第三章多維隨機變量及其分布課件

為什么需要討論多維隨機變量？以上我們只限于討論一個隨機變量的情況，但在實際問題中，對于某些隨機試驗的結果需要同時用兩個或兩個以上的隨機變量來描述。例如，為了研究某一地區(qū)學齡前兒童的發(fā)育情況，對這一地區(qū)的兒童進行抽查，對于每個兒童都能觀察到他的身高H和體重W。在這里，樣本空間S={e}＝{某地區(qū)的全部學齡前兒童}，而H(e)和W(e)是定義在S上的兩個隨機變量。又如炮彈彈著點的位置需要由它的橫坐標和縱坐標來確定，而橫坐標和縱坐標是定義在同一個樣本空間的兩個隨機變量。為什么需要討論多維隨機變量？以上我們只限于討論一個隨機變1多維隨機變量及其分布二維隨機變量及其分布函數(shù)二維隨機變量的邊緣分布二維隨機變量的條件分布隨機變量的獨立性兩個隨機變量的函數(shù)的分布返回退出本章小結習題多維隨機變量及其分布二維隨機變量及其分布函數(shù)返回退出本章小結2設X1,X2,…Xn時定義在同一樣本空間S上的隨機變量，則向量(X1,X2,…Xn)稱為n維隨機變量或n維隨機向量。當n=2時，稱為二維隨機變量，記為(X,Y).二維隨機變量的分布函數(shù)設(X,Y)是二維隨機變量，對于任意實數(shù)x,y，二元函數(shù)：F(x,y)=P{(X≤x)∩(Y≤y)}=P(X≤x,Y≤y)稱為二維隨機變量(X,Y)的分布函數(shù)，或稱為隨機變量X,Y的聯(lián)合分布函數(shù)。二維隨機變量設X1,X2,…Xn時定義在同一樣本空間S上的隨機變量3二維隨機變量(X,Y)的分布函數(shù)F(x,y)的含義二維隨機變量(X,Y)的分布函數(shù)F(x,y)的含義4P{x1<X≤x2,y1<Y≤y2}=F(x2,y2)-F(x2,y1)-F(x1,y2)+F(x1,y1)P{x1<X≤x2,y1<Y≤y2}5聯(lián)合分布函數(shù)的性質(1)F(x,y)是x和y的不減函數(shù)。即對于任意固定的y，當x2>x1時F(x2,y)≥F(x1,y)；對于任意固定的x，當y2>y1時，F(xiàn)(x,y2)≥F(x,y1)。

聯(lián)合分布函數(shù)的性質(1)F(x,y)是x和y的不減函6[思考]問G(x,y)能否作為分布函數(shù)？答不能。雖然G(x,y)滿足分布函數(shù)的前三個性質，但不滿足第四個性質。當x1=0,x2=1,y1=0,y2=1時，G(1,1)-G(1,0)-G(0,1)+G(0,0)=1-1-1+0=-1<0[思考]7如果二維隨機變量(X,Y)的所有可能取值是有限對或可列無限多對，則稱(X,Y)為離散型隨機變量。二維離散型隨機變量的概念如果二維隨機變量(X,Y)的所有可能取值是有限對或可8稱P{X＝xi,Y=yj}＝pij，i,j=1,2,…為(X,Y)的概率函數(shù)。列成表格稱聯(lián)合分布列。概率函數(shù)pij滿足YXx1x2…xn…x1p11p12…p1n…………………xmpm1pm2…pmn…………………二維離散型隨機變量的概率函數(shù)稱P{X＝xi,Y=yj}＝pij，i,j=1,2,9二維隨機變量(X,Y)的分布函數(shù)定義為二維離散型隨機變量的分布函數(shù)二維隨機變量(X,Y)的分布函數(shù)定義為二維離散型隨機10第三章多維隨機變量及其分布ppt課件11二維連續(xù)型隨機變量、概率密度函數(shù)如果對于二維隨機變量(X,Y)的分布函數(shù)F(x,y)，存在非負可積函數(shù)f(x,y)，使對于任何實數(shù)x,y，有則稱(X,Y)為二維連續(xù)型隨機變量。函數(shù)f(x,y)稱為(X,Y)的概率密度函數(shù)（或聯(lián)合密度函數(shù)）。二維連續(xù)型隨機變量、概率密度函數(shù)如果對于二維隨機變量12二維連續(xù)性隨機變量概率密度函數(shù)的性質由分布函數(shù)的性質可知，概率密度函數(shù)具有以下性質：(1)f(x,y)≥0；

二維連續(xù)性隨機變量概率密度函數(shù)的性質由分布函數(shù)的性質13[注意][注意]14第三章多維隨機變量及其分布ppt課件15設E是一個隨機試驗，它的樣本空間S={e}，設X1=X1(e)X2=X2(e),…,Xn=Xn(e)是定義在S上的隨機變量，由它們構成的一個n維向量(X1,X2,…Xn)叫做n維隨機變量或n維隨機向量。二維隨機變量的分布函數(shù)對于任意n個實數(shù)x1,x2,…xn，n元函數(shù)：F(x1,x2,…xn)=P{X1≤x1,X2≤x2,…,Xn≤xn,…}稱為n維隨機變量(X1,X2,…Xn)的分布函數(shù)，或稱為隨機變量X1,X2,…Xn的聯(lián)合分布函數(shù)。它具有二維隨機變量的分布函數(shù)類似的性質。n維隨機變量返回設E是一個隨機試驗，它的樣本空間S={e}，設X1=16設(X,Y)為二維隨機變量，則稱隨機變量X的概率分布為(X,Y)關于X的邊緣分布；隨機變量Y的概率分布為(X,Y)關于Y的邊緣分布，其分布函數(shù)，密度函數(shù)和分布律分別記為：FX(x),FY(y);fX(x),fY(y);pi.p.j.二維隨機變量的邊緣分布設(X,Y)為二維隨機變量，則稱隨機變量X的概率分布為(17

