自動控制原理4課件

2023/8/4自動控制原理--根軌跡法1§1.緒論部分

由第三章可知，閉環(huán)極點完全決定了系統(tǒng)的穩(wěn)定性，閉環(huán)極點和零點則決定了系統(tǒng)的品質(zhì)。所以，如能確定閉環(huán)極點在S平面上的位置，則對控制系統(tǒng)的性能分析則意義重大。由于閉環(huán)極點是特征方程的根，隨著特征方程階數(shù)的增大，求解困難（試探求法）。而開環(huán)傳函由簡單環(huán)節(jié)串聯(lián)組成，零極點易確定，若能用開環(huán)極零點確定閉環(huán)極點在S平面的位置，并通過調(diào)節(jié)開環(huán)極零點位置改善閉環(huán)極零點位置，將使問題更加簡單。該方法為：

2023/8/2自動控制原理--根軌跡法1§1.緒論部分2023/8/4自動控制原理--根軌跡法2

根軌跡法：根據(jù)開環(huán)極零點分布，當(dāng)系統(tǒng)某參數(shù)由零變到無窮大，繪制出閉環(huán)特根在S平面上的相應(yīng)的變化軌跡，由此來分析，系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)，參數(shù)對暫態(tài)響應(yīng)的影響，以及系統(tǒng)的綜合與校正。這是一種圖解方法。2023/8/2自動控制原理--根軌跡法2根軌跡法：2023/8/4自動控制原理--根軌跡法3§2.根軌跡法的基本概念與繪制條件

基本概念

根軌跡的繪制條件

根軌跡的分類

2023/8/2自動控制原理--根軌跡法3§2.根軌跡法的基2023/8/4自動控制原理--根軌跡法4一、基本概念特征方程：s2+2s+k*=0特征根：例1：單位反饋二階系統(tǒng)2023/8/2自動控制原理--根軌跡法4一、基本概念特征方2023/8/4自動控制原理--根軌跡法5

欠阻尼-1-jK*-1-1+jK*-1（1，+∞）↑臨界阻尼-1-11過阻尼S2右移〈0S1左移〈0（0，1）↑-200響應(yīng)閉開S2S1K*2023/8/2自動控制原理--根軌跡法5欠阻尼-1-j2023/8/4自動控制原理--根軌跡法6結(jié)論：

1、開環(huán)傳函參數(shù)K*影響著閉環(huán)極點的分布。

2、隨著K*的增大，系統(tǒng)響應(yīng)經(jīng)歷著過阻尼、等阻尼、欠阻尼。

3、K*與閉環(huán)極點，一一對應(yīng)，進而可分析系統(tǒng)穩(wěn)定性及其它各項性能指標。2023/8/2自動控制原理--根軌跡法6結(jié)論：2023/8/4自動控制原理--根軌跡法7二、根軌跡的繪制條件

特征方程：１＋Ｗk(s)=0

根軌跡方程：Ｗk(s)=-1（＊）凡滿足（＊）式的s都是根軌跡上的點，反之，根軌跡上的點也都滿足（＊）式。（曲線與方程一一對應(yīng)關(guān)系）則繪制其根軌跡條件應(yīng)為：

2023/8/2自動控制原理--根軌跡法7二、根軌跡的繪制條2023/8/4自動控制原理--根軌跡法8

代入（＊）式根：s=δ+jω則有

若用１、幅值條件：２、相角條件：注意：2023/8/2自動控制原理--根軌跡法8代入（＊）式根：2023/8/4自動控制原理--根軌跡法9

S

L3l1L2L1

β3α1β2β1-P2-Z1-P1P0

2023/8/2自動控制原理--根軌跡法92023/8/4自動控制原理--根軌跡法10

根軌跡以根軌跡放大系數(shù)Kg繪制p110,例4--1或Ⅱ若則根軌道放大倍數(shù)與開環(huán)放大倍數(shù)的關(guān)系為：2023/8/2自動控制原理--根軌跡法10根軌跡以根軌2023/8/4自動控制原理--根軌跡法11

