汽車結(jié)構(gòu)有限元分析有限元基礎(chǔ)理論

汽車結(jié)構(gòu)有限元分析有限元基礎(chǔ)理論第1頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月講述以下問題------1.有限元與力學(xué)關(guān)系2.回顧---材料力學(xué)研究對象與研究方法3.強(qiáng)度問題、剛度問題、穩(wěn)定性問題4.點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)---空間問題5.廣義Hooke定律6.彈性力學(xué)的基本方程7.彈性力學(xué)問題分類8.三大方程、三類問題、三種解法9.平面問題10.平面問題的有限元方法第2頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月1.有限元與力學(xué)關(guān)系彈性力學(xué)與理論力學(xué)區(qū)別：理論力學(xué)研究對象是質(zhì)點(diǎn)、質(zhì)點(diǎn)系與剛體（質(zhì)點(diǎn)系力學(xué)與剛體力學(xué)）。材料力學(xué)與彈性力學(xué)研究變形體。力學(xué)分支眾多：材料力學(xué)、結(jié)構(gòu)力學(xué)、彈性力學(xué)、板殼力學(xué)、塑性力學(xué)、斷裂力學(xué)、損傷力學(xué)、復(fù)合材料力學(xué)、結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性理論、振動理論、流體力學(xué)、結(jié)構(gòu)動力學(xué)等;有限元方法是以力學(xué)理論為基礎(chǔ)，是一種現(xiàn)代數(shù)值計算方法，是一種解決工程實際問題的數(shù)值計算工具，是現(xiàn)代設(shè)計與分析方法的支柱！第3頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月2.回顧----材料力學(xué)研究對象與研究方法研究各種工程結(jié)構(gòu)：常見的如下結(jié)構(gòu)元件（構(gòu)件）:（1）桿、桿系、梁、柱，（長＞＞寬和高）--材料力學(xué)（2）板(中厚板)、殼，（厚＜＜長與寬）---扳殼力學(xué)（3）三維體，---彈性力學(xué)截面法是處理固體力學(xué)問題的最基本的方法：通過外力（作用力和約束力）與內(nèi)力（應(yīng)力）平衡求構(gòu)件的響應(yīng)，通過本構(gòu)（物理）關(guān)系求變形（位移與應(yīng)變），最重要的是材料力學(xué)中的平截面法，其中尤以梁的平截面假設(shè)最為重要。-----簡化計算！第4頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月平截面假設(shè)

初始與梁的中性軸垂直的平面,在變形后仍垂直于軸線,并且在垂直軸線方向上無變形；

梁的基本方程：第5頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月

3.研究工程結(jié)構(gòu)在使用狀態(tài)下的安全性、可靠性、使用性等，實現(xiàn)結(jié)構(gòu)的功能與性能。

強(qiáng)度問題(應(yīng)力值不超過許用值)；

剛度問題(變形不太大)；

穩(wěn)定性問題（不失穩(wěn)）；

振動問題（量值在限制范圍）；

碰撞問題（安全生存空間）；

……第6頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月4.點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)---空間問題第7頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月彈性問題應(yīng)力只取決于應(yīng)變狀態(tài)，與達(dá)到該狀態(tài)的過程無關(guān)。九個應(yīng)力分量，九個應(yīng)變分量（獨(dú)立變量各六個）。單元體研究方法。

第8頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月6.彈性力學(xué)的基本方程---三大方程物理方程

x=2G

x+

xy=G

xy

y=2G

y+

yz=G

yz

z=2G

z+

zx=G

zx

平衡方程幾何方程第9頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月5.各向同性彈性體廣義Hooke定律第10頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月彈性力學(xué)有15個基本方程：

3個平衡方程；

6個幾何方程；

6個本構(gòu)方程；15個基本未知量：

3個位移分量；

6個應(yīng)力分量；

6個應(yīng)變分量；*加適當(dāng)邊界條件。第11頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月彈性力學(xué)問題解法---三種解法（位移法、應(yīng)力法、混合法）物理方程應(yīng)力平衡微分方程靜力邊界條件變形(位移與應(yīng)變)變形協(xié)調(diào)方程(或位移單值連續(xù))位移邊界條件以位移作為未知數(shù)幾何方程求應(yīng)變物理方程求應(yīng)力位移解法聯(lián)立求解第12頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月彈性力學(xué)問題分類---三類邊界問題靜力邊界問題

