工程力學(xué)(下冊)05質(zhì)點動力學(xué)的基本方程

第5章質(zhì)點動力學(xué)的基本方程●

5.1動力學(xué)的基本定律與慣性參考系●5.1.1動力學(xué)基本定律(牛頓定律)

●5.1.2慣性參考系●5.2質(zhì)點的運動微分方程及其應(yīng)用

●5.2.1質(zhì)點運動微分方程●5.2.2質(zhì)點動力學(xué)的兩類基本問題

●

5.2.3應(yīng)用舉例●本章習(xí)題工程力學(xué)(下冊)05質(zhì)點動力學(xué)的基本方程●

5.1動力學(xué)的基本定律與慣性參考系

動力學(xué)是研究作用在物體上的力與物體運動狀態(tài)變化之間關(guān)系的學(xué)科。動力學(xué)的研究對象是運動速度遠(yuǎn)小于光速的宏觀物體，屬經(jīng)典力學(xué)。動力學(xué)是物理學(xué)和天文學(xué)的基礎(chǔ)，也是許多工程學(xué)科的基礎(chǔ)。動力學(xué)的研究以牛頓運動定律為基礎(chǔ)；牛頓運動定律的建立則以實驗為依據(jù)。動力學(xué)是牛頓力學(xué)(又稱經(jīng)典力學(xué))的一部分，但自20世紀(jì)以來，動力學(xué)又常被人們理解為側(cè)重于工程技術(shù)應(yīng)用方面的一個力學(xué)分支。質(zhì)點是具有一定質(zhì)量而幾何形狀和尺寸大小可以忽略不計的物體。質(zhì)點是物體最簡單、最基礎(chǔ)的模型，是構(gòu)成復(fù)雜物體系統(tǒng)的基礎(chǔ)。動力學(xué)可分為質(zhì)點動力學(xué)和質(zhì)點系動力學(xué)，前者是后者的基礎(chǔ)。工程力學(xué)(下冊)05質(zhì)點動力學(xué)的基本方程●5.1.1動力學(xué)基本定律(牛頓定律)

牛頓第一定律(慣性定律)

任何物體，如果不受外力作用(包括所受合外力為零的情況)，將保持靜止或勻速直線運動狀態(tài)。這是物體的固有屬性，稱為慣性。這個定律定性地表明了物體受力與運動之間的關(guān)系，即力是改變物體運動狀態(tài)的根本原因。

牛頓第二定律(力與加速度之間的關(guān)系定律)

物體受到外力作用時，所產(chǎn)生的加速度的大小與作用力的大小成正比，而與物體的質(zhì)量成反比，加速度的方向與力的方向相同。用方程表示為或

(5-1)

式中，F(xiàn)為質(zhì)點所受的力；m為質(zhì)點的質(zhì)量；a為質(zhì)點在力F作用下產(chǎn)生的加速度。該表達(dá)式又稱質(zhì)點動力學(xué)基本方程。工程力學(xué)(下冊)05質(zhì)點動力學(xué)的基本方程牛頓第三定律(作用與反作用定律)

兩物體間相互作用的作用力和反作用力，總是大小相等、方向相反、沿著同一直線。這一定律是靜力學(xué)的公理之一，適用任何受力或任何運動狀態(tài)的物體。作用與反作用定律對研究質(zhì)點系動力學(xué)問題具有重要意義。因為牛頓第二定律只適用于單個質(zhì)點，而本章將要研究的問題大多是關(guān)于質(zhì)點系的，牛頓第三定律給出了質(zhì)點系中各質(zhì)點間相互作用的關(guān)系，從而使質(zhì)點動力學(xué)的理論能推廣應(yīng)用于質(zhì)點系?！?.1.2慣性參考系

動力學(xué)基本定律涉及質(zhì)點的不同運動狀態(tài)——靜止、勻速直線運動和加速運動等運動狀態(tài)，所給出的結(jié)論只有在慣性參考系中才是正確的。在某參考系中，若觀測某個所受合外力等于零的質(zhì)點的運動，如果此質(zhì)點正好處于靜止或勻速直線運動狀態(tài)，則該參考系稱為慣性參考系。工程力學(xué)(下冊)05質(zhì)點動力學(xué)的基本方程●5.2質(zhì)點的運動微分方程及其應(yīng)用●5.2.1質(zhì)點運動微分方程

在解決工程實際問題時，常將動力學(xué)的基本方程(5-1)改寫為其他不同形式，以便應(yīng)用。1.質(zhì)點運動微分方程的矢量形式

如圖5.1所示，設(shè)有質(zhì)量為m的質(zhì)點M受到力F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)n的作用做曲線運動，合力為FR，用r表示質(zhì)點的位矢，則質(zhì)點的運動微分方程為