主根軌跡：0<=Kg<∞的根軌跡（180°根軌跡）輔根軌跡：-∞<=Kg<0的根軌跡廣義根軌跡：以除Kg外的某一其它系統(tǒng)參數(shù)繪制的根軌跡零度根軌跡：幅角條件是±360的根軌跡根軌跡族：幾個系統(tǒng)參數(shù)同時變化構(gòu)成的的根軌跡§3.根軌跡的繪制法則一、根軌跡分類：2023/8/2自動控制原理--根軌跡法11主根軌跡：0<2023/8/4自動控制原理--根軌跡法12二、繪制根軌跡的一般法則(*)1根軌跡的起始點和終止點2根軌跡數(shù)和它的對稱數(shù)3實軸上的根軌跡4分離點和會合點5根軌跡的漸近線

6根軌跡出射角和入射角7根軌跡與虛軸交點8根軌跡的走向9放大系數(shù)求取值10分離角與會合角

2023/8/2自動控制原理--根軌跡法12二、繪制根軌跡的2023/8/4自動控制原理--根軌跡法131.根軌跡的起始點和終止點

起點

Kg=0，由根軌跡方程(↓)可知起點應(yīng)從開環(huán)極點（或s=-pj）開始

終點

Kg=∞，同理，終點應(yīng)在s=-zi（開環(huán)零點處），有多少個開環(huán)極點就有多少個起點，零點也一樣，只不過由于n-m＞0，所以零點將有n-m個在無窮遠處．2023/8/2自動控制原理--根軌跡法131.根軌跡的起始2023/8/4自動控制原理--根軌跡法14２.根軌跡數(shù)（分支數(shù)）和它的對稱數(shù)分支數(shù)等于開環(huán)極點數(shù)n（特征方程階數(shù)）．由實系數(shù)特征方程知，特征根不是實根，就是共軛復(fù)根，故根軌跡一定對稱于實軸．2023/8/2自動控制原理--根軌跡法14２.根軌跡數(shù)（分2023/8/4自動控制原理--根軌跡法15

３.實軸上的根軌跡由軸上某個區(qū)段，若它的右側(cè)開環(huán)零極點總數(shù)為奇數(shù)，則該區(qū)段為一根軌跡分支由輻角條件可知：特征根S左側(cè)開環(huán)零極點對開環(huán)傳函的幅角沒有貢獻P112，而右側(cè)的每個開環(huán)零極點都引起180°的輻角變化，所以右側(cè)零極點總數(shù)為奇數(shù)個時恰好能滿足輻角條件。2023/8/2自動控制原理--根軌跡法15３.實軸上的根2023/8/4自動控制原理--根軌跡法16

4.分離點和會合點分離點：由實軸分離進入復(fù)平面的點。兩極點間會合點：復(fù)平面匯合進入實軸上的點。兩零點間這時的特征方程出現(xiàn)重根。重根即代表了分離點，會合點的位置(1)解析法設(shè)閉環(huán)系統(tǒng)特征方程為：法1

，其根為；若有重根將使2023/8/2自動控制原理--根軌跡法164.分離點和會2023/8/4自動控制原理--根軌跡法17由此可知代入特征方程有：可求出重根：法2實根中的對應(yīng)的是從零到中最大的，故也可通過對求導(dǎo)求得分離點和會合點。（求后驗證）。2023/8/2自動控制原理--根軌跡法17由此可知2023/8/4自動控制原理--根軌跡法18

