中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)重難題型突破類型一新定義型

類型一新定義型例1、對任意一個三位數(shù)n，如果n滿足各數(shù)位上的數(shù)字互不相同，且都不為零，那么稱這個數(shù)為“相異數(shù)”．將一個“相異數(shù)”任意兩個數(shù)位上的數(shù)字對調(diào)后可以得到三個不同的新三位數(shù)，把這三個新三位數(shù)的和與111的商記為F(n)．例如n＝123，對調(diào)百位與十位上的數(shù)字得到213，對調(diào)百位與個位上的數(shù)字得到321，對調(diào)十位與個位上的數(shù)字得到132，這三個新三位數(shù)的和為213＋321＋132＝666，666÷111＝6，所以F(123)＝6．（1）計算：F(243)，F(xiàn)(617);（2）若s，t都是“相異數(shù)”，其中s＝100x＋32，t＝150＋y(1≤x≤9，1≤y≤9，x，y都是正整數(shù)），規(guī)定：k＝EQ\F(F(s),F(t)),當(dāng)F(s)＋F(t)＝18時，求k的最大值．【解答】解：(1)F(243)＝(423＋342＋234)÷111＝9；F(617)＝(167＋716＋671)÷111＝14．（2）∵s，t都是“相異數(shù)”，s＝100x＋32，t＝150＋y，∴F(s)＝(302＋10x＋230＋x＋100x＋23)÷111＝x＋5，F(xiàn)(t)＝(510＋y＋100y＋51＋105＋10y)÷111＝y(tǒng)＋6．∵F(t)＋F(s)＝18，∴x＋5＋y＋6＝x＋y＋11＝18，∴x＋y＝7．∵1≤x≤9，1≤y≤9，且x，y都是正整數(shù)，∴EQ\B\lc\{(\a\al(x＝1,y＝6))或EQ\B\lc\{(\a\al(x＝2,y＝5))或EQ\B\lc\{(\a\al(x＝3,y＝4))或EQ\B\lc\{(\a\al(x＝4,y＝3))或EQ\B\lc\{(\a\al(x＝5,y＝2))或EQ\B\lc\{(\a\al(x＝6,y＝1))．∵s是“相異數(shù)”，∴x≠2，x≠3．∵t是“相異數(shù)”，∴y≠1，y≠5．∴EQ\B\lc\{(\a\al(x＝1,y＝6))或EQ\B\lc\{(\a\al(x＝4,y＝3))或EQ\B\lc\{(\a\al(x＝5,y＝2))，∴EQ\B\lc\{(\a\al(F(s)＝6,F(t)＝12))或EQ\B\lc\{(\a\al(F(s)＝9,F(t)＝9))或EQ\B\lc\{(\a\al(F(s)＝10,F(t)＝8))，∴k＝EQ\F(F(s),F(t))＝EQ\F(1,2)或k＝EQ\F(F(s),F(t))＝1或k＝EQ\F(F(s),F(t))＝EQ\F(5,4),∴k的最大值為EQ\F(5,4)．例2、如圖1，在正方形ABCD的內(nèi)部，作∠DAE＝∠ABF＝∠BCG＝∠CDH，根據(jù)三角形全等的條件，易得△DAE≌△ABF≌△BCG≌△CDH，從而得到四邊形EFGH是正方形．類比探究如圖2，在正△ABC的內(nèi)部，作∠BAD＝∠CBE＝∠ACF，AD，BE，CF兩兩相交于D，E，F(xiàn)三點(D，E，F(xiàn)三點不重合）（1）△ABD，△BCE，△CAF是否全等？如果是，請選擇其中一對進行證明．（2）△DEF是否為正三角形？請說明理由．（3）進一步探究發(fā)現(xiàn)，△ABD的三邊存在一定的等量關(guān)系，設(shè)BD＝a，AD＝b，AB＝c，請?zhí)剿鱝，b，c滿足的等量關(guān)系．