導(dǎo)數(shù)與微分高等數(shù)學(xué)

關(guān)于導(dǎo)數(shù)與微分高等數(shù)學(xué)第1頁，講稿共42頁，2023年5月2日，星期三1、導(dǎo)數(shù)的定義導(dǎo)函數(shù)

注意：記為第2頁，講稿共42頁，2023年5月2日，星期三例題1.設(shè)存在，且則等于

A.1,B.0,C.2,D.0.5分析：第3頁，講稿共42頁，2023年5月2日，星期三導(dǎo)數(shù)定義的本質(zhì)：練習(xí)：P43第3題第4頁，講稿共42頁，2023年5月2日，星期三2、單側(cè)導(dǎo)數(shù)左導(dǎo)數(shù)與右導(dǎo)數(shù):在討論分段函數(shù)在分段點(diǎn)的可導(dǎo)時(shí)，由于在分段點(diǎn)兩側(cè)表達(dá)式可能不同，因此一般應(yīng)從定義出發(fā)討論其左、右導(dǎo)數(shù)。例.見教材P42頁例6第5頁，講稿共42頁，2023年5月2日，星期三例題2.討論在處的連續(xù)性與可導(dǎo)性.分析：所以在處連續(xù)第6頁，講稿共42頁，2023年5月2日，星期三所以因此在處可導(dǎo)。題目的函數(shù)為：第7頁，講稿共42頁，2023年5月2日，星期三當(dāng)時(shí)，所以因此從而在處可導(dǎo)。判斷可導(dǎo)性的另一種方法：第8頁，講稿共42頁，2023年5月2日，星期三3、導(dǎo)數(shù)的幾何意義：

函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)表示曲線在點(diǎn)處切線的斜率。曲線在點(diǎn)處的切線方程為法線方程為：第9頁，講稿共42頁，2023年5月2日，星期三例

求曲線在點(diǎn)（2，8）處得切線方程和法線方程。解在點(diǎn)（2，8）處的切線斜率為所以，所求切線方程為所求法線斜率為于是所求法線方程為第10頁，講稿共42頁，2023年5月2日，星期三4、導(dǎo)數(shù)與連續(xù)的關(guān)系：定理(函數(shù)可導(dǎo)的必要條件)：在點(diǎn)處可導(dǎo)在點(diǎn)處連續(xù)?？蓪?dǎo)→連續(xù)，反之不一定即函數(shù)連續(xù)是函數(shù)可導(dǎo)的必要條件，但不是充分條件。例子見教材P42例題7，8第11頁，講稿共42頁，2023年5月2日，星期三例函數(shù)在x=0連續(xù)但不可導(dǎo)，于是有可導(dǎo)一定連續(xù)，但是連續(xù)不一定可導(dǎo)。連續(xù)一定有極限，但是有極限不一定連續(xù)。因?yàn)榈?2頁，講稿共42頁，2023年5月2日，星期三例解練習(xí)：P43頁第7題第13頁，講稿共42頁，2023年5月2日，星期三5、基本導(dǎo)數(shù)公式（常數(shù)和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式）第14頁，講稿共42頁，2023年5月2日，星期三6、求導(dǎo)法則(1)函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則(2)反函數(shù)的求導(dǎo)法則第15頁，講稿共42頁，2023年5月2日，星期三或☆注意：與的區(qū)別表示復(fù)合函數(shù)對(duì)自變量求導(dǎo)

（3）.復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)關(guān)鍵在于正確地分解復(fù)合函數(shù)，正確地運(yùn)用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則。表示復(fù)合函數(shù)對(duì)中間變量求導(dǎo)第16頁，講稿共42頁，2023年5月2日，星期三例求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

第17頁，講稿共42頁，2023年5月2日，星期三例

設(shè)，求解例設(shè)，求解首頁上頁下頁第18頁，講稿共42頁，2023年5月2日，星期三第19頁，講稿共42頁，2023年5月2日，星期三(4)隱函數(shù)求導(dǎo)法則隱函數(shù)求導(dǎo)法:方程兩端同時(shí)對(duì)x求導(dǎo),注意在求導(dǎo)過程中要y=f(x)視為x的函數(shù),即把y視為中間變量。見P53頁例3第20頁，講稿共42頁，2023年5月2日，星期三例

