高三數(shù)學第一輪總復習課件-第十四講-函數(shù)與方程

共63頁1第十四講函數(shù)與方程共63頁2走進高考第一關考點關共63頁3回歸教材

1.函數(shù)的零點

(1)對于函數(shù)y=f(x),使f(x)=0的實數(shù)x叫做函數(shù)y=f(x)的零點.

(2)方程的根與函數(shù)零點的關系.

方程f(x)=0有實數(shù)根?函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸有交點?函數(shù)y=f(x)有零點.共63頁4(3)零點存在性定理

如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線,并且f(a)·f(b)<0,那么函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,這個c就是方程f(x)=0的根.共63頁52.用二分法求方程的近似解

(1)二分法

對于在區(qū)間[a,b]上連續(xù)不斷且f(a)·f(b)<0的函數(shù)y=f(x),通過不斷地把函數(shù)f(x)的零點所在的區(qū)間一分為二,使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點,進而得到零點近似值的方法叫做二分法.求方程f(x)=0的近似解就是求函數(shù)f(x)零點的近似值.共63頁6(2)用二分法求函數(shù)f(x)零點近似值的步驟

第一步,確定區(qū)間[a,b],驗證f(a)·f(b)<0,給定精確度ε;

第二步,求區(qū)間(a,b)的中點x1;

第三步,計算f(x1):

①若f(x1)=0,則x1就是函數(shù)f(x)的零點;

②若f(a)·f(x1)<0,則b=x1(此時零點x0∈(a,x1));

③若f(x1)·f(b)<0,則令a=x1(此時零點x0∈(x1,b));

共63頁7第四步,判斷是否達到精確度ε:即若|a-b|<ε,則函數(shù)零點的近似值為a(或b);否則重復第二步到第四步.

用二分法求方程的近似解的計算量較大,因此往往借助計算器或計算機來完成.共63頁8考點訓練

1.關于x的方程mx2+2x+1=0至少有一個負根,則()

A.m≤1

B.0<m<1

C.m<1

D.0<m≤1或m<0答案:A共63頁9共63頁102.下圖的函數(shù)圖象與x軸均有交點,但不宜用二分法求交點橫坐標的是()答案:B共63頁113.若函數(shù)f(x)=ax+b有一個零點為2,那么g(x)=bx2-ax的零點是()答案:C解析:由題意得2a+b=0得b=-2a,

由bx2-ax=-2ax2-ax=-ax(2x+1)=0,得x=0或x=-.共63頁124.函數(shù)y=lnx-6+2x的零點一定位于哪個區(qū)間()

A.(1,2) B.(2,3)

C.(3,4) D.(5,6)答案:B解析:當x∈(2,3),lnx∈(ln2,ln3),∵ln2<1,ln3>1,6-2x∈(0,2),當x=2時,y<0,當x=3時,y>0,故x∈(2,3).共63頁13共63頁14解讀高考第二關熱點關共63頁15題型一求函數(shù)的零點

例1

求下列函數(shù)的零點.

(1)f(x)=x3-2x2-x+2;

(2)f(x)=x+-3.解:(1)由x3-2x2-x+2=0,

得x2(x-2)-(x-2)=0,

即(x-1)(x+1)(x-2)=0,

得x=2或x=1或x=-1,

故函數(shù)f(x)的零點是2,1,-1.共63頁16(2)由x+-3=0,

得x2-3x+2=0,

即(x-1)(x-2)=0,

得x=1或x=2.

∴函數(shù)f(x)的零點為1,2.點評:求函數(shù)f(x)的零點是通過轉(zhuǎn)化求方程f(x)=0的根來實現(xiàn)的.共63頁17變式1:函數(shù)f(x)=x2+(m2+2)x+m在(-1,1)上的零點的個數(shù)為()

A.0 B.1

C.2 D.不確定答案:B共63頁18共63頁19題型二方程根的個數(shù)問題

例2

(1)判斷方程3x-x2=0的負實數(shù)根的個數(shù);

(2)已知定義域為R的偶函數(shù)f(x),當x>0時,

f(x)=lnx-ax(a∈R),方程f(x)=0在R上恰有5個不同的實數(shù)解.