【解答】解：(1)△ABD≌△BCE≌△CAF;理由如下：∵△ABC是正三角形，∴∠CAB＝∠ABC＝∠BCA＝60°，AB＝BC，∵∠ABD＝∠ABC－∠2，∠BCE＝∠ACB－∠3，∠2＝∠3，∴∠ABD＝∠BCE，在△ABD和△BCE中，EQ\B\lc\{(\a\al(∠1＝∠2,,AB＝BC,,∠ABD＝∠BCE,))，∴△ABD≌△BCE(ASA);(2)△DEF是正三角形；理由如下：∵△ABD≌△BCE≌△CAF，∴∠ADB＝∠BEC＝∠CFA，∴∠FDE＝∠DEF＝∠EFD，∴△DEF是正三角形；（3）作AG⊥BD于G，如圖所示：∵△DEF是正三角形，∴∠ADG＝60°，在Rt△ADG中，DG＝EQ\F(1,2)b,AG＝EQ\F(\R(,3),2)b,在Rt△ABG中EQ,c\S\UP6(2)＝EQ\b\bc\((\l(a＋\F(1,2)b))\S\UP6(2)＋\b\bc\((\l(\F(\R(,3),2)b))\S\UP6(2),∴EQc\S\UP6(2)＝EQa\S\UP6(2)＋ab＋b\S\UP6(2)．例3、有這樣一個問題：探究同一平面直角坐標系中系數(shù)互為倒數(shù)的正、反比例函數(shù)y＝EQ\F(1,k)x與y＝EQ\F(k,x)(k≠0）的圖象性質(zhì)．小明根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗，對函數(shù)y＝EQ\F(1,k)x與y＝EQ\F(k,x),當(dāng)k＞0時的圖象性質(zhì)進行了探究．下面是小明的探究過程：（1）如圖所示，設(shè)函數(shù)y＝EQ\F(1,k)x與y＝EQ\F(k,x)圖象的交點為A，B，已知A點的坐標為(－k，－1)，則B點的坐標為________；（2）若點P為第一象限內(nèi)雙曲線上不同于點B的任意一點．①設(shè)直線PA交x軸于點M，直線PB交x軸于點N．求證：PM＝PN．證明過程如下：設(shè)EQP\b\bc\((\l(m,\F(k,m))),直線PA的解析式為y＝ax＋b(a≠0）．則EQ\B\lc\{(\a\al(－ka＋b＝－1,ma＋b＝\F(k,m)))，解得EQ\B\lc\{(\a\al(a＝,b＝))________∴直線PA的解析式為________請你把上面的解答過程補充完整，并完成剩余的證明．②當(dāng)P點坐標為(1，k)(k≠1）時，判斷△PAB的形狀，并用k表示出△PAB的面積．【解答】解：（1）由正、反比例函數(shù)圖象的對稱性可知，點A、B關(guān)于原點O對稱，∵A點的坐標為(－k，－1)，∴B點的坐標為(k，1)．故答案為：(k，1)．（2）①證明過程如下，設(shè)EQP\b\bc\((\l(m,\F(k,m))),直線PA的解析式為y＝ax＋b(a≠0）．則EQ\B\lc\{(\a\al(－ka＋b＝－1,ma＋b＝\F(k,m)))，解得：EQ\B\lc\{(\a\al(a＝\F(1,m),b＝\F(k,m)－1))，∴直線PA的解析式為y＝EQ\F(1,m)x＋\F(k,m)－1．當(dāng)y＝0時，x＝m－k，∴M點的坐標為(m－k，0)．過點P作PH⊥x軸于H，如圖1所示，∵P點坐標為EQ\b\bc\((\l(m,\F(k,m))),∴H點的坐標為(m，0)，∴MH＝EQx\S\DO(H)－x\S\DO(M)＝m－(m－k)＝k．同理可得：HN＝k．∴MH＝HN，∴PM＝PN．故答案為：EQ\B\lc\{(\a\al(a＝\F(1,m),b＝\F(k,m)－1))；y＝EQ\F(1,m)x＋\F(k,m)－1．②由①可知，在△PMN中，PM＝PN，∴△PMN為等腰三角形，且MH＝HN＝k．當(dāng)P點坐標為(1，k)時，PH＝k，∴MH＝HN＝PH，∴∠PMH＝∠MPH＝45°，∠PNH＝∠NPH＝45°，∴∠MPN＝90°，即∠APB＝90°，∴△PAB為直角三角形．