材料力學講義四四

Chapter7AnalysisofStressandStrainFailureCriteria第七章應力應變分析強度理論第七章應力和應變分析強度理論Chapter7AnalysisofStressandStrainStrengthTheories

§7-1應力狀態(tài)概述(Conceptsofstress-state)

§7-2平面應力狀態(tài)分析-解析法(Analysisofplanestress-state)§7-3平面應力狀態(tài)分析-圖解法(Analysisofplanestress-state)§7-4三向應力狀態(tài)分析

(Analysisofthree-dimensionalstress-state)§7-6

廣義胡克定律(GeneralizedHook’slaw)§7-7復雜應力狀態(tài)的變形比能

(Strain-energydensityingeneral

stress-state)§7-8強度理論(Failurecriteria)§7-5平面應變狀態(tài)分析

(Analysisofplanestrain-state)§7-9莫爾強度理論(Mohr’sfailurecriterion)

§7-1應力狀態(tài)概述(Introductionofstress-state)一、應力狀態(tài)的概念

(Conceptsofstresses-state)請看下面幾段動畫1.低碳鋼和鑄鐵的拉伸實驗（Atensiletestoflow-carbonsteelandcastiron）2.低碳鋼和鑄鐵的扭轉實驗（Atorsionaltestoflow-carbonsteelandcastiron）低碳鋼（low-carbonsteel）?塑性材料拉伸時為什么會出現(xiàn)滑移線？鑄鐵

（cast-iron）低碳鋼和鑄鐵的拉伸?為什么脆性材料扭轉時沿45°螺旋面斷開？低碳鋼和鑄鐵的扭轉低碳鋼（low-carbonsteel）鑄鐵（cast-iron）（1）拉中有剪,剪中有拉;（2）不僅橫截面上存在應力,斜截面上也存在應力;

（3）同一面上不同點的應力各不相同;（4）同一點不同方向面上的應力也是各不相同3.重要結論（Importantconclusions）哪一點？

哪個方向面？應力哪一個面上？

哪一點？4.一點的應力狀態(tài)（stateofstressesofagivenpoint）過一點不同方向面上應力的情況,稱之為這一點的應力狀態(tài)（stateofstressesofagivenpoint）,亦指該點的應力全貌.二、鹿應力甜狀態(tài)跳的研稈究方雨法（Th艷e欺me鮮th執(zhí)od斑f積or奴i亦nv膠es扎ti慚ga歇ti閘ng賠t稀he她s全ta傍te威o什f蹤蝶st殿re面ss）1.單元攝體（El孩em暴en游t槐bo盲dy）（2）任掘意一榮對平改行平釋面上透的應廳力相奴等2.單元災體特當征（El蚊em靠en講t輝ch供ar跡ac近te寄ri巧st叫ic）3.主單跡元體（Pr貢in啊ci干pa映l法b芽od俗y）各側紅面上煩切應原力均扇為零釘?shù)膯翁K元體（1）單慢元體灣的尺賤寸無較限小,每個鄰面上慣應力趨均勻讓分布

3

1

2

2

3

14.主平術面（Pr鏈in刮ci用pa踏l描pl蘆an縫e）切應脆力為皮零的透截面5.主應醬力（Pr渴in問ci鳥pa喝l偶st表re肥ss）主面蹤蝶上的冶正應帶力說明:一點居處必婚定存各在這風樣的澡一個志單元叼體,三個忙相互階垂直難的面銜均為準主平雖面,三個察互相型垂直巡壽的主臭應力斷分別扣記為

1,

2,

3且規(guī)災定按代代數(shù)值大能小的排順序剃來排勁列,即

1

2

3三、廁應力番狀態(tài)擠的分澇類（Th作e扛cl競as段si交fi籌ca倚ti汪on汁o余f呆st克re佛ss斧es不-s嬌ta齒te）1.空間呀應力舅狀態(tài)（Tr止ia貫xi吉alst缺re甜ss血-s扛ta禿te匠o睛r皇th坡re綢e-組di詢me英ns倆io嗎na諸lst揀re側ss葵-s哭ta己te）三個逢主應銷力

1,

2,

3均不強等于免零2.平面遲應力襪狀態(tài)（Bi鉗ax伐ia錢l塊st腿re名ss難-s香ta守te繞o站r停pl績an扇e道st羽re朝ss煤-s榜ta沖te）三個岔主應譯力

1,

2,

3中有待兩個距不等丑于零3.單向救應力去狀態(tài)（Un津ia較xi呢alst糾re煙ss螞-s搬t(yī)a貓teorsi繩mp暈le打s浩tr斃es活s-翻st植at名e）三個捧主應浩力

1,

2,

3中只曲有一予個不漁等于滔零

3

1

2

2

3

1

2

2

1

1

1

1例題1畫出蠶如圖滔所示甜梁S截面夫的應得力狀回態(tài)單轉元體.54321Fl/2l/2Fl/2l/2S平面S平面254321543211

x1

x1

x2

x2

2

23

3

3alSF例題2畫出廣如圖淡所示員梁該危險漿截面古危險跑點的榴應力傻狀態(tài)酷單元慕體xzy4321zy4321FSMzT12yxzzy4321FSMzTxzy43213例題3分析努薄壁草圓筒超受內紗壓時艱的應摔力狀帥態(tài)pDyz

薄壁鼠圓筒刃的橫圍截面粉面積pD

′nn（1）沿梳圓筒陰軸線冒作用睜于筒粱底的賄總壓膠力為Fmmnn直徑平面（2）假訪想用且一直頂徑平魂面將夜圓筒厭截分貌為二,并取嚴下半剛環(huán)為深研究割對象p

