2022年考研數(shù)學(xué)(三)真題解析

1….【分析】本題為等價(jià)無窮小的判定，利用定義或等價(jià)無窮小代換即可.【詳解】當(dāng)X0時(shí)，1，11221x，2故用排除法可得正確選項(xiàng)為(B).事實(shí)上，limx0limlim1，x0x0或ln(1x)ln(1xo(x)oo所以應(yīng)選(B)【評注】本題為關(guān)于無窮小量比較的基本題型，利用等價(jià)無窮小代換可簡化計(jì)算.類似例題見《數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南》(經(jīng)濟(jì)類)第一篇【例1.54】【例1.55】.2…….【分析】本題考查可導(dǎo)的極限定義及連續(xù)與可導(dǎo)的關(guān)系.由于題設(shè)條件含有抽象函數(shù)，本題最簡便的方法是用賦值法求解，即取符合題設(shè)條件的特殊函數(shù)f(x)去進(jìn)行判斷,然后選擇正確選項(xiàng).【詳解】取f(x)|x|，則limx0f(x)f(x)0,但f(x)在x0不可導(dǎo)，故選(D).x事實(shí)上，在(A),(B)兩項(xiàng)中，因?yàn)榉帜傅臉O限為0,所以分子的極限也必須為0,則可推得f(0)0.lim在(C)中，x0f(x)f(x)f(0)f(x)lim0，存在，則f(0)0,f(0)limx0x0xx0x所以(C)項(xiàng)正確，故選(D)【評注】對于題設(shè)條件含抽象函數(shù)或備選項(xiàng)為抽象函數(shù)形式結(jié)果以及數(shù)值型結(jié)果的選擇題，用賦值法求解往往能收到奇效.類似例題見文登強(qiáng)化班筆記《高等數(shù)學(xué)》第2講【例2】，文登07考研模擬試題數(shù)學(xué)二第一套(2).3…….【分析】本題實(shí)質(zhì)上是求分段函數(shù)的定積分.【詳解】利用定積分的幾何意義,可得111113F(3)21，F(xiàn)(2)22，222228F(2)200211f(x)dxf(x)dxf(x)dx12.20222所以F(3)33F(2)F(2)，故選(C).44【評注】本題屬基本題型.本題利用定積分的幾何意義比較簡便.類似例題見文登強(qiáng)化班筆記《高等數(shù)學(xué)》第5講【例17】和【例18】，《數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南》(經(jīng)濟(jì)類)第一篇【例3.38】【例3.40】.xxxxxxxx4…….【分析】本題更換二次積分的積分次序，先根據(jù)二次積分確定積分區(qū)域，然后寫出新的二次積分.【詳解】由題設(shè)可知，2x,sinxy1，則0y1,arcsinyx，故應(yīng)選（B）.【評注】本題為基礎(chǔ)題型.畫圖更易看出.類似例題見文登強(qiáng)化班筆記《高等數(shù)學(xué)》第10講【例5】，《數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南》（經(jīng)濟(jì)類）第一篇【例7.5】，【例7.6】.5…….【分析】本題考查需求彈性的概念.【詳解】選（D）.商品需求彈性的絕對值等于dQP2P1P40，dPQ1602P故選（D）.【評注】需掌握微積分在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用中的邊際，彈性等概念.相關(guān)公式及例題見《數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南》（經(jīng)濟(jì)類）第一篇【例11.2】.6…….【分析】利用曲線的漸近線的求解公式求出水平漸近線，垂直漸近線和斜漸近線，然后判斷.【詳解】limylimln1e,limylimln1e0，xxxxxx所以yO是曲線的水平漸近線；limylimlnle，所以xO是曲線的垂直漸近線；xOxOxx1exxln1eln1elimx1，ylimlimOlimxxxxxxx1xblimyxxlixxn1exlx，所以0yx是曲線的斜漸近線.故選（D）.【評注】本題為基本題型，應(yīng)熟練掌握曲線的水平漸近線，垂直漸近線和斜漸近線的求法.x注意當(dāng)曲線存在水平漸近線時(shí)，斜漸近線不存在.本題要注意e當(dāng)x,x時(shí)的極限不同.類似例題見文登強(qiáng)化班筆記《高等數(shù)學(xué)》第6講第4節(jié)【例12】，《數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南》（經(jīng)濟(jì)類）第一篇【例5.30】，【例5.31】.7........