對(duì)策與決策問(wèn)題概要課件

第七章、對(duì)策與決策模型前言§7.1對(duì)策問(wèn)題§7.2、決策問(wèn)題§7.3層次分析法建模7/22/20231MCM前言

對(duì)策與決策是人們?cè)谌粘Ｉ詈凸ぷ髦薪?jīng)常碰到的擇優(yōu)活動(dòng)。人們?cè)谔幚砟骋粏?wèn)題時(shí)，往往會(huì)面臨多種可能出現(xiàn)的情形，同時(shí)又存在多種可供選擇的行動(dòng)方案，要求根據(jù)自己的行動(dòng)目的從中選定一種方案，以期獲得最佳的結(jié)果。有時(shí)，人們面臨的問(wèn)題具有競(jìng)爭(zhēng)或?qū)剐再|(zhì)，如商業(yè)上的競(jìng)爭(zhēng)、體育中的比賽和軍事對(duì)抗、政治派別的斗爭(zhēng)等等。這時(shí)競(jìng)爭(zhēng)雙方或各方都希望發(fā)揮自己的優(yōu)勢(shì)，使己方獲得最好結(jié)果。因而雙方或各方都要根據(jù)不同情況、不同對(duì)手作出各自的決擇，此時(shí)遇到的問(wèn)題被稱(chēng)為對(duì)策。7/22/20232MCM在有些情況下，我們面臨的并非競(jìng)爭(zhēng)對(duì)手而是可能出現(xiàn)的多種情況，我們不知道究竟哪一種情況會(huì)發(fā)生，但希望我們的決策能獲得最好的結(jié)果，此時(shí)，我們面臨的問(wèn)題被稱(chēng)為決策問(wèn)題，不過(guò)，如果我們將可能出現(xiàn)的若干種情況也看作是競(jìng)爭(zhēng)對(duì)手可采取的幾種策略，那么也可以把決策問(wèn)題當(dāng)作對(duì)策問(wèn)題來(lái)處理。7/22/20233MCM§7.1對(duì)策問(wèn)題

對(duì)策問(wèn)題的特征是參與者為利益相互沖突的各方，其結(jié)局并不取決于其中任何一方的努力，而是各方所采取的策略的綜合結(jié)果。先考察幾個(gè)實(shí)際例子。例7.1（田忌賽馬）田忌賽馬是大多數(shù)人都熟知的故事。事情發(fā)生在戰(zhàn)國(guó)時(shí)期，據(jù)說(shuō)齊王欲與大將田忌賽馬，雙方約定每人從自己的上、中、下三個(gè)等級(jí)的馬中各挑選賽馬一匹來(lái)進(jìn)行三局比賽，進(jìn)行每局比賽時(shí)，雙方7/22/20234MCM各派賽馬一匹比試，每局的敗者要付給勝者一千兩黃金。當(dāng)時(shí)，齊王的每一等級(jí)的馬都比田忌同等級(jí)的馬要強(qiáng)，因而，如果田忌用自己的上等馬與齊王的上等馬比試，用自己的中等馬與齊王的中等馬比試，用自己的下等馬與齊王的下等馬比試，則田忌要輸三局，因而要輸?shù)酎S金三千兩。但是結(jié)果田忌并沒(méi)有輸，反而贏了一千兩黃金。這是因?yàn)樘锛傻闹\士孫臏給他出了一個(gè)主意，讓他用下等馬對(duì)齊王的上等馬，上等馬對(duì)齊王的中等馬，中等馬對(duì)齊王的下等馬，結(jié)果田忌二勝一敗，反而贏了一千兩黃金。

7/22/20235MCM例7.2（石頭—剪刀—布）這是一個(gè)大多數(shù)人小時(shí)候都玩過(guò)的游戲。游戲雙方每次出拳只能選石頭、剪刀、布中的一種，石頭贏剪刀，剪刀贏布，而布又贏石頭，贏者得一分，輸者失一分，雙方相同時(shí)不得分，見(jiàn)下表。AB石頭剪子布石頭01－1剪子－101布1－10表7-17/22/20236MCM例7.3（嫌犯的困惑）警察同時(shí)拘捕了兩嫌疑犯，為防止串供，將他們分開(kāi)關(guān)押。逮捕的原因是他們持有大量偽幣。警方懷疑他們偽造錢(qián)幣，但沒(méi)有找到充分的證據(jù)，希望他們能自己供認(rèn)。這兩個(gè)人都知道：如果他們雙方都不供認(rèn)，將被以使用和持有大量偽幣罪被各判刑18個(gè)月；如果雙方都供認(rèn)偽造了錢(qián)幣，將以偽造錢(qián)幣罪被各被判刑3年；如果一方供認(rèn)而另一方不供認(rèn)，則供認(rèn)方將被從寬處理而免予刑事處分，但另一方則將被判刑7年。將嫌疑犯A、B被判刑的幾種可能情況列表如下：7/22/20237MCM表7-2AB供認(rèn)不供認(rèn)供認(rèn)（3，3）（0，7）不供認(rèn)（7，0）（1.5，1.5）表中每對(duì)數(shù)字是嫌疑犯A、B分別被判刑的年數(shù)的組合。如果兩名嫌疑犯均擔(dān)心對(duì)方供認(rèn)并希望受到最輕的懲罰，最保險(xiǎn)的辦法自然是承認(rèn)制造了偽幣。從這些簡(jiǎn)單實(shí)例中可以看出對(duì)策現(xiàn)象中包含著幾個(gè)基本要素。7/22/20238MCM（對(duì)策的基本要素）（1）局中人。參加決策的各方被稱(chēng)為對(duì)策問(wèn)題的局中人，一個(gè)決策問(wèn)題至少包含著兩名局中人（如棋類(lèi)比賽等），也可以包含多于兩名局中人（如大多數(shù)商業(yè)中的競(jìng)爭(zhēng)、政治派別間的斗爭(zhēng)等）。局中人必須擁有可供其選擇并影響最終結(jié)局的策略，在例7.1中，田忌的朋友孫臏不能稱(chēng)之為局中人，他只是給田忌了提供了可供參考的策略，而沒(méi)有做出決策的權(quán)利，最終的決策只能由局中人田忌本人來(lái)做出。同樣，在例7.3中，局中人是A、B兩名嫌疑犯，警方并非局中人。兩名嫌犯最終被如何判刑，取決于他們各自采取的態(tài)度，警方并不能代替他們做出選擇。7/22/20239MCM（2）策略集。局中人所能采取的每一可行方案均被稱(chēng)為策略，某局中人可采取的全部策略稱(chēng)為該局中人的策略集。對(duì)策問(wèn)題中，對(duì)應(yīng)于每一局中人均存在著一個(gè)策略集，而每一策略集中至少要求有兩個(gè)策略，否則，該局中人可從此對(duì)策問(wèn)題中刪去，因?yàn)閷?duì)他來(lái)講，他只有唯一的方案，不存在任何選擇策略的余地。應(yīng)當(dāng)注意的是，所謂策略是指在整個(gè)競(jìng)爭(zhēng)過(guò)程中對(duì)付他方的整套策略，并非指競(jìng)爭(zhēng)過(guò)程中某個(gè)步驟所采取的具體局部辦法。例如田忌先出下等馬比賽只能看成其完整策略的組成部分，而不能看成一個(gè)完整的策略。7/22/202310MCM因?yàn)槭紫瘸鱿碌锐R比賽，比賽還沒(méi)有結(jié)束，接下來(lái)還必須繼續(xù)為剩余的比賽尋找應(yīng)對(duì)方法。只有當(dāng)比賽全部結(jié)束，各比賽方案組合在一起才能構(gòu)成一個(gè)策略，比如，先出下等馬，再出上等馬，后出中等馬就構(gòu)成了一個(gè)策略。當(dāng)然，有時(shí)也可將具體的局部方法看成一個(gè)多階段對(duì)策中的子對(duì)策。策略集合可以是有限集也可以是無(wú)限集，策略集為有限集時(shí)的對(duì)策問(wèn)題被稱(chēng)為有限對(duì)策，否則被稱(chēng)為無(wú)限對(duì)策。7/22/202311MCM記局中人的策略集為。對(duì)策時(shí)，對(duì)策問(wèn)題的各方都從各自的策略集合中選定了一個(gè)策略。各方都采取了自己的策略后，對(duì)策問(wèn)題將產(chǎn)生一個(gè)結(jié)果，該結(jié)果可用一個(gè)矢量表示，稱(chēng)之為一個(gè)純局勢(shì)（簡(jiǎn)稱(chēng)局勢(shì)）。例如，若一對(duì)策中包含A、B兩名局中人，A有種策略，B有種策略7/22/202312MCMA、B的策略集合分別為和如果局中人A選擇策略而局中人B選擇策略則對(duì)策結(jié)果就成為此對(duì)策的一個(gè)純局勢(shì)。顯然，策略集與共構(gòu)成個(gè)純局勢(shì)，它們構(gòu)成表7.3。由對(duì)策問(wèn)題的全體純局勢(shì)構(gòu)成的集合稱(chēng)為此對(duì)策問(wèn)題的局勢(shì)集合。7/22/202313MCM表7-37/22/202314MCM在例7.1中，齊王和田忌雙方都要各選派自己的三匹分屬上、中、下三個(gè)等級(jí)的馬分別參加一局比賽。如果用1、2、3分別代替齊王的上等馬、中等馬、下等馬，而用三個(gè)數(shù)字排列的先后順序表示參賽次序，例如（1，2，3）表示齊王用上等馬參加第一局比賽，中等馬參加第二局比賽，下等馬參加第三局比賽，那么齊王的策略集也包含（1，3，2）、（2，1，3）、（2，3，1）、（3，2，1）、（3，1，2）六個(gè)策略，分別記為（此處仍用1、2、3分別代替田忌的上等馬、中等馬、下等馬）。局勢(shì)集合S包含了由雙方的策略?xún)蓛山M合而成36個(gè)純局勢(shì)。