"yＯFNFNd

平面鼻應力喬狀態(tài)野的普面遍形誦式如起圖所者示.單元隔體上沒有

x,xy和

y,yx§7扶-2平面艱應力共狀態(tài)約分析-解析匠法（An蘇al喚ys伶is鹽o膛f間pl伙an芳e辰st埋re舌ss合-s劇ta柴te）x

xyz

y

xy

yx

x

y

xy

yx一、充斜截柄面上心的應嚇力（St蜜re終ss乏es技o旨n擋an挖o春bl母iq顆ue囑s乞ec彎ti寄on）1.截面斗法（Se汪ct濃io俊n礦me賀th促od）假想制地沿樹斜截皇面e-f將單掠元體市截開,留下欺左邊印部分槍的單寒體元ea脹f作為諷研究庭對象xya

x

x

yx

xyef

nefa

x

xy

yx

y

α

ααnαxya

x

x

yx

xyef

n（1）由x軸轉炮到外燭法線n,逆時亡針轉目向時

為正（2）正貓應力仍規(guī)徑定拉應飽力

為正（3）切日應力對單騰元體江內任商一點農(nóng)取矩,順時炮針轉

為正2.符號捐的確帳定（Si膊gn熟c識on員ve遠nt剪io腔n）efa

x

xy

yx

y

α

ααnαt設斜旬截面戀的面識積為dA,a-e的面積吊為dAco面s

,a-f的面積冠為dAsi違n

efa

x

xy

yx

y

α

ααnαefaαdAdAsin

dAcos

3.任意倘斜截碼面上桃的應天力(Th貨e奶st無re強ss斷a幸ct爺in培g粥on名a叢ny兼i藥nc癥li成ne命d配pl虹an希e)對研孫究對此象列n和t方向蔥的平衡剃方程遲得t化簡萌以上甩兩個抽平衡頁方程愚最后筐得不難柳看出即兩椅相互舟垂直氧面上伸的正蜜應力喉之和芽保持床一個題常數(shù)二、嬸最大硬正應瓣力及雖方位（Ma棒xi紹mu續(xù)m湖no匹rm梯al役s法tr迫es緩s烏an惜d殘it缸’s靠d幣ir惰ec餐ti睬on）1.最大泰正應有力的彩方位（Th體edi池re漆ct獅io席n鈴of歡m汪ax匆im衡um耕n般or丟ma居l垂st插re紋ss）令

0和

0+9鑒0°確定熔兩個映互相網(wǎng)垂直霞的平略面,一個足是最院大正抵應力拼所在黎的平逼面,另一士個是厘最小洗正應救力所吹在的政平面.2.最大陶正應治力（Ma出xi葬mu拿m扛no班rm皇al斜s義tr牛es午s）將

0和

0+9信0°代入皆公式得到

ma特x和

mi款n(主應翠力）下面冠還必傍須進讓一步屈判斷

0是

x與哪脫一個薦主應著力間夫的夾養(yǎng)角（1）當

x>獨

y時,

0是

x與

ma遼x之間顫的夾僚角（2）當

x<y時,

0是

x與

mi蓮n之間泥的夾痰角（3）當

x=y時,

0=4漆5°造,主應忙力的套方向吧可由帆單元脂體上藏切應長力情丘況直賠觀判勸斷出哥來則確機定主閘應力惠方向素的具唱體規(guī)淋則如餃下若約方定|

0|<鎮(zhèn)45忙°即

0取值腔在±4敬5°范圍吊內二、爐最大兔切應碎力及錦方位(Ma潤xi撒mu介m非sh枯ea孟ri諷ng勝s慣tr機es焦s矮an植d得it西’s數(shù)d閣ir咳ec有ti筋on鮮)1.最大萌切應速力的鴿方位（Th蜜edi情re羊ct匯io廉n保of拖m次ax容im越um霞s濃he調ar線in妨gst辣re蔬ss）令

1和

1+90°確定嗚兩個昌互相辱垂直耗的平艦面,一個貓是最澤大切梅應力穿所在等的平滑面,另一食個是耗最小伐切應至力所尿在的臥平面.2.最大晝切應川力（Ma倦xi任mu值m轉sh霉ea犧r(nóng)i普ng邁s息tr治es貧s）將

1和

1+9寨0°代入逆公式得到

ma策x和

mi豪n比較和可見例題4簡支投梁如復圖所駁示.已知m-m截面鴨上A點的案彎曲齊正應責力和免切應艦力分國別為

=-社70MP誤a,

=5尾0MP罵a.確定A點的是主應墻力及察主平添面的丈方位.A

mmal

A

解：把從A點處另截取私的單貨元體筐放大谷如圖因為

x<老

y，所以

0=27列.5熄°與

mi掩n對應xA

A

0

1

3

1

3

x

y

xy例題5圖示畢單元盒體,已知

x=-痕40MP紹a,

y=6葬0MP跨a,

xy=-50腥MP近a.試求e-f截面畝上的搏應力授情況旺及主窯應力威和主表單元革體的筒方位.n30°ef解:（1）求e-f截面絲式上的捷應力（2）求主子應力拋和主度單元叉體的與方位因為

x<棉

y,所以

0=巴-22湯.5識°與

mi繞n對應

x

y

xy22.5°

1

3解:（1）求蕩主平苗面方卸位因為

x=

y,且

x>級0例題6求平少面純趟剪切亮應力反狀態(tài)冶的主麻應力猴及主涂平面扔方位.

xy所以

0=-45界°與

ma蔬x對應45°（2）求破主應絮力

1=

,

2=卻0姑,

3=承-

1

3§7-維3平面所應力害狀態(tài)躬分析-圖解牽法(A符na唉ly樂si侍s映of句p偵la銹ne適s意tr供es逢s-澆st泛at矛e屬wi酸t(yī)hgr翅ap輪hi涌ca竿l他me障an漂s)一、巧莫爾返圓（Mo邁hr舌’s歐c犁ir添cl慣e）將斜增截面陰應力餐計算也公式嶺改寫使為把上恐面兩暈式等多號兩澆邊平見方,然后末相加大便可蛋消去

,得因為

x,

y,

xy皆為波已知勞量,所以維上式伍是一薄個以

,

為變封量的圓周機方程.當斜胡截面量隨方稀位角

變化慰時,其上腐的應級力

,

在

-

直角限坐標土系內占的軌宿跡是唉一個哲圓.1.圓心典的坐闖標（Co立or話di歸na緣瑞te士o股f峰c閘ir調cl慨e糟ce舊nt常er）2.圓的繭半徑（Ra染di過us止o神f錢ci微rc輛le）此圓悟習慣厘上稱搬為應力利圓（pl澇an鐮e菠st薪re掀ss紗c云ir屢cl裹e）,或稱剝?yōu)槟獱柖紙A（Mo糖hr蠅’s圣c乒ir微cl脹e）（1）建

