計(jì)算方法7173資料課件

第七章非線性方程的解法數(shù)值計(jì)算方法12023/7/202023/7/2027.1隔根區(qū)間的確定第七章非線性方程的解法7.3迭代法7.2對分法7.5迭代法的收斂速度7.4牛頓(Newton)迭代法7.6弦截法27.7非線性方程組的解法

在科學(xué)研究和工程設(shè)計(jì)中,經(jīng)常會(huì)遇到的一大類問題是非線性方程--------(1)2023/7/203

當(dāng)f(x)不是x的線性函數(shù)時(shí)，稱對應(yīng)的函數(shù)方程為非線性方程。如果f(x)是多項(xiàng)式函數(shù)，則稱為代數(shù)方程，否則稱為超越方程（三角方程，指數(shù)、對數(shù)方程等）。一般稱n次多項(xiàng)式構(gòu)成的方程為n次代數(shù)方程,當(dāng)n＞1時(shí),方程顯然是非線性的一般稍微復(fù)雜的3次以上的代數(shù)方程或超越方程,很難甚至無法求得精確解。本章將介紹常用的求解非線性方程的近似根的幾種數(shù)值解法2023/7/204

通常方程根的數(shù)值解法大致分為三個(gè)步驟進(jìn)行：①

判定根的存在性。即方程有沒有根？如果有根，有幾個(gè)根？②確定根的分布范圍。即將每一個(gè)根用區(qū)間隔離開來，這個(gè)過程實(shí)際上是獲得方程各根的初始近似值。③根的精確化。將根的初始近似值按某種方法逐步精確化，直到滿足預(yù)先要求的精度為止。2023/7/205本章介紹方程的迭代解法，它既可以用來求解代數(shù)方程，也可以用來解超越方程，并且僅限于求方程的實(shí)根。運(yùn)用迭代法求解方程的根應(yīng)解決以下兩個(gè)問題：確定根的初值;將進(jìn)一步精確化到所需要的精度。2023/7/206為了確定根的初值，首先必須圈定根所在的范圍，稱為圈定根或根的隔離。在上述基礎(chǔ)上，采取適當(dāng)?shù)臄?shù)值方法確定具有一定精度要求的初值。對于代數(shù)方程，其根的個(gè)數(shù)（實(shí)或復(fù)的）與其次數(shù)相同。至于超越方程，其根可能是一個(gè)、幾個(gè)或無

解，并沒有什么固定的圈根方法求方程根的問題，就幾何上講,是求曲線

y=f(x)

與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。7.1隔根區(qū)間的確定2023/7/207

由高等數(shù)學(xué)知識知,設(shè)f(x)為區(qū)間[a,b]上的單值連續(xù),如果f(a)·f(b)<0,則[a,b]中至少有一個(gè)實(shí)根。如果f(x)在[a,b]上還是單調(diào)地遞增或遞減，則僅有一個(gè)實(shí)根。由此可大體確定根所在子區(qū)間，方法有：(1)畫圖法(2)逐步搜索法y=f(x)abyx2023/7/208(1)畫圖法畫出y=f(x)的略圖，從而看出曲線與x軸交點(diǎn)的大致位置。也可將f(x)=0分解為1(x)=2(x)的形式，1(x)與2(x)兩曲線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)所在的子區(qū)間即為含根區(qū)間。

例如

xlgx-1=0可以改寫為lgx=1/x畫出對數(shù)曲線y=lgx,與雙曲線y=1/x,它們交點(diǎn)的橫坐標(biāo)位于區(qū)間[2,3]內(nèi)230yx2023/7/209對于某些看不清根的函數(shù)，可以擴(kuò)大一下曲線y0xy=f(x)y=kf(x)2023/7/2010y0xABa1b1a2b2(2)搜索法

對于給定的f(x),設(shè)有根區(qū)間為[A,B],從x0=A出發(fā),以步長h=(B-A)/n(n是正整數(shù)),在[A,B]內(nèi)取定節(jié)點(diǎn):xi=x0＋ih(i=0,1,2,…,n),從左至右檢查f(xi)的符號,如發(fā)現(xiàn)xi與端點(diǎn)x0的函數(shù)值異號,則得到一個(gè)縮小的有根子區(qū)間［xi-1,xi］。2023/7/2011運(yùn)用零點(diǎn)定理可以得到如下逐步搜索法：

