北京市海淀區(qū)2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題理科北師大版含答案

海淀區(qū)高二年級第二學(xué)期期中練習(xí)

數(shù)學(xué)（理科）

學(xué)校班級姓名成績

本試卷共100分,考試時間90分鐘.

一、選擇題:本大題共8小題，每小題4分，共32分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1.己知向量”=（1,乂-2）/=（2,1"），且。_1），則x的值為（）

A.-1B.0C.11）.2

2.曲線/（幻=」在點（1J⑴）處的切線的傾斜角為（）

X

4.觀察下列各等式：55=3125,56=15625,57=78125,則52°尊的末四位數(shù)字是

（）

A.3125B.5625C.8125D.0625

5.已知下列命題：

?77-V5<V10-A/2；

②三角形ABC的三個內(nèi)角滿足sinA+sin3>sinC；

③存在等比數(shù)列｛a,,｝滿足q+%=2在成立.

其中所有正確命題的序號是（）

A.①B.①②C.②③D.①②③

6.若水以恒速(即單位時間內(nèi)注入的體積相同)注入右圖的容器，則

容器中水的高度〃與時間『的函數(shù)關(guān)系圖象是()

7.若函數(shù)/0)=*3+。％+/;有三個零點，分別為凡,私了3，且滿足玉<1,X2-l,X3〉1,

則實數(shù)。的取值范圍是O

A.(—00,0)B.(—co,—l)C.(—co,—2)D.(-a>,-3)

8.己知正方體A3CO—A4G2的棱長為1，P是截面

48。內(nèi)(包括邊界)的動點，則GP-GB的值不可能是

()

A.0.9B.1.2

C.1.5D.1.8

二、填空題:本大題共6小題,每小題4分，共24分.把答案填在題中橫線上.

9.己知三個點—8(2,a,1),0(0,0,0)在同一條直線上，則。=力=

10.若函數(shù)y=ar-sinx是R上的單調(diào)增函數(shù)，則實數(shù)。的取值范圍___________.

11.由曲線y=f和直線y=2x圍成的封閉區(qū)域的面積為.

12.如圖所示，已知三棱柱A'B'C-ABC的側(cè)棱垂直于底面，

ACLCB,且AC=CB=CC'=2.若點E為A'B'中點，則CE與底

面ABC所成角的余弦值為

13.若函數(shù)/。)=。2-3)/,給出下面四個結(jié)論：①/(—3)是f(x)的

極大值，/⑴是f(x)的極小值：②/(x)<0的解集為｛x|-6<x<6｝；③/(x)沒

有最小值，也沒有最大值；④/(X)有最小值，沒有最大值，其中正確結(jié)論的序號有

14.已知函數(shù)〃幻=上，構(gòu)造如下函數(shù)序列=

x+3

其中力(X)=/(X),(X〉0),則力(X)=,函數(shù)/,*)的值域為

三、解答題:本大題共4小題,共44分.解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟.

15.(本小題共10分)

2

已知函數(shù)f(x)=^-x3-lax1+法,其中a,b^R,且曲線y=f(x)在點(0J(0))處的切線

斜率為3.

(I)求〃的值；

(II)若函數(shù)f(x)在x=l處取得極大值，求”的值.

16.(本小題共10分)

已知點列4(x〃,0),neN,其中汨=0,X2=a(a>0),4是線段44的中點，4是線段

44的中點，…4是線段4-24-1的中點，….

(1)寫出典與王廣】、心一2之間的關(guān)系式(〃23)；

(II)設(shè)a=x〃+i—x〃，計算國，氏，&，由此推測數(shù)列｛a｝的通項公式，并加以證明.

17.(本小題共12分)

已知平面AOE/，平面ABCD,其中AOEE為矩形，AB//CD,ABAAD,且

AB=2CD=2DE=4,AD=272,如圖所

示.

(I)求證：BE八AC.

(ID求二面角3-CE-。的余弦值；

(III)在線段AF上是否存在點P,使得5P〃

平面ACE,若存在，確定點P的位置，若不存在,

請說明理由.

18.(本小題共12分)

己知函數(shù)/(x)=ax2~(a+2)x+Inx.

(I)當(dāng)。=一2時，判斷函數(shù)/(x)零點的個數(shù);

(II)求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間.

海淀區(qū)高二年級第二學(xué)期期中練習(xí)

數(shù)學(xué)(理科)參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)2022.4

一、選擇題：本大題共8小題，每小題4分，共32分.

1.D2.D3.C4.A5.D6.C7.D8.A

二、填空題：本大題共6小題，每小題4分，共24分.

