江蘇省南外、海安中學(xué)、金陵中學(xué)2021考前高三數(shù)學(xué)高考模擬試題含答案

江蘇省南外.海安中學(xué)、金陵中學(xué)2021考前高三數(shù)學(xué)高考模擬試題含答案

南外海安金陵考前高三模擬卷

數(shù)學(xué)

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上

無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題.本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符

合題目要求的.

1.設(shè)復(fù)數(shù)二滿足(1+方=1,則目=

A.-B,---C.>/2D.1

22

2.已知集合/={0,1,2,3,4},5={x|tan.v>0,xe/l)，則/Cl8中所有元素的和為

A.IB.4C.5D.6

3.已知向量滿足同=2網(wǎng)=2,\a-b\=>/5,則k+2"=

A.2石B.4C.VT5D.2上

4.某班5名團(tuán)員參加"共青團(tuán)知識競賽"，決出第一名到第五名的名次(無并列名次),已知

甲排第三，乙不是第一，丙不是第五，據(jù)此推測5人的名次排列情況共有()種

A.5B,8C.14D.21

sin(2a+生

5.若tana=：,則一^~~=

2sin(3^-2a)

A.--B,—2C.-D.2

22

(1、(1YA

6.若：=log3a,￡=b\"=3,則a,仇c的大小關(guān)系是

K.c<a<bB.c<b<aC.a<c<bD.b<c<a

7.如圖，一顆棋子從三棱柱的一個頂點沿棱移到相鄰的另一個頂點的概率均為;，剛開始時,

棋子在上底面點A處，若移了n次后，棋子落在上底面頂點的概率記為pn.則幺=

8.在三棱錐P-48C中，△Z8。是邊長為2的正三角形，PA=PB=PC,E,尸分別是

P4/8的中點，且CE_L￡b,則三棱錐尸-/6C外接球的表面積為

A.6兀B.12乃C.24乃D.36萬

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小勉給出的選項中，有多項符合題目

要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.將出數(shù)/(x)=3sin(2x+?j的圖像向左平移1個單位長度得到g(x)的圖像，則下列判

斷正確的是

TT7T

A.函數(shù)g(X)在區(qū)間上單調(diào)遞增

TTJT.

B.函數(shù)g(x)在區(qū)間---上單調(diào)遞減

_63_

7萬

C.函數(shù)g(x)圖像關(guān)于直線x=E對稱

D.函數(shù)g(x)圖像關(guān)于點＞寸稱

4

10.已知函數(shù)f(x)=xn---(為正整數(shù))，則下列判斷正確的有

x

A.對于任意的正整數(shù)〃，/（X）為奇兇數(shù)

B.存在正整數(shù)〃，/（x）的圖像關(guān)于y軸對稱

C.當(dāng)〃為奇數(shù)時，/'（X）有四個零點

D.當(dāng)〃為偶數(shù)時，/（x）有兩個零點

II.在棱長為1的正方體ABCD-44G。中，M是棱CG的中點，N為側(cè)面BB?C內(nèi)的

動點,且滿足4N〃平面AD,M,則下列結(jié)論中正確的有

A.動點N在側(cè)面BB\C、C內(nèi)的軌跡長為、

7T

B.直線4N與側(cè)面8瓦GC所成的最小角為H

C.直線&N與側(cè)面所成的最大角的正切值為2a

D.當(dāng)直線4N與側(cè)面44GC所成角最小時，過點O,M,N的平面截正方體所得的截面面積

為日

12.已知雙曲線】?-與=1,。（4,乂）為雙曲線上一點，過尸點的切線為/,雙曲線的左右

45

焦點片，后到直線/的距離分別為4，出，則

A.d、d2—5

B.直線/與雙曲線漸近線的交點為N,則歷,N,耳，用四點共圓

y"X，

C.該雙曲線的共能雙曲線的方程為^------=1

45

D.過尼的弦長為5的直線有且只有I條

三、填空題:本題共4小題,每小題5分，共20分.

13.某圓臺下底半徑為2,上底半徑為1,母線長為2,則該圓臺的表面積為.

14.高中生必讀名著有《西游記》、《紅樓夢》、《三國演義》、《水滸傳》、《復(fù)活》、《老人與每》,

后兩本為外國名著，甲讀了其中的兩本，乙讀了其中的1本，則甲、乙看同一本外國名著的概

率為.

x2v2

15設(shè)耳、R分別是橢圓C：I+4=l(">b〉0)的左、右焦點直線/過耳交橢圓C于48

b"

兩點，交歹軸于尸點，若用=斯且不?虧=0,則橢圓的離心率為.