當(dāng)k＞1時，如圖1，EQS\S\DO(△PAB)＝EQS\S\DO(△PMN)－S\S\DO(△OBN)＋S\S\DO(△OAM),＝EQ\F(1,2)MN﹒PH－\F(1,2)ON﹒y\S\DO(B)＋\F(1,2)OM﹒|y\S\DO(A)|,＝EQ\F(1,2)×2k×k－\F(1,2)(k＋1)×1＋\F(1,2)(k－1)×1,＝EQk\S\UP6(2)－1;當(dāng)0＜k＜1時，如圖2，EQS\S\DO(△PAB)＝EQS\S\DO(△OBN)－S\S\DO(△PMN)＋S\S\DO(△OAM),＝EQ\F(1,2)ON﹒y\S\DO(B)－k\S\UP6(2)＋\F(1,2)OM﹒|y\S\DO(A)|,＝EQ\F(1,2)(k＋1)×1－k\S\UP6(2)＋\F(1,2)(1－k)×1,＝EQ1－k\S\UP6(2)．例4、問題呈現(xiàn)：如圖1，點E、F、G、H分別在矩形ABCD的邊AB、BC、CD、DA上，AE＝DG，求證：2S四邊形EFGH＝S矩形ABCD．（S表示面積）實驗探究：某數(shù)學(xué)實驗小組發(fā)現(xiàn)：若圖1中AH≠BF，點G在CD上移動時，上述結(jié)論會發(fā)生變化，分別過點E、G作BC邊的平行線，再分別過點F、H作AB邊的平行線，四條平行線分別相交于點EQA\S\DO(1)、EQB\S\DO(1)、EQC\S\DO(1)、EQD\S\DO(1),得到矩形EQA\S\DO(1)B\S\DO(1)C\S\DO(1)D\S\DO(1)．如圖2，當(dāng)AH＞BF時，若將點G向點C靠近(DG＞AE)，經(jīng)過探索，發(fā)現(xiàn)：2S四邊形EFGH＝S矩形ABCD＋S矩形EQA\S\DO(1)EQB\S\DO(1)EQC\S\DO(1)EQD\S\DO(1)．如圖3，當(dāng)AH＞BF時，若將點G向點D靠近(DG＜AE)，請?zhí)剿鱏四邊形EFGH、S矩形ABCD與S矩形EQA\S\DO(1)EQB\S\DO(1)EQC\S\DO(1)EQD\S\DO(1),之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．遷移應(yīng)用：請直接應(yīng)用“實驗探究”中發(fā)現(xiàn)的結(jié)論解答下列問題：（1）如圖4，點E、F、G、H分別是面積為25的正方形ABCD各邊上的點，已知AH＞BF，AE＞DG，S四邊形EFGH＝11，HF＝EQ\R(,29),求EG的長．（2）如圖5，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，點E、H分別在邊AB、AD上，BE＝1，DH＝2，點F、G分別是邊BC、CD上的動點，且FG＝EQ\R(,10),連接EF、HG，請直接寫出四邊形EFGH面積的最大值．【解答】問題呈現(xiàn)：證明：如圖1中，∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∠A＝90°，∵AE＝DG，∴四邊形AEGD是矩形，∴EQS\S\DO(△HGE)＝EQ\F(1,2)S四邊形EFGH，同理EQS\S\DO(△EGF)＝EQ\F(1,2)S矩形BEGC，∴S四邊形EFGH＝EQS\S\DO(△HGE)＋S\S\DO(△EFG)＝EQ\F(1,2)S矩形ABCD．實驗探究：結(jié)論：2S四邊形EFGH＝S矩形ABCD－S矩形EQA\S\DO(1)EQB\S\DO(1)EQC\S\DO(1)EQD\S\DO(1)．理由：∵=EQ\F(1,2)，=EQ\F(1,2)，=EQ\F(1,2)，=EQ\F(1,2)，∴S四邊形EFGH=+++﹣，∴2S四邊形EFGH=2+2+2+2﹣2，∴2S四邊形EFGH=S矩形ABCD﹣S矩形EQA\S\DO(1)EQB\S\DO(1)EQC\S\DO(1)EQD\S\DO(1)．