9.a=-2,b=—10.<7>111.-12.——

233

2

13.??④14.J；(x)=―-r—；(0,-----)(每空2分)

‘八'13x+273"-1

三、解答題：本大題共4小題，共44分.

15.(本小題滿分10分)

解：(I)f'[x}=a2x2-4ax+b............2分

由題意/'(0)=b=3............4分

(II)由函數(shù)/(x)在x=l處取得極大值

:.f'(i)=a2-4a+3=0

解得a=l或a=3............6分

①當(dāng)4=1時，f'(x)-x2-4x+3=(x-l)(x-3)

X1(1,3)3(3,+oo)

f'M+0—0+

/(x)JI極大值極小值/

由上表知，函數(shù)/(x)在x=l處取得極大值，符合題意............8分

②當(dāng)a=3時，f\x)=9/-12A-+3=3(3x-l)(x-1)

X(制)事)1(L+O0)

3

f'M+0—0+

JI

極大值If極小值/

由上表知，函數(shù)/(x)在x=l處取得極小值，不符合題意.

綜上所述，若函數(shù)/(x)在x=l處取得極大值，a的值為1.............10分

16.(本小題滿分10分)

解：(I)由題意，當(dāng)〃23時，X”=g(x,i+5_2)............2分

cia

4分

:.ax=x2-x]=a,a2=x3-x2=--9a3=x4-x3=—

推測為=事............6分

（一，）

方法一

證明：對于任意〃wN*,%=x〃+i一%

?,1+|=七+2一=（（%M+X?）-X?+I=-1uw+l-xn）=~an........-9分

又?％=。＞0;.｛/｝是以。為首項，以-g為公比的等比數(shù)列.

故4,="；）"'=（_棟,1............10分

方法二

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：

①當(dāng)〃=1時，q=a=a.（—g）i，4=（_；.成

立...................7分

②假設(shè)當(dāng)〃=攵伏21,ZeN）時，成立，即以=心（一31，

則〃=Z+1時，ak+i=xk+2-xk+i=_Xm="J

=_g（4+i_%）=a，（_g）**i，

所以〃=4+1時，a“=―?成立................9分

"（-2）"T

由①②可知，數(shù)列｛4｝的通項公式為4=a《—4）"T,〃eN*..........10分

17.（本小題滿分12分）

解：（I）證明：平面ADMJ_平面ABCD,交線為4）

由已知可得A尸_L4）且AFu平面ADEF

AF_L平面ABCO..........2分

又ABLAD

所以，有BE=(-4,2板,2),AC=(2,272,0)

BE.AC=(-4,2-J1,2)-(2,2立0)=0

:.BE±AC,:.BE±AC............4分

(II)由已知可得ADJ_CD,ADLOE,

所以平面CEO的一個法向量為6=(0,1,0)............5分

設(shè)平面8CE的法向量為％=(x,y,z),則有

w,-BE=0-4x+2>/2y+2z=0一八.人]

--l,不妨令y=1,

n1BC=0-2x+2>J2y=0

所以平面BCE的一個法向量為％=(夜』，及)?..........7分

n.?小V5

cos<n,,n.>=——!——--=——.

5

由已知可得所求二面角3-CE-。的余弦值為-。........................9分

(III)設(shè)尸(0,0,z),0<z<2,BP=(-4,0,z)

設(shè)平面ACE的法向量為”=(x,y,z),則有

n-AE=0|"2五)'+2z=0,,

.=)廠，不妨令y=i，n則

平面ACE的一個法向量為"=(-&,1,-3),............11分

由8P."=(-4,0,z)?(-夜,1,-夜)=0,解得z=4,不符合題意，

即線段AF上不存在點P,使得3P〃平面ACE............12分

18.(本小題滿分12分)

解：(I)f(x)的定義域為(0,+8),............1分

1-4r2

當(dāng)a=—2時，=............3分

x

(*)]_(g,y)

X

2

fXx)4-0—

/極大值

因為/（；）=—；—ln2<0,所以，此時，在定義域上/（無）<（）,

所以函數(shù)/（無）的零點個數(shù)為0.....................................6分

(II)/⑶=2奴-(a+2)+L(吐DQx二D,8分

XX

①當(dāng)a<0時，

]_

X（g，+8）

畤2.....9分

八幻+0—

f(x)

Z極大值②當(dāng)0<a<2時，

嗎）1、

X4，-)（Z一,十8）

22aaa

f'M+0—0+

JI

極大值極小值/

③當(dāng)a=2