位移邊界問題混合邊界問題第13頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月由位移表示的平衡微分方程其中是Lplace算子靜力邊界條件使用位移表示位移邊界條件第14頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月9.平面問題平面應(yīng)變物體是一柱體，軸向方向很長所有外力（體積力和面力）都平行于橫截面作用，且沿軸線大小不變平面應(yīng)力沿z方向的厚度t均勻且很小所有外力均作用在板的周邊和板內(nèi)，平行于板面作用，且沿厚度不變第15頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月平面應(yīng)變特點(diǎn)（1）位移

u=u(x,y)v=v(x,y)w=0

（2）應(yīng)變平面內(nèi)，

x、

y、

xy

0，均為x、y的函數(shù)；平面外，

z=

xz=

yz=0；（3）應(yīng)力

z=(

x+y)平面問題的協(xié)調(diào)方程第16頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月平面應(yīng)力特點(diǎn)（1）應(yīng)力在z=的面上各點(diǎn)沒有任何應(yīng)力

z=

zx=

zy=0

在面內(nèi)：

x、

y、

xy

0

（2）應(yīng)變

xz=yz=0（3)位移u=u(x,y)v=v(x,y)w

0平面問題平衡微分方程平面問題幾何方程第17頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月10.

有限元方法

概念平面問題的有限元法用彈性力學(xué)經(jīng)典解法解決實際問題的主要困難在于求解偏微分方程的復(fù)雜性，而有限元方法則將原來連續(xù)的彈性體離散化，其中最簡單的就是采用三角形單元對彈性體進(jìn)行劃分。

把整個求解區(qū)域分成許多個有限小區(qū)域，這些小區(qū)域稱之為單元。在每個單元上構(gòu)造近似位移函數(shù)，即進(jìn)行所謂的分片插值。在每一個單元上求勢能。將所有單元上的勢能加起來得彈性體的總勢能。最后應(yīng)用最小勢能原理求解單元節(jié)點(diǎn)位移。第18頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月對每個三角形單元選擇最簡單的線性函數(shù)為位移模式，單元中任一點(diǎn)的位移可以通過3個結(jié)點(diǎn)的位移進(jìn)行插值運(yùn)算，這樣整個區(qū)域中無限多個未知位移量就可以用有限個節(jié)點(diǎn)來表示，從而避免了求解覆蓋整個區(qū)域的位移函數(shù)的困難。平面問題的有限元法，不僅可用來解決實際問題，而且通過其相對簡單的概念，可以詳細(xì)了解用有限元法對一般彈性體進(jìn)行應(yīng)力分析的基本原理和方法步驟，了解有限元法的性能特點(diǎn)，使用中應(yīng)注意的問題，從而為學(xué)習(xí)后續(xù)各章節(jié)打下基礎(chǔ)。

下面就以平面三角形單元闡明有限元的基本概念第19頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月單元位移模式

每個節(jié)點(diǎn)在單元平面內(nèi)有兩個位移分量，相應(yīng)有兩個自由度：

一個三角形單元有三個節(jié)點(diǎn)，共6個節(jié)點(diǎn)位移分量，其單元節(jié)點(diǎn)位移列陣可表示為：位移模式可取為最簡單的線性函數(shù)，包含6個待定常數(shù)、…。

第20頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月一種簡單的線性位移函數(shù)為：式中、…、為6個待定常數(shù)，可以由單元的節(jié)點(diǎn)位移確定。設(shè)節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(，)、（，）、（，），其節(jié)點(diǎn)位移為，，將它們代入上式得：聯(lián)立求解上述公式左邊的6個方程，可以求出待定常數(shù):

整理后得：第21頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月單元形函數(shù)函數(shù)表示單元內(nèi)部的位移分布形態(tài)，故可稱為單元的形態(tài)函數(shù)，簡稱為形函數(shù)。

得到由節(jié)點(diǎn)位移表達(dá)單元內(nèi)任一點(diǎn)位移的插值公式，即位移模式的另一形式。第22頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月單元應(yīng)變和應(yīng)力

第23頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月單元平衡方程整個結(jié)構(gòu)處于平衡狀態(tài)，所劃分出的一個小單元體同樣處于平衡狀態(tài)，而結(jié)構(gòu)的平衡條件可通過節(jié)點(diǎn)的平衡條件表示。有限元的任務(wù)就是要建立和求解整個彈性體的節(jié)點(diǎn)位移和節(jié)點(diǎn)力之間關(guān)系的平衡方程。為此首先要建立每一個單元的節(jié)點(diǎn)位移和節(jié)點(diǎn)力之間關(guān)系的平衡方程。單元平衡方程可以利用最小勢能原理建立，也可以利用虛功原理求解。第24頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月單元節(jié)點(diǎn)力列陣：