①求x<0時,函數(shù)f(x)的解析式;

②求a的取值范圍.共63頁20解:(1)設f(x)=3x-x2,

∵f(-1)=-<0,f(0)=1>0,

又∵f(x)的圖象在[-1,0]上是連續(xù)不斷的.

∴函數(shù)f(x)在(-1,0)內(nèi)有零點.

又∵在(-∞,0)上,函數(shù)y=3x遞增,y=x2遞、、

∴f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞增.

故f(x)在(-1,0)內(nèi)只有一個零點.

即方程3x-x2=0只有一個負實數(shù)根.共63頁21(2)①設x<0,則-x>0,∵f(x)為偶函數(shù),

∴f(x)=f(-x)=ln(-x)+ax,

②∵f(x)為偶函數(shù),∴f(x)=0的根關于x=0對稱,

又f(x)=0恰有5個根,故有兩正根兩負根(分別互為相反數(shù))一個零根.

又當x>0時,f′(x)=-a,

∴當a≤0時,f(x)=lnx-ax在(0,+∞)上單調(diào)遞增,f(x)=0在(0,+∞)不可能有兩個實根,共63頁22當a>0時,令f′(x)=0,x=,

當0<x<時,f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增,

當x>時,f′(x)<0,f(x)遞減,

∴f(x)在x=1a處取得極大值lna-1,

又當x→-∞時,f(x)→-∞,x→+∞時,f(x)→-∞,

∴要使f(x)=0在(0,+∞)上有兩根,

當且僅當-lna-1>0,得0<a<.

由偶函數(shù)的對稱性可知,

當0<a<時,f(x)在R上恰有5個不同的解.共63頁23點評:

①方程的根或函數(shù)零點的存在性問題,可以依據(jù)區(qū)間端點處的函數(shù)值的正負來確定,但是要確定函數(shù)零點的個數(shù)還需進一步研究函數(shù)在這個區(qū)間上的單調(diào)性,在給定區(qū)間上如果是單調(diào)的,它至多有一個零點,如果不是單調(diào)的,可繼續(xù)分出小的區(qū)間,再類似作出判斷;

②如果y=f(x)在[a,b]上的圖象是連續(xù)不斷的曲線,且x0是函數(shù)y=f(x)在(a,b)上的一個零點,卻不一定有f(a)·f(b)<0.共63頁24變式2:

已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d的圖象如圖所示,則()

A.b∈(-∞,0)

B.b∈(0,1)

C.b∈(1,2)

D.b∈(2,+∞)答案:A共63頁25解析:由f(0)=0得d=0,

又∵f(1)=0,∴a+b+c=0.①

又f(-1)<0,∴-a+b-c<0.②

①+②得2b<0,即b<0,選A.共63頁26題型三利用二分法求方程的近似解

例3

求方程2x3+3x-3=0的一個近似解(精確度0.1).共63頁27解:設f(x)=2x3+3x-3.

經(jīng)計算,f(0)=-3<0,f(1)=2>0,

所以函數(shù)在(0,1)內(nèi)存在零點,

即方程2x3+3x-3=0在(0,1)內(nèi)有解.

