新人教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊第八章成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析全套課件及配套課時作業(yè)

§8.1成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計相關(guān)性學(xué)習(xí)目標(biāo)1.結(jié)合實例，了解樣本相關(guān)系數(shù)的統(tǒng)計含義.2.了解樣本相關(guān)系數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)向量夾角的關(guān)系.3.結(jié)合實例，會通過樣本相關(guān)系數(shù)比較多組成對樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)性．知識點一相關(guān)關(guān)系1．相關(guān)關(guān)系的定義：兩個變量有關(guān)系，但沒有確切到可由其中一個去精確地決定另一個的程度，這種關(guān)系稱為相關(guān)關(guān)系．思考相關(guān)關(guān)系是函數(shù)關(guān)系嗎？答案不是．函數(shù)關(guān)系是唯一確定的關(guān)系．2．相關(guān)關(guān)系的分類(1)按變量間的增減性分為正相關(guān)和負(fù)相關(guān)．①正相關(guān)：當(dāng)一個變量的值增加時，另一個變量的相應(yīng)值也呈現(xiàn)增加的趨勢；②負(fù)相關(guān)：當(dāng)一個變量的值增加時，另一個變量的相應(yīng)值呈現(xiàn)減少的趨勢．(2)按變量間是否有線性特征分為線性相關(guān)和非線性相關(guān)(曲線相關(guān))．①線性相關(guān)：如果兩個變量的取值呈現(xiàn)正相關(guān)或負(fù)相關(guān)，而且散點落在一條直線附近，我們稱這兩個變量線性相關(guān)；②非線性相關(guān)或曲線相關(guān)：如果兩個變量具有相關(guān)性，但不是線性相關(guān)，我們稱這兩個變量非線性相關(guān)或曲線相關(guān)．知識點二相關(guān)關(guān)系的刻畫1．散點圖：為了直觀描述成對樣本數(shù)據(jù)的變化特征，把每對成對樣本數(shù)據(jù)都用直角坐標(biāo)系中的點表示出來，由這些點組成的統(tǒng)計圖，叫做散點圖．2．樣本相關(guān)系數(shù)(1)我們常用樣本相關(guān)系數(shù)r來確切地反映成對樣本數(shù)據(jù)(xi，yi)的相關(guān)程度，其中r＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\r(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)2)\r(\i\su(i＝1,n,)yi－\x\to(y)2)).(2)樣本相關(guān)系數(shù)r的取值范圍為[－1,1]．①若r>0時，成對樣本數(shù)據(jù)正相關(guān)；②若r<0時，成對樣本數(shù)據(jù)負(fù)相關(guān)；③當(dāng)|r|越接近1時，成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強(qiáng)；④當(dāng)|r|越接近0時，成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越弱．1．函數(shù)關(guān)系是一種確定關(guān)系，而相關(guān)關(guān)系是一種不確定關(guān)系．(√)2．樣本相關(guān)系數(shù)r越大，兩變量的相關(guān)性越強(qiáng)．(×)3．散點圖可以直觀地分析出兩個變量是否具有相關(guān)性．(√)4．若變量x，y滿足函數(shù)關(guān)系，則這兩個變量線性相關(guān)．(×)一、變量間相關(guān)關(guān)系的判斷例1(1)(多選)下列關(guān)系中，屬于相關(guān)關(guān)系的是()A．正方形的邊長與面積之間的關(guān)系B．農(nóng)作物的產(chǎn)量與施肥量之間的關(guān)系C．出租車費與行駛的里程D．降雪量與交通事故的發(fā)生率之間的關(guān)系答案BD解析A中，正方形的邊長與面積之間的關(guān)系是函數(shù)關(guān)系；B中，農(nóng)作物的產(chǎn)量與施肥量之間不具有嚴(yán)格的函數(shù)關(guān)系，但具有相關(guān)關(guān)系；C為確定的函數(shù)關(guān)系；D中，降雪量與交通事故的發(fā)生率之間具有相關(guān)關(guān)系．