湖南省衡陽(yáng)市江山學(xué)校高二數(shù)學(xué)文期末試題含解析

湖南省衡陽(yáng)市江山學(xué)校高二數(shù)學(xué)文期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.試在拋物線上求一點(diǎn)P，使其到焦點(diǎn)F的距離與到的距離之和最小，則該點(diǎn)坐標(biāo)為A. B. C. D.參考答案：A由題意得拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為．過點(diǎn)P作于點(diǎn)，由定義可得,所以，由圖形可得，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，最小，此時(shí)．故點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1，所以橫坐標(biāo)．即點(diǎn)P的坐標(biāo)為．選A．點(diǎn)睛：與拋物線有關(guān)的最值問題的解題策略該類問題一般解法是利用拋物線的定義，實(shí)現(xiàn)由點(diǎn)到點(diǎn)的距離與點(diǎn)到直線的距離的轉(zhuǎn)化．(1)將拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離轉(zhuǎn)化為該點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，構(gòu)造出“兩點(diǎn)之間線段最短”，使問題得解；(2)將拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，利用“與直線上所有點(diǎn)的連線中的垂線段最短”解決．2.一束光線自點(diǎn)P（1，1，1）發(fā)出，遇到平面被反射，到達(dá)點(diǎn)Q（3，3，6）被吸收，那么光所走的路程是（

） A. B. C. D.參考答案：D3.用數(shù)學(xué)歸納法證明（）時(shí)，從“到”左邊需增乘的代數(shù)式為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B略4.，則“”是“”的

A．充分非必要條件

B．必要非充分條件

C．充分必要條件

D．既非充分也非必要條件參考答案：B試題分析：或，，因此，所以“”是“”的必要不充分條件，答案選B.考點(diǎn)：集合的關(guān)系與命題間的關(guān)系5.設(shè)橢圓和雙曲線有公共焦點(diǎn)為、，是兩曲線的一個(gè)公共點(diǎn)，則∠---（）

A.

B.

C.

D.參考答案：B6.四面體的六條棱中，有五條棱長(zhǎng)都等于a，則該四面體的體積的最大值為（）A．a(chǎn)3 B．a(chǎn)3 C．a(chǎn)3 D．a(chǎn)3參考答案：C【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積．【分析】由已知中一個(gè)四面體有五條棱長(zhǎng)都等于2，我們易得該四面體必然有兩個(gè)面為等邊三角形，我們根據(jù)棱錐的幾何特征，分析出當(dāng)這兩個(gè)平面垂直時(shí)，該四面體的體積最大，將相關(guān)幾何量代入棱錐體積公式，即可得到答案．【解答】解：若一個(gè)四面體有五條棱長(zhǎng)都等于a，則它必然有兩個(gè)面為等邊三角形，如下圖由圖結(jié)合棱錐的體積公式，當(dāng)這兩個(gè)平面垂直時(shí)，底面積是定值，高最大，故該四面體的體積最大，此時(shí)棱錐的底面積S=×a2×sin60°=，棱錐的高h(yuǎn)=，則該四面體的體積最大值為V=×a2×=．故選C．7.直線x+2y﹣2=0關(guān)于直線x=1對(duì)稱的直線方程是（）A．x﹣2y+1=0 B．x+2y﹣1=0 C．x﹣2y+5=0 D．x﹣2y=0參考答案：D【考點(diǎn)】與直線關(guān)于點(diǎn)、直線對(duì)稱的直線方程．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；直線與圓．【分析】求得直線x+2y﹣2=0與直線x=1的交點(diǎn)為M的坐標(biāo)，直線x+2y﹣2=0與x軸的交點(diǎn)A的坐標(biāo)，再求得點(diǎn)A關(guān)于直線x=1的對(duì)稱點(diǎn)為B的坐標(biāo)，用兩點(diǎn)式求得MB的方程，即為所求．【解答】解：直線x+2y﹣2=0與直線x=1的交點(diǎn)為M（1，），直線x+2y﹣2=0與x軸的交點(diǎn)A（2，0），則點(diǎn)A關(guān)于直線x=1的對(duì)稱點(diǎn)為B（0，0），由兩點(diǎn)式求得直線x+2y﹣2=0關(guān)于直線x=1對(duì)稱的直線MB的方程為=，即x﹣2y=0，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查一條直線關(guān)于另一條直線的對(duì)稱方程的求法，用兩點(diǎn)式求直線的方程，屬于基礎(chǔ)題．8.方程表示圓，則的取值范圍是（A）或

（B）

（C）

（D）或參考答案：A因?yàn)榉匠瘫硎緢A，則有，那么可以解得參數(shù)a的范圍是或，選A

9.“”是“”的(

)A．充分不必要條件

B.必要不充分條件C．充分必要條件

D.既不充分也不必要條件參考答案：A10.若的展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為96，則該展開式中的系數(shù)為（