7/22/202315MCM同樣，田忌的策略集也包含（1，3，2）、（2，1，3）、（2，3，1）、（3，2，1）、（3，1，2）六個(gè)策略，分別記為（此處仍用1、2、3分別代替田忌的上等馬、中等馬、下等馬）。局勢(shì)集合S包含了由雙方的策略?xún)蓛山M合而成36個(gè)純局勢(shì)。

7/22/202316MCM（3）贏得函數(shù)（或稱(chēng)支付函數(shù)）。對(duì)策的結(jié)果要體現(xiàn)到每位局中人身上，所以一般用矢量表示，稱(chēng)之為贏得函數(shù)。贏得函數(shù)F為定義在局勢(shì)集S上的矢值函數(shù)，對(duì)于S中的每一純局勢(shì)s，F(xiàn)（s）指出了每一局中人在此對(duì)策結(jié)果下應(yīng)贏得（或支付）的值。記局中人集合為I=（1，…，k），對(duì)每一有一策略集,當(dāng)I中每一局中人選定自己的策略后得一個(gè)局勢(shì)s；將s代入贏得函數(shù)F，即得一矢量

其中為在局勢(shì)s下局中人i的贏得（或支付）。7/22/202317MCM如例7.1在局勢(shì)(,)下齊王的贏得值為＝3，而田忌的贏得值為＝－3（以1千兩黃金為單位）。綜上所述，一個(gè)對(duì)策模型由局中人、策略集和贏得函數(shù)三部分組成。本節(jié)討論只有兩名局中人的對(duì)策問(wèn)題，其結(jié)果可以推廣到一般的對(duì)策模型中去。一般的對(duì)策問(wèn)題討論起來(lái)相當(dāng)繁瑣，為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，本節(jié)只討論僅有兩名局中人的對(duì)策問(wèn)題（簡(jiǎn)稱(chēng)為兩人對(duì)策）。7/22/202318MCM對(duì)于只有兩名局中人的對(duì)策問(wèn)題，其局勢(shì)集和贏得函數(shù)均可用表格表示。例如，表7.2就給出了例7.3的局勢(shì)集和贏得函數(shù)，為方便起見(jiàn)，我們不妨仍用來(lái)記一方采用，另一方采用時(shí)雙方的贏得。（兩人零和對(duì)策）一類(lèi)特殊的兩人對(duì)策問(wèn)題被稱(chēng)為零和對(duì)策問(wèn)題，在這類(lèi)對(duì)策中，當(dāng)純局勢(shì)確定后，局中人A之所得恰為另一局中人B之所失，或者A之所失恰為B之所得，即雙方所得之和總為零。如例8.1的賽馬比賽結(jié)果，齊王之所得必為田忌之所失，齊王之所失必為田忌之所得，因此例7.1中的兩人對(duì)策問(wèn)題就屬于零和對(duì)策問(wèn)題。7/22/202319MCM在零和對(duì)策中，因要指出對(duì)策結(jié)果只需指出其中一人的贏得即可，故贏得函數(shù)可用贏得矩陣來(lái)表示。例如若A有m種策略，B有n種策略，贏得矩陣可寫(xiě)成

表示若A選取策略i而B(niǎo)選取策略j，則A之所得為B之所失為（當(dāng)時(shí)為贏得）。7/22/202320MCM例7.1中的兩人零和對(duì)策問(wèn)題，贏得函數(shù)可以使用齊王或者田忌的贏得矩陣來(lái)表示。齊王的贏得矩陣（以1千兩黃金為單位）為：而田忌的贏得矩陣為-R。7/22/202321MCM在有些兩人對(duì)策的贏得表中，A之所得并非明顯為B之所失，但雙方贏得數(shù)之和為一常數(shù)。例如在表7.4中，無(wú)論A、B怎樣選取策略，雙方贏得總和均為10。這種對(duì)策問(wèn)題可以很容易地轉(zhuǎn)化為A之所的即為B之所失的零和對(duì)策問(wèn)題。表7.4局中人A局中人B1231(8,2)(1,9)(7,3)2(4,6)(9,1)(3,7)3(2,8)(6,4)(8,2)4(6,4)(4,6)(6,4)7/22/202322MCM此時(shí)，若分別把兩人的贏得數(shù)各減去平均贏得數(shù)，即可將贏得表化為零和贏得表，從而可用贏得矩陣來(lái)表達(dá)。表8.4中的對(duì)策在轉(zhuǎn)化為零和對(duì)策后，具有贏得矩陣（7.1）一個(gè)兩人對(duì)策需要給出局中人A、B的策略集和以及表示雙方贏得值的贏得矩陣R。7/22/202323MCM特別地，當(dāng)遇到零和對(duì)策或可轉(zhuǎn)化為零和對(duì)策的問(wèn)題時(shí)，由以上分析，R可用通常意義下的矩陣來(lái)表示，否則R的元素應(yīng)為一個(gè)二維矢量。故兩人對(duì)策G又可稱(chēng)為矩陣對(duì)策，并可簡(jiǎn)記成例7.4給定二人對(duì)策，其中和7/22/202324MCM從R中可以看出，A的最大可能贏利為30。若A希望獲得最大贏利30，需采取策略但此時(shí)若B采取策略，A非但得不到30，反而會(huì)失去22。為了穩(wěn)妥，A在決策前應(yīng)事先考慮到對(duì)方可能有使自己損失最大的動(dòng)機(jī)，應(yīng)該在最壞的可能中爭(zhēng)取最好的結(jié)果，B也應(yīng)該做同樣的考慮。如果情況果真如此，局中人A會(huì)這樣來(lái)考慮問(wèn)題：

、采取策略

時(shí)，最壞的贏得結(jié)果分別為min{12,-6,30,-22}=-227/22/202325MCMmin{14,2,18,10}=2min{-6,0,-10,16}=-10其中最好的可能為max{-22,2,-10}=2那么如果A采取策略無(wú)論B采取什么策略，A的贏得均不會(huì)少于2。B采取各方案的最大損失為max{12,14,-6}=14max{-6,2,0}=2max{30,18,-10}=30max{-22,10,16}=16當(dāng)B采取策略時(shí)，其損失不會(huì)超過(guò)2。7/22/202326MCM注意到在贏得矩陣中，2既是所在行中的最小元素又是所在列中的最大元素。此時(shí)，只要對(duì)方不改變策略，任一局中人都不可能通過(guò)變換自己的策略來(lái)增大贏得或減小損失。在這種情況下，看來(lái)，對(duì)雙方而言這一結(jié)果都應(yīng)當(dāng)被看成是最好的結(jié)果，應(yīng)當(dāng)采用什么策略似乎并無(wú)懸念，稱(chēng)這樣的局勢(shì)為對(duì)策問(wèn)題的一個(gè)穩(wěn)定點(diǎn)（鞍點(diǎn)）或穩(wěn)定解。

定義7.1對(duì)于兩人對(duì)策，若有7/22/202327MCM則稱(chēng)G具有穩(wěn)定解，并稱(chēng)為對(duì)策G的值。若有純局勢(shì)使得