【分析】本題考查由線性無關(guān)的向量組1,2,3構(gòu)造的另一向量組1,2,3的線性相關(guān)性?一般令1,2,31,2,3A，若A0，貝01,2,3線性相關(guān)；若A0，貝V1,2,可通過簡單的線性3線性無關(guān).但考慮到本題備選項(xiàng)的特征，運(yùn)算得到正確選項(xiàng).【詳解】由1223310可知應(yīng)選（A）.或者因?yàn)?0110111012,23,311,2,3，而1100，011011所以12,23,31線性相關(guān)，故選（A）.【評注】本題也可用賦值法求解，如取11,0,0,20,1,0,30,0,1，以此求出（A），（B），（C），（D）中的向量并分別組成一個(gè)矩陣，然后利用矩陣的秩或行列式是否為零可立即得到正確選項(xiàng).完全類似例題見文登強(qiáng)化班筆記《線性代數(shù)》第3講【例3】，《數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南》（經(jīng)濟(jì)類）《線性代數(shù)》【例3.3】.TT2【詳解】由EA111(3)2可得123,30，1122所以A的特征值為3,3,0；而B的特征值為1,1,0.所以A與B不相似，但是A與B的秩均為2,且正慣性指數(shù)都為2,所以A與B合同，故選(B).【評注】若矩陣A與B相似，則A與B具有相同的行列式，相同的秩和相同的特征值?所以通過計(jì)算A與B的特征值可立即排除(A)(C).完全類似例題見《數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南》(經(jīng)濟(jì)類)第二篇【例5.17】.......【分析】本題計(jì)算貝努里概型，即二項(xiàng)分布的概率.關(guān)鍵要搞清所求事件中的成功次數(shù).【詳解】p=｛前三次僅有一次擊中目標(biāo)，第4次擊中目標(biāo)｝C3p(1p)p3p(1p)，222故選(C).【評注】本題屬基本題型.類似例題見《數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南》(經(jīng)濟(jì)類)第三篇【例1.29】【例1.30】.....【分析】本題求隨機(jī)變量的條件概率密度，利用X與Y的獨(dú)立性和公式fX|Y(x|y)f(x,y)可求解.fY(y)【詳解】因?yàn)閄,Y服從二維正態(tài)分布，且X與Y不相關(guān)，所以X與Y獨(dú)立，所以f(x,y)fX(x)fY(y).故fX|Y(x|y)f(x,y)fX(x)fY(y)fX(x)，應(yīng)選(A).fY(y)fY(y)【評注】若X,Y服從二維正態(tài)分布，則X與Y不相關(guān)與X與Y獨(dú)立是等價(jià)的.完全類似例題和求法見文登強(qiáng)化班筆記《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》第3講【例3】，《數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南》(經(jīng)濟(jì)類)第三篇第二章知識點(diǎn)精講中的一(4)，二(3)和【例2.38】11….【分析】本題求類未定式，可利用“抓大頭法”和無窮小乘以有界量仍為無窮小的結(jié)論.x3x21xxxx3x2100,|sinxcosx|2，【詳解】因?yàn)閘imlimx2xx3xx311x2x3x21(sinxcosx)0.所以limx2xx3【評注】無窮小的相關(guān)性質(zhì)：(1)有限個(gè)無窮小的代數(shù)和為無窮?。?2)有限個(gè)無窮小的乘積為無窮??；(3)無窮小與有界變量的乘積為無窮小.完全類似例題和求法見文登強(qiáng)化班筆記《高等數(shù)學(xué)》第1講【例1】，《數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南》(經(jīng)濟(jì)類)第一篇【例1.43】12，….....【分析】本題求函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)，利用遞推法或函數(shù)的麥克老林展開式.(1)n2nn!(1)n2nn!12(n)(n)【詳解】y,則y(x)，故y(0).,yn12n13(2x3)2x32x3SD14SD14SD14SD14x2x2評注】本題為基礎(chǔ)題型.完全類似例題見文登強(qiáng)化班筆記《高等數(shù)學(xué)》第2講【例21】，《數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南》（經(jīng)濟(jì)類）第一篇【2.20】，【例2.21】.13…….