湖南省衡陽市耒陽市長坪中學(xué)高三數(shù)學(xué)理模擬試題含解析

湖南省衡陽市耒陽市長坪中學(xué)高三數(shù)學(xué)理模擬試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知向量a，b滿足，且，則的取值范圍是

(A)[4,5]

(B)[5,6]

(C)[3,6]

(D)參考答案：D略2.經(jīng)過點(diǎn)（2，1），且漸近線與圓x2+（y﹣2）2=1相切的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A．﹣=1 B．﹣y2=1C．﹣=1 D．﹣=1參考答案：A【考點(diǎn)】KC：雙曲線的簡單性質(zhì)．【分析】設(shè)雙曲線的方程為mx2﹣ny2=1（mn＞0），將（2，1）代入雙曲線的方程，求得漸近線方程，再由直線和圓相切的條件：d=r，解方程可得m，n，進(jìn)而得到雙曲線的方程．【解答】解：設(shè)雙曲線的方程為mx2﹣ny2=1（mn＞0），將（2，1）代入方程可得，4m﹣n=1，①由雙曲線的漸近線方程y=±x，圓x2+（y﹣2）2=1的圓心為（0，2），半徑為1，漸近線與圓x2+（y﹣2）2=1相切，可得：=1，即為=3，②由①②可得m=，n=，即有雙曲線的方程為﹣=1．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的方程的求法，注意運(yùn)用待定系數(shù)法，以及直線和圓相切的條件：d=r，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．3.（5分）函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢．（0，+∞）B．（1，+∞）C．（0，1）D．（0，1）∪（1，+∞）參考答案：考點(diǎn)：函數(shù)的定義域及其求法．專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析：由函數(shù)的解析式可得log2x≠0，即，由此求得函數(shù)的定義域．解答：由函數(shù)的解析式可得log2x≠0，∴，故函數(shù)的定義域（0，1）∪（1，+∞），故選D．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的定義域的求法，對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域，屬于基礎(chǔ)題．4.如圖在展覽廳有一展臺(tái)，展臺(tái)是邊長為1米的正方體，面緊靠墻面，一移動(dòng)光源在豎直旗桿上移動(dòng)，其中點(diǎn)在地面上且點(diǎn)在面上的投影恰好是的中點(diǎn)，，設(shè)，在光源的照射下，正方體在面緊靠墻面的投影（包括面）的面積為，則函數(shù)的大致圖像是。參考答案：D5.函數(shù)的最小正周期是（

）（A）（B）（C）（D）參考答案：B略6.函數(shù)y=logsin（2x+）的單調(diào)減區(qū)間為(

) A．（kπ﹣，kπ]（k∈Z） B．（kπ﹣]（k∈Z） C．（kπ﹣，kπ+]（k∈Z） D．（kπ+，kπ+]（k∈Z）參考答案：C考點(diǎn)：復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性．專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析：由題意可得，本題即求函數(shù)t=sin（2x+）在滿足t＞0時(shí)，函數(shù)t的增區(qū)間，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象可得2kπ+0＜2x+≤2kπ+，k∈z，解得x的范圍，可得結(jié)論．解答： 解：函數(shù)y=logsin（2x+）的單調(diào)減區(qū)間，即函數(shù)t=sin（2x+）在滿足t＞0時(shí)，函數(shù)t的增區(qū)間，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象可得2kπ+0＜2x+≤2kπ+，k∈z，解得kπ﹣＜x≤kπ+，故在滿足t＞0的條件下，函數(shù)t的增區(qū)間為（kπ﹣，kπ+]，k∈z，故選：C．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，對(duì)數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)的圖象性質(zhì)，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．7.已知直線a2x＋y＋2＝0與直線bx－(a2＋1)y－1＝0互相垂直，則|ab|的最小值為()

A．5

B．4

C．2

D．1參考答案：C略8.已知(其中為的共軛復(fù)數(shù)，為虛數(shù)單位)，則復(fù)數(shù)的虛部為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B9.如圖，正三棱錐中，點(diǎn)在棱上，點(diǎn)在棱上，且，若異面直線和所成的角為，則異面直線與所成的角（）A．等于

B．等于

C．等于

D．等于參考答案：A略10.已知，則的值為

A.

B.

C.

D.參考答案：A【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)乘除和乘方【試題解析】因?yàn)椋?+bi）i=i+bi=-b+i=-1+i，所以二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.

定義在R上的函數(shù)既是偶函數(shù)又是周期函數(shù)，若的最小正周期是，且當(dāng)時(shí)，，則的值為

．參考答案：答案：12.已知，且滿足，則xy的最大值為

▲

.參考答案：313.對(duì)于數(shù)列{an}，若?m，n∈N*（m≠n），都有≥t（t為常數(shù)）成立，則稱數(shù)列{an}具有性質(zhì)P（t）．（1）若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n，且具有性質(zhì)P（t），則t的最大值為

；（2）若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=n2﹣，且具有性質(zhì)P（10），則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