16.艾薩克?牛頓(1642—1727)被稱為有史以來最有影響力的思想家之一，在數(shù)學(xué)方面，牛

頓"明顯地推進(jìn)了當(dāng)時數(shù)學(xué)的每一個分支”.牛頓在給萊布尼茨的信中描述了他的一個發(fā)現(xiàn)一

'a、(a、(a、(a、

-廣義二項式展開即(X+y)a=八X。++xa-2V+…+產(chǎn)*寸+…，

J\2)\k)

1(a］a(a-l)(a-2)---(a-A-+1)iHte

其中廣乂—項式系數(shù)八=1,,=—-----——/--------,aeR,ZeN.根據(jù)

以上信息，若對任意都有"%=a0+qx+a,x2+…+*x"+…，則

112(l+2x)--

%=-

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.(10分)已知數(shù)列｛勺｝滿足：4,」+a?=2?+7(〃eN*),且％=4.

(I)求數(shù)列｛a,J的通項公式；

1,"-1,

(2)已知數(shù)列也｝滿足：2=,、》,定義使4也也…d/eN')為

log("+2)a“，〃N2,〃eN

整數(shù)k叫做“幸福數(shù)"，求區(qū)間［1,2021］內(nèi)所有""幸福數(shù)的和

18.(12分)已知函數(shù)/'(*)二cosx,sinx-yj-\/3sin2x.

7T

(I)求/(x)在0,￡上的最值；

4

(2)在△ZBC中，角4伉。所對的邊分別為Ac,=氈,a=l,ZX/B。的

4

面積為止叵，求sin8+sinC的值.

4

19.(12分)如圖，E是以菱形/8CO的邊4。為直徑的半圓弧上一點，ABAD=60°.

AB=BE=2DE=2，目/為/。的中點.

(I)求證：平面1平面。;

(2)設(shè)P為往上任意一點，求二面角B-PD-C的余弦值取值范圍.

AB

20.（12分）某大學(xué)采用線上（網(wǎng)絡(luò)講座）與線下（現(xiàn)場講座）相結(jié)合的方式開展一次全院學(xué)

生參加的《奮進(jìn)新青年，追夢新時代》的專題培訓(xùn).為了解參加培訓(xùn)的學(xué)生對于線上和線下培

訓(xùn)的滿意程度.現(xiàn)隨機抽取15名學(xué)生，分別對線上、線下兩種培訓(xùn)進(jìn)行滿意度測評，根據(jù)學(xué)生

的評分（滿分100）得到如下數(shù)據(jù)：

線上：707173757779828383909293959696

線下：727377797984848587889093949596

根據(jù)滿意度的評分，將滿意度從低到高分為三個等級：

滿意度評分低于80分80分到89分不低于90分

滿意度等級不滿意滿意很滿意

根據(jù)所給數(shù)據(jù)，用事件發(fā)生的頻率估計相應(yīng)事件發(fā)生的概率.

（1）從對線上培訓(xùn)評價為"滿意"與"很滿意”的樣本中隨機抽取3人，設(shè)￥為3人中評價

為"很滿意"的人數(shù)，求隨機變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望；

（2）根據(jù)以上的數(shù)據(jù)，現(xiàn)隨機邀請5名評價者對線上、線下培訓(xùn)評分，至多有I人對線上和線

下培訓(xùn)評價等級相同的概率.

21.(12分)已知拋物線.r=4y，。為拋物線外一點，過尸點作拋物線的切線交拋物線于43

兩點，交x軸于歷,乂兩點.

(1)若打-1,一2),設(shè)△044的面積為S-△PMN的面積為S：,求」的值；

>2

(2)若P(X.，M),求證：△尸的垂心H在定直線上.

22.(12分)設(shè)函數(shù)/(x)=3sinx-x3,g(x)=2e3.

(1)證明：當(dāng)》?-1,0］時，/(x)<0;

(2)判斷函數(shù)/3)=/"(》)-8*)在(-2,+00)上的零點個數(shù).

南外海安金陵考前高三模擬卷

數(shù)學(xué)

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動,

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上

無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一?并交回.

一、選擇通.本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符

合題目要求的.

