獨立性檢驗的基本思想及其初步應用（共28張）

獨立性檢驗的基本思想學習目標：1、了解分類變量、2×2列聯(lián)表的意義；2、能利用等高條形圖判斷兩個變量是否相關；3、通過對典型案例的分析，能利用獨立性檢驗判斷兩個變量是否相關；---------------分類變量---------------

對于性別變量，其取值為男和女兩種，這種變量的不同“值”表示個體所屬的不同類別，像這樣的變量稱為分類變量.

如是否吸煙、宗教信仰、是否患肺癌、國籍等等.定量變量的取值一定是實數(shù)，它們的取值大小有特定的含義，不同取值之間的運算也有特定的含義.如身高、體重、考試成績、溫度等等.變量定量變量分類變量（定性變量）分類變量與定量變量的比較分類變量也稱為屬性變量或定性變量，它們的取值一定是離散的，而且不同的取值僅表示個體所屬的類別，如性別變量，只取男、女兩個值.在日常生活中，主要考慮分類變量之間是否有關系：例如，吸煙是否與患肺癌有關系？性別是否對于喜歡數(shù)學課程有影響？等等.--------2×2列聯(lián)表、等高條形圖-----------不患肺癌患肺癌總計不吸煙7775427817吸煙2099492148總計9874919965

由列聯(lián)表可以粗略估計出，在不吸煙者中，有0.54%患有肺癌；在吸煙者中，有2.28%患有肺癌。因此，直觀上可以得到結論：吸煙者和不吸煙者患肺癌的可能性存在差異.

為調查吸煙是否對患肺癌有影響，某腫瘤研究所隨機地調查了9965人，得到如下結果（單位：人）：吸煙與患肺癌列聯(lián)表（列出兩個分類變量的頻數(shù)表）：不吸煙吸煙患肺癌比例不患肺癌比例等高條形圖更清晰地表達了兩種情況下患肺癌的比例.通過等高條形圖判斷兩個分類變量是否相關：

上面我們通過分析數(shù)據(jù)和圖形，得到的直觀印象是吸煙和患肺癌有關，那么事實是否真的如此呢？這需要用統(tǒng)計觀點來考察這個問題.

現(xiàn)在想要知道能夠以多大的把握認為“吸煙與患肺癌有關”，為此先假設：H0：吸煙與患肺癌沒有關系不患肺癌患肺癌總計不吸煙aba+b吸煙cdc+d總計a+cb+da+b+c+d把數(shù)字用字母代替，得到如下用字母表示的列聯(lián)表：不患肺癌患肺癌總計不吸煙aba+b吸煙cdc+d總計a+cb+da+b+c+d吸煙與患肺癌的列聯(lián)表：如果“吸煙與患肺癌沒有關系”，則在吸煙者中不患肺癌的比例應該與不吸煙者中相應的比例應差不多，即|ad-bc|越小，說明吸煙與患肺癌之間關系越弱；|ad-bc|越大，說明吸煙與患肺癌之間關系越強.

為了使不同樣本容量的數(shù)據(jù)有統(tǒng)一的評判標準，基于上述分析，我們構造一個隨機變量若H0成立，即“吸煙與患肺癌沒有關系”，則K2應很小.其中n=a+b+c+d為樣本容量.若K2很大，說明什么？由列聯(lián)表中數(shù)據(jù)，利用公式（1）計算得K2的觀測值為：在H0成立的情況下，統(tǒng)計學家估算出如下的概率：也就是說，在H0成立的情況下，對隨機變量K2進行多次觀測，觀測值超過6.635的頻率約為0.01，是一個小概率事件.現(xiàn)在K2的觀測值為56.632，遠遠大于6.635，所以有理由斷定H0不成立，即認為“吸煙與患肺癌有關系”

但這種判斷會犯錯誤，犯錯誤的概率不會超過0.01，即我們有99％的把握認為“吸煙與患肺癌有關系”.與反證法原理的類比：假設H0矛盾假設H0不成立假設H0小概率事件假設H0不成立（吸煙與患肺癌沒有關系）k2比較大吸煙與患肺癌有關系10.8287.8796.6355.0243.8412.7062.0721.3230.7080.445

k00.0010.0050.0100.0250.050.100.150.50.400.50統(tǒng)計學家估算出臨界值表：利用隨機變量K2來確定在多大程度上可以認為“兩個分類變量有關系”的方法稱為兩個分類變量的獨立性檢驗.獨立性檢驗：如果，就判斷H0不成立；否則就判斷H0成立.--------獨立性檢驗的基本思想-----------y1y2總計x1aba+bx2cdc+d總計a+cb+da+b+c+d一般地，假設有兩個分類變量X和Y，它們的可能取值分別為{x1,x2}和{y1,y2},其樣本頻數(shù)列聯(lián)表（稱為2x2列聯(lián)表）為：獨立性檢驗的基本思想假設H0矛盾假設H0不成立假設H0小概率事件假設H0不成立（假設X與Y沒有關系）（X與Y有關系）推斷犯錯誤的概率為α；有（1-α）的把握程度；獨立性檢驗的基本思想類似于數(shù)學上的反證法，對“兩個分類變量有關系”這一結論成立的可信程度的判斷：（1）假設該結論不成立，即假設結論“兩個分類變量沒有關系”成立.（2）在假設條件下，計算構造的隨機變量K2，如果由觀測數(shù)據(jù)計算得到的K2很大，則在一定程度上說明假設不合理.（3）根據(jù)隨機變量K2的含義，可以通過（2）式評價假設不合理的程度，由實際計算出的k>6.635，說明假設不合理的程度約為99%，即“兩個分類有關系”這一結論成立的可信程度約為99%.--利用獨立性檢驗判斷兩個變量是否相關---例1在某醫(yī)院，因為患心臟病而住院的665名男性病人中，有214人禿頂；而另外772名不是因為患心臟病而住院的男性病人中有175人禿頂。利用獨立性檢驗方法判斷禿頂與患心臟病是否有關系？你所得的結論在什么范圍內有效？解：根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)得到如下列聯(lián)表1-13：患心臟病不患心臟病總計禿頂214175389不禿頂4515971048總計6657721437根據(jù)聯(lián)表1-13中的數(shù)據(jù)，得到所以有99%的把握認為“禿頂患心臟病有關”。因為這組數(shù)據(jù)來自住院的病人，因此所得到的結論適合住院的病人群體．例2為考察高中生的性別與是否喜歡數(shù)學課程之間的關系，在某城市的某校高中生中隨機抽取300名學生，得到如下聯(lián)表：喜歡數(shù)學課程不喜歡數(shù)學課程總計男3785122女35143178總計72228300 由表中數(shù)據(jù)計算K2的觀測值k≈4.513。在多大程度上可以認為高中生的性別與是否喜歡數(shù)學課程之間有關系？為什么？而我們所得到的K2的觀測值k≈4.513超過3.841，這就意味著“性別與是否喜歡數(shù)學課程之間的關系”這一結論錯誤的可能性約為0.05（或小于0.05）

，即有95%（或大于95%）的把握認為“性別與是否喜歡數(shù)學課程之間有關系”。解：在假設“性別與是否喜歡數(shù)學課程之間的關系”的前提下K2應該很小，并且

利用獨立性檢驗來考察兩個分類變量是否有關系，能較精確地給出這種判斷的可靠程度.具體作法是：（1）根據(jù)實際問題需要的可信程度確定臨界值k0；（2