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文檔簡(jiǎn)介

第29講離心率問(wèn)題速解

【題型歸納目錄】

題型一:焦點(diǎn)三角形

題型二:黃金三角形

題型三:齊次化

題型四:圓

題型五:共焦點(diǎn)(烏龜圖)

題型六:頂角最大問(wèn)題

題型七:定比分點(diǎn)模型

題型八:第三定義

【典型例題】

題型一:焦點(diǎn)三角形

例1.已知匕,玲是雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn),P為C上一點(diǎn),且N耳桃=60。,\PF,\=3\PF2\,則C的

離心率為()

A.—B.—C.77D.V13

22

【解析】解:耳,鳥為雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn),P是。上的一點(diǎn),|「耳|=3|尸乙|,

5

iS|Pf;|=3w,\PF2\=m,由雙曲線的定義可得|尸甲-|/6|=2〃7=2〃,即帆=a,

所以|P"h=3a,\PF2\=a,因?yàn)镹£P(guān)K=60。,\F,F2\=2c,

所以4c2=9a2+?2-2x3ax?xcos60°,整理得4c2=7a2,

所以e=£=且.

a2

故選:A.

例2.已知橢圓C:3?+?!?im>6>0),6,B分別為其左、右焦點(diǎn),過(guò)8作直線軸交橢圓C

于A,B兩點(diǎn),將橢圓所在的平面沿x軸折成一個(gè)銳二面角,設(shè)其大小為a,翻折后A,3兩點(diǎn)的對(duì)

應(yīng)點(diǎn)分別為A,,B',illZA'F,B'=P.若4cos£=cosar+3,則橢圓C的禺心率為()

11

BV2C

3一D.2-

【解析】解:將x=c代入C:與+烏=1(a>6>0)中,解得:y=±—,

a~h~a

所以IA線|=|B'F,|=—,||=|B'F\=2a--,且ZA'F.B'=a,

~aXa

,2?2

則在△A隹夕中分別由余弦定理得,|AB'|2=2(—)2(1-cosa),|A'B'|2=2(2a)2(1-cosp),

aa

t2r2

所以2(—)~(1—cosci)—2(2。---)2(1—cosp)9

aa

又ill4cos(3=cosa+3得4(cos£-1)=cosa-1,

所以絲1=2?!?=2,所以£.=_L,即離心率為

aaa23a233

故選:A.

22

例3.已知片、居分別為橢圓C:0+斗=l(a>6>0)的左、右焦點(diǎn),A為右頂點(diǎn),8為上頂點(diǎn),若在

ab

線段43上(不含端點(diǎn))存在不同的兩點(diǎn)《《=1,2),使得勺與則橢圓C的離心率的取值范圍為

()

A.(0當(dāng)B.g,l)C.(0,半)口.g,孚)

【解析】解:F,.居分別為橢圓C:七+衛(wèi)=1(a>6>0)的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)A,B分別是橢圓E的右

a~h~

頂點(diǎn)和上頂點(diǎn),

可得A(〃,0),B(0,b),耳(-c,0),F2(C,0),

可得+-"=0,(原/a),

*b

在線段AB匕取一點(diǎn)P(x,y)(0<x<a),滿足尸耳,鳥=——,則y=b—

3a

PFX=(-c-x,-y),PF2=(c-x,-y).

b,

PF、?PF?=(—c—x)(c—x)+(—y)~=x2+y~—c2=x2+(/?—x)2—c~=---,

a3

22

敕州徂片+〃2b23b-2cn

a3

由題意可知,關(guān)于x的方程為佇21一生x+竺二竺=0在XW(0M)時(shí)有兩個(gè)不等的實(shí)根,

。3

?=>,a2+h23b2-2c2

>0

a23

ab2

3b--2c->o

3

(a2+b2)-2b2+肪2:2L>。

b2,c21

—7=1—3<一

可得16ra2

c23

可得」1v/vq三,

25

rrrlV2V15

所以——<e<------

25

故選:D.

