換元法求不定積分說(shuō)課講解課件

換元法求不定積分二、第二類換元法第二節(jié)一、第一類換元法換元積分法與分部積分法第8章三、分部積分法2第二類換元法第一類換元法基本思路設(shè)可導(dǎo),則有3一、第一類換元法定理1.則有換元公式(也稱配元法即,湊微分法)4例1.

求解:令則故原式=注:當(dāng)時(shí)5例2.

求解:令則想到公式6例3.

求想到解:(直接配元)7例4.

求解:類似8例5.

求解:∴原式=9常用的幾種配元形式:

萬(wàn)能湊冪法10例6.

求解:原式=11例7.

求解:原式=例8.求解:原式=12例9.

求解法1解法2兩法結(jié)果一樣13例10.求解法114解法2同樣可證或15例11.求解:原式=16例12.

求解:17例13.求解:∴原式=18例14.

求解:

原式=分析:

19例15.

求解:原式20小結(jié)常用簡(jiǎn)化技巧:(1)分項(xiàng)積分:(2)降低冪次:(3)統(tǒng)一函數(shù):利用三角公式;配元方法(4)巧妙換元或配元萬(wàn)能湊冪法利用積化和差;分式分項(xiàng);利用倍角公式,如21思考與練習(xí)1.下列各題求積方法有何不同?222.

求提示:法1法2法323二、第二類換元法第一類換元法解決的問(wèn)題難求易求若所求積分易求,則得第二類換元積分法.難求，24定理2.設(shè)是可導(dǎo)函數(shù),且具有原函數(shù),證:令則則有換元公式25例16.

求解:令則∴原式26例17.

求解:令則∴原式27例18.

求解:令則∴原式28令于是29原式例19.

求解:令則原式當(dāng)x<0時(shí),類似可得同樣結(jié)果.30小結(jié):1.第二類換元法常見(jiàn)類型:令令令或令令312.常用基本積分公式的補(bǔ)充(7)

分母中因子次數(shù)較高時(shí),可試用倒代換

令3233解:原式例20.求例21.

求解:34例22.

求解:原式=例23.

求解:原式35例24.

求解:令得原式36例25.

求解:原式令例1637思考與練習(xí)1.下列積分應(yīng)如何換元才使積分簡(jiǎn)便?令令令382.已知求解:兩邊求導(dǎo),得則(代回原變量)

393.求下列積分:404.求不定積分解：利用湊微分法,原式=令得41分子分母同除以5.求不定積分解:令原式42由導(dǎo)數(shù)公式積分得:分部積分公式或1)v容易求得;容易計(jì)算.三、分部積分法43例1.

求解:令則∴原式思考:如何求提示:令則原式44例2.

求解:令則原式=45例3.

求解:令則∴原式46例4.

求解:令,則∴原式再令,則故原式=說(shuō)明:也可設(shè)為三角函數(shù),但兩次所設(shè)類型必須一致.47解題技巧:把被積函數(shù)視為兩個(gè)函數(shù)之積,按“反對(duì)冪指三”的順序,前者為后者為例5.求解:令,則原式=反:反三角函數(shù)對(duì):對(duì)數(shù)函數(shù)冪:冪函數(shù)指:指數(shù)函數(shù)三:三角函數(shù)48例6.

求解:令,則原式=49例7.

求解:令則∴原式=50例8.

求解:令則得遞推公式51說(shuō)明:遞推公式已知利用遞推公式可求得例如,52例9.

證明遞推公式證:注:或53說(shuō)明:分部積分題目的類型:1)直接分部化簡(jiǎn)積分;2)分部產(chǎn)生循環(huán)式,由此解出積分式;(注意:兩次分部選擇的u,v函數(shù)類型不變,解出積分后加

C)例43)對(duì)含自然數(shù)n的積分,通過(guò)分部積分建立遞推公式.54例10.

已知的一個(gè)原函數(shù)是求解:說(shuō)明:此題若先求出再求積分反而復(fù)雜.55例11.

求解:令則原式令56例12.

求解法1先換元后分部令即則故57解法2用分部積分法58小結(jié)分部積分公式1.使用原則:易求出,易積分2.使用經(jīng)驗(yàn):“反對(duì)冪指三”,前u后3.題目類型:分部化簡(jiǎn);循環(huán)解出;遞推公式4.計(jì)算格式:59例13.求解:令則可用表格法求多次分部積分60例14.求解:令則原式原式=61思考與練習(xí)1.下述運(yùn)算錯(cuò)在哪里?應(yīng)如何改正?得0=1答:不定積分是原函數(shù)族,相減不應(yīng)為0.求此積分的正確作法是用換元法.622.

求提示:633.