湖南省衡陽市桐黃中學(xué)2022-2023學(xué)年高一數(shù)學(xué)理期末試卷含解析

湖南省衡陽市桐黃中學(xué)2022-2023學(xué)年高一數(shù)學(xué)理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有是一個符合題目要求的1.若直線與圓有兩個不同的交點(diǎn)，則點(diǎn)圓C的位置關(guān)系是（

）A．點(diǎn)在圓上 B．點(diǎn)在圓內(nèi) C．點(diǎn)在圓外

D．不能確定參考答案：C略2.甲船在B島的正南方向A處，AB=10千米，甲船以4千米/小時的速度向正北方向航行，同時，乙船自B島出發(fā)以6千米/小時的速度向北偏東60°的方向駛?cè)?，航行時間不超過2.5小時，則當(dāng)甲、乙兩船相距最近時,它們航行的時間是（

）A．2小時

B．小時

C.

小時

D．小時參考答案：C假設(shè)經(jīng)過小時兩船相距最近，甲乙分別行至如圖所示，可知，，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得，當(dāng)小時距離最小，故選C.

3.設(shè)全集，，則A=（

）.

.

..參考答案：B4.集合則的值是（

）A．

B．或

C．0

D．2參考答案：C5.三角函數(shù)y＝sin是(

)A．周期為4π的奇函數(shù)

B．周期為的奇函數(shù)C．周期為π的偶函數(shù) D．周期為2π的偶函數(shù)

參考答案：A略6.偶函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)且有最小值，那么在上是（

）A.減函數(shù)且有最大值

B.減函數(shù)且有最小值C.增函數(shù)且有最大值

D.增函數(shù)且有最小值參考答案：D7.函數(shù)在上遞減，那么在上（

）．A．遞增且有最大值

B．遞減且無最小值

C．遞增且無最大值

D．遞減且有最小值參考答案：A令，是的遞減區(qū)間，即，是的遞增區(qū)間，即遞增且無最大值．8.如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)棱垂直于底面，底面是邊長為2的正三角形，側(cè)棱長為3，則AA1與平面AB1C1所成的角為（

）A. B. C. D.參考答案：A【分析】取的中點(diǎn)，連接、，作，垂足為點(diǎn)，證明平面，于是得出直線與平面所成的角為，然后利用銳角三角函數(shù)可求出。【詳解】如下圖所示，取的中點(diǎn)，連接、，作，垂足為點(diǎn)，是邊長為2的等邊三角形，點(diǎn)為的中點(diǎn)，則，且，在三棱柱中，平面，平面，，，平面，平面，，，，平面，所以，直線與平面所成的角為，易知，在中，，，，，，即直線與平面所成的角為，故選：A?！军c(diǎn)睛】本題考查直線與平面所成角計(jì)算，求解時遵循“一作、二證、三計(jì)算”的原則，一作的是過點(diǎn)作面的垂線，有時也可以通過等體積法計(jì)算出點(diǎn)到平面的距離，利用該距離與線段長度的比值作為直線與平面所成角的正弦值，考查計(jì)算能力與推理能力，屬于中等題。9.a=log2，b=（）0.2，c=2，則(

)A．b＜a＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．a(chǎn)＜b＜c參考答案：D【考點(diǎn)】對數(shù)值大小的比較．【專題】轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)模型法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】利用指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出．【解答】解：∵a=log2＜0，0＜b=（）0.2＜1，c=2＞1，∴c＞b＞a，故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．10.已知向量=（1，﹣2），=（3，m），若∥（2+），則實(shí)數(shù)m的值為（）A．﹣6 B． C．6 D．參考答案：A【考點(diǎn)】平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示．【分析】由已知向量的坐標(biāo)求得2+的坐標(biāo)，然后利用向量共線的條件列式得答案．【解答】解：∵向量=（1，﹣2），=（3，m），∴2+=（5，﹣4+m），∵∥（2+），∴1×（﹣4+m）﹣5×（﹣2）=0，∴m=﹣6，故選：A．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若向量a、b滿足|a|＝1，|b|＝2，且a與b的夾角為，則|a＋b|＝________.

參考答案：12.在平行四邊形ABCD中，已知A－1，2，B3，4，C3，0，則該平行四形的面積為

.參考答案：1613.求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為__________．參考答案：14.已知數(shù)列滿足則的通項(xiàng)公式