1.設(shè)復(fù)數(shù)二滿足（1+方=1,則目=

1y/2rz

A.—B.---C.>/2D.1

22

【答案】B

2.已知集合力={0,1,2,3,4},5={x|tanx>0,xeJ），則4D8中所有元素的和為

A.1B.4C.5D.6

【答案】C

3.已知向量〃滿足同=2同=2,\a-b\=y/5,JOU|a+2b\=

A.25/5B.4C.V15D.25/2

【答案】I）

4.某班5名團(tuán)員參加"共青團(tuán)知識競賽"，決出第一名到第五名的名次（無并列名次），已知

甲排第三，乙不是第一，丙不是第五，據(jù)此推測5人的名次排列情況共有（）種

A.5B.8C.14D.21

【答案】C

sin2a+

5.若tana=—，則

2sin（3乃一2a）

1cle

A.——B.-2C.-D.2

22

【答案】A

/i\a（i\hI

6.若K=log,o,=b},c3=3-f,則4,b,c的大小關(guān)系是

A.c<a<bB.c<b<aC.a<c<bD.b<c<a

【答案】B

7.如圖，一顆棋子從三棱柱的一個頂點沿棱移到相鄰的另一個頂點的概率均為;，剛開始時，

棋子在上底面點A處，若移了〃次后，棋子落在上底面頂點的概率記為P“.則P5=

B.

⑴2

m6_j_

⑴2

【答案】I)

22215

【解析】P.=—,p,=-x—+-4-A

132333I3J9

移了〃次后棋子落在上底面頂點的概率為p?

故落在下底面頂點的概率為1-p?

于是移了〃+1次后棋子落在上底面頂點的概率為

21八、11

P"+l=§P“+](1一P")=~Pn+-

1ifiA

''-P-'-2=3[P"~2)

凡-；｝是等比數(shù)列，首項為、,公比為:

11(1)

7

111111

+XPc=--1--X-,選D.

P“=22y，52235

8.在三棱錐P-4?。中，△49C是邊長為2的正三角形，"=P4=PC,瓦尸分別是

P4/4的中點，且CE1EF,則三棱錐2-48。外接球的表面積為

A.6乃B.12乃C.24%D.36乃

【答案】A

【解析】易證。8，力。

?.?EF為APAB中位線，；.EF//PB

又；EhCE,:.PBLCE,CE^AC=C,ZC,CEu平面PNC

：.PB1平面PAC.PB1.P4,且PH1PC

則尸4P8,PC兩兩垂直

如圖將P-ABC補成一個正方體

AB=AC=BC=2

,-.PA=PB=PC=\[2

外接球半徑"逅,5=4"尸=6萬，選A.

2

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合即目

要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.將函數(shù)/(x)=3sin(2x+￡］的圖像向左平移g個單位長度得到g(x)的圖像，則下列判

IJJ2

斷正確的是

TT71

A.函數(shù)g(X)在區(qū)間上單調(diào)遞增

B.函數(shù)g(x)在區(qū)間-二,￡上單調(diào)遞減

c.函數(shù)g(x)圖像關(guān)于直線x==對稱

D.函數(shù)g(x)圖像關(guān)于點g,0對稱

13)

【答案】ACD

4

10.已知函數(shù)/(x)=x"---(〃為正整數(shù))，則下列判斷正確的有

A.對于｛壬意的正整數(shù)〃，/(x)為奇函數(shù)

B.存在正整數(shù)〃，/(X)的圖像關(guān)于歹軸對稱

C.當(dāng)〃為奇數(shù)時，/(x)有四個零點

D.當(dāng)〃為偶數(shù)時，/(x)有兩個零點

【答案】BD

11.在棱長為1的正方體相。。-/6。.中，例是棱CG的中點，N為側(cè)面88CC內(nèi)的

動點，且滿足4N〃平面ZRM,則下列結(jié)論中正確的有

加

A.動點N在側(cè)面83CC內(nèi)的軌跡長為

B.直線4N與側(cè)面88CC所成的最小角為?