【分析】本題為二元復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)，直接利用公式即可.【詳解】利用求導(dǎo)公式可得zy12f1f2，xxyz1xf12f2，yxy所以xyzzxy2f1f2.xyyx【評注】二元復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)時(shí)，最好設(shè)出中間變量，注意計(jì)算的正確性.完全類似例題見文登強(qiáng)化班筆記《高等數(shù)學(xué)》第9講【例8】,【例9】，《數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南》（經(jīng)濟(jì)類）第一篇【例6.16】,【例6.17】,【例6.18】....【分析】本題為齊次方程的求解，可令u【詳解】令uy.xy，則原方程變?yōu)閤du1dudxuxuu33.dx2u2x兩邊積分得111lnxlnC，22u22y2即x1u1exex，將yCCx11代入左式得Ce，，xe.故滿足條件的方程的特解為exey,即y【評注】本題為基礎(chǔ)題型.完全類似例題見文登強(qiáng)化班筆記《高等數(shù)學(xué)》第7講【例2】,【例3】,《數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南》（經(jīng)濟(jì)類）第一篇【例9.3】.【分析】先將A求出，然后利用定義判斷其秩.300【詳解】A00100001000000A30100000000010r（A）1.00【評注】本題為基礎(chǔ)題型.矩陣相關(guān)運(yùn)算公式見《數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南》（經(jīng)濟(jì)類）第二篇第二章第1節(jié)中的知識點(diǎn)八、、精講.【分析】根據(jù)題意可得兩個(gè)隨機(jī)變量服從區(qū)間0,1上的均勻分布，利用幾何概型計(jì)算較為簡便.【詳解】利用幾何概型計(jì)算.圖如下：211S23.所求概率AD1D1D1D1【評注】本題也可先寫出兩個(gè)隨機(jī)變量的概率密度，然后利用它們的獨(dú)立性求得所求概率.完全類似例題見文登強(qiáng)化班筆記《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》第3講【例11】，《數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南》(經(jīng)濟(jì)類)第三篇【例2.29】，【例2.47】.......【分析】由凹凸性判別方法和隱函數(shù)的求導(dǎo)可得.【詳解】方程ylnyxyO兩邊對x求導(dǎo)得ylnyy即y(2lny)1，則y(1)上式兩邊再對x求導(dǎo)得y1y0，y1.22yy(2lny)y0則y(1)，所以曲線yy(x)在點(diǎn)(1,1)附近是凸的.【評注】本題為基礎(chǔ)題型.類似例題見文登強(qiáng)化班筆記《高等數(shù)學(xué)》第6講【例10】，《數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南》(經(jīng)濟(jì)8類)第一篇【例5.29】.18…….【分析】由于積分區(qū)域關(guān)于x,y軸均對稱，所以利用二重積分的對稱性結(jié)論簡化所求積分.【詳解】因?yàn)楸环e函數(shù)關(guān)于x,y均為偶函數(shù)，且積分區(qū)域關(guān)于x,y軸均對稱，所以f(x,y)df(x,y)d，其中D為D在第一象限內(nèi)的部分.DD1f(x,y)dxy1,x0,y0x2d1xy2,x0,ydx1x12x22xxdydxydxy1001x2所以1.12Df(x,y)d1.322【評注】被積函數(shù)包含xy時(shí),可考慮用極坐標(biāo)，解答如下1xy2x0,y0f(x,y)d1xyx0,y02sincos1sincos2ddr類似例題見文登強(qiáng)化班筆記《高等數(shù)學(xué)》第10講【例1】，《數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南》（經(jīng)濟(jì)類）第一篇【例7.3－例7.4】.19……【分析】由所證結(jié)論f()g()可聯(lián)想到構(gòu)造輔助函數(shù)F(x)f(x)g(x)，然后根據(jù)題設(shè)條件利用羅爾定理證明.