則稱(chēng)為對(duì)策G的鞍點(diǎn)或穩(wěn)定解，贏得矩陣中與相對(duì)應(yīng)的元素稱(chēng)為贏得矩陣的鞍點(diǎn)，

與分別稱(chēng)為局中人A與B的最優(yōu)策略。對(duì)（7.1）式中的贏得矩陣，容易發(fā)現(xiàn)不存在具有上述性質(zhì)的鞍點(diǎn)。給定一個(gè)對(duì)策G，如何判斷它是否具有鞍點(diǎn)呢？7/22/202328MCM定理7.1零和對(duì)策記則具有穩(wěn)定解的充要條件為定理7.1給出了對(duì)策問(wèn)題有穩(wěn)定解（簡(jiǎn)稱(chēng)為解）的充要條件。但當(dāng)一個(gè)對(duì)策問(wèn)題有解時(shí)，其解有可能不唯一。例如，若贏得矩陣為7/22/202329MCM則易得，、、

均為此對(duì)策問(wèn)題的解。一般而言，零和對(duì)策問(wèn)題的解具有下列性質(zhì)：（1）無(wú)差別性。若同為對(duì)策G的解，則必有7/22/202330MCM（2）可交換性。若均為對(duì)策G的解，則和也必為G的解。具有穩(wěn)定解的零和對(duì)策問(wèn)題是一類(lèi)特別簡(jiǎn)單的對(duì)策問(wèn)題，它所對(duì)應(yīng)的贏得矩陣存在鞍點(diǎn)，任一局中人都不可能通過(guò)自己?jiǎn)畏矫娴呐?lái)改進(jìn)結(jié)果。然而，在實(shí)際遇到的零和對(duì)策中更典型的是的情形。由定理7.1知，此時(shí)的贏得矩陣中不存在鞍點(diǎn)，也就是說(shuō)，至少存在一名局中人，在他單方面改變策略的情況下，有可能改善自己的收益。例如，考察（7.1）式中的贏得矩陣R。7/22/202331MCM若雙方都采取保守的maxmin原則，將會(huì)出現(xiàn)純局勢(shì)但如果局中人A適當(dāng)改換策略，他可以增加收入。例如，如果B采用策略而A改換策略則A可收益3。但此時(shí)若B改換策略又會(huì)使A輸?shù)?，……。此時(shí)，在只使用純策略的范圍內(nèi)，對(duì)策問(wèn)題無(wú)解。如果這類(lèi)決策只進(jìn)行一次，局中人除了碰運(yùn)氣以外別無(wú)辦法。7/22/202332MCM但如果這類(lèi)決策要反復(fù)進(jìn)行多次，則局中人固定采用同一種策略顯然是不明智的，因?yàn)橐坏?duì)手看出你會(huì)采用什么策略，他將會(huì)選用對(duì)自己最為有利的策略。（例如，在你和別人玩石頭剪子布游戲時(shí)，你始終采用同一策略顯然是很不明智的，可以肯定，輸?shù)舻囊欢ㄊ悄悖榱祟A(yù)防對(duì)手猜到你會(huì)采用哪一種策略，你應(yīng)當(dāng)不斷變換你使用的策略。換句話說(shuō)，此時(shí)局中人應(yīng)采用混合策略的辦法，即根據(jù)某種概率來(lái)選用各種策略，使自己的期望收益盡可能大。設(shè)A方用概率選用策略B方用概率選用策略7/22/202333MCM雙方每次選用什么策略是隨機(jī)的，不能讓對(duì)方看出規(guī)律，記則A的期望贏得為

其中，R為A方的贏得矩陣。7/22/202334MCM分別稱(chēng)SA與SB為A方和B方的混合策略。7/22/202335MCM對(duì)于需要使用混合策略的對(duì)策問(wèn)題，也有具有穩(wěn)定解的對(duì)策問(wèn)題的類(lèi)似結(jié)果。定義7.2若存在m維概率向量和n維概率向量使得對(duì)一切m維概率向量和n維概率向量成立，則稱(chēng)為混合策略對(duì)策問(wèn)題的鞍點(diǎn)。7/22/202336MCM定理7.2任意混合策略對(duì)策問(wèn)題必存在鞍點(diǎn)。即必存在概率向量和使得：混合策略對(duì)策問(wèn)題通?？刹捎镁€性規(guī)劃方法求解，具體解法從略。（非零和對(duì)策）除了零和對(duì)策外，還存在著另一類(lèi)對(duì)策問(wèn)題，局中人的獲利值之和并非常數(shù)。7/22/202337MCM例7.5現(xiàn)有一對(duì)策問(wèn)題，雙方獲利情況見(jiàn)表7.5。表7.5

BA1231（8,2）（0,9）（7,3）2（3,4）（9,0）（2,7）3（1,6）（6,2）（8,1）4（4,2）（4,6）（5,1）假如A、B雙方仍采取穩(wěn)妥的辦法，A發(fā)現(xiàn)如采取策略4，則至少可獲利4，而B(niǎo)發(fā)現(xiàn)如采取策略1，則至少可獲利2。因而，這種求穩(wěn)妥的想法將導(dǎo)至出現(xiàn)局勢(shì)（4，2）。7/22/202338MCM容易看出，從整體上看，結(jié)果并不是最好的，因?yàn)殡p方的總獲利有可能達(dá)到10。不難看出，此時(shí)依靠單方面的努力不一定能收到良好的效果?？磥?lái)，對(duì)這樣的對(duì)策問(wèn)題，雙方最好還是握手言和，相互配合，先取得總體上的最大獲利，然后再按照某一個(gè)雙方均認(rèn)為較為合理的方式來(lái)分享這一已經(jīng)獲得的最大獲利。例7.5說(shuō)明，總獲利數(shù)并非常數(shù)的對(duì)策問(wèn)題（即不能轉(zhuǎn)化為零和對(duì)策的問(wèn)題），是一類(lèi)存在著合作基礎(chǔ)的對(duì)策問(wèn)題。當(dāng)然，這里還存在著一個(gè)留待解決而又十分關(guān)鍵的問(wèn)題：如何分享總獲利。7/22/202339MCM如果不能達(dá)成一個(gè)雙方（或各方）都能接受的“公平”的分配原則，則這樣的合作仍然不能實(shí)現(xiàn)。怎樣建立一個(gè)“公平”的分配原則是一個(gè)較為困難的問(wèn)題，1953年，Shapley用公理化方法研究了這一問(wèn)題，并提出了他認(rèn)為公平的分配方法。因篇幅的限制，本書(shū)不準(zhǔn)備介紹他的方法，有興趣的讀者可參閱有關(guān)對(duì)策論的書(shū)籍。最后，我們來(lái)考察一個(gè)對(duì)策問(wèn)題的實(shí)例。例7.6（戰(zhàn)例分析）7/22/202340MCM圖7-1

1944年8月，美軍第一軍和英軍占領(lǐng)法國(guó)諾曼第不久，立即從海防前線穿過(guò)海峽，向Avranches進(jìn)軍。美軍第一軍和英軍的行動(dòng)直接威脅到德軍第九軍。美軍第三軍也開(kāi)到了Avranches的南部，雙方軍隊(duì)所處的地理位置如圖7.1所示。7/22/202341MCM美軍方面的指揮官是Bradley將軍，德軍指揮官是VonKluge將軍。VonKluge將軍面臨的問(wèn)題是或者向西進(jìn)攻，加強(qiáng)他的西部防線，切斷美軍援助；或者撤退到東部，占據(jù)塞那河流域的有利地形，并能得到德軍第十五軍的援助。Bradley將軍的問(wèn)題是如何調(diào)動(dòng)他的后備軍，后備軍駐扎在海峽南部。Bradley將軍有三種可供選擇的策略：他可以命令后備軍原地待命，當(dāng)海峽形勢(shì)危急時(shí)支援第一軍或者出擊東部敵人，以減輕第一軍的壓力。雙方應(yīng)如何決策，使自己能有較大的機(jī)會(huì)贏得戰(zhàn)爭(zhēng)的勝利呢？我們將用建立矩陣對(duì)策模型的方法，來(lái)試圖求得雙方的最優(yōu)策略。7/22/202342MCM模型假設(shè)：

