第02講函數(shù)的單調(diào)性與最大（?。┲担ㄔ戆妫?/h1>

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第02講函數(shù)的單調(diào)性與最大（?。┲?．函數(shù)的單調(diào)性(1)單調(diào)函數(shù)的定義增函數(shù)減函數(shù)定義一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為I，區(qū)間D?I，如果?x1，x2∈D當(dāng)x1<x2時，都有f(x1)<f(x2)，那么就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增，特別地，當(dāng)函數(shù)f(x)在它的定義域上單調(diào)遞增時，我們就稱它是增函數(shù)當(dāng)x1<x2時，都有f(x1)>f(x2)，那么就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞減，特別地，當(dāng)函數(shù)f(x)在它的定義域上單調(diào)遞減時，我們就稱它是減函數(shù)圖象描述自左向右看圖象是上升的自左向右看圖象是下降的(2)單調(diào)區(qū)間的定義如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，那么就說函數(shù)y＝f(x)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，區(qū)間D叫做y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間．2．函數(shù)的最值前提設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域為I，如果存在實數(shù)M滿足條件(1)?x∈I，都有f(x)≤M；(2)?x0∈I，使得f(x0)＝M(1)對于?x∈I，都有f(x)≥M；(2)?x0∈I，使得f(x0)＝M結(jié)論M為最大值M為最小值一．確定函數(shù)的單調(diào)性命題點1求具體函數(shù)的單調(diào)區(qū)間例1．（1）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（

）A．B．C．D．（2）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是()A． B．和C．和 D．和（3）函數(shù)y＝x2(x－3)的單調(diào)遞減區(qū)間是()A．(－∞，0)B．(2，＋∞)C．(0，2)D．(－2，2)（4）函數(shù)得單調(diào)遞增區(qū)間是（）A． B． C． D．（5）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A． B． C． D．【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】：(1)函數(shù)單調(diào)區(qū)間的兩種求法①圖象法．即先畫出圖象，根據(jù)圖象求單調(diào)區(qū)間．②定義法．即先求出定義域，再利用定義法進行判斷求解．(2)函數(shù)的單調(diào)性是在定義域內(nèi)的某個區(qū)間上的性質(zhì)，單調(diào)區(qū)間是定義域的子集；當(dāng)函數(shù)出現(xiàn)兩個以上單調(diào)區(qū)間時，單調(diào)區(qū)間之間可用“，”分開，不能用“∪”，可以用“和”來表示；在單調(diào)區(qū)間D上函數(shù)要么是增函數(shù)，要么是減函數(shù)，不能二者兼有．(3)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法：同增異減.（同：內(nèi)外層函數(shù)單調(diào)性相同時，整個函數(shù)為增函數(shù)；異：內(nèi)外層函數(shù)單調(diào)性不同時，整個函數(shù)為減函數(shù)）.命題點2判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性例2．（1）已知函數(shù)的定義域是，若對于任意兩個不相等的實數(shù)，，總有成立，則函數(shù)一定是（

）A．奇函數(shù) B．偶函數(shù) C．增函數(shù) D．減函數(shù)（2）已知函數(shù)．=1\*GB3①用定義法證明:在上單調(diào)；=2\*GB3②求在上的最大值與最小值．（3）已知函數(shù)．=1\*GB3①試判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，并用函數(shù)單調(diào)性定義證明；=2\*GB3②對任意時，都成立，求實數(shù)的取值范圍．（4）試討論函數(shù)f(x)＝eq\f(ax,x－1)(a≠0)在(－1,1)上的單調(diào)性．（5）已知a>0，函數(shù)f(x)＝x＋eq\f(a,x)(x>0)，證明：函數(shù)f(x)在(0，eq\r(a)]上單調(diào)遞減，在[eq\r(a)，＋∞)上單調(diào)遞增．（6）已知定義域為，對任意都有，當(dāng)時，，.=1\*GB3①求和的值；=2\*GB3②試判斷在上的單調(diào)性，并證明；=3\*GB3③解不等式：.【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】：確定函數(shù)單調(diào)性的四種方法(1)定義法：利用定義判斷或證明函數(shù)單調(diào)性的步驟：(2)導(dǎo)數(shù)法：適用于初等函數(shù)、復(fù)合函數(shù)等可以求導(dǎo)的函數(shù)．(3)圖象法：由圖象確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間需注意兩點：一是單調(diào)區(qū)間必須是函數(shù)定義域的子集；二是圖象不連續(xù)的單調(diào)區(qū)間要分開寫，用“和”或“，”連接，不能用“∪”連接．(4)性質(zhì)法：利用函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，尤其是利用復(fù)合函數(shù)“同增異減”的原則時，需先確定簡單函數(shù)的單調(diào)性．二．函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用命題點1比較函數(shù)值的大小例3．（1）已知對定義域內(nèi)的任意實數(shù)，且，恒成立，設(shè)，，，則（