比2v2

變式1.已知橢圓C:r+2r=1(。>。>0),焦距為2c,以點(diǎn)O為圓心,力為半徑作圓O,右過(guò)點(diǎn)

a~b

P(姮a,巫”)作圓O的兩條切線,切點(diǎn)分別為A且[48|=乎。,則橢圓C的離心率為(

)

1

AV2石在a

A?D.L.2-

253

22

【解析】解:由橢圓C:「+當(dāng)=1(a>b>0),焦距為2c,以點(diǎn)O為圓心,匕為半徑作圓O,若過(guò)點(diǎn)

ab

P(巫4巫幻作圓O的兩條切線,切點(diǎn)分別為A且|叫=殍C,

B,

a,AH=^-c,OA=b,

OP=a)2+

3

故AP=J。尸-O]=《a2-(a2-c2)=

在Rt^AOP中,由A/7_LQP,有Q4AP=AHQP,

故2口a?+°2=^^cx趙,得:bja1+5c?=242ac,

V535

有(a?-c2)(a2+5c2)=8a2c2,

化為:5c4+4a2c2-a4=0,有5。+而一1=0,得(5/-1)(。?+1)=0,

22

變式2.已知橢圓C*+方=1(">10)的左、右焦點(diǎn)分別為《,行,直線產(chǎn)近伏>0)與C相交于M,

N兩點(diǎn)(M在第一象限).若M,耳,N,K四點(diǎn)共圓,且直線的傾斜角為工,則橢圓C的離心率為(

6

)

BD.72-1

A.—B.V3-1C.

22

【解析】解:由橢圓的中心對(duì)稱性和M,Ft,N,乙四點(diǎn)共圓,則四邊形“耳”為矩形,

因?yàn)橹本€”傾斜角為奈,所以NM/苞.,

在直角二角形耳加代中,可得|M耳|=2c-cosC百c,|MF1=2c-sin—=c,

26

則|叫|+|Mg|=2〃,即GC+C=2Q,

二.橢圓。的離心率為—=6一1,

aV3+1

故選:B.

變式3.已知橢圓。:++斗=15>匕>0),P是橢圓C上的點(diǎn),耳(-。,0)、8(c,0)是橢圓C的左、右

ab

焦點(diǎn),若尸耳恒成立,則橢圓。的離心率e的取值范圍是()

C.(0,^=^]

B.(0,72-1]D.[72-1,1)

【解析】解:設(shè)尸(%,%),

則pR?Pg=(-c-xG,-y())-(c-A;),一%)=-er+5-以。+片+y;=-c~+不+y:,

片+巾表示橢圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的平方,

所以考+溫?2?

所以(陶,月)2”-c2+a2,

2

若尸耳■PF2?ac恒成立,則"+a?ac,

所以二+E-1..0,

a~a

所以二巨叵,,e,

2

又因?yàn)閑<l,

所以二1撞,,e<l,

2

故選:A.

22

變式4.已知橢圓C:,+方=1(a>%>0)的左、右焦點(diǎn)分別為我?、招,點(diǎn)「為。上一點(diǎn),若空,耳月,

且2尸耳g=30。,則橢圓C的離心率為()

AB上C

-16-I

【解析】解:因?yàn)榭?,片鳥,且NP耳g=30。,

所以IPKHK瑪Itan3()o=賽,|PKI=2|Pg|=^,

由橢圓的定義知,|尸/"+|%|=2°,即冷冷加,

化簡(jiǎn)得a=>/5c>

所以橢圓C的離心率e=£=且

a3

故選:D.

22

變式5.如圖,已知匕,F(xiàn),為雙曲線E:0-2=13>0,。>0)的左、右焦點(diǎn),過(guò)點(diǎn)尸1,居分別作直線

a"b~

4,4交雙曲線石于A,B,C,。四點(diǎn),使得四邊形ABCD為平行四邊形,且以AD為直徑的圓過(guò)

£,|。石|=|4百|(zhì),則雙曲線E的離心率為()

