第三章 非穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)

第三章非穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)第一頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四１、重點(diǎn)內(nèi)容：

①非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的基本概念及特點(diǎn)；②集中參數(shù)法的基本原理及應(yīng)用；③一維及二維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題。2、掌握內(nèi)容：

①確定瞬時(shí)溫度場(chǎng)的方法；②確定在一時(shí)間間隔內(nèi)物體所傳導(dǎo)熱量的計(jì)算方法。3、了解內(nèi)容：無(wú)限大物體非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的基本特點(diǎn)。

第二頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四§3-1非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的基本概念1、非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的定義物體的溫度隨時(shí)間而變化的導(dǎo)熱過(guò)程稱非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱。2、非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的分類周期性非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱：物體的溫度隨時(shí)間而作周期性的變化。瞬態(tài)非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱：物體的溫度隨時(shí)間的推移逐漸趨近于恒定的值。第三頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四3、瞬態(tài)非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱舉例第四頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四兩個(gè)不同的階段

非正規(guī)狀況階段(右側(cè)面不參與換熱)：溫度分布顯現(xiàn)出部分為非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱規(guī)律控制區(qū)和部分為初始溫度區(qū)的混合分布，即：在此階段物體溫度分布受初始溫度分布的影響較大

正規(guī)狀況階段(右側(cè)面參與換熱)：當(dāng)右側(cè)面參與換熱以后，物體中的溫度分布不受初始溫度分布影響，主要取決于邊界條件及物性，此時(shí)，非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過(guò)程進(jìn)入到正規(guī)狀況階段。第五頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四非正規(guī)狀況階段（起始階段）、正規(guī)狀況階段、新的穩(wěn)態(tài)非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過(guò)程的三個(gè)階段瞬態(tài)非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱與周期性非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的區(qū)別：前者存在著有區(qū)別的兩個(gè)不同階段，而后者不存在。熱流量變化曲線：陰影部分代表了物體升溫過(guò)程中所積聚的能量。第六頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四二、學(xué)習(xí)非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的目的：1、溫度和熱流量分布隨時(shí)間和空間的變化規(guī)律2、非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的導(dǎo)熱微分方程式：第七頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四(3)求解方法：分析解法、近似分析法、數(shù)值解法分析解法：分離變量法、積分變換、拉普拉斯變換近似分析法：

集中參數(shù)法、積分法數(shù)值解法：有限差分法、蒙特卡洛法、有限元法、分子動(dòng)力學(xué)模擬第八頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四三、第三類邊界條件下Bi數(shù)對(duì)平板中溫度分布的影響在第三類邊界條件下，確定非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱物體中的溫度變化特征與邊界條件參數(shù)的關(guān)系。

已知：平板厚、初溫、表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)h、平板導(dǎo)熱系數(shù)，將其突然置于溫度為的流體中冷卻。由于面積熱阻與的相對(duì)大小的不同，平板中溫度場(chǎng)的變化會(huì)出現(xiàn)以下三種情形：

第九頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四第十頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四1、

這時(shí)，由于表面對(duì)流換熱熱阻幾乎可以忽略，因而過(guò)程一開始平板的表面溫度就被冷卻到。并隨著時(shí)間的推移，整體地下降，逐漸趨近于。2、

這時(shí)，平板內(nèi)部導(dǎo)熱熱阻幾乎可以忽略，因而任一時(shí)刻平板中各點(diǎn)的溫度接近均勻，并隨著時(shí)間的推移，整體地下降，逐漸趨近于。第十一頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四

這時(shí)，平板中不同時(shí)刻的溫度分布介于上述兩種極端情況之間。3、與的數(shù)值比較接近

4、由此可見(jiàn)，上述兩個(gè)熱阻的相對(duì)大小對(duì)于物體中非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的溫度場(chǎng)的變化具有重要影響。為此，我們引入表征這兩個(gè)熱阻比值的無(wú)量綱數(shù)畢渥數(shù)：第十二頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四1）畢渥數(shù)的定義：畢渥數(shù)屬特征數(shù)（準(zhǔn)則數(shù)）。