1、Bradley將軍和VonKluge將軍分別為對(duì)策問(wèn)題的局中人A和B。2、局中人A的策略集合為其中：為后備軍增援保衛(wèi)海峽；為后備軍東征，切斷德軍后路；為后備軍待命。3、局中人B的策略集合為其中：7/22/202343MCM為德國(guó)向西進(jìn)攻海峽，切斷美軍援助；為德軍撤退到東部，占領(lǐng)塞納河流域有利地形。4、構(gòu)成六種純局勢(shì)，綜合雙方實(shí)力，各種局勢(shì)估計(jì)結(jié)果如下。若B采取策略即德軍采取攻勢(shì)，則有（1）估計(jì)美軍擊敗德軍并占領(lǐng)海峽的可能性（即概率）為1/37/22/202344MCM，

（2），估計(jì)美軍取勝的可能為1/6。德軍很可能打破美軍第一軍的防線，并切斷美軍的退路。（3），估計(jì)美軍可以根據(jù)需要增援。如不需增援，后備軍可東進(jìn)繞行到德軍后方。這樣，美軍將占領(lǐng)海峽并徹底殲滅德軍第九軍。情況（1）、（2）、（3）如圖7.2（1）、（2）、（3）所示。7/22/202345MCM

圖7-2（a）（b）（c）7/22/202346MCM若B采取策略，即德軍第九軍東撤，占據(jù)塞納河流域有利地形，則有（4），美方擴(kuò)大了戰(zhàn)線，德軍雖占據(jù)可能性。了有利地形，美軍仍有擊敗德軍的（5），美后備軍東進(jìn)給德軍東撤造成壓力并挫傷德軍，使美軍擊敗德軍的可能性增大到（6），美后備軍待命。在發(fā)現(xiàn)德軍撤退后，奉命向東擾亂敵方撤退，為以后殲滅德第九軍創(chuàng)造條件，估計(jì)美軍擊敗德軍的可能性7/22/202347MCM情況（d）、（e）、（f）見(jiàn)圖7-2（d）、（e）（f）所示。圖7-2（d）、（e）、（f）7/22/202348MCM上述分析估計(jì)是由Bradley將軍作出的，據(jù)此構(gòu)造出A方贏得矩陣這是一個(gè)3×2對(duì)策矩陣?？梢郧蟮?/22/202349MCM不存在穩(wěn)定解，需要考慮其他解法。定義7.3對(duì)于贏得矩陣R，如果對(duì)所有jaij≥akj均成立，且至少存在一個(gè)j。使得aij>akj。則稱(chēng)i行優(yōu)于k行（策略ai優(yōu)于ak）。則稱(chēng)j列優(yōu)于l例局中人B的策略j優(yōu)于同樣，如對(duì)一切i有aij≤akl，且至少有一個(gè)i0使得l）。7/22/202350MCM易見(jiàn)，若一個(gè)對(duì)策矩陣的第i行優(yōu)于第k行，則無(wú)論局中人B選擇哪種策略，局中人A采取策略i的獲利總優(yōu)于（至少不次于）采取策略k的獲利。定理7.3對(duì)于矩陣對(duì)策G={SA,SB,R}，若矩陣R的某行優(yōu)于第i1,……,ik行，則局中人A在選取最優(yōu)策略時(shí)，必取令R’為從R中劃去第i1行，…，ik行后剩下的矩陣，則7/22/202351MCM的最優(yōu)策略即原對(duì)策G的最優(yōu)策略，對(duì)于R中列的最優(yōu)關(guān)系也有類(lèi)似的結(jié)果。利用這一定理，有時(shí)對(duì)策問(wèn)題可先進(jìn)行化簡(jiǎn)，降低矩陣的階數(shù)。現(xiàn)在回過(guò)來(lái)討論美、德軍隊(duì)對(duì)策問(wèn)題（例7.6）。在Bradleg構(gòu)造的矩陣中容易發(fā)現(xiàn)a1j＜a3j,j=1,2。

故優(yōu)于根據(jù)上面的定理7.3，可劃去該矩陣的第一行，得到2×2贏得矩陣7/22/202352MCM這仍然是一個(gè)無(wú)鞍點(diǎn)的對(duì)策矩陣（注：這是必然的）。設(shè)Bradley以概率p1取策略而以概率p2取略，則應(yīng)有解得，。7/22/202353MCM類(lèi)似地，設(shè)VonKluge以概率q1取策略而以概率q2取策略，則應(yīng)有解得。7/22/202354MCM由于兩軍作戰(zhàn)并非可以反復(fù)進(jìn)行的對(duì)策問(wèn)題，看來(lái)最大的可能是美軍采取策略而德軍采取策略，

即美方后備軍待命而德軍第九軍東撤（真正實(shí)施時(shí)，指揮官有可能不這樣做，而是出其不意地采取其他策略）。事實(shí)上，當(dāng)時(shí)雙方指揮官正是這樣決策的，如果真能實(shí)行，雙方勝負(fù)還難以料定。但正當(dāng)?shù)萝姷诰跑妱倻?zhǔn)備開(kāi)始東撤時(shí)，突然接到了希特勒的命令要他們向西進(jìn)攻，從而失去了他們有可能取得的最佳結(jié)局，走上必然滅亡的道路。VonKluge將軍指揮的德軍向西進(jìn)攻，開(kāi)始時(shí)德軍占領(lǐng)了海峽，但隨之即被美軍包圍，遭到了全軍覆滅，VonKluge本人在失敗后自殺身亡。7/22/202355MCM§

7.2、決策問(wèn)題決策也是人們?cè)谌粘Ｉ詈凸ぷ髦薪?jīng)常會(huì)碰到的一類(lèi)擇優(yōu)活動(dòng)。人們?cè)谔幚砟骋粏?wèn)題時(shí)，常常會(huì)面臨幾種可能出現(xiàn)的自然情況，同時(shí)又存在著幾種可供選擇的行動(dòng)方案。此時(shí)，需要決策者根據(jù)已知的信息作出決策，即選擇出最佳的行動(dòng)方案，這樣的問(wèn)題稱(chēng)為決策問(wèn)題。面臨的幾種自然情況叫做自然狀態(tài)或簡(jiǎn)稱(chēng)狀態(tài)。狀態(tài)是客觀存在的，是不可控因素?？晒┻x擇的行動(dòng)方案叫做策略，這是可控因素，選擇哪一方案由決策者作出決定。7/22/202356MCM例7.7某工廠要確定下一年度產(chǎn)品的生產(chǎn)計(jì)劃，并擬定了三個(gè)可供選擇的生產(chǎn)方案：甲方案、乙方案和丙方案。而該產(chǎn)品的銷(xiāo)路可能有好、一般、差三種情況，根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)，未來(lái)市場(chǎng)出現(xiàn)銷(xiāo)路好壞的可能性以及各種方案在各種銷(xiāo)路下工廠的效益見(jiàn)表7.6。決策者應(yīng)選擇哪種方案使工廠獲利最大。7/22/202357MCM表7.67/22/202358MCM解：由此例可以看出，一個(gè)決策問(wèn)題應(yīng)包含三個(gè)基本要素：（1）狀態(tài)集合