-

坐標登系,選定掙比例蟻尺Ｏ

二、鍬應力貞圓作竄法（Th寒e必me憂th優(yōu)od棒f柿or牛d嗎ra玻wi同ng教a退s廢tr畢es腿s縱ci啊rc蜜le）1.步驟（St鉗ep餅s）xy

x

x

yx

xy

y

yD

xyO

（2）量鳳取OA黨=嫩

xAD=輛

xy得D點xy

x

x

yx

xy

xAOB川=外

y（3）量頓取BD弱′=廊

yx得D′點

yB

yxD′（4）連秒接DD煤′兩點攪的直束線與

軸相竟交于C點（5）以C為圓技心,CD為半疊徑作蘇圓,該圓玩就是疲相應中于該巧單元祖體的愛應力建圓C（1）該鞭圓的良圓心C點到盞坐評標原臉點的乞距材離為（2）該爹圓半瓶徑為D

xyO

xA

yB

yxD′C2.證明(P釘ro繭ve君)三、冷應力鋒圓的橫應用（Ap果pl少ic破at爬io諸n澤of憲s址tr省es善s-天ci恩rc篇le）1.求單羅元體蓋上任嫌一截面汁上的王應力（De臉te需rm誓in凱e育th溜e避st錢re成ss狠es鑄o盲n杰an地y抱in勒cl獸in玩ed影p暢la替ne困b育y悶us慶in誓g樣st侮re刺ss愿-c碧ir質cl誦e）從應強力圓屆的半世徑CD按方桿位角

的轉甩向轉國動2

得到屢半徑CE握.圓周儲上E點的蠻坐標乓就依躬次為碑斜截相面上床的正團應力

和切今應力

.D

xyO

xA

yB

yxD′C2

0FE2

xya

x

x

yx

xyef

n證明現(xiàn)：（1）點才面之等間的冒對應摘關系:單元扭體某竹一面達上的協(xié)應力,必對本應于蹲應力吵圓上飾某一兇點的栽坐標.說明AB

（2）夾稻角關普系:圓周瞞上任組意兩期點所挎引半陜徑的勉夾角符等于局單元獸體上折對應捷兩截雞面夾渾角的方兩倍.兩者丈的轉份向一魚致.2

OCBA2.求主莫應力殼數(shù)值衣和主半平面窗位置（De告te遲rm愈in并e胞pr球in胖ci懇pl野e抓st票re蜓ss館a財nd哀t過he赴d嚷ir踩ec海ti部on碼o住f奔pr孟in諸ci會pl屑e晚pl川an階e搖by繞u恰si蠢ng城s研tr躍es暑s左ci鳥rc畝le）（1）主泊應力喪數(shù)值A1和B1兩點啄為與誼主平帶面對應杏的點,其橫榆坐標址為琴主應臺力

1,

2

1

2D

xyO

xA

yB

yxD′C2

0FE2

B1A12

0D

xyO

xA

yB

yxD′C

1

2A1B1（2）主之平面榮方位由CD順時誤針轉2

0到CA1所以且單元敵體上姜從x軸順膀時針組轉

0（負值到）即到

1對應恒的主平尾面的燒外法申線

0確定蚊后,

1對應則的主平島面方陽位即榴確定3.求最宣大切奔應力（De脂te丙rm歐in蓬ema帶xi活mu憑m翼sh映ea候ri互ngst讓re穗ss命by鼠u同si希ng寫s冊tr豆es槳s訂ci飄rc胳le）G1和G兩點資的縱遇坐標射分別競代表衣最大牌和最麗小切避應力2

0D

xyO

xA

yB

yxD′C

1

2A1B1G1G2因為最大太、最超小切末應力丈等于戴應力攤圓的梢半徑

O例題7從水潑壩體這內某禮點處皂取出仿的單覆元體逼如圖惱所示,

x=還-1譽MP膊a極,

y=攻-搞0.逼4M膀Pa毫,

xy=小-鬼0.冷2M草Pa賺,

yx=導0.勾2M載Pa兩,（1）繪待出相競應的己應力鳴圓（2）確辱定此已單元篩體在

=3枕0°和

=-符40填°兩斜耽面上托的應符力.

x

y

xy解:（1）恢畫應毫力圓量取OA=

x=催-仰1否,AD=

xy=旬-許0.另2,定出D點;ACBOB=

y=舌-晃0壩.4和，BD′=

yx=顆0.見2聞,定出D′點.(-1,-0.2)DD′(-0.4,0.2)以DD′為直節(jié)徑繪余出的肆圓即腎為應抖力圓.將半困徑CD逆時溜針轉蹲動2

=小60狗°到半胳徑CE事,端E點的繼坐標硬就代雀表

=包30粉°斜截咽面上繳的應嘆力。（2）確葬定

=毒30忍°斜截趨面上端的應槍力E60°（3）確景定

=司-戰(zhàn)40償°斜截媽面上有的應冶力將半講徑CD順時歐針轉2

=伯80容°到半拼徑CF墻,隸F點的劈燕坐標香就代窩表

=酷-筒40弊°斜截須面上不的應隱力.F80°AD′C

BOD

30°

40°

40°

30°

30°=-0.36MPa

30°=-0.68MPa

40°=-0.26MPa

-40°=-0.95MPa例題8兩端副簡支搏的焊地接工李字鋼醫(yī)梁及螞其荷向載如扒圖所甜示,梁的純橫截乳面尺逃寸示疫于圖訴中.試繪份出截帖面C上a猴,鑼b兩點咽處的宅應力慎圓,并用頸應力鑰圓求幻玉出這坊兩點論處的圖主應步力.12015152709zab250kN1.6m2mABC+200kN50kN+80kN·m解:（1）首茫先計膚算支逼反力,并作樣出梁的脊剪力薄圖和廉彎矩窗圖Mma帶x=MC=診80kN·mFSm孝ax=FC左=嗓20卸0kN250KN1.6m2mABC12015152709zab（2）橫蛙截面C上a點的腦應力鳴為a點的慘單元假體如浩圖所打示a

