2-5-3利用數(shù)量積計(jì)算長度和角度 練習(xí) 高中數(shù)學(xué)新北師大版必修第二冊（2022~2023學(xué)年）

2.5.3利用數(shù)量積計(jì)算長度和角度隨堂練習(xí)一、單選題1．已知向量，，則與的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)數(shù)量積的夾角公式進(jìn)行求解，再結(jié)合平面向量夾角范圍即可得到答案【詳解】解：，因?yàn)?，所以，故選：C2．已知向量，向量，則的形狀為(

)A．等腰直角三角形 B．等邊三角形 C．直角非等腰三角形 D．等腰非直角三角形【答案】A【分析】由向量的模求得三角形三邊長后，再判斷三角形形狀．【詳解】由題意，，，，而，∴是等腰直角三角形．故選：A．3．已知向量，,,則A． B． C．5 D．25【答案】C【詳解】將平方得，選C.4．已知向量，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用向量的夾角公式直接求解.【詳解】，則，所以C正確.故選：C.5．在平行四邊形中，，，.對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，E是線段OD的中點(diǎn)，AE的延長線與CD交于點(diǎn)F.設(shè)，，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由題意可證明，則，根據(jù)向量的分解、模長和數(shù)量積的運(yùn)算，即可判斷正誤.【詳解】解：對(duì)于A，取OB的中點(diǎn)G，連接CG，則且，即，則，A選項(xiàng)正確；對(duì)于B，，則，B選項(xiàng)正確；對(duì)于C，，則，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D，，D選項(xiàng)正確；故選：C.6．已知平面向量，的夾角為，且，，則與的夾角是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)平面向量的定義求夾角的余弦值，即.【詳解】，，所以，，則.故選：D.7．已知＝(1，n)，＝(－1，n)．若2－與垂直，則||＝（

）A．1 B．C．2 D．4【答案】C【分析】先表示2－的坐標(biāo)，再根據(jù)2－與垂直求得n即可.【詳解】解：因?yàn)橹?1，n)，＝(－1，n)，所以2－=（3，n）,因?yàn)?－與垂直，所以，解得，所以，故選：C8．在平行四邊形中，點(diǎn)，滿足，，且，設(shè)，則（

）A． B． C．2 D．【答案】B【分析】由題意可知是線段的中垂線，從而可得結(jié)果.【詳解】由得是的中點(diǎn)，又由得，所以.故選：B.二、多選題9．已知向量，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若向量同向，則B．若向量反向，則C．若，則D．若，則【答案】ABD【分析】向量同向和反向都是說的共線，就利用向量共線的定理分別求解即可；然后利用向量數(shù)量積的計(jì)算求解其角度即可.【詳解】由題意可得.當(dāng)同向時(shí)，，則A正確；當(dāng)反向時(shí)，（），則B正確；由，得，所以，即，解得，則D正確；因?yàn)椋?，所以，則C錯(cuò)誤.故選：ABD10．已知向量，，，向量是與方向相同的單位向量，其中m，n均為正數(shù)，且，下列說法正確的是（

）A．a(chǎn)與b的夾角為鈍角 B．向量a在b方向上的投影向量為C．2m+n=4 D．mn的最大值為2【答案】CD【分析】由數(shù)量積的符號(hào)可判斷A；根據(jù)投影定義直接計(jì)算可判斷B；根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示可判斷C；由基本不等式結(jié)合可判斷D.【詳解】對(duì)于A，向量(2，1)，(1，﹣1)，則，則的夾角為銳角，錯(cuò)誤；對(duì)于B，向量(2，1)，(1，﹣1)，則向量在方向上的投影為，錯(cuò)誤；對(duì)于C，向量(2，1)，(1，﹣1)，則(1，2)，若()∥，則(﹣n)=2(m﹣2)，變形可得2m+n=4，正確；對(duì)于D，由C的結(jié)論，2m+n=4，而m，n均為正數(shù)，則有，當(dāng)m=1，n=2時(shí)，mn有最大值2，正確；故選：CD.三、填空題11．已知點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，點(diǎn)的坐標(biāo)是，那么的值是________【答案】【分析】先應(yīng)用對(duì)數(shù)運(yùn)算公式解得m的值，再計(jì)算的坐標(biāo)，再由向量的模的運(yùn)算公式得.【詳解】∵點(diǎn)在函數(shù)上，∴，∴m=3，∴，∴，∴，故答案為：.12．已知，且與夾角為鈍角，則的取值范圍___________.【答案】且【分析】根據(jù)與夾角為鈍角列不等式組，由此求得的取值范圍.【詳解】由于與夾角為鈍角，所以，解得且.所以的取值范圍是且.故答案為：且13．已知，，且向量與的夾角為，則__________．【答案】2【分析】根據(jù)平面向量模的坐標(biāo)表示公式，結(jié)合平面向量數(shù)量積的定義和運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，因此，故答案為?4．已知，，向量在上的投影向量為__.【答案】【分析】直接根據(jù)投影向量的概念計(jì)算得到答案.【詳解】向量在上的投影向量為.故答案為：四、解答題15．已知向量，.(1)求與的夾角：(2)若滿足，，求的坐標(biāo).【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算得出、，進(jìn)而得到它們的模，根據(jù)數(shù)量積運(yùn)算公式即可得出夾角的余弦值；（2）設(shè)，表示出.根據(jù)向量垂直以及平行的坐標(biāo)表示可得出，解方程組即可得出結(jié)果.【詳解】（1）解：設(shè)與的夾角為.由已知可得，，則，，，所以，又，所以，所以與的夾角為.（2）解：設(shè)，則.由（1）知，又，所以.又，所以.聯(lián)立可得，，所以.16．已知向量，．(1)求；(2)設(shè)，的夾角為，求的值；(3)若向量與互相平行，求k的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】