(5-2)

應(yīng)用矢量形式微分方程進(jìn)行理論分析非常方便，但有時求解某些具體問題時很困難，而且所得到結(jié)果的力學(xué)意義也不很明顯。因此，多數(shù)問題的求解仍需根據(jù)具體問題選擇合適的坐標(biāo)形式。工程力學(xué)(下冊)05質(zhì)點動力學(xué)的基本方程2.質(zhì)點運動微分方程的直角坐標(biāo)形式

由矢量方程(5-2)在圖5.1中的直角坐標(biāo)系上投影，可得到質(zhì)點的運動微分方程的直角坐標(biāo)形式

(5-3)

直角坐標(biāo)形式的運動微分方程，原則上適用于所有問題，也是最常用的形式。但對某些具體問題仍有不便之處，如質(zhì)點沿球面或柱面運動時，用直角坐標(biāo)就不如用球坐標(biāo)或柱坐標(biāo)方便。工程力學(xué)(下冊)05質(zhì)點動力學(xué)的基本方程

3.質(zhì)點運動微分方程的自然坐標(biāo)形式

當(dāng)質(zhì)點的運動軌跡已知時，如圖5.2所示，在點上建立由切線、主法線、副法線組成的自然坐標(biāo)系。由點的運動學(xué)可知，點的加速度在密切面內(nèi)，而在副法線上的投影為零。將矢量方程(5-2)投影到自然坐標(biāo)系上，可得到質(zhì)點運動微分方程的自然坐標(biāo)形式

(5-4)

式中，為質(zhì)點運動軌跡的曲率半徑；為質(zhì)點的切向加速度；為質(zhì)點的法向加速度。工程力學(xué)(下冊)05質(zhì)點動力學(xué)的基本方程

除了以上幾種常見的質(zhì)點運動微分方程外，根據(jù)點的運動特點，還可以應(yīng)用其他形式，如柱坐標(biāo)、球坐標(biāo)、極坐標(biāo)等。正確分析研究對象的運動特點，選擇一組合適的微分方程，會使問題的求解過程大為簡化?！?.2.2質(zhì)點動力學(xué)的兩類基本問題第一類基本問題：已知質(zhì)點的運動，求解此質(zhì)點所受的力。第二類基本問題：已知作用在質(zhì)點上的力，求解此質(zhì)點的運動。一般來說，第一類基本問題需用微分和代數(shù)方法求解，第二類基本問題需用積分方法求解。對于含有非線性函數(shù)的運動微分方程，大多數(shù)情況下很難得到解析解，通常只能應(yīng)用數(shù)值方法求解。此外，求解微分方程時將出現(xiàn)積分常數(shù)，這些積分常數(shù)通常根據(jù)質(zhì)點運動的初始條件(如初始速度和初始位置等)來確定。因此，對于這類問題，除了作用于質(zhì)點的力外，還必須知道質(zhì)點運動的初始條件。工程力學(xué)(下冊)05質(zhì)點動力學(xué)的基本方程●5.2.3應(yīng)用舉例【例5.1】曲柄連桿機(jī)構(gòu)如圖5.3(a)所示。曲柄OA以勻角速度轉(zhuǎn)動，其中OA=r、AB=l，當(dāng)比較小時，以O(shè)為坐標(biāo)原點，滑塊B的運動方程可近似寫為。如滑塊的質(zhì)量為m，忽略摩擦及連桿AB的質(zhì)量，試求當(dāng)和時，連桿AB所受的力。解：以滑塊B為研究對象，當(dāng)時，受力如圖5.3(b)所示。由于不計連桿質(zhì)量，連桿AB

為二力桿，則它對滑塊B的力F沿AB方向。工程力學(xué)(下冊)05質(zhì)點動力學(xué)的基本方程寫出滑塊沿x軸的運動微分方程

由題設(shè)的運動方程，可以求得

當(dāng)時，，且，得AB桿受拉力當(dāng)時，，，則有得AB桿受壓力工程力學(xué)(下冊)05質(zhì)點動力學(xué)的基本方程【例5.2】如圖5.4所示，小球質(zhì)量為m，懸掛于長為l的細(xì)繩上，繩重不計。小球在鉛垂面內(nèi)擺動時，在最低處的速度為v；擺到最高處時，繩與鉛垂線夾角為，此時小球速度為零。試分別計算小球在最低和最高位置時繩的拉力。解：如圖5.4所示，由于小球做圓周運動，小球在最低處受重力G=mg和繩拉力F1