C.-

2

【解析】解:設(shè)|。片|=|A^|=x,則|Og|=x-2?,

由雙曲線的對(duì)稱性和平行四邊形的對(duì)稱性可知:IegHAFt\=X,

連接C耳,則有|CEI=|CR|+2=x+2a,

\DC\=iDF2\+\CF21=2x-2a,

由于好在以AD為宜徑的圓周上,

他8為平行四邊形,ABHCD,DF,LDC,

222

在直角三角形CD片中,|C耳耳『+|8|2,(x+2a)=x+(2x-2a),

解得:x=3a,|DF,|=3a,\DF2\=a;

222

在直角三角形片月。中,|。耳『+|。5|2=|百5[2,(3a)+a=(2c),

得5心2/,e*率,

變式6.(多選題)雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)為耳,尸2,以C的實(shí)軸為直徑的圓記為O,過(guò)4作。的切

7

線與C交于M,N兩點(diǎn),S.cosZFtNF2=-,則C的離心率為()

A石R3「屈「屈

A.——B.—C.D.---

2222

-52

【解析】解:當(dāng)直線與雙曲線交于兩支時(shí),設(shè)雙曲線的方程為與-斗=1(。>0/>0),

22

設(shè)過(guò)Fx的切線與圓D-.x+y=/相切于點(diǎn)P,

則|OP|=a,OP±PFt,乂|O£|=c,

所以尸6=個(gè)0"0產(chǎn)=y/c2-a2=b,

過(guò)點(diǎn)尸2作KQLMN于點(diǎn)Q,

所以O(shè)P//瑪Q,又O為耳耳的中點(diǎn),

所以|耳。|=2|「耳|=2Z),\QF2\=2\OP\=2a,

3jr4

因?yàn)閏osN耳Ng=《,ZFtNF2<-,所以sinN6叫=g,

所以I”|=SE\NF夸’貝獷N°RNRl-cosNF朋=y,

所以|M;|=|NQ|+|EQ|=j+2"

由雙曲線的定義可知IM"Ng|=2a,

所以的+2人一'=2",可得?=3。,即2=3,

22a2

所以c的離心率孚.

情況二:當(dāng)直線與雙曲線交于一支時(shí),

如圖,記切點(diǎn)為A,連接。4,則|OA|=a,|F;A|=6,

5a3a

22

\NF2\-\NFi\=^--(^--2b')=a+2b=2a,即a=2Z?,

—,A正確.

故選:AC.

22

變式7.(理)已知橢圓C:二+與=1(。>0力>0),冗,K是橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn),若點(diǎn)P是橢圓上一點(diǎn),

ab

滿足那么IPgHKEI,且K到直線尸耳的距離等于橢圓的短軸長(zhǎng),則橢圓C的離心率為.

【解析】解:.?點(diǎn)P在橢圓C上,.?JP/"+|P舄|=2a

又」?一H耳瑪l=2c,

:\PFt|=2a-2c

過(guò)點(diǎn)F2作F2D±PFt于D點(diǎn),則F2到直線PFX的距離為|DF2\=2b,

因?yàn)閨「乙|=|耳乙I,可得。是尸耳的中點(diǎn),所以。耳=g|尸耳|=a-c,

Rf△。耳鳥中,|。丹|2+|。?|2=|耳工|2,即(4-c)2+(2b)2=(2c)2

整理得:5a2-2ac-lc2=0,即(a+c)(5a—7c)=0

“+c不為0,5a-7c=0?得c=*a

7

因此橢圓。的離心率為e=-=-

a7

故答案為:-

7

例4.已知雙曲線C:[-與=1(4>0力>0)與橢圓三+二=1.過(guò)橢圓上一點(diǎn)尸(-1,3)作橢圓的切線/,

a-b-432

/與x軸交于M點(diǎn),/與雙曲線C的兩條漸近線分別交于N、Q,且N為何。的中點(diǎn),則雙曲線C的離心

率為()

A.—B.713C.—D.G

22

【解析】解:設(shè)切線/的方程為y-|=Z(x+l),即y=fcc+Z+|,

a

聯(lián)立切線方程和橢圓3/+4)3=12,可得(3+4%2優(yōu)+(8公+12Z)x+4(%+—y-12=0,

2

由直線和橢圓相切可得△=(8二+12守—4(3+4k2)14(A:+-)2-12]=0,

2

解得k=—,

2

所以切線/的方程為y=gx+2,令y=0,可得M(T,0),

雙曲線C:「—(■=1(。>0/>0)的漸近線方程為丫=±2》,

聯(lián)立切線1的方程與漸近線方程y=--.「可得

aa+2ba+2b

-rze?4。4b.

