由方程所確定函數(shù)導(dǎo)數(shù)

一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)二、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)三、相關(guān)變化率第四節(jié)由方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)首頁上頁返回下頁結(jié)束鈴第二章一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)顯函數(shù)與隱函數(shù)形如y=f(x)的函數(shù)稱為顯函數(shù).

例如,y=sin

x,y=ln

x+ex

都是顯函數(shù).由方程F(x,y)=0所確的函數(shù)稱為隱函數(shù).例如,方程x+y3-1=0確定的隱函數(shù)為y

=3

1-x

.下頁隱函數(shù)的求導(dǎo)法把方程兩邊同時對x求導(dǎo)數(shù)，在求導(dǎo)的過程中遇到y(tǒng),就可直接求導(dǎo)

y￠；遇到y(tǒng)的函數(shù)f(y)要看作是x的復(fù)合函數(shù)，用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則求導(dǎo)，即[

f

(

y)]￠x

=

f

￠(

y)

y￠.

將含有y￠的項移到方程等號的左邊合并，不含

y￠的項移到方程等號的右邊合并，然后從方程中解出隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù).一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)提示:

(ey)￠=e

y

y￠,

(xy)￠=y+xy￠.例1

求由方程ey+xy-e=0所確定的隱函數(shù)y的導(dǎo)數(shù).解方程中每一項對x求導(dǎo)，得(ey)￠+(xy)￠-(e)￠=(0)￠,ey

y￠+y+xy￠=0,

(

x

+

e

y

)

y￠=

-

y即一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)從而x+eyy￠=-

y

(x+e

y?0)下頁例2求由方程y5+2y-x-3x7=0所確定的隱函數(shù)y=f(x)在x=0處的導(dǎo)數(shù)y￠|x=0.因為當x=0時,從原方程得y=0,所以解法一

把方程兩邊分別對x求導(dǎo)數(shù)，得5y4

y￠+2y￠-1-21x6=0,即(5

y4

+2)y￠=1+21x6由此得5y4

+2y￠=1+21x6

.2x=0x=05y4

+2=1+21x6

|y￠|=

1

.下頁解法二

把方程兩邊分別對x求導(dǎo)數(shù)，得5y4

y￠+2y￠-1-21x6=0,根據(jù)原方程,當x=0時,y=0,將其代入上述方程得2y￠|x=0

-

1

=0,從而

y￠|x=0=0.5.下頁例2求由方程y5+2y-x-3x7=0所確定的隱函數(shù)y=f(x)在x=0處的導(dǎo)數(shù)y￠|x=0.解

把橢圓方程的兩邊分別對x求導(dǎo),

得

x

+

2

y

y￠=0

,8

9例316

92求橢圓

x2

+

y2

=1

在(2,

3

3)

處的切線方程.所求的切線方程為從而16yy￠=

-

9x

.4k

=

y￠|x=2

=- 3

.y

-3

3

=- 3

(x

-2),即2

43x+4y

-8 3

=0

.3

,代入上式得所求切線的斜率2當x=2

時,y

=3下頁例42求由方程x

-y

+1

sin

y

=0

所確定的隱函數(shù)y的二階導(dǎo)數(shù).解方程兩邊對x求導(dǎo),得dx

2

dx于是dx

2-cos

y上式兩邊再對x求導(dǎo),得dy

=

2

.dx2d

2

ydx1-

dy

+

1

cos

y

dy

=0

,

2

-(2

-

cos

y)

dy

=

0-2sin

y

dy(2-cos

y)2

(2-cos

y)3-2

sin

y=

dx

=

2

-

cos

y

=

-4sin

y

.(2

-

cos

y)2(2

-

cos

y)22(2)￠(2

-

cos

y)

-

2 (2

-

cos

y)￠=

2

-

cos

y

=

2￠取對數(shù)求導(dǎo)法此方法是先在y=f(x)的兩邊取自然對數(shù)，并利用對數(shù)的性質(zhì)進行充分化簡，然后將化簡后的結(jié)果看作隱函數(shù)，應(yīng)用隱函數(shù)的求導(dǎo)法求出其導(dǎo)數(shù)．取對數(shù)求導(dǎo)法適用于求冪指函數(shù)y=[u(x)]v(x)的導(dǎo)數(shù)及多個因式相乘(相除)的函數(shù)的導(dǎo)數(shù).下頁注:

(1)

ln

ab

=

ln

a

+

ln

b(3)

ln

a

b

=

b

ln

a(2

)

ln

a

=

ln

a

-

ln

bbN

=

e

ln

N(4

)例5

求冪指函數(shù)y=x

sin

x

(x>0)的導(dǎo)數(shù).解法一(即取對數(shù)轉(zhuǎn)化為隱函數(shù))兩邊取對數(shù),得lny=sin

x

ln

x,1

y￠=

cos

x

ln

x

+sin

x

1

,y

x于是y￠=

y(cos

x

ln

x

+sin

x

1)

=

xsin

x

(cos

x

ln

x

+

sin

x)

.解法二x

x(即轉(zhuǎn)化為復(fù)合函數(shù))上式兩邊對x

求導(dǎo),即x\

y￠=

(esin

x

ln

x

)￠=

esin

x

ln

x

(sin

x

ln

x)￠=

xsin

x(cos

x

ln

x+

sin

x)

.sin

xy

=

xsin

x

=

eln

x

=

esin

x

ln

x

,(ln

y)￠=

(sin

x

ln

x)￠,2上式兩邊對x求導(dǎo),得說明:嚴格來說,本題應(yīng)分x>4,x<1,2<x<3三種情況討論,但結(jié)果都是一樣的.例6求函數(shù)y

