B組井函數(shù);2,,r,ua4Tt2r,u,y4TtrK()0D-虛宗量第二類Bssel函數(shù)。3.討論2tx,,112x，1e22x，1，1x在t相當小時(相當于抽水的初期)，(4-72)式中的?，11,2x，1=(4一72)式可寫成:222Qrxdxx,,,,t(x，1)sJxe,2()[1,]002,2,tDx4xx，1，1此式經(jīng)適當變換，可證明它與(4-33)式一樣，只是(4-33)式中的u和在此變?yōu)楹投?。說明在抽水初期，潛水位下降過程和越流承壓含水層的水位下降過程是相同的。當t很大時(相當于抽水延續(xù)時間很長的情況)，可以證明定解問題的解和Theis公式(4-11)相當，此時的u值即=。說明在長時間抽水后，潛水含水層中完整井的降深計算是可以采用Theis公式的。井函數(shù)W(，)不能用初等函數(shù)表示，但可求出它的數(shù)值解(表4-9)。根據(jù)這些數(shù)值在雙對數(shù)紙上畫出標準曲線族，如圖4-19所示。它包括兩組曲線:左邊是A組W(，)-曲線，適用于抽水早期;右邊是B組W(，)-曲線，適用于抽水后期。兩組曲線間用它們的共同切線連接。由于(4-72)式是在η??時，由(4-71)式簡化得來的，這時曲線的中間部分為一水平線，可以用(4-74)式來表達。當η?100時，曲線的中間部分仍趨近于一水平線，因而(4-74)式仍然適用。如果η<100時，則曲線的中間部分就不是水平線，而是一條比早期和后期曲線的斜率小得多的曲線。曲線組反映了遲后排水的影響。在抽水初期，因以彈性釋水為主，水位降深同左邊的Theis曲線吻合。當遲后重力排水發(fā)生影響后便偏離Theis曲線，下降速度變小，并隨的不同方式以水平線趨近。在抽水后期，遲后中立排水減弱，下降速度由小變大，曲線斜率增加。當遲后重力排水影響基本結束時，又趨向右邊的Theis曲線，和前面分析的三個階段是一致的。4.利用抽水試驗資料確定水文地質(zhì)參數(shù)(1)配線法:根據(jù)表4-9在雙對數(shù)坐標紙上繪制標準曲線(圖4-19)。當5<η<100時，嚴格講，應按(4-11)式另作標準曲線。但T.A.Prickett經(jīng)對比表明，按(4-71)式制作的η為有限值的標準曲線和根據(jù)聯(lián)結A組、B組曲線的切線來表示中間過渡帶的方法繪制的標準曲線差別不太大。因此，可以用后者作為前者的近似。?根據(jù)試驗資料，在模數(shù)和標準曲線相同的透明雙對數(shù)紙上，繪制s-t曲線。?把s-t曲線疊置在標準曲線上，保持對應坐標軸平行，使s-t曲線盡可能多地與某一條1rr,uauaDDA組曲線重合。任選一匹配點，取坐標:s，t，W()，和重合曲線的值，代入有關公式計算參數(shù):Qr4T[t],,[(,)],T,Wu,a14[s]D,2[]ruarD?使s-t曲線的剩余部分盡可能多地與B組曲線重合，值不變。任選匹配點，取坐1ru,yuyD標值:s，t，W()，，代入有關公式計算參數(shù):QrTt4[]T,Wu,[(,)],,y1sD4[],2r[]uy把μ的表達式代入D的表達式，即可得上式。?上述計算是在假設降深S與含水層厚度Ho之比比較小的情況下，以T值不變?yōu)榍疤岬?。但實際上，T在改變，隨著含水層被疏干，厚度減小，相應的T值也減小。為減小這方面的誤差，需對觀測降深用(4-66)式進行校正。1uy?由標準曲線圖可以看出，隨著的增加，B組曲線逐漸向Theis曲線靠近，最終兩tw,t者非?？拷睾?，這個使B組曲線變?yōu)門heis曲線的時間，是遲后重力排水對降深影1uy響基本結束的時間;將配合點的值代入(4-79)式可得:1r12,,t(),wt4Duyrrt,,w,t,tw,tDD上式反映與有對應關系，故可作出曲線(圖4-20)。然后，根據(jù)前面求1r,ttw,tw,tD,得的，由圖4-20得，再把，值代入，就可求出來。tw,t圖4—20計算的關系曲線圖4—21潛水完整井抽水的s-lgt曲線(2)直線圖解法:抽水持續(xù)足夠長時間后，遲后重力排水影響消除，s-lgt關系與無越流補給的承壓完整井一樣呈線性關系，故可利用直線圖解法計算參數(shù)。繪制s-lgt曲線，如圖4-21所示。