聯(lián)立切線1的方程與漸近線方程y,可得與.J2-),

由N為M。的中點(diǎn)uj得一的一="一,

a+2b2b-a

化為力=3a,

則雙曲線的離心率為e=/=+=J率=巫.

42

故選:A.

例5.如圖,設(shè)片、K是雙曲線C:W--2=l(a>0力>0)的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)A,B分別在兩條漸近線

21.

上,且滿足OA=qOg+qOB,OABF2=0,則雙曲線C的離心率為()

y

A.2月B.2C.x/3D.Vio

【解析】解:漸近線的方程為y=±^x,點(diǎn)尸(c,0),

a

因?yàn)椤??88=0,所以直線8鳥的斜率為-幺,其方程為丁二-幺(冗-。,

bb

y=~(x-c)2

bah

聯(lián)立,,可得點(diǎn)A(幺,—),

bcc

y=-x

設(shè)點(diǎn)B(x,y),

ab.2.八、1,、

^'hOA=-OF,+-OB,所以(幺,丁)=臚,0)+/,》,

33c

解得x=£-2c,y=—,

cc

將其代入漸近線y=—2》,有空=一2.(至-2c),化簡(jiǎn)可得C2=3〃,

acac

所以離心率e=£=百.

a

故選:C.

例金設(shè)雙曲線幡-013>。,“。)的右焦點(diǎn)為尸’。的一條漸近線為,,以尸為圓心的圓與,相

交于M,N兩點(diǎn),MFINF,O為坐標(biāo)原點(diǎn),OM=/ION(2領(lǐng)兌5),則雙曲線C的離心率的取值范圍是(

)

A.哼,夜)

B.C.D.

【解析】解:由題意做出圖象,如圖所示,由題意知MF_LNF,且設(shè)MF=NF=r,

FQ=NQ=MQ=浮.

又在RtAOFQ中,tanZF(?e=—=..0。=3.此效£13

OQay/2b9a~9

ON=OQ-NQ=《(^~),OM=OQ+MQ^~(a+b

)?

b

又OM=/ION(2轟睨5),方(0/)=九x三(與當(dāng),

整理得:2=—e[2,5],

a-b

2a.叫即4a2..9b24a2..9(c2-a2)10?/13

a2?9b2=222雙%3藏土

a,,3ba,,9(c-a)9999

...叵融近

33

故選:C.

22

變式8.已知雙曲線「-斗=13>0力>0)的焦距為4,直線/過(guò)右焦點(diǎn)/且與雙曲線的右支交于A,B

a"b~

兩點(diǎn),BF=2AF.設(shè)A,3到雙曲線的同一條漸近線的距離分別為4和出,且2&+4=3,則雙曲線的

離心率為.

【解析】解:山焦距為4可得c=2,設(shè)雙曲線的一條漸近線方程為近-紗=0,

過(guò)A、8、尸分別作漸近線的垂線,垂足分別為A'、B'、C,

過(guò)5作BE_LA4',垂足為E,交尸C于。,

麻|be.

可得F(c,0)到漸近線法-ay=0的距離為d===—=b,

“2+a2C

次",即圈=1

由|A4'|=4,\BB'\=d2,\FD\^FC\-\CD\=h-d2,

\FD\_\BF\_2

在AASE中,

\AE\\BA\3

即為紅幺=2,化為24+4=3人=3,

dy—d23

即b=1,則a=\lc2—b2=〃—1=5/3,

c26

則雙曲線的離心率為e

a3

故答案為:巫

左、右焦點(diǎn)分別是巴,

過(guò)點(diǎn)K作x軸的垂線與漸近線/交于點(diǎn)A,若NA4鳥=、,則雙曲線C的離心率為

可得A(c,@),

be

AF

tan^_2_h

6F2FX2C

即蟲=_L,

32a

,-.4a2=3b2=3(c2-a2),

故答案為:—.