取(0,1)的中點0.5,經(jīng)計算f(0.5)<0,

又f(1)>0,所以方程2x3+3x-3=0在(0.5,1)內(nèi)有解,如此繼續(xù)下去,得到方程的一個實數(shù)解所在的區(qū)間,如下表.(a,b)(a,b)的中點

(0,1)0.5f(0.5)<0(0.5,1)0.75f(0.75)>0(0.5,0.75)0.625f(0.625)<0(0.625,0.75)0.6875f(0.6875)<0(0.6875,0.75)|0.6875-0.75|=0.0625<0.1共63頁28共63頁29至此,可以看出方程的根落在區(qū)間長度小于0.1的區(qū)間(0.6875,0.75)內(nèi),可以將區(qū)間端點0.6875作為函數(shù)f(x)零點的近似值.因此0.7是方程2x3+3x-3=0精確到0.1的一個近似解.共63頁30點評:

①用二分法求函數(shù)的零點時,最好是利用表格,將計算過程所得到各個區(qū)間、中點坐標、區(qū)間中點的函數(shù)值等置于表格中,可清楚地表示出逐步縮小零點所在區(qū)間的過程,有時也可利用數(shù)軸來表示這一過程;

②在確定方程近似解所在的區(qū)間時,轉(zhuǎn)化為求方程對應函數(shù)的零點所在的區(qū)間,找出的區(qū)間[a,b]長度盡可能小,且滿足f(a)5f(b)<0;共63頁31③求方程的近似解,所要求的精確度不同得到的結(jié)果也不同,精確度ε,是指在計算過程中得到某個區(qū)間(a,b)后,直到|a-b|<ε時,可停止計算,其結(jié)果可以是滿足精確度的最后小區(qū)間的端點或區(qū)間內(nèi)的任一實數(shù),結(jié)果不唯一.共63頁32變式3:關于方程3x+x2+2x-1=0,下列說法正確的是()

A.方程有兩個不相等的負實根

B.方程有兩個不相等的正實根

C.方程有一正實根,一零根

D.方程有一負實根,一零根答案:D共63頁33解析:令y1=3x,y2=-x2-2x+1=2-(x+1)2,則方程的根即為兩函數(shù)的交點的橫坐標,在同一坐標系下,作出兩函數(shù)的圖象如下:觀察圖象可知方程一負實根,一零根.共63頁34笑對高考第三關技巧關共63頁35(1)函數(shù)f(x)的零點就是方程f(x)=0的根,也就是函數(shù)的圖象與x軸交點的橫坐標,對于:

①判斷二次函數(shù)f(x)的零點個數(shù),可轉(zhuǎn)化為判斷一元二次方程f(x)=0的實根個數(shù),然后借助判別式Δ>0,Δ=0,Δ<0來判斷.

②對于二次函數(shù)在某個區(qū)間上零點的個數(shù),要結(jié)合二次函數(shù)的圖象,利用判別式、對稱軸及區(qū)間端點處的函數(shù)值來判斷.共63頁36(2)一元二次方程根的分布問題

①此題型為方程的實根分布問題,解決此類問題一定要注意結(jié)合圖象,從各個方面去考慮結(jié)論成立的所有條件,考慮的方面有:判別式、韋達定理、對稱軸、函數(shù)值的大小、開口方向等.

②一元二次方程根的分布情況需滿足的條件的常見情況(下面只討論a>0的情況,a<0時可類比a>0的情況.)共63頁37共63頁38共63頁39共63頁40典例

若二次函數(shù)y=-x2+mx-1的圖象與兩端點為A(0,3),B(3,0)的線段AB有兩個不同的交點,求m的取值范圍.共63頁41解:線段AB的方程為x+y=3(0≤x≤3),

由題意得方程組

有兩組實數(shù)解,

①代入②得x2-(m+1)x+4=0(0≤x≤3)有兩個實根,

令f(x)=x2-(m+1)x+4,因此問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)f(x)=x2-(m+1)x+4在x∈[0,3]上有兩個實根,故:共63頁42解得3<m≤.