）A．1

B．9

C．10

D．11參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)到直線的距離是______．參考答案：【分析】先將點(diǎn)的極坐標(biāo)化成直角坐標(biāo)，極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，然后用點(diǎn)到直線的距離來解．【詳解】解：在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)（2，）化為直角坐標(biāo)為（，1），直線ρsin（θ﹣）＝1化為直角坐標(biāo)方程為x﹣y+2＝0，（，1）到x﹣y+2＝0的距離d＝，所以，點(diǎn)（2，）到直線ρsin（θ﹣）＝1的距離為：1。故答案為：1.【點(diǎn)睛】本題考查直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)的互化，點(diǎn)到直線的距離公式，體現(xiàn)了等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．12.不等式對(duì)任意及任意恒成立，則實(shí)數(shù)a取值范圍是

．參考答案：考點(diǎn)：基本不等式及靈活運(yùn)用．【易錯(cuò)點(diǎn)晴】本題考查的是基本不等式的靈活運(yùn)用等知識(shí)和方法的綜合運(yùn)用.解答時(shí)先依據(jù)題設(shè)條件將不等式進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化,即求函數(shù)最小值問題,然后再運(yùn)用基本不等式求得,即求出其最小值為,從而求得.解答本題是要對(duì)所個(gè)不等式進(jìn)行巧妙變形,這是解答本題的難點(diǎn),因此要引起足夠的重視.13.若函數(shù)

則

.參考答案：14.已知數(shù)列{an}滿足：a3=5，an+1=2an﹣1（n∈N*），則a1=

．參考答案：2【考點(diǎn)】數(shù)列遞推式．【專題】等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】利用遞推公式，結(jié)合遞推思想求解．【解答】解：∵數(shù)列{an}滿足：a3=5，an+1=2an﹣1（n∈N*），∴a2=×（5+1）=3．a(chǎn)1==2．故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列的第3項(xiàng)的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要注意遞推思想的合理運(yùn)用．15.計(jì)算：

。參考答案：116.如圖，雙曲線的兩頂點(diǎn)為、，虛軸兩端點(diǎn)為、，兩焦點(diǎn)為、，若以為直徑的圓內(nèi)切于菱形，切點(diǎn)分別為、、、，則雙曲線的離心率e＝