遷移應(yīng)用：解：（1）如圖4中，∵2S四邊形EFGH=S矩形ABCD﹣S矩形EQA\S\DO(1)EQB\S\DO(1)EQC\S\DO(1)EQD\S\DO(1)，∴S矩形EQA\S\DO(1)EQB\S\DO(1)EQC\S\DO(1)EQD\S\DO(1)=25﹣2×11=3=A1B1A1D1，∵正方形的面積為25，∴邊長為5，∵A1D12=HF2﹣52=29﹣25=4，∴A1D1=2，A1B1=，∴EG2=A1B12+52=，∴EG=．（2）∵2S四邊形EFGH＝S矩形ABCD＋S矩形EQA\S\DO(1)EQB\S\DO(1)EQC\S\DO(1)EQD\S\DO(1)．∴四邊形EQA\S\DO(1)B\S\DO(1)C\S\DO(1)D\S\DO(1)面積最大時，四邊形EFGH的面積最大．①如圖5－1中，當(dāng)G與C重合時，四邊形EQA\S\DO(1)B\S\DO(1)C\S\DO(1)D\S\DO(1)面積最大時，四邊形EFGH的面積最大．此時矩形EQA\S\DO(1)B\S\DO(1)C\S\DO(1)D\S\DO(1)面積＝EQ1﹒(\R(,10)－2)＝EQ\R(,10)－2②如圖5－2中，當(dāng)G與D重合時，四邊形EQA\S\DO(1)B\S\DO(1)C\S\DO(1)D\S\DO(1)面積最大時，四邊形EFGH的面積最大．此時矩形EQA\S\DO(1)B\S\DO(1)C\S\DO(1)D\S\DO(1)面積＝2﹒1＝2，∵EQ2＞\R(,10)－2,∴四邊形EFGH的面積最大值＝EQ\F(17,2)．例5、定義：點P是△ABC內(nèi)部或邊上的點（頂點除外），在△PAB，△PBC，△PCA中，若至少有一個三角形與△ABC相似，則稱點P是△ABC的自相似點．例如：如圖1，點P在△ABC的內(nèi)部，∠PBC＝∠A，∠BCP＝∠ABC，則△BCP∽△ABC，故點P是△ABC的自相似點．請你運用所學(xué)知識，結(jié)合上述材料，解決下列問題：在平面直角坐標系中，點M是曲線y＝EQ\F(3\R(,3),x)(x＞0)上的任意一點，點N是x軸正半軸上的任意一點．（1）如圖2，點P是OM上一點，∠ONP＝∠M，試說明點P是△MON的自相似點；當(dāng)點M的坐標是EQ(\R(,3),3),點N的坐標是EQ(\R(,3),0)時，求點P的坐標；（2）如圖3，當(dāng)點M的坐標是EQ(3,\R(,3)),點N的坐標是(2，0)時，求△MON的自相似點的坐標；（3）是否存在點M和點N，使△MON無自相似點？若存在，請直接寫出這兩點的坐標；若不存在，請說明理由．【解答】解：（1）∵∠ONP＝∠M，∠NOP＝∠MON，∴△NOP∽△MON，∴點P是△MON的自相似點；過P作PD⊥x軸于D，則tan∠POD＝EQ\F(MN,ON)＝EQ\R(,3),∴∠MON＝60°，∵當(dāng)點M的坐標是EQ(\R(,3),3),點N的坐標是EQ(\R(,3),0),∴∠MNO＝90°，∵△NOP∽△MON，∴∠NPO＝∠MNO＝90°，在Rt△OPN中，OP＝ONcos60°＝EQ\F(\R(,3),2),∴OD＝OPcos60°＝EQ\F(\R(,3),2)×\F(1,2)＝EQ\F(\R(,3),4),PD＝OP﹒sin60°＝EQ\F(\R(,3),2)×\F(\R(,3),2)＝EQ\F(3,4),{{dbc5494c.png}}∴EQP\b\bc\((\l(\F(\R(,3),4),\F(3,4)));（2）作MH⊥x軸于H，如圖3所示：∵點M的坐標是EQ(3,\R(,3)),點N的坐標是(2，0)，∴OM＝EQ\R(,3\S\UP6(2)＋(\R(,3))\S\UP6(2))＝EQ2\R(,3),直線OM的解析式為y＝EQ\F(\R(,3),3)x,ON＝2，∠MOH＝30°，分兩種情況：①如圖3所示：∵P是△MON的相