先確定方程f(x)=0的所有實(shí)根所在的區(qū)間為[a,b],從x0=a出發(fā),以步長

h=(b-a)/n

其中n是正整數(shù)，在[a,b]內(nèi)取定節(jié)點(diǎn)：

xi=x0＋ih

(i=0,1,2，……，n)

計(jì)算f(xi)的值,依據(jù)函數(shù)值異號及實(shí)根的個(gè)數(shù)確定隔根區(qū)間,通過調(diào)整步長，總可找到所有隔根區(qū)間。2023/7/2012例

求方程x3-3.2x2+1.9x+0.8=0的隔根區(qū)間。解：設(shè)方程的根為α，ν=max{1，

|-3.2|，|1.9|}μ=max{|-3.2|,|1.9|,|0.8|}=3.2故,即有根區(qū)間為(-4.2,-0.2)和(0.2,4.2)對于m次代數(shù)方程

f(x)=xm+am-1xm-1+…+a1x+a0=0其根的模的上下界有如下結(jié)論：(1)若μ=max{|am-1|,……,|a1|,|a0|}，則方程根的模小于μ+1(2)若ν=max{1，

|am-1|,……,|a1|},則方程根的模大于2023/7/2013例1方程f(x)=x3-x-1=0

確定其有根區(qū)間解：用試湊的方法，不難發(fā)現(xiàn)f(0)<0f(2)>0

在區(qū)間（0，2）內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根

設(shè)從x=0出發(fā),取h=0.5為步長向右進(jìn)行根的搜索,列表如下xf(x)00.51.01.52

–

–

–++可以看出，在[1.0,1.5]內(nèi)必有一根2023/7/2014

用逐步搜索法進(jìn)行實(shí)根隔離的關(guān)鍵是選取步長h要選擇適當(dāng)h

，使之既能把根隔離開來，工作量又不太大。為獲取指定精度要求的初值,可在以上隔離根的基礎(chǔ)上采用對分法繼續(xù)縮小該含根子區(qū)間

二分法可以看作是搜索法的一種改進(jìn)2023/7/2015

對分法又稱二分區(qū)間法,是求解方程(1)的近似根的一種常用的簡單方法。設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),且f(a)f(b)<0,根據(jù)連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)可知,f(x)=0在(a,b)內(nèi)必有實(shí)根,稱區(qū)間[a,b]為有根區(qū)間。為明確起見,假定方程f(x)=0在區(qū)間[a,b]內(nèi)有惟一實(shí)根x*。

二分法的基本思想:首先確定有根區(qū)間,將區(qū)間二等分,通過判斷f(x)的符號,逐步將有根區(qū)間縮小,直至有根區(qū)間足夠地小,便可求出滿足精度要求的近似根。7.2對分法2023/7/2016①取有根區(qū)間[a,b]之中點(diǎn),將它分為兩半,分點(diǎn),這樣就可縮小有根區(qū)間；二分法求根過程

設(shè)方程f(x)=0在區(qū)間[a,b]內(nèi)有根,二分法就是逐步收縮有根區(qū)間，最后得出所求的根。具體過程如下:

2023/7/2017

②對壓縮了的有根區(qū)間重復(fù)①的步驟,即取中點(diǎn),將區(qū)間再分為兩半,然后再確定有根區(qū)間,其長度是的二分之一；③如此反復(fù)下去,若不出現(xiàn),即可得出一系列有根區(qū)間序列：

上述每個(gè)區(qū)間都是前一個(gè)區(qū)間的一半,因此的長度:

當(dāng)k→∞時(shí)趨于零,這些區(qū)間最終收斂于一點(diǎn)x*

即為所求的根ax*x0ba1b12023/7/2018

每次二分后,取有根區(qū)間的中點(diǎn)作為根的近似值，得到一個(gè)近似根的序列該序列以根x*為極限只要二分足夠多次(即k足夠大),便有這里ε為給定精度,由于,則

2023/7/2019當(dāng)給定精度ε＞0后,要想成立,只要取k滿足即可，亦即當(dāng):

時(shí),做到第k+1次二分,計(jì)算得到的就是滿足精度要求的近似根。在程序中通常用相鄰的與的差的絕對值或與的差的絕對值是否小于ε來決定二分區(qū)間的次數(shù)。