驗證：由于不存在根軌跡，故不是分離點。而不僅屬于[-1，0]且能使，使注：此方法對求復(fù)平面上的分離，會合點也有效。例2.試求實軸上的分離點。根軌跡方程即求得2023/8/2自動控制原理--根軌跡法18驗證：由于2023/8/4自動控制原理--根軌跡法19(2)圖解法：[-p2,-p3]中有一分離點d，滿足相角條件：設(shè)三階系統(tǒng)零極點分布圖如下圖-z2-p3-p2-z1-p1s1jwS1為靠近d軌跡上一點，滿足相角條件：2023/8/2自動控制原理--根軌跡法19(2)圖解法：[2023/8/4自動控制原理--根軌跡法20二式比較得：如上例有更一般的：驗證后，d1為真2023/8/2自動控制原理--根軌跡法20二式比較得：如上2023/8/4自動控制原理--根軌跡法21

5、根軌跡的漸近線

時系統(tǒng)有n-m條根軌跡趨于無窮遠處，成為一條直線，即根軌跡漸近線。（1）傾角：開環(huán)有限零極點到無窮遠特征根矢量輻角都相等，即由幅角條件

只有n-m個，以后重復(fù)出現(xiàn)（2）與實軸交點：開環(huán)有限零極點到無窮遠處的特征，根Sk的矢量長度相等，對Sk而言開環(huán)零極點匯集成一點,即2023/8/2自動控制原理--根軌跡法215、根軌跡的漸2023/8/4自動控制原理--根軌跡法22根軌跡漸近線方程為：Wk(s)=1證明:s→∞時原式趨近于其中即整理上式為：2023/8/2自動控制原理--根軌跡法22根軌跡漸近線方程2023/8/4自動控制原理--根軌跡法23

令S=σ+jω代入得于是記為令ω=0則有2023/8/2自動控制原理--根軌跡法23令S=σ+jω2023/8/4自動控制原理--根軌跡法24

起終點:0,-1,-2,-∞實軸分支：[-1,0][-2,-∞]分離點：σd=-0.422漸近線：σa=(0+(-1)+(-2)-0)/(3-0)=-1,θa=(2k+1)π/(3-0)=60°,180°,300°,-60°例32023/8/2自動控制原理--根軌跡法24起終點:0,-2023/8/4自動控制原理--根軌跡法25

出射角：根軌跡離開開環(huán)復(fù)極點的切線方向與實軸正向夾角。入射角：根軌跡進入開環(huán)復(fù)零點的切線方向與實軸正向夾角。6、根軌跡出射角和入射角（1）定義2023/8/2自動控制原理--根軌跡法252023/8/4自動控制原理--根軌跡法26

開環(huán)(零)極點-pl,(-zl)附近的根軌跡上取一點s1，則當(dāng)s1→-pl時，s1與-pl所構(gòu)成的矢量相角就是-pl的出射角βsc，對應(yīng)零點為入射角αsr。由相角條件:（2）計算并用代替則

出射角2023/8/2自動控制原理--根軌跡法26開2023/8/4自動控制原理--根軌跡法27

-zl入射角例4、繪制根軌跡2023/8/2自動控制原理--根軌跡法27-zl入射角例2023/8/4自動控制原理--根軌跡法28

法一：有特征方程:1+Wk(s)=0有Re(1+Wk(s))=0Im(1+Wk(s))=0若令s=jω代入上二式便可求解ω,Kg.如例2,特征方程為7、根軌跡與虛軸交點：令s=jω代入得2023/8/2自動控制原理--根軌跡法28法一：有特征方2023/8/4自動控制原理--根軌跡法29

法二：由勞斯表中知，若有根為純虛根，表中某行全為零。令由輔助方程得:8.根軌跡的走向

當(dāng)特征方程階次n-m>=2時，根軌跡呈現(xiàn)發(fā)散性質(zhì)，一些分支右行時，另一些分支必左行，偏向S平面右半部分。這一點可由根的特性說明：2023/8/2自動控制原理--根軌跡法29法二：由勞斯表2023/8/4自動控制原理--根軌跡法30