其中的為自然狀態(tài)，決策者無(wú)法對(duì)其控制。例如，本例中的“銷(xiāo)路好”、“銷(xiāo)路一般”、“銷(xiāo)路差”為決策者無(wú)法控制的三種自然狀態(tài)。（2）策略集合其中的為可供決策者選擇的策略，采取哪一種完全由決策者決定。7/22/202359MCM本例中的策略有甲、乙、丙三種。（3）收益矩陣其中表示如果決策者選取策略（當(dāng)而出現(xiàn)的狀態(tài)為時(shí)決策者的收益值為負(fù)值時(shí)表示損失值）在本例中，決策者若選取甲方案而出現(xiàn)銷(xiāo)路好的情況時(shí)工廠將獲利40萬(wàn)元。根據(jù)自然狀態(tài)的不同，決策問(wèn)題常被分為三種類(lèi)型：確定型決策、風(fēng)險(xiǎn)型（或隨機(jī)型）決策和不確定型決策。7/22/202360MCM確定型決策是只存在一種確定的自然狀態(tài)的決策問(wèn)題。這種決策問(wèn)題的結(jié)構(gòu)較為簡(jiǎn)單，決策者只需比較在這種確定的自然狀態(tài)下的各種方案，確定哪一種方案最優(yōu)即可。值得一提的是策略集也可以是無(wú)限集，因而仍可能存在算法研究問(wèn)題。例如，線性規(guī)劃、二次規(guī)劃等均可看成確定型決策，因?yàn)閱?wèn)題要求決策者從可行解集合（策略集）中挑選出最優(yōu)解。確定型決策的求解并非都很簡(jiǎn)單，但由于這些問(wèn)題一般均有其自己的專(zhuān)門(mén)算法，本節(jié)不準(zhǔn)備再作介紹。在本節(jié)中，我們主要討論風(fēng)險(xiǎn)型與不確定型決策，并介紹它們的一般求解方法。7/22/202361MCM一、風(fēng)險(xiǎn)型決策問(wèn)題在風(fēng)險(xiǎn)型決策問(wèn)題中存在著兩種或兩種以上不以決策者的主觀意志為轉(zhuǎn)移的自然狀態(tài)。雖然決策者不知道究竟會(huì)出現(xiàn)哪一種狀態(tài)，但可以通過(guò)一定的方法估算出各種狀態(tài)出現(xiàn)的可能性，即知道各狀態(tài)發(fā)生的概率有多大。例如，例7.7就是一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)型的決策問(wèn)題。對(duì)于風(fēng)險(xiǎn)型決策問(wèn)題，最常用的決策方法是期望值法，即把每個(gè)行動(dòng)方案看成是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，根據(jù)各種行動(dòng)方案的期望收益或期望損失來(lái)評(píng)估各種行動(dòng)方案的優(yōu)劣并據(jù)此作出決策。7/22/202362MCM例如，對(duì)例7.7，可以首先分別求出方案甲乙和丙的期望收益值。由于方案的期望收益最大，故選取作為最佳策略。7/22/202363MCM對(duì)于較為復(fù)雜的決策問(wèn)題，尤其是需要作多階段決策的問(wèn)題，常采用較直觀的決策樹(shù)方法。所謂決策樹(shù)就是將有關(guān)的方案、狀態(tài)、概率、收益值、結(jié)果等用一些節(jié)點(diǎn)和邊組成的“樹(shù)枝狀”的圖形表示出來(lái)。決策樹(shù)的構(gòu)成為：（1）決策節(jié)點(diǎn)，一般用“□”表示，其上方數(shù)字表示最終決策的期望收益值。從決策節(jié)點(diǎn)引出的不同的邊，表示不同的決策方案，且未被選中的方案要用符號(hào)“║”標(biāo)出。（2）方案節(jié)點(diǎn)，一般用“○”表示，其上方的數(shù)字表示該方案的期望收益值。從方案節(jié)點(diǎn)引出的邊稱(chēng)為概率分支，每條分支上表明它代表的自然狀態(tài)及其出現(xiàn)的概率。（3）結(jié)果節(jié)點(diǎn)，一般用“△”表示，它是概率分支的末梢，其右邊的數(shù)字為相應(yīng)方案在該自然狀態(tài)下的收益值。從本質(zhì)上講，決策樹(shù)方法仍然是一種期望值法。7/22/202364MCM簡(jiǎn)單的決策問(wèn)題當(dāng)然也可用決策樹(shù)來(lái)解決，如例7.7對(duì)應(yīng)的決策樹(shù)如圖7-3所示。圖7-37/22/202365MCM例7.8有一工程要進(jìn)行施工，施工的費(fèi)用與工程完工時(shí)間有關(guān)。無(wú)壞天氣的情況下，按正常速度施工可確保在30天內(nèi)按期完工，但根據(jù)氣象預(yù)報(bào)，15天后天氣肯定會(huì)變壞。有40%的可能會(huì)出現(xiàn)陰雨天氣但不會(huì)影響工程進(jìn)度，有50%的可能會(huì)遇到小風(fēng)暴而使工期推遲15天，另有10%的可能會(huì)遇到大風(fēng)暴而使工期推遲20天。對(duì)于可能出現(xiàn)的各種情況，考慮兩種行動(dòng)方案：（1）提前緊急加班，在15天內(nèi)完成工程，實(shí)施此方案需增加開(kāi)支18000元。（2）先按照正常速度施工，15天后根據(jù)實(shí)際出現(xiàn)的天氣狀況再作決策。具體情況如下：.7/22/202366MCM若遇到陰雨天氣，則維持正常的施工速度，不必支付額外費(fèi)用。若遇到小風(fēng)暴，有兩個(gè)備選方案：①維持正常速度施工，工程延期損失費(fèi)為20000元。②采取應(yīng)急措施。實(shí)施此應(yīng)急措施又有三種可能結(jié)果：1）有50%的可能減少誤工期1天，應(yīng)急費(fèi)用和延期損失費(fèi)共24000元；2）有30%的可能減少誤工期2天，應(yīng)急費(fèi)用和延期損失費(fèi)共18000元；3）有20%的可能減少誤工期3天，應(yīng)急費(fèi)用和延期損失費(fèi)共12000元。7/22/202367MCM若遇到大風(fēng)暴，也有兩個(gè)被選方案：①維持正常速度施工，工程延期損失費(fèi)為50000元。②采取應(yīng)急措施。實(shí)施此應(yīng)急措施也有三種可能結(jié)果：1）有70%的可能減少誤工期2天，應(yīng)急費(fèi)用及誤工費(fèi)共54000元；2）有20%的可能減少誤工期3天，應(yīng)急費(fèi)及誤工費(fèi)共46000元；3）有10%的可能減少誤工期4天，應(yīng)急費(fèi)和誤工費(fèi)共38000元。根據(jù)上述情況，試幫助施工單位作出額外費(fèi)用最少的最佳決策。7/22/202368MCM解答：15天后的天氣狀態(tài)未知，但氣象部門(mén)已經(jīng)預(yù)測(cè)出出現(xiàn)各種天氣狀況的可能性，可以認(rèn)為出現(xiàn)各種天氣狀況的概率已知，因此本例屬于風(fēng)險(xiǎn)型決策問(wèn)題，所謂的額外費(fèi)用應(yīng)理解為期望值。同例7.7不同，本例屬于多階段（兩階段）決策問(wèn)題。工程的初期就需要作出決策，是按正常速度施工還是需要提前緊急加班。若按正常速度施工，則15天后還需根據(jù)天氣的實(shí)際狀況再作一次決策，以決定要否采取應(yīng)急措施。根據(jù)題意，作決策樹(shù)如圖7-4所示。7/22/202369MCM圖7-47/22/202370MCM在決策樹(shù)上自右向左計(jì)算各方案節(jié)點(diǎn)處的期望值，并將結(jié)果標(biāo)在節(jié)點(diǎn)旁。遇到?jīng)Q策節(jié)點(diǎn)則比較各方案的期望收益值以決定方案的優(yōu)劣，并劃去未被選中的方案，在決策節(jié)點(diǎn)旁標(biāo)明最佳方案的期望收益值，計(jì)算步驟如下：（1）在方案節(jié)點(diǎn)E、F處計(jì)算它們的期望收益值E(E)=0.5×（－24000）＋0.3×（－18000）＋0.2×（－12000）=－19800元E(F)=0.7×（－54000）＋0.2×（－46000）＋0.1×（－38000）=－50800元7/22/202371MCM并將－19800和－50800分別填在方案節(jié)點(diǎn)E、F的上方。（2）在一級(jí)決策節(jié)點(diǎn)C、D處進(jìn)行比較，在C點(diǎn)處劃去正常速度方案，在D處劃去應(yīng)急方案。（3）計(jì)算二級(jí)方案節(jié)點(diǎn)B點(diǎn)處的期望收益值E(B)=0.4×0＋0.5×（－19800）＋0.1×（－50000）=－14900元并將－14900標(biāo)在方案節(jié)點(diǎn)B點(diǎn)的上方。（4）在二級(jí)決策節(jié)點(diǎn)A處進(jìn)行方案比較，劃去提前緊急加班，將－14900標(biāo)在決策節(jié)點(diǎn)上方。7/22/202372MCM結(jié)論最佳決策為前15天按正常速度施工，15天后根據(jù)天氣的實(shí)際狀況再作決定。如果出現(xiàn)陰雨天氣，仍維持正常速度施工；如果出現(xiàn)小風(fēng)暴，則采取應(yīng)急措施；如出現(xiàn)大風(fēng)暴，仍按正常速度施工。整個(gè)方案總損失的期望值為－14900元。二、不確定型決策問(wèn)題在風(fēng)險(xiǎn)型決策問(wèn)題中，雖然不知道哪一種自然狀態(tài)會(huì)發(fā)生，但每種自然狀態(tài)發(fā)生的可能性可以通過(guò)查閱歷史資料或預(yù)測(cè)、估算等方法得到。我們把只知道有幾種可能的自然狀態(tài)，而各自然狀態(tài)發(fā)生的概率未知的決策問(wèn)題稱(chēng)為不確定型決策問(wèn)題。由于概率未知，期望值方法不能用于這類(lèi)決策問(wèn)題。下面結(jié)合一個(gè)例子，介紹幾種處理這類(lèi)問(wèn)題的方法。7/22/202373MCM例7.9某決策問(wèn)題有五種可供選擇的行動(dòng)方案，未來(lái)存在四種可能的自然狀態(tài)，且各自然狀態(tài)發(fā)生的概率未知。相應(yīng)的收益值見(jiàn)表7.7。表7.7方案自然狀態(tài)14567224693573543568535557/22/202374MCM（1）樂(lè)觀法（max-max原則）采用樂(lè)觀法時(shí)，決策者對(duì)未來(lái)的結(jié)果持樂(lè)觀的態(tài)度，他不放棄任何一個(gè)可能獲得最大利益的機(jī)會(huì)，充滿(mǎn)了冒險(xiǎn)精神。因此他總是假設(shè)會(huì)出現(xiàn)對(duì)自己最有利的自然狀態(tài)。他先計(jì)算每一方案的最大收益值，再通過(guò)比較找出其中的最大者，并采取這一使最大收益最大的方案，在例8.9中而其中最大值max{7,9,7,8,5}=9，采取方案。7/22/202375MCM（2）悲觀法（max-min原則）采用悲觀法時(shí)，決策者比較謹(jǐn)慎保守。他總是從每一方案的最壞情況出發(fā)，從各種可能的最壞結(jié)果中選擇一個(gè)相對(duì)最好的結(jié)果，即采取使最小收益值最大的方案。對(duì)于例8.9，而其中最大值max{4,2,3,3,3}=4，采取方案7/22/202376MCM（3）樂(lè)觀系數(shù)法（Hurwicz決策準(zhǔn)則）樂(lè)觀系數(shù)法是介于樂(lè)觀法和悲觀法的一個(gè)準(zhǔn)則，即采取了折中的辦法，引入一個(gè)樂(lè)觀系數(shù)t（0≤t≤1），來(lái)反映決策者對(duì)狀態(tài)估計(jì)的樂(lè)觀程度。作決策時(shí)，決策者先適當(dāng)選定一介于0與1之間的數(shù)作為t的取值；再對(duì)各方案分別計(jì)算