。此時有法向加速度，由質(zhì)點運動微分方程沿法向的投影式，有則繩的拉力工程力學(xué)(下冊)05質(zhì)點動力學(xué)的基本方程

小球在最高處角時，受力分析如圖5.4所示，由于小球此時速度為零，法向加速度為零，則其運動微分方程沿法向投影式為則繩的拉力

思考題5-1一宇航員體重為700N，在太空中漫步時，他的體重與在地球上一樣嗎？

5-2什么是慣性？是否任何物體都具有慣性？正在加速運動的物體，其慣性是仍然存在還是已經(jīng)消失？工程力學(xué)(下冊)05質(zhì)點動力學(xué)的基本方程5-3如圖5.5所示，繩子通過兩個定滑輪，在繩的兩端分別掛著兩個質(zhì)量完全相同的物體，開始時處于靜止?fàn)顟B(tài)。若給右邊的物體一水平速度，則左邊物體應(yīng)該______。5-4質(zhì)點的運動方向是否一定與質(zhì)點受合力的方向相同？某瞬時，質(zhì)點的加速度大，是否說明該質(zhì)點所受的作用力也一定大？5-5質(zhì)量相同的兩物體A和B，其初速度相同均為v0。現(xiàn)在兩物體上分別作用力FA和FB，若FA>FB，經(jīng)過相同的時間間隔后，則有______。

ABCD不能確定工程力學(xué)(下冊)05質(zhì)點動力學(xué)的基本方程5-6質(zhì)量為m的質(zhì)點在力F作用下沿曲線運動，如圖5.6所示。根據(jù)動力學(xué)基本方程的描述，選出質(zhì)點運動與所受力的關(guān)系不可能出現(xiàn)的應(yīng)是______。5-7若知道一質(zhì)點的質(zhì)量和所受到的力，能否知道它的運動規(guī)律？工程力學(xué)(下冊)05質(zhì)點動力學(xué)的基本方程

習(xí)題5-1質(zhì)點M的質(zhì)量為m，運動方程為，其中b、d、為常量。求作用在此質(zhì)點上的力。5-2如圖5.7所示，在均勻靜止的液體中，質(zhì)量為m的物體M從液面處無初速度下沉，如圖所示。假設(shè)液體阻力，其中為阻尼系數(shù)。試分析該物體的運動規(guī)律5-3如圖5.8所示，起重機(jī)上吊車吊著質(zhì)量的物體，沿軌道以角度度做勻速運動。因故緊急制動后，重物由于慣性繞懸點O向前擺動。已知繩長l=3m，若不計繩的質(zhì)量，求制動后繩子的最大拉力。工程力學(xué)(下冊)05質(zhì)點動力學(xué)的基本方程5-4如圖5.9所示的機(jī)構(gòu)中，偏心輪繞軸O以勻角速度w轉(zhuǎn)動，推動挺桿AB沿鉛垂滑道運動，挺桿頂部放有質(zhì)量為m的物快D。設(shè)偏心輪偏心距OC=e，輪心C在運動開始時位于鉛垂線ABO上，試求在任意瞬時物塊D對挺桿的壓力和保證物塊D不離開挺桿的偏心輪的轉(zhuǎn)動角速度的最大值。5-5如圖5.10所示，料車的料斗連同所載物料的質(zhì)量，車架與車輪的質(zhì)量。如料斗彈簧按的規(guī)律作鉛垂運動，試求料車對水平直線軌道的最大壓力與最小壓力。工程力學(xué)(下冊)05質(zhì)點動力學(xué)的基本方程5-6如圖5.11所示，質(zhì)量的小球，放在傾角的光滑面上，并用平行于斜面的繩將小球固定在圖示位置。如斜面以的加速度向左運動，求繩的拉力及小球?qū)π泵娴膲毫?；欲使繩的張力為零，加速度a應(yīng)為多大？5-7如圖5.12所示，質(zhì)量為m的球A，用兩根長為l的桿支撐。支撐架以勻角速度繞鉛直軸BC轉(zhuǎn)動。已知BC=2a；桿AB及AC的兩端均為鉸接，桿重忽略不計。求桿AB、AC所受的力。工程力學(xué)(下冊)05質(zhì)點動力學(xué)的基本方程5-8如圖5.13所示，半徑為R，內(nèi)壁光滑的環(huán)形管，在水平面內(nèi)以勻角速度繞鉛垂軸A轉(zhuǎn)動。質(zhì)量為m的小球M在管內(nèi)運動