9.放大系數(shù)求取值由幅值條件，根軌跡上某點放大系數(shù)為：特征方程它與開環(huán)放大系數(shù)的關(guān)系為各特征根之和為常數(shù)！2023/8/2自動控制原理--根軌跡法309.放大系數(shù)2023/8/4自動控制原理--根軌跡法31

108°36°

-180°-108-36°

10、分離角與匯合角分離角：根軌跡離開分離點的切線方向與實軸正向夾角。匯合角：根軌跡進入?yún)R合點的切線方向與實軸正向夾角。為分離點根軌跡數(shù)。例52023/8/2自動控制原理--根軌跡法3110、分離角與2023/8/4自動控制原理--根軌跡法32解：（1）分支數(shù)：4個(2)起點：-p1=0,-p2=-1+j,-p3=-1-j,-p4=-3

終點：全在無窮遠處。

(3)實軸上根軌跡：[-3，0]

（4）漸近線例6

繪制根軌跡2023/8/2自動控制原理--根軌跡法32解：（1）分支數(shù)2023/8/4自動控制原理--根軌跡法33matlab繪制根軌跡圖2023/8/2自動控制原理--根軌跡法33matlab繪制2023/8/4自動控制原理--根軌跡法34

(5)分離點1/d+1/(d+3)+1/(d+1-j)=0試探得

:(6)出射角

(7)與虛軸交點:由特征方程s(s+3)(s2+2s+2)+k=0代入s=jω得(8)走向(9)放大系數(shù)(10)分離角:±90°2023/8/2自動控制原理--根軌跡法34(5)分離點2023/8/4自動控制原理--根軌跡法35

例7

繪制右圖以Kp為參變量的根軌跡

解：KP(1+0.6s)R(s)Y(s)令Kg=0.6Kp

開環(huán)（1）起點，-0.25,-1

終點：-1.67,-∞（2）分支數(shù):2（3）實軸根軌跡:[-1,-0.25],[-∞,-1.67]（4）漸近線:(2k-1)π/(2-1)=180°jw2023/8/2自動控制原理--根軌跡法35例7繪2023/8/4自動控制原理--根軌跡法36（5）實軸交點:（6）走向：復(fù)平面根軌跡是一以開環(huán)零點-1.67為圓心，以-1.67為分離點-0.695的距離為半徑的圓證：用s=σ+jω代入特征方程由相角條件:整理后得(σ+1.67)2+ω2=0.9514結(jié)論；任意帶一開環(huán)零點的二階系統(tǒng)，若復(fù)平面存在根軌跡，則它一定是一個以開環(huán)零點為圓心的圓或圓的一部分。2023/8/2自動控制原理--根軌跡法36（5）實軸交點:2023/8/4自動控制原理--根軌跡法37二階系統(tǒng)三階系統(tǒng)具有復(fù)極點的四階系統(tǒng)延遲環(huán)節(jié)（時滯環(huán)節(jié)）系統(tǒng)三、典型自控系統(tǒng)根軌跡

2023/8/2自動控制原理--根軌跡法37二階系統(tǒng)三、典2023/8/4自動控制原理--根軌跡法381.二階系統(tǒng)

其中Kg=Kk/T

標準二階系統(tǒng):(1)起終點(2)實軸(3)分離點:-1/2T

(4)漸近線：±90°，-1/2T由(2)式知二階系統(tǒng)特征根在S平面的位置

WK2023/8/2自動控制原理--根軌跡法381.二階系統(tǒng)WK2023/8/4自動控制原理--根軌跡法39

由幅值條件2.開環(huán)具有零點二階系統(tǒng)復(fù)平面根軌跡可由幅角條件證明是個圓，這樣增加零點改變了系統(tǒng)品質(zhì)。等ξ線等頻線對(1)式若要工程最佳2023/8/2自動控制原理--根軌跡法39由幅值條件2.2023/8/4自動控制原理--根軌跡法402023/8/2自動控制原理--根軌跡法402023/8/4自動控制原理--根軌跡法41

3.三階系統(tǒng)