）A． B． C． D．（2）已知函數(shù)，若，則（

）A．B．C．D．（3）已知函數(shù)，,若，則a,b,c的大小關(guān)系為（

）A．a(chǎn)<b<c B．c<b<a C．b<a<c D．b<c<a（4）已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．（5）函數(shù)是上的減函數(shù)，若，，，則（）A． B．C． D．（6）(2020·全國Ⅰ)若2a＋log2a＝4b＋2log4b，則()A．a(chǎn)>2bB．a(chǎn)<2bC．a(chǎn)>b2D．a(chǎn)<b2[高考改編題]已知2a＋log2a>4b＋2log4b＋1，則()A．a(chǎn)>2b B．a(chǎn)<2bC．a(chǎn)<b2 D．a(chǎn)>b2【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】：（1）比較大小是高考常見題，指數(shù)式、對數(shù)式的比較大小要結(jié)合指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)，借助指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的圖象，利用函數(shù)的單調(diào)性進行比較大小，特別是靈活利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性數(shù)形結(jié)合，不僅能比較大小，還可以解不等式.（2）觀察比較各個函數(shù)值的特點，合理構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，進而比較函數(shù)值的大小.（3）作商比較法，即對兩值作商，根據(jù)其值與1的大小關(guān)系，從而確定所比值的大小．當(dāng)然一般情況下，這兩個值最好都是正數(shù)．作差比較法是比較兩個數(shù)值大小的較常用的方法，即對兩值作差，看其值是正還是負，從而確定所比值的大?。?）比較大小時要注意利用函數(shù)的性質(zhì)把自變量的取值都化到同一個單調(diào)區(qū)間內(nèi).（5）可利用中間量大小比較同一區(qū)間的取值.命題點2求函數(shù)的最值例4．（1）函數(shù)在區(qū)間上的最大值為（

）A． B． C． D．（2）若，不等式恒成立，則a的取值范圍是（

）A． B． C．{a|a＞1} D．（3）函數(shù)f(x)＝x－log2(x＋2)在區(qū)間[－1,1]上的最大值為________．（4）函數(shù)的值域是__________（5）若函數(shù)的值域是，則函數(shù)的值域是________.【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】：(1)若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞增，則f(x)的最大值為f(b)，最小值為f(a)．(2)若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞減，則f(x)的最大值為f(a)，最小值為f(b)．(3)若函數(shù)y＝f(x)有多個單調(diào)區(qū)間，那就先求出各區(qū)間上的最值，再從各區(qū)間的最值中決定出最大(小)值．函數(shù)的最大(小)值是整個值域范圍內(nèi)的最大(小)值．(4)如果函數(shù)定義域為開區(qū)間，則不但要考慮函數(shù)在該區(qū)間上的單調(diào)性，還要考慮端點處的函數(shù)值或者發(fā)展趨勢．(5)圖象法求函數(shù)最值的一般步驟：(6)求函數(shù)值域（最值）的一般方法：=1\*GB3①分離常數(shù)法；=2\*GB3②配方法；=3\*GB3③不等式法；=4\*GB3④單調(diào)性法；=5\*GB3⑤換元法；=6\*GB3⑥數(shù)形結(jié)合法（圖像法）；=7\*GB3⑦導(dǎo)數(shù)法．命題點3解函數(shù)不等式例5．（1）已知是定義在上的單調(diào)遞減函數(shù)，且，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．（2）已知定義在上的奇函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，若實數(shù)x滿足，則x的取值范圍是（