單元節(jié)點(diǎn)虛位移列陣：

單元內(nèi)部引起的虛應(yīng)變：

根據(jù)虛功原理：外力虛功等于內(nèi)力虛功。所以節(jié)點(diǎn)力在節(jié)點(diǎn)的虛位移上所作的虛功應(yīng)等于單元內(nèi)部應(yīng)力在虛應(yīng)變上所作的虛功。這就是單元保持平衡狀態(tài)所必須滿足的條件，即單元的平衡條件。第25頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月單元剛度矩陣

利用虛功方程來建立剛度方程，其實質(zhì)就是單元的平衡方程。單元剛度矩陣具有以下性質(zhì)：

(1)單元剛度矩陣中每個元素有明確的物理意義。其物理意義是單位節(jié)點(diǎn)位移分量所引起的節(jié)點(diǎn)力。例如，是表示當(dāng)單元第n個自由度產(chǎn)生單位位移而其它自由度固定時，在第m個自由度產(chǎn)生的節(jié)點(diǎn)力。

是對稱矩陣。其元素之間有如下關(guān)系：，這個特性是由彈性力學(xué)中功的互等定理所決定的。（3）是奇異矩陣。其每一行每一列元素之和均為零，物理意義就是：在無約束的條件下，單元可作剛體運(yùn)動。根據(jù)行列式性質(zhì)，可知值也為零。

第26頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月單元等效節(jié)點(diǎn)載荷

外載荷必須作用在節(jié)點(diǎn)上，而實際的外載荷又往住并不是通過節(jié)點(diǎn)作用的。因此，必須將這些非節(jié)點(diǎn)載荷按一定原則移置到節(jié)點(diǎn)上，即所謂等效節(jié)點(diǎn)載荷處理。這種移置必須滿足靜力等效原則。

處理單元內(nèi)的集中力、體力和單元邊界上的分布力，慣性力則作用在整個結(jié)構(gòu)上。第27頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月總剛度矩陣當(dāng)以有限個單元通過有限個節(jié)點(diǎn)連接而成的組合體來代替實際的連續(xù)體結(jié)構(gòu)而受力變形時，顯然它們必須滿足整個結(jié)構(gòu)的變形連續(xù)條件和平衡條件。在整體分析中，利用節(jié)點(diǎn)為分析對象，根據(jù)各節(jié)點(diǎn)的靜力平衡條件，即可建立起組合體所有節(jié)點(diǎn)的靜力平衡方程式。把它們匯集在一起，得到的平衡方程組就代表了整個結(jié)構(gòu)的平衡條件。進(jìn)行整體分析，即是將各個單元的平衡方程集合在一起，得到結(jié)構(gòu)的整體平衡方程。

K為結(jié)構(gòu)的整體剛度矩陣，一般稱為總剛度矩陣，其維數(shù)為2n×2n?？蓪懗煞謮K形式。

第28頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月解題步驟與算例

(1)首先繪出結(jié)構(gòu)幾何簡圖，在此基礎(chǔ)上將結(jié)構(gòu)離散化。平面問題采用三角形單元(其他形狀單元以后講述)，所以其離散就是將計算對象劃分成許多三角形單元。包括：進(jìn)行節(jié)點(diǎn)編號、單元編號，任選一直角坐標(biāo)系，定出所有節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)值等等。確定載荷和邊界約束條件，將各單元所受的非節(jié)點(diǎn)載荷，包括體力、面力以及可能有的集中力按虛功等效原則移置到節(jié)點(diǎn)上，并將各節(jié)點(diǎn)上的這些載荷（包括直接作用在節(jié)點(diǎn)上的集中載荷）分別按相同方向疊加等。

(2)其次進(jìn)行單元分析、組集總剛度矩陣、求單元應(yīng)力和節(jié)點(diǎn)應(yīng)力。前處理—計算—后處理第29頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月平面問題的離散化

單元類型的選擇

單元的大小

單元有密有疏

不同厚度或不同材料處，應(yīng)取作為單元的邊界線

第30頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月平面問題的有限元法，不僅有實際意義，而且通過其相對簡單的概念，可以詳細(xì)了解用有限元法對一般彈性體進(jìn)行