2023/7/2020例1求方程f(x)=x3-x-1=0在區(qū)間[1.0,1.5]內(nèi)的一個(gè)實(shí)根,使誤差不超過0.5×10-2。例2證明方程在區(qū)間[2,3]內(nèi)有一個(gè)根,使用二分法求誤差不超過0.5×10-3的根要二分多少次？證明令且f(x)在[2,3]上連續(xù),故方程f(x)=0在[2,3]內(nèi)至少有一個(gè)根。又，當(dāng)時(shí)時(shí),故f(x)在[2,3]上是單調(diào)遞增函數(shù),從而f(x)在[2,3]上有且僅有一根。2023/7/2021

誤差限為只要取k滿足

即可，亦即給定誤差限＝0.5×10-3,使用二分法時(shí)所以需二分10次便可達(dá)到要求。2023/7/2022二分法的優(yōu)點(diǎn)是不管有根區(qū)間[a,b]多大,總能求出滿足精度要求的根,且對函數(shù)f(x)的要求不高,只要連續(xù)即可,計(jì)算簡單;它的局限性是只能用于求函數(shù)的實(shí)根,不能用于求復(fù)根及重根,它的收斂速度與比值為1/2的等比級數(shù)相同，不算太快，因此一般在求方程近似根時(shí)，不太單獨(dú)使用，常用它來為其它方法求方程近似根提供好的初始值。

2023/7/2023

對于一般的非線性方程,沒有通常所說的求根公式求其精確解,需要設(shè)計(jì)近似求解方法,即迭代法。它是一種逐次逼近的方法,用某個(gè)固定公式反復(fù)校正根的近似值,使之逐步精確化，最后得到滿足精度要求的結(jié)果。迭代法的基本思想為求解非線性方程f(x)=0的根，先將其寫成便于迭代的等價(jià)方程其中為x的連續(xù)函數(shù)7.3迭代法--------(2)2023/7/20242023/7/2025--------(3)稱(3)式為求解非線性方程(2)的簡單迭代法再將代入式的右端，得到依此類推,得到一個(gè)數(shù)列其一般表示2023/7/2026則稱迭代法(3)收斂,否則稱為發(fā)散--------(4)將(2)式表示為收斂2023/7/2027例3.解:(1)將原方程化為等價(jià)方程發(fā)散2023/7/2028顯然迭代法發(fā)散(2)如果將原方程化為等價(jià)方程2023/7/2029仍取初值x2=0.9644x3=0.9940x4=0.9990x5=0.9998x6=1.0000x7=1.0000依此類推,得已經(jīng)收斂,故原方程的解為迭代法的幾何意義

通常將方程f(x)=0化為與它同解的方程的方法不止一種,有的收斂,有的不收斂,這取決于的性態(tài),方程的求根問題在幾何上就是確定曲線y=

與直線y=x的交點(diǎn)P*的橫坐標(biāo)。對方程f(x)=0可以構(gòu)造不同的迭代公式,但迭代公式并非總是收斂。那么,當(dāng)?shù)瘮?shù)滿足什么條件時(shí)，相應(yīng)的迭代公式才收斂呢？2023/7/20302023/7/2031定理1.且有誤差估計(jì)式①

②

1.迭代法收斂的條件這是事后估計(jì)，也就是停機(jī)標(biāo)準(zhǔn)。L越小，收斂速度越快這是事前估計(jì)。選取n，預(yù)先估計(jì)迭代次數(shù)2023/7/2032例4.用迭代法求方程的近似解,精確到小數(shù)點(diǎn)后6位解:本題迭代函數(shù)有兩種構(gòu)造形式因此采用迭代函數(shù)2023/7/2033d1=0.1000000d2=-0.0105171d3=0.1156e-2d4=-0.1265e-3d5=0.1390e-4d6=-0.1500e-5d7=0.1000e-6由于|d7|=0.1000e-006<1e-6因此原方程的解為x7=0.090525x1=0.1000000x2=0.0894829x3=0.0906391x4=0.0905126x5=0.0905265x6=0.0905250x7=0.09052512.迭代法的加速一個(gè)具有實(shí)用價(jià)值的迭代法，不僅要求它收斂，而且還要求它收斂比較快。迭代收斂的速度是指迭代誤差的下降速度。在定理1中我們知道L越小或迭代法收斂越快。若迭代過程收斂緩慢，就會(huì)增加計(jì)算量，因此，需要設(shè)法提高迭代速度。2023/7/2034當(dāng)范圍不大時(shí),設(shè)變化不大,其估計(jì)值為L,則有

（1）加速迭代法設(shè)是根的某個(gè)近似值,