的值；最后作比較，找出使最大的方案。在例7.9中，若采用樂(lè)觀系數(shù)法決策并取t=0.8，7/22/202377MCM對(duì)應(yīng)的收益為：0.8×7＋0.2×4＝6.4方案

方案對(duì)應(yīng)的收益為：0.8×9＋0.2×2＝7.6其余各方案分別為6.2、7、4.6，而其中的最大值為7.6，故選取方案為最優(yōu)方案。若取t=0.6，最優(yōu)方案仍為而當(dāng)t=0.5時(shí)，最優(yōu)方案可以是中的任何一個(gè)；t=0.4時(shí)，最優(yōu)方案為因此決策者對(duì)狀態(tài)估計(jì)所持樂(lè)觀程度不同，最終的決策也有可能不同。顯然，t=1就是我們前述的樂(lè)觀法，而t=0則為悲觀法。7/22/202378MCM（4）等可能法（Laplace準(zhǔn)則）等可能法是19世紀(jì)數(shù)學(xué)家Laplace提出的，因此又稱(chēng)為L(zhǎng)aplace準(zhǔn)則。他認(rèn)為決策者面對(duì)著可能發(fā)生的n種自然狀態(tài)，如果沒(méi)有確切的理由說(shuō)明此自然狀態(tài)一定比彼自然狀態(tài)發(fā)生的可能性大，那么就只能認(rèn)為它們發(fā)生的可能性相同，即每一種自然狀態(tài)發(fā)生的概率都是1/n根據(jù)這個(gè)觀點(diǎn)，決策者就把一個(gè)不確定型決策問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)型決策問(wèn)題，于是可以按風(fēng)險(xiǎn)型決策問(wèn)題的期望值法進(jìn)行決策。對(duì)于例8.9，共有4種自然狀態(tài)，可取各狀態(tài)出現(xiàn)的概率均為0.25，求出7/22/202379MCM可選取策略或,而的方差比較小，故最優(yōu)方案為。（5）遺憾準(zhǔn)則如果決策者選擇的決策方案并不是最終出現(xiàn)的自然狀態(tài)下的收益最大的方案，決策者必然會(huì)感到后悔或遺憾。遺憾準(zhǔn)則的基本思想就是盡量減少?zèng)Q策之后的遺憾，使決策者不后悔或少后悔。7/22/202380MCM具體作法為：首先把每一自然狀態(tài)對(duì)應(yīng)的最大收益值視為理想目標(biāo)，然后它與該狀態(tài)下的方案的收益值之差作為選擇方案而沒(méi)有達(dá)到理想目標(biāo)的后悔值，得到一個(gè)后悔值矩陣其元素為