【詳解】令F(x)f(x)g(x)，則F(x)在a,b上連續(xù)，在(a,b［內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)且F(a)F(b)0.(1)若f(x),g(x［在(a,b)內(nèi)同一點(diǎn)c取得最大值，則f(c)g(c)F(c)O，于是由羅爾定理可得，存在1(a,c),2(c,b)，使得F(1)F(2)0.再利用羅爾定理，可得存在(1,2),使得F()0，即f()g().(2)若f(x),g(x［在(a,b)內(nèi)不同點(diǎn)c1,c2取得最大值，則f(c1)g(c2)M，于是F(c1)f(c1)g(c1)0,F(c2)f(c2)g(c2)0，于是由零值定理可得，存在c3(c1,c2)，使得F(c3)0于是由羅爾定理可得，存在1(a,c3),2(c3,b)，使得F(1)F(2)0.().再利用羅爾定理，可得，存在(1,2),使得F()0，即f()g【評注】對命題為f(n)()0的證明，一般利用以下兩種方法：(n1)方法一：驗(yàn)證為f(x)的最值或極值點(diǎn)，利用極值存在的必要條件或費(fèi)爾馬定理可得證；方法二：驗(yàn)證f(n1)(x)在包含x于其內(nèi)的區(qū)間上滿足羅爾定理?xiàng)l件.類似例題見文登強(qiáng)化班筆記《高等數(shù)學(xué)》第4講【例7】，《數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南》(經(jīng)濟(jì)類)第一篇【例4.5】，【例4.6】...【分析】本題考查函數(shù)的冪級數(shù)展開，利用間接法.【詳解】f(x)11111，而x23x4(x4)(x1)5x4x11a101a101a101a101111x1(x1)nn1,2x4，x1x4313n033n031111x1(1)n(x1)n,1x3，x1212n02n02n121(x1)n(1)n(x1)n(1)nn1n1(x1)n,所以f(x)n1n1322n0n0n03n收斂區(qū)間為1x3.【評注】請記住常見函數(shù)的冪級數(shù)展開.完全類似例題見文登強(qiáng)化班筆記《高等數(shù)學(xué)》第11講【例13】，《數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南》(經(jīng)濟(jì)類)第一篇【例8.15】....【分析】將方程組和方程合并，然后利用非齊次線性方程有解的判定條件求得a.【詳解】將方程組和方程合并，后可得線性方程組x1x2x30x2xax01232x14x2ax30x2xxa1231其系數(shù)矩陣111000112a4a221010000a10110.23a1010a11101a10.01aa10(a1)(a2)011011a100200a3a2001aa10顯然，當(dāng)a1,a2時(shí)無公共解.,1,k為任意常數(shù)；當(dāng)al時(shí)，可求得公共解為k1,0,1.當(dāng)a2時(shí)，可求得公共解為0,1【評注】本題為基礎(chǔ)題型，考查非齊次線性方程組解的判定和結(jié)構(gòu).完全類似例題見文登強(qiáng)化班筆記《線性代數(shù)》第4講【例8】，《數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南》(經(jīng)濟(jì)類)第二篇【例4.12】，【例4.15】.22……【分析】本題考查實(shí)對稱矩陣特征值和特征向量的概念和性質(zhì).535353【詳解】(I)B1A4AE11141111411121，TT則1是矩陣B的屬于一2的特征向量.同理可得5353B2242122，B3343133.所以B的全部特征值為2,1,1設(shè)B的屬于1的特征向量為2(x1,x2,x3)，顯然B為對稱矩陣，所以根據(jù)不221xx11xx1207207同特征值所對應(yīng)的特征向量正交，可得T1T20.即x1x2x30，解方程組可得B的屬于1的特征向量2k1(1,0,1)Tk2(0,1,0)T，其中k1,k2為不全為零的任意常數(shù).由前可知B的屬于一2的特征向量為k3(1,1,1)T，其中k3不為零.101100-1(II)令P011，由(I)可得PBP010，則101002011B101.110【評注】本題主要考查求抽象矩陣的特征值和特征向量，此類問題一般用定義求解，要想方設(shè)法將題設(shè)條件轉(zhuǎn)化為Axx的形式.請記住以下結(jié)論：設(shè)是方陣A的特征值，則kA,aAbE,A2,f(A),A1,A*分別有特征值1A(A可逆)k,ab,,f(),,，且對應(yīng)的特征向量是相同的.2對