故m的取值范圍是(3,].共63頁43考向精測

1.若函數(shù)f(x)的零點與g(x)=4x+2x-2的零點之差的絕對值不超過0.25,則f(x)可以是()

A.f(x)=4x-1

B.f(x)=(x-1)2

C.f(x)=ex-1

D.f(x)=ln(x-)答案:A解析:g(0)=-2,g()=2+1-2=1,∴g(x)的零點介于(0,)之間,故選A.共63頁442.若方程2ax2-x-1=0在(0,1)內(nèi)恰有一個解,則a∈_________.答案:(1,+∞)解析:令f(x)=2ax2-x-1,由f(0)-f(1)<0,得a>1.共63頁45課時作業(yè)(十四)函數(shù)與方程一、選擇題

共63頁46A.1 B.0,2

C.0,1,2 D.0,1答案:D解析:由2x-2=0得x=1,由x2-2x=0,得x=0或x=2,由于此時x<1,故x=2舍去,故答案為D.共63頁472.函數(shù)f(x)=lnx-的零點個數(shù)是()

A.0 B.1

C.2 D.3答案:C解析:在同一坐標下畫出y=lnx,y=的圖象,有兩個交點,故函數(shù)f(x)有兩個零點.共63頁483.用二分法研究函數(shù)f(x)=x5+8x3-1的零點時,第一次經(jīng)過計算f(0)<0,f(0.5)>0,可知其中一個零點x0∈________,第二次應計算____________.()

A.(0,0.5)f(0.25)

B.(0,1)f(0.25)

C.(0.5,1)f(0.75)

D.(0,0.5)f(0.125)答案:A解析:由二分法可知答案為A.共63頁494.已知函數(shù)y=f(x)和y=g(x)的定義域及值域均為[-a,a](常數(shù)a>0),其圖象如圖所示,給出下列四個命題:

(1)函數(shù)y=f[g(x)]有且僅有6個零點

(2)函數(shù)y=g[f(x)]有且僅有6個零點

(3)函數(shù)y=f[f(x)]有且僅有9個零點

(4)函數(shù)y=g[g(x)]有且僅有4個零點

其中正確的命題是()

A.(1)(2)(3)(4) B.(1)(2)(4)

C.(2)(3) D.(1)(4)共63頁50答案:D解析:由數(shù)形結(jié)合可知.共63頁515.a<0是方程ax2+2x+1=0至少有一個負數(shù)根的()

A.必要不充分條件

B.充分不必要條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件答案:B解析:當a<0時,方程ax2+2x+1=0至少有一個負根,但當a=0時,方程也有一個負根.共63頁526.已知函數(shù)f(x)=x2+2mx+2m+3的零點為x1,x2,則x12+x22的()

A.-7 B.-6

C.2 D.18答案:C解析:由Δ=4m2-4(2m+3)≥0知m≥3或m≤-1,

又x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=4m2-4m-6,

當m=-1時,x12+x22取得最小值2.共63頁53二、填空題

7.若函數(shù)f(x)=ax-x-a(a>0且a≠1)有兩個零點,則實數(shù)a的取值范圍是________.答案:(1,+∞)解析:函數(shù)f(x)的零點個數(shù)就是函數(shù)y=ax與y=x+a的交點個數(shù),由函數(shù)的圖象可知a>1時,兩函數(shù)圖象有兩個交點,0<a<1時,兩函數(shù)有一個交點,故a>1.共63頁548.若f(x)=ax+b-1(0<a≤1)在[0,1]上有零點,則b-2a的最小值為________.答案:-2共63頁55共63頁56答案:k=0或k>1或k<-1共63頁57共63頁58三、解答題

10.判斷下列函數(shù)在給定區(qū)間上是否存在零點.

(1)f(x)=x2-3x-18,x∈[1,8];

(2)f(x)=x3-x-1,x∈[-1,2];

(3)f(x)=log2(x+2)-x,x∈[1,3];

(4)f(x)=-x,x∈(0,1).共63頁59解:(1)∵f(1)=-20<0,f(8)=22>0,

∴f(1)5f(8)<0,故f(x)=x2-3x-18在區(qū)間[1,8]上存在零點