=(x

-3)(x

-4)

(x

-1)(x-2)

的導(dǎo)數(shù).ln

y

=

1

[ln(x-1)+ln(x-2)-ln(x-3)-ln(x-4)],y

2

x

-1

x

-2

x

-3

x

-41

y￠=

1

(

1

+

1

-

1

-

1

)

,于是2

x-1

x-2

x-3

x-4y￠=

y

(

1

+

1

-

1

-

1

)

.首頁特點:多個因式相乘(相除)的函數(shù)的導(dǎo)數(shù).方法:取自然對數(shù)并化簡.解

先在兩邊取對數(shù),

得ln

y

=

1

ln

(

x

-1)(

x

-

2)

,2 (

x-

3)(

x

-

4)化簡!!dxdy

==

y

￠(t

)yt￠xt￠j

￠(t

)二、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)y

=y

(t)設(shè)x=j(t)具有反函數(shù)t

=j

-1(x),且t=j-1(x)與y=y(t)構(gòu)成復(fù)合函數(shù)y=y[j-1(x)].

dtdxdy

=

dydx

dtdxdtdtj￠(t)=

dy

1

=y

(t)

,

(

j￠(t)

?

0

)設(shè)y

與x

的函數(shù)關(guān)系是由參數(shù)方程x

=j(t)確定的.11=j￠(t)dtdx

dt注:

=dx即dx

j￠(t)若x=j(t)和y=y

(t)都可導(dǎo),則dy

=y

(t)

.例7

求橢圓x

=acost

在相應(yīng)于t

=p

點處的切線方程.y

=bsint

4解-asin

t

adx

a所求切線的斜率為dyt

=

4p

=-

b

.即bx+ay

-

2

ab

=0.切點的坐標為

x0

=

acos

p

=

a

2

,

y0

=bsin

p

=b

24

2

4

2切線方程為

y

-b

2

=-

b

(x

-a

2

)

,2

a

2下頁dx

x￠(t)dy

=

y

(t)

=

(b

sin

t)￠

=

bcost

=-

b

cot

t.(a

cos

t)￠討論：由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)已知x=j(t),y=y(t),如何求y對x的二階導(dǎo)數(shù)y

￠?dx

j￠(t)提示:由x=j(t),dy

=y

(t)

,dx2

dx

dxd

2

y

=

d

(dy

)

=

d

(

dy

)j￠3(t)=y

(t)j

(t)-y

(t)j

(t)

1

j￠2(t)

j￠(t)=y

(t)j

(t)-y

(t)j

(t)

.dtdxdt

j￠(t)dt

=

d

(y

(t))dt

dx

dx11=j￠(t)dt注:

=dxdx

dt的函數(shù)y=f(x)的二階導(dǎo)數(shù).例9y

=

a(1-cost)計算由擺線的參數(shù)方程

x

=

a(t

-sin

t)

所確定解

sint

1-cost=dy

=

y

(t)

=[a(1-cost)]

=

asin

t

dx

x￠(t)

[a(t

-sin

t)]￠

a(1-cost)(t?2np,n為整數(shù)).a(1-cost)

a(1-cost)2d

2

y

=

d

(dy

)

=

d

(cot

t

)

dtdx2

dx

dx

dt

2

dx=-

1

1

=-

1

22sin2

t

t2=cot(t?2np,n

為整數(shù)).2

sin

cos2

22

sin2

2t

tt=dt結(jié)束dxdx a

(1

-

cos

t

)注:

dt

=

1

=

1

圖形P360上方右邊三、相關(guān)變化率為兩可導(dǎo)函數(shù).之間有聯(lián)系相關(guān)變化率問題解法:找出相關(guān)變量對t

求導(dǎo)得相關(guān)變化率之間的關(guān)系式求出未知的相關(guān)變化率之間也有聯(lián)系.稱為相關(guān)變化率的關(guān)系式例10一氣球從離開觀察員500m處離地面鉛直上升,其速度為140m/min(分).當氣球高度為500m時,觀察員視線的仰角增加率是多少？解設(shè)氣球上升t(分鐘)后,其高度為h,觀察員視線的仰角為a,則tana

=

h

.500上式兩邊對t求導(dǎo),得sec2

a

da

=

1

dh

.dt

500

dtdt(米/秒)又當h=500(米)時,a

=45

,500m500ma氣球觀察員h已知dh

=140

(米/分).sec2a=2.例10一氣球從離開觀察員500m處離地面鉛直上升,其速度為140m/min(分).當氣球高度為500m時,觀察員視線的仰角增加率是多少？解設(shè)氣球上升t(分鐘)后,其高度為h,觀察員視線的仰角為a,則tana

=

h

.500上式兩邊對t求導(dǎo),得sec2

a

da

=

1

dh

.dt

500

dt2

da

=

1

140

,dt

500dt(米/秒)又當h=500(米)時,sec2a=2.將已知數(shù)據(jù)代入上式得dt

500(弧度/秒)即觀察員視線的仰角增加率是每分鐘0.14弧度.所以已知dh

=140

(米/分).da

=

70

=0.14

(弧度/分).內(nèi)容小結(jié)1.

隱函數(shù)求導(dǎo)法則 直接對方程兩邊求導(dǎo).2.

對數(shù)求導(dǎo)法:適用于冪指函數(shù)及某些用連乘,連除表示的函數(shù).3.

參數(shù)方程求導(dǎo)法極坐標方程求導(dǎo).求高階導(dǎo)數(shù)時,從低到高每次都用參數(shù)方程求導(dǎo)公式.4.

相關(guān)變化率問題列出