）A． B． C． D．（3）已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x3，x≤0，,lnx＋1，x>0，))若f(2－x2)>f(x)，則實數(shù)x的取值范圍是________．（4）若函數(shù)是奇函數(shù)，且在定義域R上是減函數(shù)，，不等式的解集是______.（5）已知函數(shù)在定義域上是偶函數(shù)，在上單調(diào)遞減，并且，則的取值范圍是______.【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】：求解函數(shù)不等式的方法：1．解函數(shù)不等式的依據(jù)是函數(shù)的單調(diào)性的定義，具體步驟：①將函數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為的形式；②根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性去掉對應(yīng)法則“”轉(zhuǎn)化為具體的不等式(組)，此時要注意與的取值應(yīng)在外層函數(shù)的定義域內(nèi).2．=1\*GB3①若單調(diào)遞增，則；=2\*GB3②若單調(diào)遞減，則；=3\*GB3③若是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，根據(jù)偶函數(shù)圖像關(guān)于y軸對稱可知，距離遠點越遠的點，函數(shù)值越大，把轉(zhuǎn)化為，解絕對值不等式即可。3．利用函數(shù)的圖象研究不等式，當(dāng)不等式問題不能用代數(shù)法求解但其與函數(shù)有關(guān)時，常將不等式問題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)的圖象上、下關(guān)系問題，從而利用數(shù)形結(jié)合求解.命題點4求參數(shù)的取值范圍例6．（1）函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（

）A．B．C．D．（2）已知函數(shù)是定義域R上的減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．（3）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A．(-1，2） B． C．(-2，1) D．（4）已知函數(shù)f(x)＝e|x－a|(a為常數(shù))，若f(x)在區(qū)間[1，＋∞)上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是________．（5）已知是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間滿足，則的取值范圍是______.【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】：利用單調(diào)性求參數(shù)．①依據(jù)函數(shù)的圖象或單調(diào)性定義，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，與已知單調(diào)區(qū)間比較．②需注意若函數(shù)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)，則該函數(shù)在此區(qū)間的任意子區(qū)間上也單調(diào)．③分段函數(shù)的單調(diào)性，除注意各段的單調(diào)性外，還要注意銜接點的取值．1．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A．B．C．D．2．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（

）A． B． C． D．3．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A． B． C． D．4．下列函數(shù)中，滿足“”的單調(diào)遞增函數(shù)是（）A． B．C． D．5．已知偶函數(shù)的定義域為R，當(dāng)時，單調(diào)遞增，則，，的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．6．已知定義在上的偶函數(shù)，對任意不相等的，有，當(dāng)時，有（

）A． B．C． D．7．已知，，，則，，的大小關(guān)系是（）A． B． C． D．8．已知，，，則以下不等式正確的是（

）A． B． C． D．9．已知定義在R上的函數(shù)滿足為偶函數(shù)，若在內(nèi)單調(diào)遞減．則下面結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．10．已知，，，則，，的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．11．已知，，，則，，的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．12．設(shè)的定義域為R，圖象關(guān)于y軸對稱，且在上為增函數(shù)，則，，的大小順序是（

）A． B．C． D．13．若函數(shù)為偶函數(shù)，對任意的，且，都有，則（

）A． B．C． D．14．若，則的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．15．定義域為R的函數(shù)滿足:對任意的，有，則有（

）A． B．C． D．16．函數(shù)，的值域是（

）．A． B． C． D．17．已知是定義在上的單調(diào)函數(shù)，是上的單調(diào)減函數(shù)，且，則（

）A． B．C． D．18．設(shè)是定義域為的偶函數(shù)，且在單調(diào)遞減，則（）A．B．C．D．19．已知奇函數(shù)在上是增函數(shù)，若，，，則的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．20．若定義在的奇函數(shù)f(x)在單調(diào)遞減，且f(2)=0，則滿足的x的取值范圍是（

）A． B．C． D．21．定義在上的奇函數(shù)在上單調(diào)遞減，若，則滿足的的取值范圍是（

）.A．B．C．D．22．已知函數(shù)，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．23．定義在R上的偶函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．24．已知，，若成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．25．已知定義在上的偶函數(shù)，且當(dāng)時，單調(diào)遞減，則關(guān)于x的不等式的解集是（

）A． B． C． D．26．已知函數(shù)，對于上任意兩個不相等實數(shù)，不等式恒成立，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．27．已知是上的單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．28．已知是R上的減函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．29．設(shè)奇函數(shù)在上為增函數(shù)，且，則不等式的解集為（）A． B．C． D．30．設(shè)函數(shù),則使成立的的取值范圍是()A．B．C．D．31．已知函數(shù)，滿足對任意x1≠x2，都有0成立，則a的取值范圍是（）A．a(chǎn)∈(0,1) B．a(chǎn)∈[,1) C．a(chǎn)∈(0,] D．a(chǎn)∈[,2)32．已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍是（

）A．，， B．C．，， D．，，33．若函數(shù)，是定義在上的減函數(shù)，則的取值范圍為（

）A．B．C．D．34．定義在上的偶函數(shù)滿足：對任意的，有，則、、的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．35．已知函數(shù)滿足，且對任意的，都有，則滿足不等式的的取值范圍是（

）A