3

r2v2

變式10.已知雙曲線C:r-4=im>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為耳,居,過(guò)點(diǎn)F,作雙曲線的一條

a~b~

漸近線的垂線,垂足為M,若14Ml=6|OM|,O為坐標(biāo)原點(diǎn),則雙曲線C的離心率為.

【解析】解法一:由題得P(c,0),不妨設(shè)過(guò)點(diǎn)鳥作雙曲線漸近線y=的垂線,

a

則由點(diǎn)到直線的距離得|乙又|O瑪|=c,所以|QM|=a,所以|月”|=及,

在RtAOMF,中,cosNO居歷=-,又在△F、MF,中,cos"十八一",

c4bc

所以>+4c-5“-=g,所以3〃=4c2—5〃2,又b?=c2—〃,所以26=02,所以《=夜.

4bcc

解法二:由題得月(-c,0),6(c,0),

不妨過(guò)點(diǎn)外作雙曲線漸近線y=^x的垂線,則直線8M的方程為丫=-色(*-。),

ab

聯(lián)立方程組得M(幺,或),所以|月M|=J(幺+以+(藝),|OM\=4/(—)2+(—)2,

ccVccVcc

所以+c)2+(―)2=6心+(變)2,化簡(jiǎn)得2/=02,所以e=夜.

VCCVCC

=13>0,6>0)的右焦點(diǎn)為尸,過(guò)點(diǎn)尸作雙曲線C的一條漸近線的垂

線/,垂足為若直線/與雙曲線C的另一條漸近線交于點(diǎn)N,且滿足0N+40M=5。尸(0為坐標(biāo)原點(diǎn)),

則雙曲線C的離心率為.

be

[解析]解:法-:點(diǎn)F(c,0)到漸近線bx±ay=0的距離為1,=b,在△QW'中,\MF\=b,\OF\=c,

>Ja2+b2

n2xb

2tanaa2ab

所以|OM|=a,設(shè)ZMOF=a,則tana=—,tan2a=

I-tan2a

】----T

a~

因?yàn)镺N+40M=50尸,所以=所以|N/|=4〃,所以|M/V|=5b,

在RtAOMN中,tanZMO7V=—=tan2?,所以絲=.產(chǎn)才,

aaa~-b~

解得『=1'故雙曲線0的離心率為65=粵,

法二:點(diǎn)F(c,O)到漸近線bx±ay=0的距離為:k=b,

yla2+b2

因?yàn)镺N+40M=50尸,所以NF=4FM,所以|NF|=4/>,所以|MN|=56,

因?yàn)?。尸是NMON的平分線,故可得也1=達(dá)婦=1,

|ON|\NF\4

22

所以|ON|=4|OM|=4a,所以(4a>=a+(5b),

所以?=3

故雙曲線C的離心率為=2普

a25

故答案為:巫.

5

題型三:齊次化

例7.已知A,8為雙曲線£的左,右頂點(diǎn),點(diǎn)〃在雙曲線£上,A45M為等腰三角形,其中一角

為30。,則雙曲線E的離心率為()

A.x/5B.2C.y/3D.72

【解析】解:設(shè)雙曲線方程為=1(。>0/>0),

若,△鉆M為等腰一角形,其中一角為30。,

則只能是|AB|=||,ZBAM=30°,

過(guò)點(diǎn)M作MN_Lx軸,垂足為N,則NMBN=60。,

在RtABMN中,18Ml=|A8|=2a,ZMBN=60°,

即有|BN|=2acos600=a,|MN|=2asin60°=£a,

故點(diǎn)M的坐標(biāo)為M(2a,總),

代入雙曲線方程得/-竺=1,

a-b

即為/=從,即上=2。2,

則e=—=\/2.

a

故選:D.