C.直線4N與側(cè)面所成的最大角的正切值為2a

D.當(dāng)直線4N與側(cè)面B8CC所成角最小時，過點O，M,N的平面截正方體所得的截面面積

【答案】AC%

/n、

【解析】取瓦G中點E,BB］中點F.連EF

易證4尸〃。M,EFUAD、

???平面產(chǎn)〃平面力2M

，由4N〃平面4AM,Ne側(cè)面8CG4

.4B

點軌跡為所，EF=—,A對

2

441平面

直線4N與側(cè)面BBGC所成角a為4N與/￡所成角的余角

當(dāng)N與E（或尸'重合）時4N與4片所成角最大

tanZ.NA,B.=—<-U=tan30°

2V3

.?.NN44<30。，.?.直線與平面所成角大于60。，B錯

當(dāng)N為EF中點的時，/NA】最小

此時tana=tanf--Z.NA.B\=--------------=4A=26,C對

（21'）tan/AM￡B、NyJ2

~T

當(dāng)N為"M與EF的交點時,截面為菱形DGB、M（其中G為中點）

—,GM,DB.=—xy/2x>/3=——>——,D錯

21222

選AC.

22

12.已知雙曲線\-q=l,為雙曲線上一點，過尸點的切線為/,雙曲線的左右

焦點門,乙到直線/的距離分別為4,4，則

A.4d2=5

B.直線/與雙曲線漸近線的交點為",N,則M,MG，6四點共圓

V2/

C.該雙曲線的共輪雙曲線的方程為^--—=1

45

D.過行的弦長為5的直線有且只有1條

【答案】AB

【解析】

切線/的方程為華一冬=1n5x°x-4yoy=2O,%一3,0）,乙（3,0）

⑷一尸：

5/-20|45%-20|_25(9x：-16)25(9x：-16)=5

22片+

「7(5x0)+(4y0)y/25x：+16y：25x：+16y：-25(5x：-20)?4-

A正確

5x°x-4%y=20/r-

_10

對于B,石二M

S有

y=-x^\l5x0-2yox0-2yo

'5xQx-4yQy=20(r-)_、

N415______-U

尸R與’［五—“+2yJ卜，

___10

k=鳳-2*=1。

“L_475+3-4若+3y/5x0-6y0

-2yo

10

_y/5x0-2y0_10

46-36%+6盟

2yo//

10_______________10

tan/F、M&=，非-3下%+6y。］/記&i。=60(&-2K)

2

-180-(3A/5XO-6^O)

(46+3y/5x0-6y0)(4\/5-3\/5xQ+6y0)

__-10

k二島+2乳_T0

那―4及+J商+3氐o+6汽，

\Z^x0+2%

__-10

k=后。+2打_TO

%―4.3_4后_3&-6h

?x0+2yo

TO10

則tan組NF,=4后+3&+6盟'儼3氐「6%=60(&o+2典)

12,100180-(3氐。+6%)2

1+-K------尸------------

tan4F\MF【+tanNF、NF2

2

60（屈0-2y0）［180-（3氐。+6yo）］+60（+2y0）［l80-（3-6y。）］

一［180—（3國—6盟丹［180一（3氐。+6為再

考察分子

=60］（屈。-2%）［180-9（氐0+24）2］+（氐0+2%）［180-9（氐-2打再｝

=540］（扇。-2%）［20-（氐。+2%）2］+（鳳+2盟）［20-（&。-2加）2］｝

=540［20氐/40義-（5片-4^）（&+2汽）+20+40打-（5x：-4v,；）

（Mx「2%）］=540［40甌-20（&,+2y。-20（鳳-2腎）］=0

tanF\MF?+tanZF2NF2=0,“即2+4F2N&=180°

?,.M,N，6，K四點共圓，B正確

2222

對于C,雙曲線0-號=1的共輾雙曲線為與-0=1,c錯誤

4554

對于D,過匕的弦長為5的直線有3條，如圖中的44，482,4反，D錯，選AB.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.某圓臺下底半徑為2,上底半徑為1,母線長為2,則該圓臺的表面積為.

【答案】

14.高中生必讀名著有《西游記》、《紅樓夢》、《三國演義》、《水滸傳》、《復(fù)活》、《老人與?！?

后兩本為外國名著，甲讀了其中的兩本，乙讀了其中的1本，則甲、乙看同一本外國名著的概

率為.

【答案】-

9

x2y2

15設(shè)耳、￡分別是橢圓C:*+S=im>%>0）的左、右焦點直線/過耳交橢圓C于48

兩點，交歹軸于2點，若至=通且以?虧=0,則橢圓的離心率為.

【解析】設(shè)P(OJ),?.?不=福，二片為Z尸中點

A(-2c,-t),F\A-F\P=0

(—3c,—=0,t2=3c2

4b2c2+3a2c2=a2b2,4(a3-c2)c2+3a2c2=a2(a2-c2)

4a2c2-4c4+3a2c2=1—a'c2,aA-Sa2c2+4c4=0

8±4x/34±26

1—8/+4e4=0,e，es(0,l)

24—2^3f-\/3-1V3—1

??e==,??e=.