求由方程所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)解方程兩端對(duì)x求導(dǎo)數(shù)，得例

求橢圓在點(diǎn)處的切線方程.解所求切線斜率為方程兩邊對(duì)x求導(dǎo),得首頁上頁下頁第21頁，講稿共42頁，2023年5月2日，星期三例

求由方程所確定的隱函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)第22頁，講稿共42頁，2023年5月2日，星期三(5)參變量函數(shù)的求導(dǎo)法則第23頁，講稿共42頁，2023年5月2日，星期三

解：曲線上對(duì)應(yīng)t=1的點(diǎn)（x,y)為（0,0）,曲線t=1在處的切線斜率為于是所求的切線方程為y=－x求曲線在t=1處的切線方程例第24頁，講稿共42頁，2023年5月2日，星期三例題：設(shè)，求第25頁，講稿共42頁，2023年5月2日，星期三(6)對(duì)數(shù)求導(dǎo)法先在方程兩邊取對(duì)數(shù),然后利用隱函數(shù)的求導(dǎo)方法求出導(dǎo)數(shù).適用范圍:對(duì)數(shù)求導(dǎo)法適用于冪指函數(shù)

以及多因子乘積（或商）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

例.見P53頁例4，5，6第26頁，講稿共42頁，2023年5月2日，星期三首頁上頁下頁兩邊對(duì)x求導(dǎo)數(shù)，得解：兩邊取對(duì)數(shù)，得例

求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).第27頁，講稿共42頁，2023年5月2日，星期三（7）抽象函數(shù)的求導(dǎo)法則第28頁，講稿共42頁，2023年5月2日，星期三7、高階導(dǎo)數(shù)記作二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為三階導(dǎo)數(shù),(二階和二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù))第29頁，講稿共42頁，2023年5月2日，星期三求函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)要根據(jù)求導(dǎo)的階數(shù)的不同而選擇不同的方法。當(dāng)只須求函數(shù)的2、3、4、5階導(dǎo)數(shù)時(shí)，通常選擇先求出函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)，再求出函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)，這樣一階接一階求下去，直至求出所求階導(dǎo)數(shù)的方法。當(dāng)所求的階數(shù)比較高（超過五、六階）時(shí)，通常先求出函數(shù)的一至四或五階導(dǎo)函數(shù)從中尋找出高階導(dǎo)函數(shù)表達(dá)式規(guī)律，再應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法求出函數(shù)的高階導(dǎo)。或者利用常見函數(shù)的高階導(dǎo)公式及高階導(dǎo)運(yùn)算法則求出高階導(dǎo)數(shù)。第30頁，講稿共42頁，2023年5月2日，星期三例求的n階導(dǎo)數(shù).解一般地，可得例解求的階導(dǎo)數(shù).一般地，可得首頁上頁下頁第31頁，講稿共42頁，2023年5月2日，星期三例求的階導(dǎo)數(shù).解一般地，可得上頁下頁練習(xí)：P512(1)(4)(5)第32頁，講稿共42頁，2023年5月2日，星期三8、微分(微分的實(shí)質(zhì))（1）微分的定義第33頁，講稿共42頁，2023年5月2日，星期三（2）、導(dǎo)數(shù)與微分的關(guān)系定理（3）、微分的求法求法:計(jì)算函數(shù)的導(dǎo)數(shù),乘以自變量的微分.第34頁，講稿共42頁，2023年5月2日，星期三（4）基本初等函數(shù)的微分公式第35頁，講稿共42頁，2023年5月2日，星期三函數(shù)和、差、積、商的微分法則（5）、微分的基本法則微分形式的不變性第36頁，講稿共42頁，2023年5月2日，星期三例.求函數(shù)的微分第37頁，講稿共42頁，2023年5月2日，星期三第38頁，講稿共42頁，2023年5月2日，星期三(2)第39頁，講稿共42頁，2023年5月2日，星期三第40頁，講稿共42頁，2023年5月2日，星期三例.設(shè)求分析：是R上