從此后悔矩陣找出各方案對(duì)應(yīng)的最大后悔值最后選擇最小的最大后悔值

7/22/202381MCM對(duì)應(yīng)的方案作為決策方案。對(duì)于例8.9，使用遺憾準(zhǔn)則的最優(yōu)方案為或以上五種方法為處理不確定型決策問(wèn)題的常用方法，不難看出，對(duì)于不確定型決策問(wèn)題，采取不同的決策方法得到的決策結(jié)果并不完全一致，而由于沒(méi)有一個(gè)統(tǒng)一的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)我們又很難判斷五種方法究竟哪個(gè)好，哪個(gè)不好，所以最終采用的策略都不能稱(chēng)為最佳策略。具體采用哪種方法顯然取決于決策者的心理狀態(tài)，持樂(lè)觀態(tài)度者使用樂(lè)觀法，持悲觀態(tài)度使用悲觀法，持中間態(tài)度使用樂(lè)觀系數(shù)法等等。7/22/202382MCM而對(duì)于同一決策者，在處理不同決策問(wèn)題時(shí)也可能會(huì)持有不同的心理狀態(tài)。例如，在決定購(gòu)買(mǎi)2元錢(qián)一張的體育彩票時(shí)，決策者會(huì)采用樂(lè)觀法。因?yàn)?元錢(qián)的損失對(duì)他來(lái)講無(wú)所謂，小額獎(jiǎng)金他也許看不上眼，要中就中個(gè)大獎(jiǎng)。但是，在決策幾萬(wàn)元購(gòu)買(mǎi)何種股票時(shí)，也許他為了保險(xiǎn)又會(huì)采取悲觀法。因此對(duì)于不確定型問(wèn)題的決策，要作出較符合實(shí)際情況的決策，還需決策者多作些調(diào)查研究分析，以便對(duì)未來(lái)自然狀態(tài)的出現(xiàn)作出較符合客觀實(shí)際的預(yù)測(cè)，才能收到較好的效果。7/22/202383MCM§7.3層次分析法建模層次分析法是對(duì)一些較為復(fù)雜、較為模糊的問(wèn)題作出決策的簡(jiǎn)易方法，它特別適用于那些難以完全定量分析的問(wèn)題。社會(huì)的發(fā)展導(dǎo)致了社會(huì)結(jié)構(gòu)、經(jīng)濟(jì)體系及人們相互關(guān)系的日益復(fù)雜化，人們希望能在錯(cuò)綜復(fù)雜的情況下，利用各種信息，通過(guò)理智的、科學(xué)的分析，作出最佳決策。例如，生產(chǎn)者面對(duì)消費(fèi)者的各種喜好或競(jìng)爭(zhēng)對(duì)手的策略要作出最佳決策；消費(fèi)者面對(duì)琳瑯滿(mǎn)目的商品要根據(jù)它們的性能質(zhì)量的好壞、價(jià)格的高低、外形的美觀程度等選擇自己最為滿(mǎn)意的商品；畢業(yè)生要根據(jù)自己的專(zhuān)業(yè)特長(zhǎng)、社會(huì)的需求情況、福利待遇的好壞等等挑選最為合意的工作；7/22/202384MCM科研單位要根據(jù)項(xiàng)目的科學(xué)意義和實(shí)用價(jià)值的大小、項(xiàng)目的可行性、項(xiàng)目的資助情況及周期長(zhǎng)短等選擇最合適的研究課題……。當(dāng)我們面對(duì)這類(lèi)決策問(wèn)題時(shí)，容易發(fā)現(xiàn)，影響我們作決策的因素很多，其中某些因素存在定量指標(biāo)，可以給以度量，但也有些因素不存在定量指標(biāo)，只能定性地比較它們的強(qiáng)弱。在處理這類(lèi)比較復(fù)雜而又比較模糊的問(wèn)題時(shí)，如何盡可能克服因主觀臆斷而造成的片面性，較系統(tǒng)、全面地分析比較并作出較為明智的決策呢？Saaty.T.L等人在70年代提出了一種以定性與定量相結(jié)合，系統(tǒng)化、層次化分析問(wèn)題的方法，稱(chēng)為層次分析法（AnalyticHiearchyProcess，簡(jiǎn)稱(chēng)AHP）。7/22/202385MCM層次分析法將人們的思維過(guò)程層次化，逐層比較其間的相關(guān)因素并逐層檢驗(yàn)比較結(jié)果是否合理，從而為分析決策提供了較具說(shuō)服力的定量依據(jù)，層次分析法的提出不僅為處理這類(lèi)問(wèn)題提供了一種實(shí)用的決策方法，而且也提供了一個(gè)在處理機(jī)理比較模糊的問(wèn)題時(shí)，如何通過(guò)科學(xué)分析，在系統(tǒng)全面分析機(jī)理及因果關(guān)系的基礎(chǔ)上建立數(shù)學(xué)模型的范例。一、層次分析的基本步驟（1）建立層次結(jié)構(gòu)模型；（2）構(gòu)造出各層次中的所有判斷矩陣；（3）層次單排序及一致性檢驗(yàn)；（4）層次總排序及一致性檢驗(yàn)。7/22/202386MCM下面通過(guò)一個(gè)簡(jiǎn)單的實(shí)例來(lái)說(shuō)明各步驟中所做的工作。例7.11某工廠有一筆企業(yè)留成利潤(rùn)要由廠領(lǐng)導(dǎo)決定如何使用?？晒┻x擇的方案有：給職工發(fā)資金、擴(kuò)建企業(yè)的福利設(shè)施（改善企業(yè)環(huán)境、改善食堂等）和引進(jìn)新技術(shù)、新設(shè)備。工廠領(lǐng)導(dǎo)希望知道應(yīng)當(dāng)按怎樣的比例來(lái)使用這筆資金較為合理。步1建立層次結(jié)構(gòu)模型在用層次分析法研究問(wèn)題時(shí)，首先要根據(jù)問(wèn)題的因果關(guān)系并將這些關(guān)系分解成若干個(gè)層次。較簡(jiǎn)單的問(wèn)題通?？煞纸鉃槟繕?biāo)層（最高層）、準(zhǔn)則層（中間層）和方案措施層（最低層）。7/22/202387MCM與其他決策問(wèn)題一樣，研究分析者不一定是決策者，不應(yīng)自作主張地作出決策。對(duì)于本例，如果分析者自行決定分配比例，廠領(lǐng)導(dǎo)必定會(huì)詢(xún)問(wèn)為什么要按此比例分配，理由是什么理？符合決策者要求的決策來(lái)自于對(duì)決策者意圖的真實(shí)了解。經(jīng)過(guò)雙方溝通，分析者了解到如下信息：決策者的目的是合理利用企業(yè)的留成利潤(rùn)，而利潤(rùn)的利用是否合理，決策者的主要標(biāo)準(zhǔn)一般是：（1）是否有利于調(diào)動(dòng)企業(yè)職工的積極性（2）是否有利于提高企業(yè)的生產(chǎn)能力（3）是否有利于改善職工的工作、生活環(huán)境。分析者可以提出自己的看法，但標(biāo)準(zhǔn)的最終確定將由決策者決定。7/22/202388MCM根據(jù)決策者的意圖，可以建立起本問(wèn)題的層次結(jié)構(gòu)模型如圖7-5所示。圖中的連線反映了因素之間的關(guān)聯(lián)關(guān)系，哪些因素存在關(guān)聯(lián)關(guān)系也應(yīng)由決策者決定。對(duì)于因果關(guān)系較為復(fù)雜的問(wèn)題也可以引進(jìn)更多的層次。例如，在選購(gòu)電冰箱時(shí)，如以質(zhì)量、外觀、價(jià)格、品牌及信譽(yù)等為準(zhǔn)則，也許在衡量質(zhì)量?jī)?yōu)劣時(shí)又可分出若干個(gè)不同的子準(zhǔn)則，如制冷性能、結(jié)霜情況、耗電量大小等等。建立層次結(jié)構(gòu)是進(jìn)行層次分析的基礎(chǔ)，它將思維過(guò)程結(jié)構(gòu)化、層次化，為進(jìn)一步分析、研究創(chuàng)造了條件。7/22/202389MCM圖7-57/22/202390MCM步2構(gòu)造判斷矩陣層次結(jié)構(gòu)反映了因素之間的關(guān)系，例如圖7-5中目標(biāo)層-利潤(rùn)利用是否合理可由準(zhǔn)則層中的各準(zhǔn)則反映出來(lái)。但準(zhǔn)則層中的各準(zhǔn)則在目標(biāo)衡量中所占的比重并不一定相同，在決策者的心目中，它們各占有一定的比例。在確定影響某因素的諸因子在該因素中所占的比重時(shí)，遇到的主要困難是這些比重常常不易定量化。雖然你必須讓決策者根據(jù)經(jīng)驗(yàn)提供這些數(shù)據(jù)，但假如你提出“調(diào)動(dòng)職工積極性在判斷利潤(rùn)利用是否合理中占百分之幾的比例”之類(lèi)的問(wèn)題，不僅讓人感到難以精確回答，而且還會(huì)使廠領(lǐng)導(dǎo)感到你書(shū)生氣十足，不能勝任這一工作。7/22/202391MCM此外，當(dāng)影響某因素的因子較多時(shí)，直接考慮各因子對(duì)該因素有多大程度的影響時(shí)，常常會(huì)因考慮不周全、顧此失彼而使決策者提出與他實(shí)際認(rèn)為的重要性程度不相一致的數(shù)據(jù)，甚至有可能提出一組隱含矛盾的數(shù)據(jù)。為搞清這一點(diǎn)，讓我們來(lái)做一個(gè)實(shí)驗(yàn)：例7.12將一塊重為1千克的石塊砸成n小塊，你可以精確稱(chēng)出它們的質(zhì)量，設(shè)為現(xiàn)在，請(qǐng)人估計(jì)這n小塊的重量占總重量的百分比（不能讓他知道各小石塊的重量），此人不僅很難給出精確的比值，而且完全可能因顧此失彼而提供彼此矛盾的數(shù)據(jù)。7/22/202392MCM假設(shè)要比較n個(gè)因子X(jué)={x1,…,xn}對(duì)某因素Z的影響大小，怎樣比較才能提供可信的數(shù)據(jù)呢？Saaty等人建議可以采取對(duì)因子進(jìn)行兩兩比較，建立成對(duì)比較矩陣的辦法。即每次取兩個(gè)因子xi和xj，以aij表示xi和xj對(duì)Z的影響大小之比，全部比較結(jié)果用矩陣A=(aij)n×n表示，稱(chēng)A為Z－X之間的成對(duì)比較判斷矩陣（簡(jiǎn)稱(chēng)判斷矩陣）。容易看出，若xi和xj對(duì)Z的影響之比為aij，則xj和xi對(duì)Z的影響之比應(yīng)為定義7.4若矩陣A=(aij)n×n滿(mǎn)足7/22/202393MCM(i)aij>0