4I2J2

16.艾薩克?牛頓（1642—1727）被稱為有史以來最有影響力的思想家之一，在數(shù)學(xué)方面，牛

頓"明顯地推進(jìn)了當(dāng)時數(shù)學(xué)的每一個分支”.牛頓在給萊布尼茨的信中描述了他的一個發(fā)現(xiàn)一

'a、（a）（a、（a）

—廣義二項式展開，即（x+y）a=cx"+x"Ty+、xa-y+-+,xa'kyk.

a(a-l)(a-2)---(a-k+\)

其中廣義二項式系數(shù),aeR,AeN?.根據(jù)

以上信息，若對任意|x|<g都有￥^*=4+平+。/?+???+aj"+…，則

【答案】-81

【解析】法一：

,-2、(-2\(-2\

(1+2x)-2=L+『2x+\-4-(2X)2+「"2x)3+…

一一2、,(-2)(-3),2,(-2)(-3)(-4)。3.

123!

(I-X)'=1-3x+3x2-x'

=1-7X+27X2-81X3

%=-81

法二：

J22

(l-x)=(l+2x)(a0+a)x+a2x+…+。,3"+…)，顯然=1

匕徽兩邊x的系數(shù)=C,-(-I)=q+4%=>er,=-7

匕徽兩邊V的系數(shù)nC；=%+4%+4ao=>%=27

匕徵交兩邊x'的系數(shù)=>C；?(-1)=%+4%+4q=>%=-81

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.(10分)已知數(shù)列｛%｝滿足：?！?|+%=2〃+7(〃wN),且q=4.

(1)求數(shù)列｛叫的通項公式;

1,"=1,

(2)已知數(shù)列他,｝滿足：bn=\i、",定義使也…々(AeN)為

log(“+2M，，〃N2,〃€N

整數(shù)人叫做“幸福數(shù)"，求區(qū)間［1,2021］內(nèi)所有""幸福數(shù)的和

【解析】

(1),???,,+1+勺=2〃+7①，〃N2,an+/_|=2〃+5②

當(dāng)〃22時，①一②=>。“+1-=2

???{4}的奇數(shù)項與偶數(shù)項各自成等差數(shù)列，且公差均為2,q=4,%=5

。2〃一|=q+2(〃-1)=2〃+2=2〃-I+3n〃“=〃+3(n為奇數(shù))

生〃=生+2(〃-1)=2〃+3n4〃=〃+3(〃為偶數(shù))

%=〃+3

1,〃=1

")"log(,,+2)(〃+3),n>2,neN'

4也也…仇=log45-log56---log(t+2)(Z:+3)=log4(Zr+3)

設(shè)log4(〃+3)=m,weN',：.k=4?-3

令1?4"'—342021=>1?加45,加61<,...加=1,2,3,4,5

區(qū)間［1,2021］內(nèi)的"幸福數(shù)”為4-3,42-3,--,45-3

二所有“幸福數(shù)"的和為41"“)_3X5=1349.

1-4

18.(12分)已知函數(shù)/(x)=cosxsinx-乙)一\^sin2x.

k3J

(I)求/'(x)在0,f上的最值；

4

(2)在△48C中，角46,。所對的邊分別為a,ac,/(：)=￥,a=7,△彳8c的

面積為二夕，求sinB+sinC的值.

4

【解析】

/,、/?/、(1?叢］61-cos2x

(I)/(x)=cosx—smx------cosx-v3---------------

(22)2

1.V31+COS2X百6、

=-sinxcosx------------------------------1-------cos2x

22222

1.o百，3731.(,始3G

=—sin+——coszx--------=-sin2x+----------

4442L3J4

c,，乃,5"I..I,,

0VxV—..—V2x+—W—,,\—4sin2x+—41

4r3362I3J

1-36/、/38、1-3V3〃、2-3月

-4^;(x)<--—,??../(x)min=—―,/(x)max=---

sinA4—=0A+—=兀、A=—

I3j33

1,.A15,\/3J.-.22CLf1)71c

:.—bcs\nA=-------=>fee=15,b+c「-28c?——=49

24I2)

,二(力+cf—力c=49,b+c=8

b_c_a_114G

?.—.~~l—

sinBsinCsinJJ33

r

h+c148..「46

/.--------------=-------nsinBn+sinC=-----

sin5+sinC37

19.(12分)如圖，E是以菱形/8C。的邊/。為直徑的半圓弧上一點，/8/。=60。,

4B=BE=2DE=2，且例為力￡＞的中點.

