高考解答題專項(xiàng)五　第2課時(shí)　圓錐曲線中的定點(diǎn)(或定值)問(wèn)題

第2課時(shí)圓錐曲線中的定點(diǎn)(或定值)問(wèn)題高考解答題專項(xiàng)五考情分析縱觀歷年高考真題,定點(diǎn)、定值問(wèn)題是一類綜合性強(qiáng)、能力要求高的問(wèn)題,也是近幾年高考對(duì)解析幾何考查的一個(gè)重點(diǎn)和熱點(diǎn)內(nèi)容.這類問(wèn)題以直線和圓錐曲線的位置關(guān)系為載體,以參數(shù)處理為核心,需要綜合運(yùn)用函數(shù)與方程、不等式、平面向量等諸多知識(shí)以及數(shù)形結(jié)合、分類討論等多種數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行求解.對(duì)考生的代數(shù)恒等變形能力、計(jì)算能力等有較高的要求.增素能精準(zhǔn)突破突破點(diǎn)一

圓錐曲線中的定點(diǎn)問(wèn)題(一題多解)例1.已知拋物線y2=4x,過(guò)定點(diǎn)(-4,0)作直線交拋物線于A,B兩點(diǎn),過(guò)B作x軸的垂線,交拋物線于C點(diǎn),求證:直線AC過(guò)定點(diǎn).設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則C(x2,-y2),因?yàn)橹本€AB與拋物線相交于點(diǎn)A,B,由上述結(jié)論得y1y2=-4×(-4)=16,又直線AC與拋物線相交于點(diǎn)A,C,所以y1(-y2)=-4t'=-16,所以t'=4,所以直線AC過(guò)定點(diǎn)(4,0).突破步驟證明直線或曲線過(guò)定點(diǎn)的解題步驟

第一步引進(jìn)參數(shù)引進(jìn)的參數(shù)一般為點(diǎn)的坐標(biāo)、直線的斜率、直線的夾角等第二步列關(guān)系式根據(jù)題設(shè)條件表示出對(duì)應(yīng)的動(dòng)態(tài)直線或曲線方程第三步探求定點(diǎn)若是動(dòng)直線,將方程轉(zhuǎn)化為y-y0=k(x-x0)的形式,則k∈R時(shí)直線恒過(guò)定點(diǎn)(x0,y0)若是動(dòng)曲線,將動(dòng)態(tài)的曲線方程轉(zhuǎn)化為形如f(x,y)+λg(x,y)=0,則λ∈R時(shí)曲線恒過(guò)的定點(diǎn)是f(x,y)=0與g(x,y)=0的交點(diǎn)(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)過(guò)F2的直線交橢圓C于A,B兩點(diǎn),其中A點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為A'(異于點(diǎn)B),證明:A'B所在直線恒過(guò)定點(diǎn).(2)證明:由(1)知,F2(1,0),直線A'B的斜率不可能為0,因此設(shè)直線A'B為x=my+t(m≠0),與橢圓C聯(lián)立,得關(guān)于y的一元二次方程(3m2+4)y2+6mty+3t2-12=0,設(shè)A'(x1,y1),B(x2,y2),則A(x1,-y1),將①式代入,得2m(3t2-12)-(t-1)6mt=0,化簡(jiǎn)得t=4,直線A'B為x=my+4,因此直線A'B恒過(guò)定點(diǎn)(4,0).點(diǎn)為C,PB與E的另一交點(diǎn)為D.(1)求E的方程;(2)證明:直線CD過(guò)定點(diǎn).解法2