(2)某種產(chǎn)品的廣告支出費x與銷售額y之間有如下對應(yīng)數(shù)據(jù)(單位：百萬元)：x24568y3040605070①畫出散點圖；②從散點圖中判斷銷售金額與廣告支出費成什么樣的關(guān)系？解①以x對應(yīng)的數(shù)據(jù)為橫坐標(biāo)，y對應(yīng)的數(shù)據(jù)為縱坐標(biāo)，所作的散點圖如圖所示．②從圖中可以發(fā)現(xiàn)廣告支出費與銷售金額之間具有相關(guān)關(guān)系，并且當(dāng)廣告支出費由小變大時，銷售金額也大多由小變大，圖中的數(shù)據(jù)大致分布在某條直線的附近，即x與y成正相關(guān)關(guān)系．反思感悟兩個變量是否相關(guān)的兩種判斷方法(1)根據(jù)實際經(jīng)驗：借助積累的經(jīng)驗進(jìn)行分析判斷．(2)利用散點圖：通過散點圖，觀察它們的分布是否存在一定的規(guī)律，直觀地進(jìn)行判斷．如果發(fā)現(xiàn)點的分布從整體上看大致在一條直線附近，那么這兩個變量就是線性相關(guān)的，注意不要受個別點的位置的影響．跟蹤訓(xùn)練1(多選)在下列所示的四個圖中，每個圖的兩個變量具有相關(guān)關(guān)系的圖是()答案BC解析圖A的兩個變量具有函數(shù)關(guān)系；圖BC的兩個變量具有相關(guān)關(guān)系；圖D的兩個變量之間既不是函數(shù)關(guān)系，也不是相關(guān)關(guān)系．二、樣本相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)例2(1)甲、乙、丙、丁四位同學(xué)各自對A，B兩變量的線性相關(guān)性做試驗，并用回歸分析方法分別求得樣本相關(guān)系數(shù)r如下表：甲乙丙丁r0.820.780.690.85則哪位同學(xué)的試驗結(jié)果體現(xiàn)A，B兩變量有更強(qiáng)的線性相關(guān)性()A．甲B．乙C．丙D．丁答案D解析|r|越接近1，相關(guān)性越強(qiáng)，故選D.(2)在一組成對樣本數(shù)據(jù)為(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散點圖中，若這組成對樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)為－1，則所有的樣本點(xi，yi)(i＝1,2，…，n)滿足的方程可以是()A．y＝－eq\f(1,2)x＋1 B．y＝x－1C．y＝x＋1 D．y＝－x2答案A解析∵這組成對樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)為－1，∴這一組成對樣本數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)線性相關(guān)，且是負(fù)相關(guān)．∴可排除B，C，D，故選A.反思感悟樣本相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)(1)r的絕對值越接近0，相關(guān)性越弱．(2)r的絕對值越接近1，相關(guān)性越強(qiáng)．跟蹤訓(xùn)練2(1)對變量x，y有成對樣本數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1,2，…，10)，得散點圖圖1；對變量u，v有成對樣本數(shù)據(jù)(ui，vi)(i＝1,2，…，10)，得散點圖圖2.由這兩個散點圖可以判斷()A．變量x與y正相關(guān)，u與v正相關(guān)B．變量x與y正相關(guān)，u與v負(fù)相關(guān)C．變量x與y負(fù)相關(guān)，u與v正相關(guān)D．變量x與y負(fù)相關(guān)，u與v負(fù)相關(guān)答案C解析由這兩個散點圖可以判斷，變量x與y負(fù)相關(guān)，u與v正相關(guān)．(2)(多選)對兩個變量的樣本相關(guān)系數(shù)r，下列說法正確的是()A．|r|越大，相關(guān)程度越大B．|r|越小，相關(guān)程度越大C．|r|趨近于0時，沒有線性相關(guān)關(guān)系D．|r|越接近1時，線性相關(guān)程度越強(qiáng)答案AD解析對于A，|r|越大，相關(guān)程度越大，A正確；對于B，|r|越小，相關(guān)程度越小，B錯誤；對于C，|r|趨近于0時，線性相關(guān)關(guān)系越弱，C錯誤；對于D，|r|越接近1時，線性相關(guān)程度越強(qiáng)，D正確．綜上，正確的是AD.