x

x

xy

yx由

x,xy定出D點由

y,yx定出D′點以DD叫′為直張徑作乖應力銅圓O

C（3）做擱應力膠圓

x=12從2.愿5M破Pa,xy=64株.6邀MP鼠a

y=0,

xy=-64程.6退MP章aAB(122.5,64.6)D(0,-64.6)D′A1

1

3A2A1,A2兩點卻的橫詢坐標也分別閣代表a點的眠兩個蜂主應恐力

1和

3A1點對捆應于斤單元亡體上

1所在炊的主尤平面a

x

x

xy

yx

0

1

312015152709zab（4）橫害截面C上b點的堡應力b點的盤單元校體如的圖所濁示b

x

x

b點的歸三個饞主應豈力為

1所在賀的主深平面倘就是x平面,即梁刊的橫倦截面Cb

x

x(136.5,0)D(0,0)D′

1已知受力鋪物體丘內某蛇一點賭處三啦個主腔應力

1,

2,

3利用應力仇圓確定駛該點效的最碼大正叫應力岔和最幟大切級應力.一、誕空臥間應姥力狀持態(tài)下鈔的最爬大正供應力資和最騰大切恥應力(t罵he紡m撒ax度im圖um臺n抖or開ma幼l茫st算re栗ss女a(chǎn)罵nd往s蓋he艷ar幕s閃tr蜂es灰s窩inth毛re竹e-超di棗me驢ns圾io疾na簽l朵st銜re纏ss席-s貌ta呀te郊)§7你-4三向脂應力憶狀態(tài)減分析（an逃al店ys室is版o社f貓th欠re撲e-殃di嶼me總ns舞io經(jīng)na芳l逆st況re易ss膠-s雙ta及te）

3

1

2

2

3

1

1

3首先殘研究虹與其道中一足個主幸平面坊（距例如喂主應載力

3所在凝的平技面）拐垂直炕的斜含截面水上的暖應力

1

2

2用截臨面法,沿求趕應力華的截面捆將單渡元體旁截為報兩部秒分,取左寫下部臘分為果研究授對象

2

1主應瓜力

3所在動的兩課平面謠上是鞏一對傭自相古平衡染的力,因而誼該斜曲面上麗的應系力,獄

與

3無關,只由欺主應蝕力

1,

2決定與

3垂直圍的斜化截面是上的可應力鹿可由

1,

2作出蓄的應驢力圓疤上的雖點來農(nóng)表示

1

2

3

3

2

1該應鹽力圓接上的牧點對集應于挽與

3垂直簡的所保有斜失截面抓上的態(tài)應力

A

1

O

2B與主跑應力

2所在息主平凱面垂忙直的郵斜截灑面上我的應假力

,

可用岔由

1,

3作出敗的應序力圓穴上的滲點來蒸表示C

3與主澆應力

１所在梢主平瓶面垂芒直的蒼斜截闊面上英的應寶力

,

可用輛由

2,

3作出寧的應低力圓勾上的目點來災表示該截黃面上役應力

和

對應剛的D點必句位于積上述味三個佳應力魂圓所貓圍成毫的陰爪影內ab肝c截面畫表示向與三崇個主伶平面斜杠交的響任意肚斜截保面abc

1

2

1

2

3

A

1

O

2BC

3結論三個犧應力散圓圓貧周上嚇的點淡及由想它們駛圍成林的陰步影部視分上缸的點榮的坐米標代陵表了櫻空間脅應力圣狀態(tài)歪下所押有截奮面上承的應績力該點評處的毫最大嫂正應鎮(zhèn)力（鍵指代咸數(shù)值暢）應部等于也最大賄應力味圓上A點的條橫坐頌標

1

A

1

O

2BC

3最大森切應尸力則仙等于坊最大邪的應必力圓盤的半歐徑最大養(yǎng)切應破力所趴在的總截面續(xù)與

2所在榨的主彈平面模垂直,并與

1和

3所在秤的主繩平面孩成45誼°角.例題9單元富體的幣應力斷如圖菜所示,作應稍力圓,并求童出主等應力俘和最逗大切著應力續(xù)值及際其作屢用面夕方位.解:該單樂元體鼓有一通個已母知主往應力因此貌與該企主平糕面正痰交的揪各截狠面上都的應琴力與購主應前力

z無關,依據(jù)x截面揀和y截面岡上的勞應力直畫出井應力席圓.求另爭外兩折個主應慌力40MPaxyz20MPa20MPa20MPa由

x,

xy定出D點由

y,

yx定出D′點以DD減′為直岸徑作分應力碗圓A1,A2兩點出的橫換坐標蕉分別旅代表譽另外農(nóng)兩個鳳主應乒力

1和

3A1A2D′

O

DC

1

3

1=46耀MP旬a(chǎn)

3=-2魂6M姨Pa該單撒元體次的三月個主容應力

1=46翠MP角a

2=20援MP劣a

3=-2很6M黃Pa根據(jù)塑上述扯主應吐力，迎作出伙三個趣應力泊圓§7-理5平面尿應變辨狀態(tài)陡分析(A鏈na稠ly千si查s棟of緩p傾la善ne陷s栗tr委ai掏n-蜂st車at鞭e)平面舊應力描狀態(tài)豈下，跳已知朋一點棗的應今變分鄰量

x,

y,

xy，欲宋求

方向醒上的播線應孟變

和切荒應變

,可根雅據(jù)彈擇性小盒變形短的幾版何條消件,分別誘找出陸微單牙元體禮（長梁方形項）由卸于已桃知應崇變分芒量

x,

y,

xy在此留方向膚上引躁起的采線應曬變及光切應霸變,再利檢用疊價加原盈理.一、王任意茂方向緞的應目變(Th嗎e漿st城ra朋in敬o逆f糾a信ny閱d辯ir跟ec辱ti道on）在所妻研究暈的O點處,Oxy坐標隆系內刺的線帆應變

x,

y,

xy為已用知.求該香點沿撞任意兄方向線的線燦應變

.yxO將Oxy坐標笛繞O點旋恒轉一災個

角，大得到反一個勸新Ox栽'y'坐標傳系.xyO

y'x'并規(guī)熄定

角以險逆時君針轉鍋動時海為正皂值，西反之僅為負神值.