設(shè)C(x1,y1),D(x2,y2),P(6,t).若t≠0,設(shè)直線CD的方程為x=my+n,由題意可知-3<n<3.(通過(guò)直線方程y=kx+m消元后得2kx1x2-9kx1-mx1+3mx2-3kx2-12m=0,不好用韋達(dá)定理消元,可以用曲線消元)突破技巧1.圓錐曲線中定點(diǎn)問(wèn)題的常見(jiàn)解法(1)要證明直線或曲線過(guò)定點(diǎn),可以根據(jù)已知條件直接求直線或曲線的方程,方程一旦求出,即能找到直線或曲線過(guò)的定點(diǎn),也就證明了過(guò)定點(diǎn);(2)對(duì)于直線或曲線是否過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題,一般先假定過(guò)定點(diǎn),并假設(shè)出定點(diǎn)坐標(biāo),根據(jù)題意選擇參數(shù),建立一個(gè)直線系或曲線系方程,而該方程與參數(shù)無(wú)關(guān),故得到一個(gè)關(guān)于定點(diǎn)坐標(biāo)的方程組,以這個(gè)方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)即所求定點(diǎn);(3)從特殊位置入手,找出定點(diǎn),再證明該點(diǎn)符合題意.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2(2021廣東佛山一模)已知橢圓C:(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F(1,0),且過(guò)點(diǎn)A(-2,0).(1)求橢圓C的方程;(2)點(diǎn)P,Q分別在橢圓C和直線x=4上,OQ∥AP,M為AP的中點(diǎn),求證:直線OM與直線QF的交點(diǎn)在某定曲線上.(1)解:依題意知A(-2,0)為橢圓C的左頂點(diǎn),故a=2,又F(1,0)為C的右焦點(diǎn),所以a2-b2=1,于是b2=3,突破點(diǎn)二

圓錐曲線中的定值問(wèn)題(一題多解)例3.(2021山東濰坊一模)在平面直角坐標(biāo)系中,A1,A2兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(-2,0),(2,0),直線A1M,A2M相交于點(diǎn)M且它們的斜率之積是-,記動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為曲線E.(1)求曲線E的方程;(2)過(guò)點(diǎn)F(1,0)作直線l交曲線E于P,Q兩點(diǎn),且點(diǎn)P位于x軸上方,記直線A1Q,A2P的斜率分別為k1,k2.②設(shè)點(diǎn)Q關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為Q1,求△PFQ1面積的最大值.若直線l斜率存在,設(shè)直線l為y=k(x-1)=kx-k(k≠0),P(x1,y1),Q(x2,y2)(y1>0,y2<0),即直線PQ1恒過(guò)點(diǎn)D(4,0),突破技巧1.求或證明某個(gè)量為定值的常見(jiàn)方法(1)從特殊入手,先根據(jù)特殊位置和數(shù)值求出定值,再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān);(2)直接推理、計(jì)算,并在計(jì)算推理的過(guò)程中消去變量,從而得到定值.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3(2021江蘇鹽城一模)設(shè)F為橢圓C:

+y2=1的右焦點(diǎn),過(guò)點(diǎn)(2,0)的直線與橢圓C交于A,B兩點(diǎn).(1)若點(diǎn)B為橢圓C的上頂點(diǎn),求直線AF的方程;(1)解:若B為橢圓的上頂點(diǎn),則B(0,1).又AB過(guò)點(diǎn)(2,0),故直線AB:x+2y-2=0,又F(1,0),故直線AF:y=x-1,即x-y-1=0.(2)證明:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),解法1

設(shè)直線AB:x=ty+2,代入橢圓方程可得(2+t2)y2+4ty+2=0,Δ=16t2-4×2(2+t2)=8t2-16>0,解法2

設(shè)直線AB:x=ty+2,代入橢圓方程可得(2+t2)y2+4ty+2=0,Δ=16t2-4×2(2+t2)=8t2-16>0,解法3

設(shè)直線AB:x=ty+2,代入橢圓方程可得(2+t2)y2+4ty+2=0,Δ=16t2-4×2(2+t2)=8t2-16>0,(1)求橢圓C的方程;(2)設(shè)直線l:y=kx+t(t≠0)與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn),若以O(shè)A,OB為鄰邊的平行四邊形OAPB的頂點(diǎn)P在橢圓C上,求證:平行四邊形OAPB的面積為定值.突破技巧定值問(wèn)題的求法很多定值問(wèn)題就是求某個(gè)變量的值,通常由條件列出的獨(dú)立方程個(gè)數(shù)少于變量的個(gè)數(shù),但由于其形式的特殊性,通過(guò)消元恰好能求出某個(gè)(或多個(gè))變量的值.常見(jiàn)的能出現(xiàn)定值的幾種形式:(1)消去:t=5