例8.已知A,B為雙曲線E的左,右頂點(diǎn),點(diǎn)M在E上,A4W為等腰三角形,且頂角為135。,

則E的離心率為()

A.石B.6C.-J2D.^2

【解析】解:不妨取點(diǎn)M在第一象限,如右圖:

22

設(shè)雙曲線的方程為:0-4=1(“>0,6>0),

a-b-

MBM是頂角為135。的等腰三角形,

AB\=2a,ZMRr=45。,

點(diǎn)M的坐標(biāo)為((&+l)a,42a),

22

又「點(diǎn)、M化雙曲線一■-3"=1上,

a~b~

:.將M坐標(biāo)代入坐標(biāo)得(夜+?2d.一卷=1,

a~b-

222

整理上式得,a=(1+V2)/?,而C”="+/=(2+\[2)b,

e1=--r=V2,因此e=\/2,

ar

故選:D.

y

22

例9.已知雙曲線E:5-4=l(a>0力>0)的左,右頂點(diǎn)為A,5,點(diǎn)”在E上,為等腰

a"b~

三角形,且頂角6滿足cos6=-g,則E的離心率為()

A.舊B.2C.>/3D.>/2

【解析】解:不妨取點(diǎn)M在第一象限,如右圖:

MBM是頂角。滿足cos。=-1的等腰三角形,

3

.'JBM|=|AB|=2a,cosZ.MBx=-,

3

點(diǎn)”的坐標(biāo)為他+與,2a當(dāng)),即耳,:

又?,點(diǎn)”在雙曲線£上,

將M坐標(biāo)代入坐標(biāo)得—-笠=1,

99從

整理上式得,b2=2a2,

而=片+/=3/,

e2===3?

a

因此e=V3,

2

+方=1(。>6>0),焦距為2c,以點(diǎn)O為圓心,b為半徑作圓O,若過(guò)點(diǎn)

半幻作圓。的兩條切線,切點(diǎn)分別為A,B,且|叫=邪,則橢圓C的離心率為()

「6

A,"R石

D.-------c.—D

253-?

X2V2

【解析】解:由橢圓仁+方1(?>。),焦距為2c,以點(diǎn)。為圓心,,為半徑作圓。,若過(guò)點(diǎn)

〃,半。)作圓。的兩條切線’切點(diǎn)分別為A,B,且小半C'

故AP=-JOP2-OA2=J^a2-(a2-c2)=J^a2-be2

在RtAAOP中,由4〃_LOP,有=

故bjLa?+(?=3叵<乂且°〃,得:b\Ja2+5c2=2\f2ac?

V535

有(a2-c2)(a2+5c2)=Sa2c2,

化為:5c“+4a2c2-°4=0,有5/+4/-1=0,得(5e?-1)(/+==。,

解得e吟.

故選:B.

22

變式13.已知橢圓。:5+多=1(。>6>0)的左、右焦點(diǎn)分別為耳,尸,,P為橢圓C上一點(diǎn),若△尸耳工

ab

的周長(zhǎng)為54,且桶圓。的短軸長(zhǎng)為18,則橢圓。的離心率為()

A.3B.4C.2D.述

4535

【解析】解:設(shè)。的焦距為2c.因?yàn)椤魇さ闹荛L(zhǎng)為54,所以2z+2c=54,

所以a+c=27,

因?yàn)镃的短軸長(zhǎng)為18,所以。=9,

因?yàn)榫?a2—C1=(〃+c)(a—c)=81,所以a—c=3,

所以。=15,c=12,

故c的離心率為£="=3.

67155

故選:B.

22c7

變式14.已知橢圓C:二+之=1(〃>10)的左、右焦點(diǎn)分別為£(-c,0)和工(c,O),"Q,空)為C上一

abc

點(diǎn),且△Mf;鳥的內(nèi)心為/(馬,1),則橢圓C的離心率為()

1213

A.-B.-C.-D.-

3525

【解析】解:連接/耳,明,MI,延長(zhǎng)例/交x軸于石,

又』一『

所以3a=5c,即£=之,

a5

故選:D.