為O點沿x'方向礙的線求變

為直角

x'Oy'的改胡變量,即切挽應變.假設:（1）O點處誦沿任范意方潑向的脆微段內,應變埋是均臘勻的;（2）變蹤蝶形在澤線彈檔性范獨圍內快都是棚微小惰的,疊加迷原理此成立;分別毒計算

x,

y,

xy單獨育存在像時的榜線應遲變

和切受應變

,然后料疊加障得這將些應匹變分粱量同夕時存盟在時思的

和

.1.推導腳線應領變

（De國ri脹ve腿t黎heli隱ne擋ar釘s省tr盛ai股n）從O點沿x′方向把取出睛一微飛段OP=dx′,并以肥它作饅為矩瘋形OA標PB的對勢角線.該矩鋼形的套兩邊宵長分洪別為dx和dyxyO

y'x'PABdxdydx'（1）只邁有正表值

x存在ABdxdyxyOy'x'P假設OB邊不盤動,矩形OA隊PB變形虛后成餃為OA'P'B

xdx

D的伸長量為O點沿x'方向省的線最應變

1為

A'P'（2）只少有正委值

y存在ABdxdyxyOy'x'P假設OA邊不擺動矩形OA壓PB變形辣后為OA叢P"B'的伸長量為

D'O點沿x'方向奸的線逐應變

2為

ydyP''B'

（3）只與有正蔑值切鞋應變

xy存在ABdxdyxyOy'x'P使直但角減般小的

為正假設OA邊不脊動矩形OA狐PB變形謠后為OA截P"'B"P'''B''γxydyγxy

的伸長為

D''O點沿x′方向孝的線編應變倆為根據(jù)崖疊加粒原理,

x,

y和

xy同時廳存在美時,O點沿x′方向徐的線倦應變金為2.切應柱變

（Sh遺ea夸ri房誠ng摘s彼tr渣es像s）以上嚷兩式壤利用造三角綱函數(shù)估化簡日得到二、酷主應每變數(shù)教值及刊其方堪位(T囑he閱p局ri還nc蓄ip爆al虎s輪tr使ai鮮ns溜a挑nd劫i鋸t’車s疲di咽re瞎ct念io旦n)一、銷各向煉同性寨材料娃的廣買義胡鄰克定日律（Ge臺ne爹ra割li汁ze勸d辨Ho賊ok肆e’前s沿la暴w殿fo熄r筒is悠ot厭ro總pi東c桶ma融te勢ri誰al裳s）（1）巷正應仁力:拉應量力為川正,壓應雷力為去負1.符號鉗規(guī)定(S桶ig隊n鄉(xiāng)豐co濟nv庸en扶ti聲on陽)（2）晶切應蒼力:對單貧元體饑內任婆一點脈取矩,若產(chǎn)己生的按矩為濤順時洗針,則τ為正;反之紗為負（3）饑線應口變:以伸身長為清正,縮短箱為負;（4）躺切應滿變:使直銳角減望者為甜正,增大斯者為宣負.x

x§7弊-6廣義胡克定替律(G葛en界er積al潑iz眠ed躁H賴oo尾ke羊’s主l革aw浮)yz

y

xy

yx

z

y

yx方向核的線瞎應變用疊賠加原慘理,分別蛇計算貧出

x,漠

y,夾

z分別什單獨澡存在禍時,x,y,z方向西的線悟應變

x,

y,z,然后尿代數(shù)零相加.2.各向面同性和材料稍的廣毫義胡粉克定跌律（Ge閱ne傭ra掏li束ze喇d粱Ho親ok震e’吩s欣la刑w言fo丈r葡is他ot漏ro芝pi善c昂ma跪te縮慧ri陷al活s）單獨存在時單獨存在時

單獨存在時xyyz

z

z

x

x在

x,

y,

z同時偉存在跨時,x方向擇的線惱應變

x為同理,在

x,

y,

z同時滾存在祝時,y議,盜z方向醒的線際應變鳴為在xy,yz,zx三個瘦面內坦的切暢應變編為上式護稱為廣義俯胡克默定律（Ge隙ne疊ra渣li辨ze扇d寸Ho佩ok鐵e’俱s夏la沈w）——沿x,y,z軸的線應變——在xy,yz,zx面上的角應變對于平面涂應力秩狀態(tài)（in便p偶la肌ne繭s詳tr則es辯s-啊st割at割e）（假設

z=慎0,

xz=康0,

yz=吃0）xyz

xy

x

y

yx

x

y

xy

yx3.主應削力-主應把變的漂關系（Pr摔in愛ci民pa銀l仍st映re弊ss抬-p能ri鼓nc永ip叔al后s役tr翁ai恭n膜re床la偵ti配on）二向鐵應力每狀態(tài)非下(i垂n風pl閱an課e爹st啄re論ss牌-s腿ta稠te膀)設

3=夠0已知

1,

2,

3;

1,

2,

3為主腔應變二、企各向臣同性淘材料側的體擴積應蒜變（Th鋸e縱vo迫lu庫me數(shù)tr詠ic協(xié)s浙tr而ai果nfo磚r噸is毒ot嚼ro謠pi稿c農(nóng)ma款te似ri藏al妥s）

1

2

3a1a2a3構件沫每單柱位體派積的字體積枯變化,稱為雪體積苗應變烈用q表示.各向她同性婚材料蹈在三貝向應瘦力狀滅態(tài)下樓的體始應變如圖狡所示伙的單危元體,三個第邊長屢為dx,dy,dz變形違后的博邊長坑分別章為變形廚后單沫元體亂的體嗚積為dx(1獨+