2）Bi物理意義：

Bi的大小反映了物體在非穩(wěn)態(tài)條件下內(nèi)部溫度場(chǎng)的分布規(guī)律。3）特征數(shù)（準(zhǔn)則數(shù)）：表征某一物理現(xiàn)象或過(guò)程特征的無(wú)量綱數(shù)。4）特征長(zhǎng)度：是指特征數(shù)定義式中的幾何尺度。第十三頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四§3-2集中參數(shù)法的簡(jiǎn)化分析1定義：忽略物體內(nèi)部導(dǎo)熱熱阻、認(rèn)為物體溫度均勻一致的分析方法。此時(shí)，，溫度分布只與時(shí)間有關(guān)，即，與空間位置無(wú)關(guān)，因此，也稱為零維問(wèn)題。第十四頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四2溫度分布如圖所示，任意形狀的物體，參數(shù)均為已知。將其突然置于溫度恒為的流體中。第十五頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四當(dāng)物體被冷卻時(shí)（t>t）,由能量守恒可知方程式改寫為：，則有初始條件控制方程第十六頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四

積分過(guò)余溫度比其中的指數(shù)：第十七頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四

是傅立葉數(shù)物體中的溫度呈指數(shù)分布方程中指數(shù)的量綱：第十八頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四即與的量綱相同，當(dāng)時(shí)，則此時(shí)，上式表明：當(dāng)傳熱時(shí)間等于時(shí)，物體的過(guò)余溫度已經(jīng)達(dá)到了初始過(guò)余溫度的36.8％。稱為時(shí)間常數(shù)，用表示。第十九頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四應(yīng)用集中參數(shù)法時(shí)，物體過(guò)余溫度的變化曲線第二十頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四如果導(dǎo)熱體的熱容量（Vc

）小、換熱條件好（hA大），那么單位時(shí)間所傳遞的熱量大、導(dǎo)熱體的溫度變化快，時(shí)間常數(shù)(Vc/hA)小。對(duì)于測(cè)溫的熱電偶節(jié)點(diǎn)，時(shí)間常數(shù)越小、說(shuō)明熱電偶對(duì)流體溫度變化的響應(yīng)越快。這是測(cè)溫技術(shù)所需要的（微細(xì)熱電偶、薄膜熱電阻）工程上認(rèn)為=4Vc/hA時(shí)導(dǎo)熱體已達(dá)到熱平衡狀態(tài)第二十一頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四3瞬態(tài)熱流量：導(dǎo)熱體在時(shí)間0~內(nèi)傳給流體的總熱量：當(dāng)物體被加熱時(shí)(t<t)，計(jì)算式相同（為什么？）第二十二頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四4物理意義無(wú)量綱熱阻無(wú)量綱時(shí)間Fo越大，熱擾動(dòng)就能越深入地傳播到物體內(nèi)部，因而，物體各點(diǎn)地溫度就越接近周圍介質(zhì)的溫度。第二十三頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四采用此判據(jù)時(shí)，物體中各點(diǎn)過(guò)余溫度的差別小于5%對(duì)厚為2δ的無(wú)限大平板對(duì)半徑為R的無(wú)限長(zhǎng)圓柱對(duì)半徑為R的球5集中參數(shù)法的應(yīng)用條件是與物體幾何形狀有關(guān)的無(wú)量綱常數(shù)第二十四頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四§3-3一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的分析解1.無(wú)限大的平板的分析解λ=const a=const h=const因兩邊對(duì)稱，只研究半塊平壁第二十五頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四此半塊平板的數(shù)學(xué)描寫：導(dǎo)熱微分方程初始條件邊界條件(對(duì)稱性)第二十六頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四引入變量－－過(guò)余溫度令上式化為：第二十七頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四用分離變量法可得其分析解為：此處Bn為離散面(特征值)若令則上式可改寫為：*第二十八頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四μn為下面超越方程的根為畢渥準(zhǔn)則數(shù)，用符號(hào)Bi表示書上P73表3-1給出了部分Bi數(shù)下的μ1值第二十九頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四因此 是F0,Bi和函數(shù)，即注意：特征值 特征數(shù)（準(zhǔn)則數(shù)）第三十頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四2.非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的正規(guī)狀況

