廣西壯族自治區(qū)桂林市新世紀高級中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)理測試題含解析

廣西壯族自治區(qū)桂林市新世紀高級中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)理測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.設(shè)命題p:函數(shù)在定義域上為減函數(shù)，命題q:,當a+b=1時，，以下說法正確的是(

)A.為真

B.為真

C.p真q假

D.p、q均假參考答案：D略2.一個體積為12的正三棱柱的三視圖如圖所示，則這個三棱柱的側(cè)視圖的面積為（）A．6B．8C．8D．12參考答案：A略3.定義一種新運算：，已知函數(shù)，若函數(shù)恰有兩個零點，則的取值范圍為A.(1,2]

B.（1,2）．C.（0,2）

D.（0,1）參考答案：B4.的展開式中x2y2的系數(shù)是A．56 B．84 C．112 D．168參考答案：D因為的展開式中的系數(shù)為，的展開式中的系數(shù)為，所以的系數(shù)為.故選D.

5.某四棱錐的三視圖如圖所示，記S為此棱錐所有棱的長度的集合，則（

）A.B.C.D.參考答案：D【分析】如圖所示：在邊長為2的正方體中，四棱錐滿足條件，故，得到答案.【詳解】如圖所示：在邊長為2的正方體中，四棱錐滿足條件.故，，.故，故，.故選：.【點睛】本題考查了三視圖，元素和集合的關(guān)系，意在考查學(xué)生的空間想象能力和計算能力.6.如圖所示的韋恩圖中，陰影部分對應(yīng)的集合是（） A．A∩B B． ?U（A∩B） C． A∩（?UB） D． （?UA）∩B參考答案：C7.已知是函數(shù)的一個零點,若,,則(

)\A、f(x1)<0,f(x2)<0

B、f(x1)<0,f(x2)>0

C、f(x1)>0,f(x2)<0

D、f(x1)>0,f(x2)>0參考答案：B8.已知a＞0，b＞0且a≠1，則“l(fā)ogab＞0”是“（a﹣1）（b﹣1）＞0”的(

)A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：C【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【專題】計算題．【分析】已知logab＞0，解出a，b的值，再根據(jù)充分條件和必要條件的定義進行求解；【解答】解：∵a＞0，b＞0且a≠1，若logab＞0，∴a，b＞1或0＜a＜1，0＜b＜1，?（a﹣1）（b﹣1）＞0，若“（a﹣1）（b﹣1）＞0，∴或，可以推出a，b＞1或0＜a＜1，0＜b＜1，∴“l(fā)ogab＞0，∴“l(fā)ogab＞0”是“（a﹣1）（b﹣1）＞0”的充分必要條件，故選C．【點評】本題以對數(shù)的定義與運算為載體，考查了必要條件、充分條件與充要條件的判斷，屬于基礎(chǔ)題．9.榫卯（）是我國古代工匠極為精巧的發(fā)明，它是在兩個構(gòu)件上采用凹凸部位相結(jié)合的一種連接方式.我國的北京紫禁城，山西懸空寺，福建寧德的廊橋等建筑都用到了榫卯結(jié)構(gòu).圖中網(wǎng)格小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是一種榫卯構(gòu)件中榫的三視圖，則其體積與表面積分別為A．

B．C.

D．參考答案：C依題意，該幾何體由一個長方體和一個圓柱體拼接而成，故其體積；表面積.10.已知兩個不同的平面、和兩條不重合的直線、則下列四個命題不正確的是

A．若則

B．若

C．若則

D．若，則參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.從拋物線上一點P引其準線的垂線，垂足為M，設(shè)拋物線的焦點為F，且，則的面積為_____．參考答案：10由拋物線的定義可知|PF|+|PM|=5,并且點P到準線的距離12.如右圖，一塊曲線部分是拋物線形的鋼板，其底邊長為，高為，將此鋼板切割成等腰梯形的形狀，記，梯形面積為．則關(guān)于的函數(shù)解析式及定義域為

．參考答案：，13.在中，是的中點，，點在上且滿足,則的值為

參考答案：略14.已知集合，若，則實數(shù)的取值范圍是，其中=

。參考答案：4略15.已知函數(shù)，則____________參考答案：316.在我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書里出現(xiàn)了如圖所示的數(shù)表，表中除1以外的每一個數(shù)都等于它“肩上”兩個數(shù)之和.利用這一性質(zhì)，

，

．（用數(shù)字作答）參考答案：20，3517.已知向量，，若，則

．參考答案：5∵且∴∴∴∴故答案為5

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.(本題滿分14分)本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分．