,dy(1述+

2

底,dz(1捏+

3

V1=dx(1卻+

·dy(1滾+

2

·dz(1瞇+

3

體積技應變（vo威lu彼me憑tr嫂ic育s癥tr踐ai粥n）為1.純剪替切應糾力狀蔽態(tài)下侮的體巴積應煉變（Vo激lu蓮me啄tr摧ic趨s六tr勒ai莖n透fo虛r犧pu軋re打s嚇he架ar蠅in干g獄st純re宇ss活-s棋ta德te）即在木小變驢形下,切應纖力不濤引起慌各向粒同性挖材料塔的體儀積改顫變.2.三向江等值巖應力睬單元選體的拳體積鄭應變（Th仁e天vo拐lu咸me療tr繪ic緩s蘭tr憂ai吵noftr抵ia緣瑞xi旨al-e碧qu鵲al希s浩tr孩es爽s寨el業(yè)em后en喪t技bo么dy）三個鹽主應霉力為單元耗體的乏體積予應變

m

m

m這兩耍個單挺元體留的體統(tǒng)積應威變相收同

m

m

m

1

2

3dxdydz單元鋼體的個三個烤主應假變?yōu)槿绻X變形擊前單傳元體制的三駱個棱稍邊成昨某種夠比例,由于鞋三個若棱邊叔應變俊相同,則變沫形后露的三喝個棱泛邊的糧長度純仍保禾持這放種比共例.所以六在三醫(yī)向等程值應隔力

m的作歷用下,單元像體變行形后蛾的形狀存和變形利前的相似,稱這檔樣的單元鑄體是形尾狀不箭變的.在最覽一般囑的空桐間應老力狀彈態(tài)下晨，材墓料的復體積壟應變慶只與哄三個螞線應悼變

x,

y,

z有關,仿照鈴上述料推導系有在任養(yǎng)意形塑式的倒應力災狀態(tài)石下,各向國同性睛材料多內一冊點處換的體擊積應助變與延通過桌該點偷的任裝意三快個相尸互垂悉直的行平面吵上的咱正應拳力之格和成境正比,而與棟切應礦力無援關.例題10邊長a=朽0.佳1m的銅探立方順塊,無間站隙地繡放入基體積討較大,變形穗可略既去不屬計的釘鋼凹持槽中,如圖稻所示.已知嗚銅的己彈性桌模量E=1扮00天GPa,泊松之比μ=0摧.3襖4,當受談到F=3攻00kN的均顯布壓蒙力作蜘用時,求該邪銅塊傷的主岡應力,體積干應變尤以及騾最大透切應候力.解:銅塊響橫截納面上絡的壓馬應力aaaFzyx

z

x

y銅塊屯受力預如圖北所示變形株條件答為解得銅塊的主應旗力為最大尖切應爺力體積供應變彎為例題11一直鍛徑d=2姻0m明m的實赤心圓礎軸,在軸尺的的脅兩端健加扭削矩Me=1賺26家N·m.在軸稀的表嶼面上光某一局點A處用朋變形舊儀測顏出與踏軸線撞成-4呢5°方向干的應攻變

=5越.0朽1詳0-4,試求幸此圓珍軸材億料的警剪切才彈性赤模量G.MeMeA45勺°x解:圍繞A點取質一單收元體A

1

3

-45°ADdyMeKx例題12壁厚d=1債0m堅m,外徑D=6魯0mm的薄蠢壁圓必筒,在表鄰面上K點與贏其軸育線成45°和13傍5°角,即x,諒y兩方鍵向分閘別貼弦上應籠變片,然后君在圓乳筒兩扛端作虛用矩私為Me的扭凡轉力村偶,如圖肌所示,已知露圓筒婆材料覆的彈拿性常存數(shù)為E=2晃00洽GPa和m=垂0.畢3,若該孔圓筒展的變殃形在乓彈性蜘范圍工內,且

ma增x=毛10塌0M胡Pa董,試求K點處翻的線賀應變

x,y以及股變形咸后的塊筒壁貢厚度.解:從圓壁筒表殼面K點處練取出便單元喊體,其各激面上私的應龜力分圍量如碎圖所頑示可掏求得DdyMeKx

-45°xyk

1

3

max

maxKK點處戀的線灑應變

x,

y為（壓屠應變營）（拉譯應變遺）圓筒假表面頁上K點處套沿徑瘡向害（z軸）雜的應窗變和勾圓筒爹中任則一點憂（該沉點到檔圓筒頸橫截絮面中補心的景距離系為

）處咱的徑翼向應彩變?yōu)橐虼?該圓妄筒變己形后念的厚拳度并冤無變沿化,仍然陜?yōu)閐=1蠢0m非m閑.bhzb=5位0m源mh=1魚00錯mm例題13已知濁矩形崇外伸栗梁受決力F1,F2作用.彈性尊模量E=2狂00梯GP鏡a,泊松粉比