二階系統(tǒng)再加一個極點

(1)起終點

(2)分支數(shù)

(3)實軸上

(4)分離點a=4時

(5)漸近線a=4時

(6)與虛軸交點

結(jié)論；二階系統(tǒng)附加極點Kg↑根軌跡將穿過虛軸系統(tǒng)趨于不穩(wěn)定2023/8/2自動控制原理--根軌跡法413.三階系統(tǒng)2023/8/4自動控制原理--根軌跡法422023/8/2自動控制原理--根軌跡法422023/8/4自動控制原理--根軌跡法43

(1)起終點，分支數(shù)，實軸(2)漸近線:±90°(3)取τd=4T,ξ=1/2作ξ=1/2的阻尼線

與根軌跡交點:

由代數(shù)方程:R1+R2+R3=p1=1/T得-R3=-1/(2T)4.開環(huán)具有零點三階系統(tǒng)：

二階加一極點一零點其中Kg=K/TiT

z1=1/τdp1=1/T2023/8/2自動控制原理--根軌跡法43(1)起終點，2023/8/4自動控制原理--根軌跡法44線漸進線三階工程最佳（4）2023/8/2自動控制原理--根軌跡法44線漸進線三階工程2023/8/4自動控制原理--根軌跡法45(1)起終點，分支數(shù)，實軸上(2)漸近線φ=-60°，180°，-σk=-1

(3)出射角βsc1=-26.6°(4)與虛軸交點s=±j1.61,(5)由根與系數(shù)關(guān)系:5.具有復(fù)極點的四階系統(tǒng)2023/8/2自動控制原理--根軌跡法45(1)起終點，分2023/8/4自動控制原理--根軌跡法46

對系統(tǒng)穩(wěn)定性不利

(τ!=0滯后時間常數(shù))

根軌跡方程特征根幅值條件:

輻角條件:

特點：特征根無限多個，根軌跡分支數(shù)無限多條。6.延遲環(huán)節(jié)（時滯環(huán)節(jié)）系統(tǒng)2023/8/2自動控制原理--根軌跡法462023/8/4自動控制原理--根軌跡法47（1）當(dāng)|τs|很小時

繪制方法同前（2）當(dāng)|τs|較大時

①起點:–pi,-∞,終點;-zi,+∞

②分支數(shù):無窮多條，對稱性：對稱于實軸。③實軸上；由ω=0可知繪制規(guī)則不變④分離匯合點；仍可按dKg/ds=0計算⑤漸近線：當(dāng)Kg→∞時σ→∞，所有有限開環(huán)零極點到σ的矢量幅角都等于0，故漸近線為水平線。由幅角條件知（2k+1）π-τω=0與虛軸交于ω=(2k+1)π/τ2023/8/2自動控制原理--根軌跡法47（1）當(dāng)|τs|2023/8/4自動控制原理--根軌跡法48⑥出射角與入射角

⑦與虛軸交點：令s=jω由幅角條件求得ωl

當(dāng)Kg=0時σ→-∞所有有限開環(huán)零極點到σ矢量幅角都等于π，故漸近線仍為水平線只是交點由

(2k+1)π-τω=(m-n)π，,|m-n|為奇數(shù),|m-n|為偶數(shù)2023/8/2自動控制原理--根軌跡法48⑥出射角與入2023/8/4自動控制原理--根軌跡法49

⑧復(fù)平面上的根軌跡（作圖法）；

ⅰk=0時如一階系統(tǒng)jw-1/T或取ω=ω1時，從-1/T點做一傾角為斜線，交于水平線，交點為一特征根，取全ω>0區(qū)間得一組特征根并畫出一支根軌跡，對稱實軸畫出另一支2023/8/2自動控制原理--根軌跡法49⑧復(fù)平面上的2023/8/4自動控制原理--根軌跡法50ⅱk=1時，漸近線不同2023/8/2自動控制原理--根軌跡法50ⅱk=12023/8/4自動控制原理--根軌跡法51四、零度根軌跡1，概念：