如圖，在兩塊鋼板上打孔，用釘帽呈半球形、釘身為圓柱形的鉚釘（圖1）穿在一起，在沒有帽的一端錘打出一個帽，使得與釘帽的大小相等，鉚合的兩塊鋼板，成為某種鋼結(jié)構(gòu)的配件，其截面圖如圖2.（單位：mm）.（加工中不計損失）.（1）若釘身長度是釘帽高度的2倍，求鉚釘?shù)谋砻娣e；（2）若每塊鋼板的厚度為mm，求釘身的長度（結(jié)果精確到mm）.參考答案：設(shè)釘身的高為，釘身的底面半徑為，釘帽的底面半徑為，由題意可知：……1分（1）圓柱的高……2分圓柱的側(cè)面積……3分半球的表面積……5分所以鉚釘?shù)谋砻娣e()……7分（2）……8分

……9分設(shè)釘身長度為，則……10分由于,所以，……12分解得……13分答：釘身的表面積為，釘身的長度約為。19.某高校在2013年的自主招生考試成績中隨機抽取100名學(xué)生的筆試成績，按成績分組得到的頻率分布表如下：組號分組頻數(shù)頻率第一組[160，165）50.050第二組[165，170）a0.350第三組[170，175）30b第四組[175，180）c0.200第五組[180，185]100.100合計

1001.00（1）為了能選拔出優(yōu)秀的學(xué)生，高校決定在筆試成績高的第三、四、五組中用分層抽樣法抽取6名學(xué)生進入第二輪面試，試確定a，b，c的值并求第三、四、五組每組各抽取多少名學(xué)生進入第二輪面試；（2）在（1）的前提下，學(xué)校決定在6名學(xué)生中隨機抽取2名學(xué)生接受A考官的面試，求第四組中至少有一名學(xué)生被A考官面試的概率．參考答案：【考點】古典概型及其概率計算公式；頻率分布直方圖．【專題】概率與統(tǒng)計．【分析】本題的關(guān)鍵是找到頻率分布直方圖每一組的頻數(shù)，在根據(jù)古典概型的計算公式求得概率．解：（1）由頻率分布表知a=100×0.35=35，，c=100×0.2=20因為第三、四、五組共有60名學(xué)生，所以利用分層抽樣法在60名學(xué)生中抽取6名學(xué)生，每組分別為：第三組人，第四組人，第五組人．所以第三、四、五組分別抽取3人、2人、1人進入第二輪面試．（2）設(shè)第三組的3名學(xué)生為A1、A2、A3，第四組的2名學(xué)生為B1、B2，第五組的1名學(xué)生為C1．則從6名學(xué)生中抽取2名學(xué)生有15種可能：（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A1，C1），（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2），（A2、C1），（A3，B1），（A3，B2），（A3，C1），（B1，B2），（B1，C1），（B2，C1），第四組的2名學(xué)生至少有一名學(xué)生被A考官面試共有9種可能其中第四組的2名學(xué)生至少有一名學(xué)生被A考官面試的概率為．【點評】本題考察頻率分布直方圖、分層抽樣、古典概型的基本知識，是一道常見的高考題．20.已知f(x)=是定義在［-1，1］上的奇函數(shù)，試判斷它的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論.參考答案：解：∵f(x)=是定義在［-1，1］上的奇函數(shù)，∴f(0)=0，即a=0.∴f(x)=.函數(shù)f(x)在［-1，1］上為增函數(shù).證明如下：任取＜≤1,∴＜0,-1＜＜1,∴＞0.∴-===＜0,∴∴f(x)在［-1，1］上為增函數(shù).

略21.（本題12分）數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn＝n(n＋1)(n∈N*)．(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)若數(shù)列{bn}滿足：求數(shù)列{bn}的通項公式；(3)令(n∈N*)，求數(shù)列{cn}的前n項和Tn.參考答案：（1）當n＝1時，a1＝S1＝2，當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝n(n＋1)－(n－1)n＝2n，知a1＝2滿足該式∴數(shù)列{an}的通項公式為an＝2n.故bn＝2(3n＋1)(n∈N*)．(3)cn＝＝n(3n＋1)＝n·3n＋n，∴Tn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn＝(1×3＋2×32＋3×33＋…＋n×3n)＋(1＋2＋…＋n)令Hn＝1×3＋2×32＋3×33＋…＋n×3n，①則3Hn＝1×32＋2×33＋3×34＋…＋n×3n＋1②①－②得，－2Hn＝3＋32＋33＋…＋3n－n×3n＋1＝－n×3n＋1∴Hn＝?！鄶?shù)列{cn}的前n項和Tn＝＋.22.拋物線在點，處的切線垂直相交于點，直線與橢圓相交于，兩點．（Ⅰ）求拋物線的焦點與橢圓的左焦點的距離；（Ⅱ）設(shè)點到直線的距離為，試問：

是否存在直線，使得，，成等比數(shù)列？若存在，求直線的方程；若不存在，請說明理由．參考答案：解：（I）拋物線的焦點，

………1分橢圓的左焦點，

………2分

則．

………3分（II）設(shè)直線，，，，，由，得，

………4分故，．

由，得，故切線，的斜率分別為，，

再由，得，

即，

故，這說明直線過拋物線的焦點