=萍0.貍3,F1=1艷00總KN旅,F2=1氧00沿KN半.求:（1）A點處愿的主徑應變

1,

2,

3（2）A點處付的線柳應變

x,

y,

zaAF1F2F2l解:梁為綱拉伸架與彎盲曲的湯組合褲變形.A點有鐘拉伸百引起點的正滑應力褲和彎量曲引宋起的潛切應遙力.（拉伸）（負）A

x=20

x=30（1）A點處槽的主喪應變

1，

2，

3（2）A點處司的線仍應變

x,

y,

z例題14簡支腔梁由18號工否字鋼我制成.其上往作用露有力F=懶15絡kN姿,已知E=2建00天GP增a,

=脹0.映3.0.夠50.爺50.燒25FA0°45°90°求：A點沿0°

,45°,90°方向的線應變h/4解:yA,Iz,d查表夏得出為圖示面積對中性軸z的靜矩zAh/4A

A

=50.8

A

=68.80.5F13500.50.25A0°45°90°h/4A

A

=50.8

A

=68.8§7剩-7復雜掠應力叼狀態(tài)欣的應鴉變能花密度(St炊ra崗in額-e頃ne圍rg貪y言de朵ns聯(lián)it愧yin壤g省en械er鉆al焦s竄tr尊es失s-啦st打at嘴e)一、現(xiàn)應變銳能密低度的聽定義(De干fi攪ni向ti崗on雞o逐fSt畏ra棟in被-e柱ne瓜rg年y酬de葵ns占it饞y)二、借應變因能密航度的云計算嫌公式(Ca抗lc筑ul杠at怠io蠅n弦fo妄rm棗ul聰a護fo貞rSt摘ra變in腦-e框ne宜rg賓y道de帽ns甩it飼y)1.單向鎖應力削狀態(tài)從下,物體拾內所體積蓄爸的應蚊變能群密度溜為(S穿tr小ai探n-刪en賠er棚gy燈d湊en血si陣ty皆f估or而s市im譽pl感e維st盈re木ss際-s捉ta啄te)物體洲在單企位體盜積內億所積聰蓄的宿應變腸能.將廣趙義胡億克定正律代今入上明式,經(jīng)整皺理得用vd表示蔑與單棟元體絮形狀陣改變澤相應虜?shù)哪怯糠职麘冋苊茉俣?稱為畸變猶能密朋度（th扣e苦st嘉ra攀in劣-e怒ne響rg巧y阿de價ns晌it壁y厚co領rr錄es亂po彈nd妨in季g陷to召t肚he障d般is柜to菊rt填io釀n.）用vV表示鵝單元選體體能積改嫌變相泥應的騰那部吵分應勞變能招密度,稱為體積篇改變利能密女度（th駁e件st吃ra杏in蜓-e婚ne惹rg雙y獨de泛ns雷it偵yco孕rr濟es帽po記nd棍in筑g閥to作t循h(huán)evo誼lu餓me羊tr夕ic）2.三個顏主應澡力同饞時存飼在時,單元鍵體的幅應變桿能密虎度為(S臟tr盜ai底n-括en傲er凈gy哥d炭en井si窄ty但f磚or塌s撐im臉pl皇e筍st妨re積ss喪-s連ta竄te)應變左能密辟度vε等于炸兩部侵分之繞和(a)

1

2

3(b)

m

m

m=(

1+

2+

3)/3代之以

m圖（a）所堅示單溜元體濁的三班個主厚應力晶不相逐等,因而,變形芽后既推發(fā)生鴿體積摔改變爹也發(fā)惱生形膝狀改寒變.圖（b）所斬示單夜元體擁的三姿個主知應力貢相等,因而,變形窄后的標形狀尾與原船來的歌形狀惱相似,即只日發(fā)生詠體積點改變畫而無就形狀訴改變.圖b所示私單元莫體的唯體積趴改變凡比能渾密度a單元衡體的員比能冷為a所示變單元辯體的莖體積裂改變宋比能空間岸應力居狀態(tài)原下單飼元體殃的畸變殃能密嚷度(a)

1

2

3一、強度掉理論換的概吃念（Co掠nc給ep母ts星o題f燙fa泉il是ur胡e處cr拒it身er羊ia浪)1.引言(i瓶nt糠ro痰du吐ct寧io拉n)§7-禾8強度比理論(T恥he謙f琴ai應lu嶼re攤c本ri案te你ri加a)軸向拉壓彎曲剪切扭轉彎曲

切應力強度條件（strengthconditionforshearstress）

正應力強度條件（strengthconditionfornormalstress）（2）材兼料的吵許用估應力,是通慎過拉乓（壓惡）試噴驗或鋪純剪試驗餐測定宮試件在旅破壞生時其府橫截吩面上使的極言限應俊力,以此染極限晶應力嶺作為死強度圈指標,除以卡適當切的安偶全因堤數(shù)而罵得,即根準據(jù)相缸應的試驗燃結果饅建立丈的強澤度條絨件.上述況強度邊條件樣具有趕如下化特點（1）危侍險點演處于找單向儲應力學狀態(tài)奪或純拼剪切猶應力豪狀態(tài);2.強度夢理論阻的概肚念(C員on司ce滴pt勒s浴fo池r代fa旦il絹ur緒e誕cr子it蝴er或ia速)是關素于“哨構件獄發(fā)生亂強度奧失效畝起因沈”的紙假說.基本義觀點構件后受外錘力作呀用而玻發(fā)生俱破壞型時,不論悠破壞綢的表正面現(xiàn)架象如緩何復食雜,其破雀壞形共式總澆不外尋乎幾拉種類剩型,而同翻一類降型的誰破壞階則可潑能是粥某一押個共撇同因劑素所棚引起圈的.根據(jù)姜材料樸在復鬧雜應隔力狀句態(tài)下慰破壞耕時的福一些奶現(xiàn)象季與形詳式,進行鍋分析,提出碧破壞觀原因央的假煉說.在這蘆些假屑說的美基礎貼上,可利加用材舞料在火單向連應力灘狀態(tài)董時的試驗頭結果,來建事立材商料在復雜趨應力混狀態(tài)君下的橡強度赤條件.（1）脆析性斷甘裂:無明早顯的炎變形關下突癥然斷府裂.二、法材料碌破壞號的兩死種類罷型（羽常溫枯、靜遵載荷輔）(T筐wo怎f慮ai鄰lu雹re棉t僑yp李es前f兔or揪m猾at撐er足ia腿ls撐i漫n雁no期rm凝al鋪t圓em序pe潛ra宰tu果rean蘋d蜘st嚴at相ic溝l離oa請ds啊)屈服缺失效（Yi膽el盯di垮ng純f恥ai柱lu勁re）材料團出現(xiàn)東顯著細的塑鏟性變魂形而參喪失四其正葬常的攔工作姑能力.2.斷裂在失效（Fr漢ac車tu燈re疼f晌ai作lu無re）（2）韌言性斷蛙裂:產(chǎn)生繳大量箱塑性微變形肚后斷悼裂.引起湖破壞的某啊一共嚴同因素形狀嫌改變比能最大狀切應跑力最大滾線應拖變最大布正應任力2.馬里途奧特此關于漸變形險過大損引起券破壞刑的論裝述,是第金二強師度理形論的姨萌芽;3.杜奎錄特（C.指Du朽gu斤et）提出核了最譽大切符應力藏理論;4.麥克童斯威抽爾最泄早提訂出了床最大淡畸變貿能理落論,這是粱后來繪人們卻在他讓的書繞信出尾版后臥才知般道的.三、賞四個蠢強度硬理論（Fo驗ur兄f途ai晚lu治re技c氣ri太te溝ri蠶a）1.伽利泛略播舍下了摸第一雁強度隊理論倘的種存子;（1）使第一迫類強寬度理冶論—以脆芬斷作賭為破梨壞的驢標志包括:最大甜拉應到力理所論和炮最大牲伸長丹線應判變理弱論（2）第緒二類核強度濾理論—以出曠現(xiàn)屈度服現(xiàn)臉象作周為破拐壞的蒸標志包括:最大淋切應闊力理漫論和殿形狀秘改變刷比能把理論根據(jù):當作稻用在哈構件螞上的飛外力紙過大武時，掀其危剃險點逮處的俊材料芹就會壯沿最獵大拉閉應力磚所在蒼截面堡發(fā)生攪脆斷腔破壞.1.最大次拉應花力理腔論（蝕第一全強度猾理論支）（Ma慮xi輕mu兔m-混no左rm尸al蒙-s蘇tr隔es蘆s閑cr例it古er滾io芳n）基本掃假說:最大亮拉應筍力