非最小相位系統(tǒng)：凡是在S平面右半平面有開環(huán)零極點的系統(tǒng)，與之相反稱為最小相位系統(tǒng)。產(chǎn)生零度根軌跡原因:①非最小相位系統(tǒng)中包含有最高次冪的系數(shù)為負的環(huán)節(jié)②系統(tǒng)中有正反饋內(nèi)環(huán)。幅角條件滿足2kπ(k屬于Z)的根軌跡稱為零度根軌跡。其幅值條件不變。2023/8/2自動控制原理--根軌跡法51四、零度根軌跡12023/8/4自動控制原理--根軌跡法52繪制規(guī)則（與常規(guī)根軌跡相比）

①實軸上根軌跡只能出現(xiàn)在其右側(cè)開環(huán)零極點總數(shù)為偶數(shù)的區(qū)段上

②漸近線θ=2kπ/(n-m)k=1,2,…,n-m-1③出射角

入射角2023/8/2自動控制原理--根軌跡法52繪制規(guī)則（與常規(guī)2023/8/4自動控制原理--根軌跡法53④分離角

其他規(guī)則不變，例8匯合角WkR(s)Y(s)2023/8/2自動控制原理--根軌跡法53④分離2023/8/4自動控制原理--根軌跡法54例92023/8/2自動控制原理--根軌跡法54例92023/8/4自動控制原理--根軌跡法55五、廣義根軌跡它是指以某非Kg作為系統(tǒng)參數(shù)變化時得到的根軌跡。具體的做法為：由閉環(huán)系統(tǒng)特征方程式KgN(s)+D(s)=1整理出研究的參數(shù)根軌跡方程式

2023/8/2自動控制原理--根軌跡法55五、廣義根軌跡它2023/8/4自動控制原理--根軌跡法56

關(guān)于Ta的根軌跡方程為

則新的開環(huán)傳函應(yīng)為5(1+TaS)1/s(5s+1)例10

閉環(huán)極點保持不變而零點變了。Ta↑閉環(huán)極點左移2023/8/2自動控制原理--根軌跡法56關(guān)于T2023/8/4自動控制原理--根軌跡法57例112023/8/2自動控制原理--根軌跡法57例112023/8/4自動控制原理--根軌跡法58§4.用根軌跡方法分析系統(tǒng)的暫態(tài)特性

在根軌跡上確定特征根用根軌跡法分析系統(tǒng)的暫態(tài)特性

在根軌跡上由性能指標確定調(diào)整參數(shù)2023/8/2自動控制原理--根軌跡法58§4.用根軌跡方2023/8/4自動控制原理--根軌跡法59一、在根軌跡上確定特征根試探法：已知Kg，先找一試點So求得它的Kgˊ=(L1L2…Ln)/(L1L2…lm)，使Kgˊ=kg,便定出So。

n-m<=3系統(tǒng),先找到實根(實軸上),再用韋達定理去求復(fù)根.實根仍要用作圖法.

2023/8/2自動控制原理--根軌跡法59一、在根軌跡上確2023/8/4自動控制原理--根軌跡法60二、用根軌跡法分析系統(tǒng)的暫態(tài)特性

1,閉環(huán)主導(dǎo)極點:暫態(tài)過程主要決定于離虛軸較近的極點,當(dāng)極點實部相差5倍以上時,遠離虛軸的極點可被忽略.(對零點也適合)2,閉環(huán)極點位置變化時對暫態(tài)過程的影響(P135①-p1,-p2負實閉環(huán)極點②一對復(fù)極點,ωn不變ξ變,ξ不變σ不變ωn變)2023/8/2自動控制原理--根軌跡法60二、用根軌跡法分2023/8/4自動控制原理--根軌跡法61②θ不變,ωn↑,極點沿失徑延伸,|-ξωn|↑加