22

變式15.已知橢圓C言+方=1(4>匕>0)的左、右焦點(diǎn)分別為匕,F(xiàn)2,直線y=&(%>0)與橢圓C交

I--M,N兩點(diǎn),其中點(diǎn)M在第一象限,若M,小N,乙四點(diǎn)共圓,則橢圓C的離心率e的取值范圍是

()

A.(爭(zhēng))B.吟,1)c.[^=^,1)D.(0,爭(zhēng)

【解析】解:設(shè)橢圓的半焦距為c,由橢圓的中心對(duì)稱性和用,耳,N,巴四點(diǎn)共圓,

則四邊形“耳鳴為矩形,

所以以耳名為直徑的圓與橢圓。有公共點(diǎn),

貝|JC>。,

所以2,>a2,

故.

2

故選:A.

r2v2

變式16.已知橢圓。:"+==1(4>/2>0)的左、右焦點(diǎn)分別為",E,過(guò)K的直線與橢圓。相交尸,

a~b

Q兩點(diǎn),若PK工PF2,且IPgl=2|Q5|,則橢圓。的離心率為()

A20石「Gn3

3324

【解析】解:設(shè)|舄Q|=m,|Pg|=2相,橢圓的焦距為2c,

則|PKI=2a-2〃i,|QfJ=2a-相,nTW(2a-m)2=(2a-2m)2+9m2,解得的=g,

由|—耳|=§a,

由勾股定理可得:4c2=(g〃)2+(|a)2=等,可得,2=3/,

9

We=-=—.

a3

故選:B.

題型四:圓

22

例10.設(shè)3是橢圓C:=+3=l(a>b>0)的上頂點(diǎn),若。上的任意一點(diǎn)尸都滿足|P8|,,2力,則C的

a/r

離心率的取值范圍是()

A.吟,1)B.[i,1)C.(0,

-1D.(0.

【解析】解:點(diǎn)8的坐標(biāo)為(0,力,設(shè)P(x0,%),

>>0

則W+與=1,

a2b2

2

XQ=o(l-芯),

22

2

故|PB|=片+(%一牙=儲(chǔ)(1_患)+(%-6)2=專*-22

-2hy0+a+h,yQG[-h,b],

又對(duì)稱軸%=-*<0,

當(dāng)-4”-。時(shí),即。..C時(shí),

則當(dāng)為=-匕時(shí),最大,此時(shí)|PB|=2A,

所以e=£,,立,

a2

又Ove<l,

故e的范圍為(0,當(dāng),

2

力3

當(dāng)—7>—b時(shí),即。VC時(shí),

c~

則當(dāng)%=-勺時(shí),|P5『最大,

C"

此時(shí)」28/=與+/+/=^r+2b2+c2..2.^r-c2+2b-=4b2,

CC"vC

A4

當(dāng)且僅當(dāng)勺=,2即八C時(shí)等號(hào)成立,

c

又b<c,所以|PB『>4/,GR|PB|>2b.

故不滿足題意,

綜上所述的e的范圍為(0,f],

方法二:根據(jù)題意,有3(0向,設(shè)P(x0,%),則|P8|教如ox:+(%-b)2*

222

也即a(l-jy)+(y0-h)?4bf

不妨設(shè)b=1,則Vy()w[—1,1],(a?—l)y;+2%—片+3..0,

也即V%£|-1,1],(%+l)[(a--1)%-+3]..0,

也即V%c[-1,1]i-l)y0—ci"+3..0?

從而可得(a~—1)(—1)—+3..0a£(1,>/2]?

從而離心率的取值范圍為(0,當(dāng),

故選:C.

例11.已知雙曲線c的兩個(gè)頂點(diǎn)分別為4,4,若c的漸近線上存在點(diǎn)尸,使得|PAI=&IP&I,則

c的離心率的取值范圍是()

A.(1,3]B.[3,+oo)C.(1,2]D.[2,+oo)

【解析】解:由題意設(shè)一條漸近線為:y=-x,取點(diǎn)P(x,2x),且4(-°,0),A,(a,0).

aa

因?yàn)閨必|=拒|尸&I,(x+a)2+(-x)2=2[(x-a)2+(-x)2],

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