三、樣本相關(guān)系數(shù)的計算及應(yīng)用例3某廠的生產(chǎn)原料耗費x(單位：百萬元)與銷售額y(單位：百萬元)之間有如下的對應(yīng)關(guān)系：x2468y30405070(1)畫出(x，y)的散點圖；(2)計算x與y之間的樣本相關(guān)系數(shù)，并刻畫它們的相關(guān)程度．解(1)畫出(x，y)的散點圖如圖所示．(2)eq\x\to(x)＝5，eq\x\to(y)＝47.5，eq\i\su(i＝1,4,x)eq\o\al(2,i)＝120，eq\i\su(i＝1,4,y)eq\o\al(2,i)＝9900，eq\i\su(i＝1,4,x)iyi＝1080，故樣本相關(guān)系數(shù)r＝eq\f(\i\su(i＝1,4,x)iyi－4\x\to(x)\x\to(y),\r(\i\su(i＝1,4,x)\o\al(2,i)－4\x\to(x)2\i\su(i＝1,4,y)\o\al(2,i)－4\x\to(y)2))＝eq\f(1080－4×5×47.5,\r(120－4×529900－4×47.52))≈0.9827.由樣本相關(guān)系數(shù)r≈0.9827，可以推斷生產(chǎn)原料耗費與銷售額這兩個變量正線性相關(guān)，且相關(guān)程度很高．反思感悟線性相關(guān)強(qiáng)弱的判斷方法(1)散點圖：散點圖只是粗略作出判斷，其圖象越接近直線，相關(guān)性越強(qiáng)．(2)樣本相關(guān)系數(shù)：樣本相關(guān)系數(shù)能夠較準(zhǔn)確的判斷相關(guān)的程度，其絕對值越大，相關(guān)性越強(qiáng)．跟蹤訓(xùn)練3假設(shè)關(guān)于某種設(shè)備的使用年限x(單位：年)與所支出的維修費用y(單位：萬元)有如下統(tǒng)計資料：x23456y2.23.85.56.57.0計算y與x之間的樣本相關(guān)系數(shù)(精確到0.001，已知eq\i\su(i＝1,5,x)eq\o\al(2,i)＝90，eq\i\su(i＝1,5,y)eq\o\al(2,i)≈140.8，eq\i\su(i＝1,5,x)iyi＝112.3，eq\r(79)≈8.9，eq\r(2)≈1.4)．解∵eq\x\to(x)＝eq\f(2＋3＋4＋5＋6,5)＝4，eq\x\to(y)＝eq\f(2.2＋3.8＋5.5＋6.5＋7.0,5)＝5.eq\i\su(i＝1,5,x)iyi－5eq\x\to(x)eq\x\to(y)＝112.3－5×4×5＝12.3，eq\i\su(i＝1,5,x)eq\o\al(2,i)－5eq\x\to(x)2＝90－5×42＝10，eq\i\su(i＝1,5,y)eq\o\al(2,i)－5eq\x\to(y)2＝140.8－125＝15.8，∴r＝eq\f(\i\su(i＝1,5,x)iyi－5\x\to(x)\x\to(y),\r(\i\su(i＝1,5,x)\o\al(2,i)－5\x\to(x)2\i\su(i＝1,5,y)\o\al(2,i)－5\x\to(y)2))＝eq\f(12.3,\r(10×15.8))＝eq\f(12.3,\r(158))＝eq\f(12.3,\r(2)×\r(79))≈eq\f(12.3,1.4×8.9)≈0.987.1．(多選)下列命題正確的是()A．任意兩個變量都具有相關(guān)關(guān)系B．圓的周長與該圓的直徑具有相關(guān)關(guān)系C．某商品的需求量與該商品的價格是一種非確定性關(guān)系D．當(dāng)兩個變量相關(guān)且樣本相關(guān)系數(shù)r>0時，表明兩個變量正相關(guān)答案CD解析A顯然不對，B是函數(shù)關(guān)系，CD正確．2．若變量y與x之間的樣本相關(guān)系數(shù)r＝－0.9832，則變量y與x之間()A．不具有線性相關(guān)關(guān)系B．具有線性相關(guān)關(guān)系C．它們的線性相關(guān)關(guān)系還需要進(jìn)一步確定D．不確定答案B解析變量y與x之間的樣本相關(guān)系數(shù)r＝－0.9832，|r|＝0.9832接近1，樣本相關(guān)系數(shù)的絕對值越大，相關(guān)性越強(qiáng)，∴變量y與x之間有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，故選B.3．兩個變量x，y的樣本相關(guān)系數(shù)r1＝0.7859，兩個變量u，v的樣本相關(guān)系數(shù)r2＝－0.9568，則下列判斷正確的是()A．變量x與y正相關(guān)，變量u與v負(fù)相關(guān)，變量x與y的線性相關(guān)性較強(qiáng)B．變量x與y負(fù)相關(guān)，變量u與v正相關(guān)，變量x與y的線性相關(guān)性較強(qiáng)C．變量x與y正相關(guān)，變量u與v負(fù)相關(guān)，變量u與v的線性相關(guān)性較強(qiáng)D．