．參考答案：2;[36，+∞）.【考點(diǎn)】數(shù)列與函數(shù)的綜合．【專題】新定義；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】（1）由題意可得≥0，即數(shù)列{2n﹣nt}單調(diào)遞增，運(yùn)用單調(diào)性的定義，計(jì)算即可得到t的最大值；（2）由題意可得≥10，即有≥0，即為數(shù)列{n2﹣10n﹣}為單調(diào)遞增，由單調(diào)性即可得到所求范圍．【解答】解：（1）由題意可得≥t恒成立，即有≥0，即數(shù)列{2n﹣nt}單調(diào)遞增，即有2n+1﹣（n+1）t﹣（2n﹣nt）≥0，即t≤2n，由于2n的最小值為2，則t≤2．故t的最大值為2；（2）由題意可得≥10，即有≥0，即為數(shù)列{n2﹣10n﹣}為單調(diào)遞增，即有（n+1）2﹣10（n+1）﹣﹣（n2﹣10n﹣）≥0，即為﹣a≤n（n+1）（2n﹣9），由f（n）=n（n+1）（2n﹣9，n=3時(shí)，取得最小值﹣36，則﹣a≤﹣36，即有a≥36．故答案為：2，[36，+∞）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查新定義的理解和運(yùn)用，考查數(shù)列的單調(diào)性的判斷和運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．14.若函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是________個(gè)．參考答案：415.設(shè)隨機(jī)變量，則

.參考答案：16.若A、B、C、D四點(diǎn)共線，且滿足，，則

.參考答案：17.已知矩形ABCD的頂點(diǎn)都在半徑為4的球O的球面上，且AB＝6，BC＝2，則棱錐O－ABCD的體積為________．參考答案：8三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.設(shè)直線與圓相交于，兩點(diǎn)，問是否存在實(shí)數(shù)，使得過點(diǎn)的直線垂直平分弦？若存在，求出實(shí)數(shù)的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．參考答案：∵直線垂直平分弦，∴直線經(jīng)過圓心．又∵直線過點(diǎn)，∴直線的斜率為，∴直線的方程為的斜率為，∴，此時(shí)，圓心到的距離，符合題意．故存在實(shí)數(shù)，使得過點(diǎn)的直線垂直平分弦，此時(shí)．19.已知某保險(xiǎn)公司的某險(xiǎn)種的基本保費(fèi)為a（單位：元），繼續(xù)購買該險(xiǎn)種的投保人稱為續(xù)保人，續(xù)保人本年度的保費(fèi)與其上年度出險(xiǎn)次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下表：上年度出險(xiǎn)次數(shù)0123≥4保費(fèi)（元）0.9aa1.5a2.5a4a

隨機(jī)調(diào)查了該險(xiǎn)種的200名續(xù)保人在一年內(nèi)的出險(xiǎn)情況，得到下表：出險(xiǎn)次數(shù)0123≥4頻數(shù)140401262

該保險(xiǎn)公司這種保險(xiǎn)的賠付規(guī)定如下表：出險(xiǎn)序次第1次第2次第3次第4次第5次及以上賠付金額（元）2.5a1.5aa0.5a0

將所抽樣本的頻率視為概率.（1）記隨機(jī)變量為一續(xù)保人在下一年度的續(xù)保費(fèi)用，為其在該年度所獲的賠付金額，求和的分布列；（2）若下一年度有100萬投保人進(jìn)行續(xù)保，該公司此險(xiǎn)種的純收益不少于900萬元，求a的最小值（純收益=總?cè)氡ｎ~－總賠付額）.參考答案：（1）見解析；（2）最小值為100元【分析】（1）根據(jù)題目條件，依次計(jì)算概率得到分布列.（2）分別計(jì)算公司此險(xiǎn)種一續(xù)保人在下一年度續(xù)保費(fèi)用的平均值和此險(xiǎn)種一續(xù)保人下一年度所獲賠付金額的平均值，相減得到純收益，解不等式得到答案.【詳解】解：（1）由題意得的所有取值為，，，，，其分布列為

的所有取值為，，，，，其分布列為

（2）由（1）可得該公司此險(xiǎn)種一續(xù)保人在下一年度續(xù)保費(fèi)用的平均值為，該公司此險(xiǎn)種一續(xù)保人下一年度所獲賠付金額的平均值為，該公司此險(xiǎn)種的總收益為，，，基本保費(fèi)為的最小值為元.【點(diǎn)睛】本題考查了概率，分布列，平均值，屬于概率統(tǒng)計(jì)的應(yīng)用，屬于?？碱}型.20.在△ABC中，a、b、c分別為內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊，且滿足.（1）判斷△ABC的形狀；（2）若，，CD為角C的平分線，求CD的長.參考答案：（1）直角三角形；（2）.【分析】（1）利用兩角和與差的正弦公式化簡已知條件，求得，由此判斷也即三角形為直角三角形.（2）根據(jù)勾股定理求得和,由此求得，根據(jù)正弦定理列方程，解方程求得的長.【詳解】（1）由，得，∴，∴，∴.故為直角三角形．（2）由（1）知，又，，∴，，.由正弦定理得，∴.【點(diǎn)睛】本小題主要考查兩角和與差的余弦公式，考查勾股定理，考查正弦定理解三角形，屬于基礎(chǔ)題.21.已知在數(shù)列{an}中，（t>0且t≠1）．是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)．

（1）證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）記，當(dāng)t=2時(shí)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，求使Sn>2012的n的最小值；

（3）當(dāng)t=2時(shí)，是否存在指數(shù)函數(shù)g（x），使得對(duì)于任意的正整數(shù)n有成立？若存在，求出滿足條件的一個(gè)g（x）；若不存在，請(qǐng)說明理由．參考答案：（1）．由題意，即．…………1分∴∵且，∴數(shù)列是以為首項(xiàng)，t為公比的等比數(shù)列…………2分以上各式兩邊分別相加得，∴，當(dāng)時(shí)，上式也成立，∴…………5分

（2）當(dāng)t=2時(shí)，…7分

由，得，，

…………8分當(dāng)，因此n的最小值為1005．

…………10分則

22.（10分）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為,且,n∈,數(shù)列{bn}滿足，n∈.(1)求(2)求數(shù)列{}的前n項(xiàng)和Tn.參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)列的求和；等差關(guān)系