▲

.參考答案：略17.已知p：x＜8，q：x＜a，且q是p的充分而不必要條件，則a的取值范圍為．參考答案：a＜8【考點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【分析】根據(jù)充分必要條件的定義以及集合的包含關(guān)系判斷即可．【解答】解：∵p：x＜8，q：x＜a，且q是p的充分而不必要條件，∴a＜8，故答案為：（﹣∞，8）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了充分必要條件，考查集合的包含關(guān)系，是一道基礎(chǔ)題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知a1=，且Sn=n2an（n∈N*）（1）求a2，a3，a4；（2）猜測(cè){an}的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明之．參考答案：【考點(diǎn)】8B：數(shù)列的應(yīng)用；RG：數(shù)學(xué)歸納法．【分析】（1）利用數(shù)列的前n項(xiàng)和與第n項(xiàng)的關(guān)系，得到關(guān)于數(shù)列的遞推關(guān)系式，即可求得此數(shù)列的前幾項(xiàng)．（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列問題時(shí)分為兩個(gè)步驟，第一步，先證明當(dāng)當(dāng)n=1時(shí)，結(jié)論顯然成立，第二步，先假設(shè)當(dāng)n=k+1時(shí)，有ak=，利用此假設(shè)證明當(dāng)n=k+1時(shí)，結(jié)論也成立即可．【解答】解：∵Sn=n2an，∴an+1=Sn+1﹣Sn=（n+1）2an+1﹣n2an∴∴（1）a2=，a3=，a4=（2）猜測(cè)an=；下面用數(shù)學(xué)歸納法證①當(dāng)n=1時(shí)，結(jié)論顯然成立．②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)結(jié)論成立，即ak=則當(dāng)n=k+1時(shí)，故當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論也成立．由①、②可知，對(duì)于任意的n∈N*，都有an=．19.已知橢圓，F(xiàn)為右焦點(diǎn)，圓，P為橢圓C上一點(diǎn)，且P位于第一象限，過點(diǎn)P作PT與圓O相切于點(diǎn)T，使得點(diǎn)F，T在OP的兩側(cè).（Ⅰ）求橢圓C的焦距及離心率；（Ⅱ）求四邊形OFPT面積的最大值.參考答案：（Ⅰ）在橢圓：中，，，所以，故橢圓的焦距為，離心率．（Ⅱ）設(shè)（，），則，故． 所以，所以，．又，，故．因此．由，得，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立.20.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，數(shù)列{bn}滿足=．(1)求證數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為Tn，求滿足的n的最大值.參考答案：(1)(2)4試題分析：（1）由和項(xiàng)求通項(xiàng)，注意分類討論：當(dāng)時(shí)，即根據(jù)等差數(shù)列定義可證，并求出通項(xiàng)公式所以（2）因?yàn)樗粤秧?xiàng)相消法求和得，這是一個(gè)遞增數(shù)列，而因此的最大值為4.試題解析：解：（1）：在中，令可得當(dāng)時(shí)，所以即而即當(dāng)又所以，數(shù)列是首項(xiàng)和公差均為1的等差數(shù)列．于是所以（2）因?yàn)樗杂傻眉从謫握{(diào)遞減，的最大值為4.考點(diǎn)：等差數(shù)列定義及通項(xiàng)公式，裂項(xiàng)相消法求和【方法點(diǎn)睛】將數(shù)列的通項(xiàng)分成兩個(gè)式子的代數(shù)和的形式，然后通過累加抵消中間若干項(xiàng)的方法，裂項(xiàng)相消法適用于形如（其中{an}是各項(xiàng)均不為零的等差數(shù)列，c為常數(shù)）的數(shù)列.裂項(xiàng)相消法求和，常見的有相鄰兩項(xiàng)的裂項(xiàng)求和（如本例），還有一類隔一項(xiàng)的裂項(xiàng)求和，如（n≥2）或.21.已知兩條坐標(biāo)軸是圓C1：（x﹣1）2+（y﹣1）2=1與圓C2的公切線，且兩圓的圓心距是3，求圓C2的方程．參考答案：【考點(diǎn)】圓與圓的位置關(guān)系及其判定．【分析】分類討論，設(shè)出圓心坐標(biāo)，利用兩圓的圓心距是3，求出圓心與半徑，即可求圓C2的方程．【解答】解：由題意知，圓C2的圓心C2在直線y=x或y=﹣x上．（1）設(shè)C2（a，a）．因?yàn)閮蓤A的圓心距是3，即C2（a，a）與C1（1，1）的距離是3，所以=3，解得a=4或a=﹣2，…此時(shí)圓C2的方程是（x﹣4）2+（y﹣4）2=16或（x+2）2+（y+2）2=4．（2）設(shè)C2（b，﹣b）．因?yàn)镃2（b，﹣b）與C1（1，1）的距離是3，所以=3，解得b=．此時(shí)圓C2的方程是（x﹣2）2+（y+2）2=8或（x+2）2+（y﹣2）2=8．故圓C2的方程（x﹣4）2+（y﹣4）2=16或（x+2）2+（y+2）2=4或（x﹣2）2+（y+2）2=8或（x+2）2+（y﹣2）2=8．…22.中央政府為了應(yīng)對(duì)因人口老齡化而造成的勞動(dòng)力短缺等問題，擬定出臺(tái)“延遲退休年齡政策”.為了了解人們]對(duì)“延遲退休年齡政策”的態(tài)度，責(zé)成人社部進(jìn)行調(diào)研.人社部從網(wǎng)上年齡在15∽65歲的人群中隨機(jī)調(diào)查100人，調(diào)査數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖和支持“延遲退休”的人數(shù)與年齡的統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下：年齡支持“延遲退休”的人數(shù)155152817

（1）由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填列聯(lián)表，并判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為以45歲為分界點(diǎn)的不同人群對(duì)“延遲退休年齡政策”的支持度有差異；

45歲以下45歲以上總計(jì)支持

不支持

總計(jì)

（2）若以45歲為分界點(diǎn)，從不支持“延遲退休”的人中按分層抽樣的方法抽取8人參加某項(xiàng)活動(dòng).現(xiàn)從這8人中隨機(jī)抽2人①抽到1人是45歲以下時(shí)，求抽到的另一人是45歲以上的概率.②記抽到45歲以上的人數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望.參考數(shù)據(jù)：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828

，其中參考答案：（1）能（2）①②見解析分析：（1）由統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填寫列聯(lián)表，計(jì)算觀測(cè)值，對(duì)照臨界值得出結(jié)論；

（2）①求抽到1人是45歲以下的概率，再求抽到1人是45歲以上的概率，

②根據(jù)題意知的可能取值，計(jì)算對(duì)應(yīng)的概率值，寫出隨機(jī)變量的分布列，計(jì)算數(shù)學(xué)期望值．詳解：（1）由頻率分布直方圖知45歲以下與45歲以上各50人，故填充列聯(lián)表如下：

45歲以下45歲以上總計(jì)支持354580不支持15520