。參考答案：=2n15.高一某班有學(xué)生45人，其中參加數(shù)學(xué)競賽的有32人，參加物理競賽的有28人，另外有5人兩項(xiàng)競賽均不參加，則該班既參加數(shù)學(xué)競賽又參加物理競賽的有______人.參考答案：2016.已知函數(shù)y=log（x2﹣ax+a）在（3，+∞）上是減函數(shù)，則a的取值范圍是．參考答案：（﹣∞，]【考點(diǎn)】復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性．【專題】計(jì)算題；函數(shù)思想；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)模型法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】函數(shù)為復(fù)合函數(shù)，且外函數(shù)為減函數(shù)，只要內(nèi)函數(shù)一元二次函數(shù)在（3，+∞）上是增函數(shù)且在（3，+∞）上恒大于0即可，由此得到關(guān)于a的不等式求解．【解答】解：令t=x2﹣ax+a，則原函數(shù)化為，此函數(shù)為定義域內(nèi)的減函數(shù)．要使函數(shù)y=log（x2﹣ax+a）在（3，+∞）上是減函數(shù)，則內(nèi)函數(shù)t=x2﹣ax+a在（3，+∞）上是增函數(shù)，∴，解得：a．∴a的取值范圍是（﹣∞，]．故答案為：（﹣∞，]．【點(diǎn)評】本題考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，復(fù)合的兩個函數(shù)同增則增，同減則減，一增一減則減，注意對數(shù)函數(shù)的定義域是求解的前提，考查學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題解決問題的能力，是中檔題．17.網(wǎng)絡(luò)上流行一種“QQ農(nóng)場游戲”，這種游戲通過虛擬軟件模擬種植與收獲的過程．為了了解本班學(xué)生對此游戲的態(tài)度，高三(6)班計(jì)劃在全班60人中展開調(diào)查，根據(jù)調(diào)查結(jié)果，班主任計(jì)劃采用系統(tǒng)抽樣的方法抽取若干名學(xué)生進(jìn)行座談，為此先對60名學(xué)生進(jìn)行編號為：01,02,03，…60，已知抽取的學(xué)生中最小的兩個編號為03,09，則抽取的學(xué)生中最大的編號為________．參考答案：57由最小的兩個編號為03,09可知，抽取人數(shù)的比例為，即抽取10名同學(xué)，其編號構(gòu)成首項(xiàng)為3，公差為6的等差數(shù)列，故最大編號為3＋9×6＝57．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)f（x）=x2+2ax+2，x∈[﹣5，5]（Ⅰ）若y=f（x）在[﹣5，5]上是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)a取值范圍．（Ⅱ）求y=f（x）在區(qū)間[﹣5，5]上的最小值．參考答案：【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì)．【專題】函數(shù)思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】先求出函數(shù)f（x）的對稱軸，（1）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可；（2）通過討論a的范圍，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最小值即可．【解答】解：函數(shù)f（x）=x2+2ax+2，x∈[﹣5，5]的對稱軸為x=﹣a，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1）若y=f（x）在[﹣5，5]上是單調(diào)函數(shù)，則﹣a≤﹣5或﹣a≥5，即a≤﹣5或a≥5．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）①﹣a≤﹣5，即a≥5時，f（x）在[﹣5，5]上單調(diào)遞增，f（x）的最小值是f（﹣5）=27﹣10a，﹣﹣﹣﹣②﹣a≥5，即a≤﹣5時，f（x）在[﹣5，5]上單調(diào)遞減，f（x）的最小值是f（5）=27+10a﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣③﹣5＜﹣a＜5，即﹣5＜a＜5時，f（x）在[﹣5，﹣a]上單調(diào)遞減，f（x）在（﹣a，5]上單調(diào)遞增，f（x）的最小值是f（﹣a）=﹣a2+2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，考查函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，是一道中檔題．19.已知函數(shù)f（x）=sinx+cosx，x∈R．（Ⅰ）求f（）的值；（Ⅱ）試寫出一個函數(shù)g（x），使得g（x）f（x）=cos2x，并求g（x）的單調(diào)區(qū)間．參考答案：【考點(diǎn)】三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用；兩角和與差的正弦函數(shù)；正弦函數(shù)的圖象．【專題】三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．【分析】（Ⅰ）把函數(shù)解析式提取后利用兩角和的正弦化積，然后直接取x=求得f（）的值；（Ⅱ）由二倍角的余弦公式可知g（x）=cosx﹣sinx，化積后利用余弦型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)g（x）的單調(diào)區(qū)間．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=sinx+cosx=，∴；（Ⅱ）g（x）=cosx﹣sinx．下面給出證明：∵g（x）f（x）=（cosx﹣sinx）（sinx+cosx）=cos2x﹣sin2x=cos2x，∴g（x）=cosx﹣sinx符合要求．又∵g（x）=cosx﹣sinx=，由，得，∴g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為，k∈Z．又由，得，∴g（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為，k∈Z．【點(diǎn)評】本小題主要考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、兩角和與差三角公式、二倍角公式、三角函數(shù)的恒等變換等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想等．是中檔題．20.（13分）已知三棱錐P﹣ABC中，PC⊥底面ABC，AB=BC，D、F分別為AC、PC的中點(diǎn)，DE⊥AP于E．（Ⅰ）求證：AP⊥平面BDE；（Ⅱ）求證：平面BDE⊥平面BDF．參考答案：考點(diǎn)： 平面與平面垂直的判定；直線與平面垂直的判定．專題： 空間位置關(guān)系與距離．分析： （Ⅰ）利用線面垂直的判定定理易證BD⊥平面PAC，于是有PA⊥BD，再利用線面垂直的判定定理即可證得AP⊥平面BDE；（Ⅱ）依題意知，DF∥AP，而AP⊥DE，于是可得DF⊥DE，即平面BDE與平面BDF的二面角為直角，從而可證平面BDE⊥平面BDF．解答： （Ⅰ）∵PC⊥底面ABC，BD?底面ABC，∴PC⊥BD；又AB=BC，D為AC的中點(diǎn)，∴BD⊥AC，PC∩AC=C，∴BD⊥平面PAC，PA?平面PAC，∴PA⊥BD，又DE⊥AP，BD∩DE=E，∴AP⊥平面BDE；（Ⅱ）由AP⊥平面BDE知，AP⊥DE；又D、F分別為AC、PC的中點(diǎn)，∴DF是△PAC的中位線，∴DF∥AP，∴DF⊥DE，即∠EDF=90°，由BD⊥平面PAC可知，DE⊥BD，DF⊥BD，∠EDF為平面BDE與平面BDF的二面角，又∠E