(ii)（i,j=1,2,…,n）則稱(chēng)之為正互反矩陣，（易見(jiàn)aii=1，i=1,…,n）。關(guān)于如何確定aij的值，Saaty等建議引用數(shù)字1~9及其倒數(shù)作為標(biāo)度。他們認(rèn)為，人們?cè)诔蓪?duì)比較差別時(shí)，用5種判斷級(jí)較為合適，即使用相等、較強(qiáng)、強(qiáng)、很強(qiáng)、絕對(duì)強(qiáng)表示差別程度，aij相應(yīng)地取1,3,5,7和9。在成對(duì)事物的差別介于兩者之間難以定奪時(shí)，aij可分別取值2、4、6、8。7/22/202394MCM從心理學(xué)觀點(diǎn)來(lái)看，分級(jí)太多會(huì)超越人們的判斷能力，既增加了作判斷的難度，又容易因此而提供虛假數(shù)據(jù)。Saaty等人還用實(shí)驗(yàn)方法比較了在各種不同標(biāo)度下人們判斷結(jié)果的正確性，實(shí)驗(yàn)結(jié)果也表明，采用1~9標(biāo)度最為合適。如果在構(gòu)造成對(duì)比較判斷矩陣時(shí)，確實(shí)感到僅用1~9及其倒數(shù)還不夠理想時(shí)，可以根據(jù)情況再采用因子分解聚類(lèi)的方法，先比較類(lèi)，再比較每一類(lèi)中的元素。步3層次單排序及一致性檢驗(yàn)7/22/202395MCM上述構(gòu)造成對(duì)比較判斷矩陣的辦法雖能減少其他因素的干擾影響，較客觀地反映出一對(duì)因子影響力的差別。但綜合全部比較結(jié)果時(shí)，其中難免包含一定程度的非一致性。如果比較結(jié)果是前后完全一致的，則矩陣A的元素還應(yīng)當(dāng)滿(mǎn)足：i、j、k=1,2,…,n（7.2）定義8.5滿(mǎn)足（7.2）關(guān)系式的正互反矩陣稱(chēng)為一致矩陣。如前所述，如果判斷者前后完全一致，則構(gòu)造出的成對(duì)比較判斷矩陣應(yīng)當(dāng)是一個(gè)一致矩陣。但構(gòu)造成對(duì)比較判斷矩陣A共計(jì)要作7/22/202396MCM正互反矩陣是較容易辦到的，但要求所有比較結(jié)果嚴(yán)格滿(mǎn)足一致性，在n較大時(shí)幾乎可以說(shuō)是無(wú)法辦到的，其中多少帶有一定程度的非一致性。更何況比較時(shí)采用了1~9標(biāo)度，已經(jīng)接受了一定程度的誤差，就不應(yīng)再要求最終判斷矩陣的嚴(yán)格一致性。如何檢驗(yàn)構(gòu)造出來(lái)的（正互反）判斷矩陣A是否嚴(yán)重地非一致，以便確定是否接受A，并用它作為進(jìn)一步分析研究的工具呢？Saaty等人在研究正互反矩陣和一致矩陣性質(zhì)的基礎(chǔ)上，找到了解決這一困難的辦法，給出了確定矩陣A中的非一致性程度是否應(yīng)當(dāng)允忍的檢驗(yàn)方法。次比較（設(shè)有n個(gè)因素要兩兩比較），保證A是7/22/202397MCM定理7.4正互反矩陣A的最大特征根λmax必為正實(shí)數(shù)，其對(duì)應(yīng)特征向量的所有分量均為正實(shí)數(shù)。A的其余特征根的模均嚴(yán)格小于λmax。（證明從略）現(xiàn)在來(lái)考察一致矩陣A的性質(zhì)，回復(fù)到將單位重量的大石塊剖分成重量為的n塊小石塊的例12，由于我們可以精確地稱(chēng)出各小石塊的重量，故構(gòu)造出來(lái)的矩陣A應(yīng)當(dāng)為嚴(yán)格的一致矩陣。7/22/202398MCM（7.6）

從（7.6）式容易看出，一致矩陣A具有以下性質(zhì)：定理7.5若A為一致矩陣，則（1）A必為正互反矩陣。7/22/202399MCM（2）A的轉(zhuǎn)置矩陣AT也是一致矩陣。（3）A的任意兩行成比例，比例因子（即大于零，從而rank（A）=1（同樣，A的任意兩列也成比例）。）（4）A的最大特征根λmax=n，其中n為矩陣A的階。A的其余特征根均為零。（5）A的最大特征根λmax對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)特征向量為

i,j=1,2,…,n。7/22/2023100MCM（注：（1）、（2）可由一致矩陣定義得出，（3）—（5）均容易由線性代數(shù)知識(shí)得到，證明從略）。定理7.6n階正互反矩陣A為一致矩陣當(dāng)且僅當(dāng)其最大特征根λmax=n，正互反矩陣A非一致時(shí)，必有λmax>n。根據(jù)定理7.6，我們可以由λmax是否等于n來(lái)檢驗(yàn)判斷矩陣A是否為一致矩陣。由于特征根連續(xù)地依賴(lài)于aij，故λmax比n大得越多，A的非一致性程度也就越為嚴(yán)重，λmax對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)化特征向量也就越不能真實(shí)地反映出X={x1,…,xn}在對(duì)因素Z的影響中所占的比重。因此，對(duì)決策者提供的判斷矩陣有必要作一次一致性檢驗(yàn)，以決定是否應(yīng)當(dāng)接受它。7/22/2023101MCM為確定多大程度的非一致性是可以允忍的，Saaty等人采用了如下辦法：（1）求出稱(chēng)CI為A的一致性指標(biāo)。由定理7.6可知，當(dāng)且僅當(dāng)A為一致矩陣時(shí)，CI=0。CI的值越大，A的非一致性越嚴(yán)重。利用線性代數(shù)知識(shí)可以證明，A的n個(gè)特征根之和等于其對(duì)角線元素之和（即n）故CI事實(shí)上是A的除λmax以外其余n－1個(gè)特征根的平均值的絕對(duì)值。若A是一致矩陣，則其余n－1個(gè)特征根均為零，故CI=0；7/22/2023102MCM否則，CI>0，其值隨A非一致性程度的加重而連續(xù)地增大。當(dāng)CI略大于零時(shí)（對(duì)應(yīng)地，λmax稍大于n），A具有較為滿(mǎn)意的一致性；否則，A的一致性就較差。（2）上面定義的CI值雖然能反映出非一致性的嚴(yán)重程度，但仍未能指明該非一致性是否應(yīng)當(dāng)被認(rèn)為是可以允許的。事實(shí)上，我們還需要一個(gè)度量標(biāo)準(zhǔn)。為此，Saaty等人又研究了他們認(rèn)為最不一致的矩陣——用從1~9及其倒數(shù)中隨機(jī)抽取的數(shù)字構(gòu)造出來(lái)的正互反矩陣，取充分大的子樣（即試驗(yàn)充分多次），求得最大特征根的平均值7/22/2023103MCM，并定義稱(chēng)RI為平均隨機(jī)一致性指標(biāo)。對(duì)n=1,…,11,，Saaty給出了RI的值，如表7.8所示。N1234567891011RI000.580.901.121.241.321.411.451.491.51表7.87/22/2023104MCM（3）將CI與RI作比較，定義稱(chēng)CR為隨機(jī)一致性比率。經(jīng)大量實(shí)例比較，Saaty認(rèn)為，在CR<0.10時(shí)可以認(rèn)為判斷矩陣具有較為滿(mǎn)意的一致性，否則就應(yīng)當(dāng)重新調(diào)整判斷矩陣，直至具有滿(mǎn)意的一致性為止。綜上所述，在步3中應(yīng)先求出A的最大特征向量λmax及λmax對(duì)應(yīng)的特征向量進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化，使得

再對(duì)A作一致性檢驗(yàn)：計(jì)算查表得到對(duì)應(yīng)于n的RI值，求7/22/2023105MCM，若CR<0.1，則一致性較為滿(mǎn)意，以作為因子xi在上層因子Z中所具有權(quán)值。否則必需重新作比較，修正A中的元素，直到一致性較為滿(mǎn)意時(shí)，W的分量才可用作層次單排序的權(quán)重。現(xiàn)對(duì)本節(jié)例7.11（即合理利用利潤(rùn)問(wèn)題的例子）進(jìn)行層次單排序。為求出C1、C2、C3在目標(biāo)層A中所占的權(quán)值，構(gòu)造O－C層的成對(duì)比較矩陣，設(shè)構(gòu)造出的成對(duì)比較判斷知陣A為7/22/2023106MCMOC1C2C3C111/51/3C2513C331/31

即λmax=3.038，CI=0.019，查表得RI=0.58，故CR=0.033。因CR<0.1，接受矩陣A，求出A對(duì)應(yīng)于λmax的標(biāo)準(zhǔn)化特征向量W=(0.105,0.637.0.258)T，以W的分量作為C1、C2、C3在目標(biāo)O中所占的權(quán)重。于是經(jīng)計(jì)算，A的最大特征根7/22/2023107MCM類(lèi)似求措施層中的P1、P2在C1中的權(quán)值，P2、P3在C2中的權(quán)值及P1、P2在C1中的權(quán)值：7/22/2023108MCM7/22/2023109MCM經(jīng)層次單排序，得到圖7-6圖7-67/22/2023110MCM步4層次總排序及一致性檢驗(yàn)最后，在步驟（4）將由最高層到最低層，逐層計(jì)算各層次中的諸因素關(guān)于總目標(biāo)（最高層）的相對(duì)重要性權(quán)值。設(shè)上一層次（A層）包含A1,…,Am共m個(gè)因素，它們的層次總排序權(quán)值分