二維隨機變量的邊緣分布二維隨機變量的邊緣分布18第三章多維隨機變量及其分布ppt課件19第三章多維隨機變量及其分布ppt課件20例2設隨機變量X和Y具有聯(lián)合概率密度求邊緣概率密度fX(x),fY(y).解例2設隨機變量X和Y具有聯(lián)合概率密度21例2設二維隨機變量(X,Y)的概率密度為例2設二維隨機變量(X,Y)的概率密度為22返回返回23對于多個隨機事件可以討論它們的條件概率，同樣地，對于多個隨機變量也可以討論它們的條件分布。先從二維離散型隨機變量開始討論。設(X,Y)是二維離散型隨機變量，其分布率為考慮二維離散型隨機變量的條件概率對于多個隨機事件可以討論它們的條件概率，同樣地，對于24設(X,Y)是二維離散型隨機變量，對于固定的j，若二維離散型隨機變量的條件概率設(X,Y)是二維離散型隨機變量，對于固定的j，若二25例1在一汽車工廠中，一輛汽車有兩道工序是由機器人完成的。其一是緊固3只螺栓，其二是焊接2處焊點。以X表示由機器人緊固的螺栓緊固得不良的數(shù)目，以Y表示由機器人焊接的不良焊點的數(shù)目。具積累的資料知(X,Y)具有分布律：XY0123P{Y=j}0120.8400.0300.0200.0100.0600.0100.0080.0020.0100.0050.0040.0010.9000.0800.020P{X=i}0.9100.0450.0320.0131.000⑴求在X=1的條件下，Y的條件分布律；⑵求在Y=0的條件下，X的條件分布律。例1在一汽車工廠中，一輛汽車有兩道工序是由機器人完成的。26解在X=1的條件下，Y的分布律為在Y=0的條件下，X的分布律為解在X=1的條件下，Y的分布律為27例一射手進行射擊，擊中目標的概率為p(0<p<1)，射擊直至擊中目標兩次為止。設以X表示首次擊中目標所進行的射擊次數(shù)，以Y表示總共進行的射擊次數(shù)，試求X和Y的聯(lián)合分布律及條件分布律。解由題意可知，X和Y的聯(lián)合分布律為例一射手進行射擊，擊中目標的概率為p(0<p<1)，射擊28第三章多維隨機變量及其分布ppt課件29考慮二維連續(xù)型隨機變量的條件概率考慮二維連續(xù)型隨機變量的條件概率30二維連續(xù)型隨機變量的條件概率二維連續(xù)型隨機變量的條件概率31第三章多維隨機變量及其分布ppt課件32第三章多維隨機變量及其分布ppt課件33第三章多維隨機變量及其分布ppt課件34返回返回35

設F(x,y)及FX(x),FY(y)分別是二維隨機變量(X,Y)的分布函數(shù)及邊緣分布函數(shù)。若對所有x,y有P{X≤x,Y≤y}=P{X≤x}P{Y≤y}則稱隨機變量X和Y是相互獨立的。等價命題有F(x,y)=FX(x)FY(y)f(x,y)=fX(x)fY(y)P{X=xi,Y=yj}=P{X=xi}P{Y=yj},i,j=1,2,…隨機變量的獨立性設F(x,y)及FX(x),FY(y)分別是二維隨機36第三章多維隨機變量及其分布ppt課件37第三章多維隨機變量及其分布ppt課件38第三章多維隨機變量及其分布ppt課件39練習1已知二維隨機變量(X,Y)的概率密度求：⑴系數(shù)A；⑵F(x,y)；⑶P{2X+3Y≤6}練習1已知二維隨機變量(X,Y)的概率密度40第三章多維隨機變量及其分布ppt課件41練習2設隨機變量(X,Y)的概率密度為其中G是由0≤x≤2,0≤y≤x2圍成的區(qū)域。求：⑴系數(shù)A；⑵fX(x),fY(y)；⑶fX|Y(x|y),fY|X(y|x)。練習2設隨機變量(X,Y)的概率密度為42返回返回43Z=X+Y的分布Z=X+Y的分布44Z=X+Y的分布Z=X+Y的分布45例1設X和Y是兩個相互獨立的隨機變量，它們都服從N(0,1)分布，其概率密度為求Z=X+Y的概率密度。例1設X和Y是兩個相互獨立的隨機變量，它們都服從N(0,46例2在一簡單電路中，兩電阻R1和R2串聯(lián)連接，設R1，R2相互獨立，它們的概率密度均為求總電阻R=R1+R2的概率密度。例2在一簡單電路中，兩電阻R1和R2串聯(lián)連接，設R1，R47第三章多維隨機變量及其分布ppt課件48第三章多維隨機變量及其分布ppt課件49M=max(X,Y)與N=min(X,Y)的分布M=max(X,Y)與N=min(X,Y)的分布50第三章多維隨機變量及其分布ppt課件51第三章多維隨機變量及其分布ppt課件52第三章多維隨機變量及其分布ppt課件53第三章多維隨機變量及其分布ppt課件54Z=X/Y的分布Z=X/Y的分布55例設隨機變量X與Y相互獨立，且都服從U(-1,1)，求X/Y的概率密度。例設隨機變量X與Y相互獨立，且都服從U(-1,1)，