由(4-13)式得:2.3Q2.25T2.3Qs,lg，lgt2,,4T,4Tr運用和?4-1中所講述的直線圖解法相同的方法，可得:2.25Tt2.3Q0,T,,,24ir,式中，i和to分別為從圖4-21上讀得的直線斜率和在橫軸(s=0)上的截距。Boultm法考慮了潛水含水層的彈性釋水性質(zhì)，并引進了遲后重力排水的假設，有一經(jīng)驗系數(shù)α，雖有一定道理，但其物理意義并不十分明確。因此，考慮遲后疏干的Boulton法仍是一種不完善的方法。4.4.2考慮流速垂直分量和彈性釋水的Neuman模型1,在Boulton模型中，延遲指數(shù)缺乏明確的物理意義，也不能保證α是常數(shù)，用它解釋無壓含水層從貯存中釋放水的機制就會有困難。下面將要介紹的Neuman模型，不僅考慮了流速的垂直分量和彈性釋水，還把潛水面視為可移動的邊界，建立了有關潛水面變動的連續(xù)性方程，并簡化得到潛水面邊界條件的近似表達式.這樣就不涉及非飽和帶和物理意義不明確的延遲指數(shù)了。1.定解問題及其解Neuman模型是在下列假設條件下建立的:(1)含水層均質(zhì)各向異性，側向無限延伸，坐標軸和主滲透方向一致，隔水層水平;(2)初始潛水面水平;(3)水流服從Darcy定律;(4)完整井，定流量抽水;(5)抽水期間自由面上沒有入滲補給或蒸發(fā);潛水面降深和含水層厚度相比小得多，因此在建立潛水面邊界條件時可以忽略水頭H對x、y的導數(shù)或對r的導數(shù)。在上述假設條件下，可以寫出潛水完整井流(圖4-22)的定解問題為:圖4-22潛水完整井流示意圖22,s,s,s,s1,K，，K,(),rZs22r,r,,,r,z0<Z<Hos(r，z，0)=0s(?，z，t)=0,,,,Ks(r,H),s(r,H,t)z0,t0,,ztsQ,H0limrdz,,0,r,0r2,K,r式中，kr為水平徑向滲透系數(shù);K2為垂向滲透系數(shù);μs為貯水率;μ為給水度pHo為潛水流初始厚度。通過積分變換，可求得上述定解問題的解。降深s用無量綱參數(shù)(β，σ，Zd和ts)表示為:1,Q,2s(r,z,t),4yJ(y,)[,(y)，,(y)]dy,000n,4T,n1,式中:22,,,{1,exp[,t(y,)]}ch(z)00sd,(y),022222{y，(1，,),,[(y,,)/,]}ch(,)00022,,,{1,exp[,t(y,)]}ch(z)snnd,(y),n22222{y，(1，,),,[(y,,)/,]}cos(,)nnn其中，γo，γn分別為下列兩個方程的根:2222,,sh(,),(y,,)ch(,),0,，y0000022,,sin(,)，(y,,)cos(,),0nnnn此處，,,HKz0z,,,K,,z,,h,ddd,KHrr02KrKTtTtdz,,,,,,,ttsy,2222rrhHK,,d0r在實際工作中，在完整觀測孔所觀測到的降深是降深在整個含水層厚度上的平均值s(r，t)。此時，上述解仍可用(4-86)式來表達，只是ω。(y)和創(chuàng)ωn(y)需要按下式重新定義:22,,,{1,exp[,t(y,)]}th()00s,(y),022222{y，(1，,),,[(y,,)/,]},00022,,,{1,exp[,t(y,)]}tg()snn,(y),y22222{y，(1，,),,[(y,,)/,]},nnn2.Neuman解的特點(1)降深-時間曲線的特點:解析解描述的降深-時間曲線和抽水過程的三個階段相一致。圖4-23反映的是各向同性含水層(Kd=1)中位于距抽水孔等于含水層厚度(Hd=1)處含水層Tt,4Tt(,)s(,s)sd,2,rQ底部(Zd=0)的降深。縱坐標是無量綱降深，橫坐標是無量綱時間六條曲線對應不同的σ。抽水早期，這些曲線和Theis曲線一致，說明此時抽水量基本上來自彈性釋水。第二階段，由于重力排水的影響，曲線和獲得"越流補給"的情況相似。σ越小，重力排水的作用愈大，這種類似于"越流補給"的影響愈顯著(表現(xiàn)為這個階段愈長)。隨著抽水時間的進一步延長，進入第三階段，彈性釋水的影響完全消失，曲線再一次和Theis曲線一致。圖4-23z=0，h=1和K=1，無量綱降深s與無量綱時間ts關系曲線dddd(據(jù)S.P.Neuman)在橫軸為無量綱時間ty的圖4-24上，曲線也反映了抽水的三個階段。μ愈小(σ愈小)降深-時間曲線第一階段所占的時間也愈短。當σ趨近于零時，第一階段就完全