1是引從起材帳料脆米斷破濤壞的貝因素.脆斷嚇破壞革的條鴿件:

1=

b四、擴第一必類強倆度理勉論（Th虧e益fi罵rs巷t倚t欄yp域es牲o裕f沒fa袖il朗ur飽e賞cr僻it旱er歉ia）強度飼條件:

1

技[

2.最大立伸長羅線應噴變理勾論（往第二叉強度繞理論確）（Ma仰xi絹mu袖m-善no媽rm盒al福-s愚tr蝕ai挎n桑cr婚it求er彎io靜n）根據(jù):當作釋用在暮構件遲上的機外力積過大撐時,其危灘險點焰處的踏材料光就會岸沿垂沖直于峰最大衣伸長券線應償變方希向的澇平面匯發(fā)生跳破壞.基本牢假說:最大府伸長我線應耕變

1是引肚起材咐料脆銀斷破訊壞的橋因素.脆斷能破壞匹的條呆件:最大疏伸長頸線應平變:強度夫條件:1.最大飄切應口力理曉論弄（霸第三位強度亭理論努）（Ma惹xi豈mu魯m-艘sh亞ea偶r-罵st盼re視ss始c胳ri營te炒ri煤on）基本并假說:最大腹切應爬力

ma心x是引旅起材抓料屈削服的潤因素.根據(jù):當作仍用在絹構件聽上的伙外力逆過大刻時，載其危述險點鴨處的壤材料疫就會斑沿最廣大切弓應力劇所在腳截面逐滑移靜而發(fā)襲生屈益服失腰效.屈服相條件五、委第二裝類強央度理株論（Th躍e尼se印co氣nd還t紀yp虧es赤o賠f巨fa嗚il聽ur朗e用cr剩it者er掛io意n）在復私雜應列力狀際態(tài)下言一點購處的捆最大隸切應高力為強度館條件2.畸變器能密秘度理釀論（訂第四兔強度登理論慶）（Ma兆xi皇mu康m-輪di瞞st果or宜ti鑼on涂-e再ne品rg遍y亦cr續(xù)it召er兩io權n）基本頃假說:畸變快能密貼度vd是引作起材藏料屈渡服的橋因素.單向姑拉伸摔下,

1=

s,

2=3=0,材料峰的極調限值強度罰條件:屈服代準則:六、勝相當客應力（Eq籌ui才va挽le割nt商st竭re菜ss）把各跡種強加度理柳論的編強度秤條件前寫成岔統(tǒng)一乘形式

r稱為恢復雜其應力捐狀態(tài)笑的相當改應力.莫爾凱認為:最大矮切應藥力是君使物秒體破筐壞的大主要摟因素,但滑巖移面搜上的芝摩擦虹力也讓不可柄忽略狂（莫體爾摩買擦定似律）.綜合歡最大炭切應子力及朗最大壓正應幣力的跪因素,莫爾唇得出幫了他翻自己狐的強磁度理波論.§7-梅9莫爾浙強度忌理論（Mo司hr創(chuàng)’s籃f禾ai以lu螞re各c偶ri脂te綠ri鵝on）一、引言（In農(nóng)tr掠od引uc述ti側on）二、盈莫爾然強度標理論（Mo杰hr本’s趁f械ai差lu神re割c熟ri如te部ri濱on）公式霜推導MO2OO1O3FNTL[

c][

t]

1

M′L′T′代入強度條件任意謹一點游的應建力圓拜若與不極限余曲線相接皆觸,則材蠢料即按將屈呢服或蔑剪斷.1.適用最范圍（Th委e祥ap祝pl夜ia掌nc嚷e朋ra口ng愁e）（2）塑千性材循料選蛋用第打三或拐第四滋強度勾理論;（3）在斑二向北和三蒙向等贊拉應枯力時,無論牛是塑述性還煤是脆乒性都喪發(fā)生脆性鋒破壞,故選騾用第洽一或續(xù)第二念強度始理論;三、絨各監(jiān)種強度晨理論扎的適用欺范圍及其綠應用（Th泄e白ap邪pl征ia螺nc炒e鳥ra璃ng然e幕an喚d劑ap桃pl死ic款at沖io援n混fo玩r寬al續(xù)l特fa森il陡ur憐e餡cr乳it撲er牙ia）（1）一尋般脆批性材蘋料選郊用第趨一或跡第二熟強度懸理論;（4）在饑二向鼻和三破向等骨壓應驚力狀欄態(tài)時,無論燙是塑食性還葵是脆蒼性材料都甲發(fā)生單塑性析破壞,故選圣用第角三或嘆第四匙強