數(shù)學概論點估計

數(shù)學概論點估計第1頁，課件共22頁，創(chuàng)作于2023年2月第五章參數(shù)估計點估計方法估計量的評選標準區(qū)間估計5.2第2頁，課件共22頁，創(chuàng)作于2023年2月5.1點估計

一、參數(shù)估計的概念

定義設(shè)X1，…，Xn是總體X的一個樣本，其分布函數(shù)為F(x;),。其中為未知參數(shù),為參數(shù)空間,若統(tǒng)計量g(X1，…，Xn)可作為的一個估計,則稱其為的一個估計量，記為注：F(x;)也可用分布律或密度函數(shù)代替.第3頁，課件共22頁，創(chuàng)作于2023年2月若x1，…，xn是樣本的一個觀測值。

由于g(x1，…，xn)

是實數(shù)域上的一個點，現(xiàn)用它來估計，故稱這種估計為點估計。點估計的經(jīng)典方法是矩估計法與極大似然估計法。第4頁，課件共22頁，創(chuàng)作于2023年2月二、矩估計法（簡稱“矩法”）關(guān)鍵點：1.用樣本矩作為總體同階矩的估計，即2.約定：若是未知參數(shù)的矩估計，則g()的矩估計為g()第5頁，課件共22頁，創(chuàng)作于2023年2月例1：設(shè)X1，…，Xn為取自總體B(m,p),的樣本，其中m已知，0<p<1未知，求p的矩估計。解:E(X)=mp,而為參數(shù)p的矩估計第6頁，課件共22頁，創(chuàng)作于2023年2月EX：設(shè)X1，…，Xn為取自參數(shù)為的指數(shù)分布總體的樣本，求的矩估計。第7頁，課件共22頁，創(chuàng)作于2023年2月例2.設(shè)總體X的概率密度為X1，…，Xn為樣本，求參數(shù)的矩估計。解:第8頁，課件共22頁，創(chuàng)作于2023年2月而第9頁，課件共22頁，創(chuàng)作于2023年2月例3：設(shè)X1，…，Xn為取自總體的樣本，求參數(shù)的矩估計。解:第10頁，課件共22頁，創(chuàng)作于2023年2月解:由:第11頁，課件共22頁，創(chuàng)作于2023年2月三、極大似然估計法1、極大似然思想

有兩個射手，一人的命中率為0.9,另一人的命中率為0.1,現(xiàn)在他們中的一個向目標射擊了一發(fā)，結(jié)果命中了，估計是誰射擊的？

一般說，事件A發(fā)生的概率與參數(shù)有關(guān)，取值不同，則P(A)也不同。因而應記事件A發(fā)生的概率為P(A|).若A發(fā)生了，則認為此時的值應是在中使P(A|)達到最大的那一個。這就是極大似然思想第12頁，課件共22頁，創(chuàng)作于2023年2月1.設(shè)總體X為離散型隨機變量，它的分布律為現(xiàn)有樣本觀察值x1,x2,…xn,,其中xk取值于{ak,k=1,2…}問：根據(jù)極大似然思想，如何用x1,x2,…xn估計q?根據(jù)極大似然思想,值應是在中使P(A|)達到最大的那一個,也就是使樣本聯(lián)合分布律最大.第13頁，課件共22頁，創(chuàng)作于2023年2月2.設(shè)總體X為連續(xù)型隨機變量，概率密度f(x;q)現(xiàn)有樣本觀察值x1,x2,…xn,問：根據(jù)極大似然思想，如何用x1,x2,…xn估計q?根據(jù)極大似然思想,值應是在中使P(A|)達到最大的那一個,也就是使樣本聯(lián)合密度最大.第14頁，課件共22頁，創(chuàng)作于2023年2月3、似然函數(shù)與極大似然估計為該總體的似然函數(shù)(p181)。定義：若有使得則稱為的極大似然估計.記為第15頁，課件共22頁，創(chuàng)作于2023年2月3、求極大似然估計的步驟*(1)做似然函數(shù)(2)做對數(shù)似然函數(shù)第16頁，課件共22頁，創(chuàng)作于2023年2月(3)列似然方程,令若該方程有解，則其解就是第17頁，課件共22頁，創(chuàng)作于2023年2月例5.設(shè)X1，…，Xn為取自參數(shù)為的泊松分布總體的樣本，求的極大似然估計解:令第18頁，課件共22頁，創(chuàng)作于2023年2月注1：若概率分布中含有多個未知參數(shù)，則可解方程組例6：設(shè)X1，…，Xn為取自總體的樣本，求參數(shù)的極大似然估計。解:第19頁，課件共22頁，創(chuàng)作于2023年2月令第20頁，課件共22頁，創(chuàng)作于2023年2月為的極大似然估計.注2：極大似然估計具有下述性質(zhì)若是未知參數(shù)的極大似然估計，u(