(1)求證：平面，平面;

(2)設(shè)戶為族上任意一點，求二面角B-PD-C的余弦值取值范圍.

【解析】

(1)?.?四邊形48co為菱形，NHW=60°,

△Z8。為等邊△

又；M為AD的中點，,BM1AD

?;DM=EM=\,BM=6,BE=2.BM?+EM?=4=BE?

BMLEM,又：ADr\EM=M,/.BM1平面DEM

???BMu平面BEM，，平面BEM_L平面DEM

(2)取半周祇中占F.渾桂M/由(1)知AMI平面DEM.

又8/u平面力6CO，，平面力BCD1平面DEM

:MF1/D，，“1平面，如圖以M為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系

x

設(shè)尸(0,8545山。),600464180。，5(73,0,0),￡>(0,1,0),C(退,2,0)

5D=(-73,1,0),0方=(0,1—cos。,一sin0),DC=(V3,l,0)

M

設(shè)平面3PZ）和平面尸。。的一個法向量分別為〃?=（X］，，Z|）,n2=（x2,y2,z2）

n.-BD=0?y/3x,+v,-0n〃]=(sinO,Gsine,G(l-cos。))

\___=

〃i?PD=0(1-cos0)y,-sin%=0

晨麗=0f(l-cos0)y2-sin0z2=0

〃2=(-sinaGsin。,G(l-cos。))

m,DC=0[y/3x2+y2=0

設(shè)二面角8-P。-。的平面角為a,成后所成角為0

n-n_2sin:8+3(1—cos。尸2(1-cos28)+3(1-cos0)2

二.cosa=|cos^|=}2

同同"4sin28+3(l-cose)24(1-cos26)+3(1-cosOf

2(1+cos0)+3(l-cos〃)_5-cos”12

-1<COS0<—

4(1+cos6)+3(1-cos6)7+cos。7+cos。2

812、312,,

/.-<------------<2,-<---------------1<1

57+cos057+cos。

.1.cosa的取值范圍為

20.（12分）某大學(xué)采用線上（網(wǎng)絡(luò)講座）與線下（現(xiàn)場講座）相結(jié)合的方式開展一次全院學(xué)

生參加的《奮進(jìn)新青年，追夢新時代》的專題培訓(xùn).為了解參加培訓(xùn)的學(xué)生對于線上和線下培

訓(xùn)的滿意程度.現(xiàn)隨機抽取15名學(xué)生，分別對線上、線下兩種培訓(xùn)進(jìn)行滿意度測評，根據(jù)學(xué)生

的評分(滿分100)得到如下數(shù)據(jù)：

線上：707173757779828383909293959696

線下：727377797984848587889093949596

根據(jù)滿意度的評分，將滿意度從低到高分為三個等級：

滿意度評分低于80分80分到89分不低于90分

滿意度等級不滿意滿意很滿意

根據(jù)所給數(shù)據(jù)，用事件發(fā)生的頻率估計相應(yīng)事件發(fā)生的概率.

(1)從對線上培訓(xùn)評價為"滿意"與"很滿意”的樣本中隨機抽取3人，設(shè)X為3人中評價

為"很滿意”的人數(shù)，求隨機變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望；

(2)根據(jù)以上的數(shù)據(jù)，現(xiàn)隨機邀請5名評價者對線上、線下培訓(xùn)評分，至多有1人對線上和線

下培訓(xùn)評價等級相同的概率.

【解析】

(I)線上培訓(xùn)滿意的人數(shù)為3人，很滿意的人數(shù)為6人

X的所有可能取值為0』,2,3

尸(萬=2)=普=K，?(*=3)=*=捺

ZOLgZ1

X的分布列為:

X0123

13155

P

8414282\

E(X)=0x—+3x—服從于參數(shù)為4(3,6,9)的超幾何分布，

+1XA+2X—=2

84142821

醺X)=**2

212

(2)線上不滿意概率：-；滿意概率：^，很滿意概率：y

線下不滿意概率：,，滿意概率：,，很滿意的概率:-

333

2111211

某一名評價者線上、線下評分等級相同的概率為：+

5353533

不同的概率為：!2

tpV112

...至多有1人對線上，線下培訓(xùn)評價等級相同的概率為：