對(duì)無(wú)限大平板當(dāng)取級(jí)數(shù)的首項(xiàng)，板中心溫度，誤差小于1%

第三十一頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四與時(shí)間無(wú)關(guān)第三十二頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四若令Q為

內(nèi)所傳遞熱量

--時(shí)刻z的平均過(guò)余溫度考察熱量的傳遞Q0

--非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱所能傳遞的最大熱量第三十三頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四

對(duì)無(wú)限大平板，長(zhǎng)圓柱體及球：

及可用一通式表達(dá)無(wú)限大平板長(zhǎng)圓柱體及球此處此處的A，B及函數(shù)見(jiàn)P74表3-2第三十四頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四3正規(guī)熱狀況的實(shí)用計(jì)算方法－擬合公式法對(duì)上述公式中的A，B，μ1，J0可用下式擬合式中常數(shù)a,b,c,d見(jiàn)P75表3-3

a`,b`,c`,d`見(jiàn)P75表3-4第三十五頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四3正規(guī)熱狀況的實(shí)用計(jì)算方法－線算圖法諾謨圖三個(gè)變量，因此，需要分開來(lái)畫以無(wú)限大平板為例，F(xiàn)0>0.2時(shí)，取其級(jí)數(shù)首項(xiàng)即可先畫第三十六頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四(2)再根據(jù)公式(3-23)

繪制其線算圖(3)于是，平板中任一點(diǎn)的溫度為同理，非穩(wěn)態(tài)換熱過(guò)程所交換的熱量也可以利用（3－24）和（3－25）繪制出。第三十七頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四解的應(yīng)用范圍書中的諾謨圖及擬合函數(shù)僅適用恒溫介質(zhì)的第三類邊界條件或第一類邊界條件的加熱及冷卻過(guò)程，并且F0>0.2第三十八頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四§3-4二維及三維問(wèn)題的求解考察一無(wú)限長(zhǎng)方柱體(其截面為的長(zhǎng)方形)第三十九頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四第四十頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四

利用以下兩組方程便可證明第四十一頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四及第四十二頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四

即證明了是無(wú)限長(zhǎng)方柱體導(dǎo)熱微分方程的解，這樣便可用一維無(wú)限大平壁公式、諾謨圖或擬合函數(shù)求解二維導(dǎo)熱問(wèn)題其中其中第四十三頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四第四十四頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四限制條件：（1）一側(cè)絕熱，另一側(cè)三類（2）兩側(cè)均為一類（3）初始溫度分布必須為常數(shù)第四十五頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四§3-5半無(wú)限大的物體半無(wú)限大物體的概念第四十六頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四第四十七頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四誤差函數(shù)：令

無(wú)量綱坐標(biāo)引入過(guò)余溫度問(wèn)題的解為

誤差函數(shù)無(wú)量綱變量第四十八頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四說(shuō)明：(1)無(wú)量綱溫度僅與無(wú)量綱坐標(biāo)

有關(guān).(2)一旦物體表面發(fā)生了一個(gè)熱擾動(dòng)，無(wú)論經(jīng)歷多么短的時(shí)間無(wú)論x有多么大，該處總能感受到溫度的化。(3)

但解釋Fo,a時(shí)，仍說(shuō)熱量是以一定速度傳播的，這是因?yàn)?，?dāng)溫度變化很小時(shí)，我們就認(rèn)為沒(méi)有變化。第四十九頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四

令

若

即可認(rèn)為該處溫度沒(méi)有變化