變量x與y負(fù)相關(guān)，變量u與v正相關(guān)，變量u與v的線性相關(guān)性較強(qiáng)答案C解析由樣本相關(guān)系數(shù)r1＝0.7859>0知x與y正相關(guān)，由樣本相關(guān)系數(shù)r2＝－0.9568<0知u，v負(fù)相關(guān)，又|r1|<|r2|，∴變量u與v的線性相關(guān)性比x與y的線性相關(guān)性強(qiáng)．故選C.4．據(jù)兩個變量x，y之間的成對樣本數(shù)據(jù)畫出散點圖如圖，這兩個變量是否具有線性相關(guān)關(guān)系________．(填“是”或“否”)答案否解析圖中的點分布雜亂，兩個變量不具有線性相關(guān)關(guān)系．5．部門所屬的10個工業(yè)企業(yè)生產(chǎn)性固定資產(chǎn)價值與工業(yè)增加值資料如下表(單位：百萬元)：固定資產(chǎn)價值33566789910工業(yè)增加值15172528303637424045根據(jù)上表資料計算的樣本相關(guān)系數(shù)約為________．答案0.9918解析eq\x\to(x)＝eq\f(3＋3＋5＋6＋6＋7＋8＋9＋9＋10,10)＝6.6，eq\x\to(y)＝eq\f(15＋17＋25＋28＋30＋36＋37＋42＋40＋45,10)＝31.5.∴r＝eq\f(\i\su(i＝1,10,)xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\r(\i\su(i＝1,10,)xi－\x\to(x)2)\r(\i\su(i＝1,10,)yi－\x\to(y)2))≈0.9918.1．知識清單：(1)相關(guān)關(guān)系．(2)散點圖．(3)正相關(guān)、負(fù)相關(guān)、線性相關(guān)、非線性相關(guān)．(4)樣本相關(guān)系數(shù)．2．方法歸納：數(shù)形結(jié)合．3．常見誤區(qū)：相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系不分，樣本相關(guān)系數(shù)絕對值的大小與相關(guān)程度的關(guān)系．1．若“名師出高徒”成立，則名師與高徒之間存在什么關(guān)系()A．相關(guān)關(guān)系 B．函數(shù)關(guān)系C．無任何關(guān)系 D．不能確定答案A2．(多選)給出下列關(guān)系，其中有相關(guān)關(guān)系的是()A．人的年齡與他(她)擁有的財富之間的關(guān)系B．曲線上的點與該點的坐標(biāo)之間的關(guān)系C．蘋果的產(chǎn)量與氣候之間的關(guān)系D．森林中的同一種樹木，其截面直徑與高度之間的關(guān)系答案ACD3．兩個變量的相關(guān)關(guān)系有①正相關(guān)，②負(fù)相關(guān)，③不相關(guān)，則下列散點圖從左到右分別反映的變量間的相關(guān)關(guān)系是()A．①②③B．②③①C．②①③D．①③②答案D解析對于(1)，圖中的點成帶狀分布，且從左到右上升，是①正相關(guān)關(guān)系；對于(2)，圖中的點沒有明顯的帶狀分布，是③不相關(guān)；對于(3)，圖中的點成帶狀分布，且從左到右是下降的，是②負(fù)相關(guān)關(guān)系．故選D.4．(多選)某校地理學(xué)興趣小組在某座山測得海拔高度、氣壓和沸點的六組數(shù)據(jù)繪制成散點圖如圖所示，則下列說法正確的是()A．沸點與海拔高度呈正相關(guān)B．沸點與氣壓呈正相關(guān)C．沸點與海拔高度呈負(fù)相關(guān)D．沸點與海拔高度、沸點與氣壓的相關(guān)性都很強(qiáng)答案BCD解析由左圖知氣壓隨海拔高度的增加而減小，由右圖知沸點隨氣壓的升高而升高，所以沸點與氣壓呈正相關(guān)，沸點與海拔高度呈負(fù)相關(guān)，由于兩個散點圖中的點都成線性分布，所以沸點與海拔高度、沸點與氣壓的相關(guān)性都很強(qiáng)，故B，C，D正確，A錯誤．5．變量X與Y相對應(yīng)的一組成對樣本數(shù)據(jù)為(10,1)，(11.3,2)，(11.8,3)，(12.5,4)，(13,5)，變量U與V相對應(yīng)的一組成對樣本數(shù)據(jù)為(10,5)，(11.3,4)，(11.8,3)，(12.5,2)，(13,1)．r1表示變量Y與X之間的樣本相關(guān)系數(shù)，r2表示變量V與U之間的樣本相關(guān)系數(shù)，則()A．r2<r1<0 B．0<r2<r1C．r2<0<r1 D．r1＝r2答案C解析由已知中的數(shù)據(jù)可知：第一組成對樣本數(shù)據(jù)正相關(guān)，則樣本相關(guān)系數(shù)大于零，第二組成對樣本數(shù)據(jù)負(fù)相關(guān)，則樣本相關(guān)系數(shù)小于零，故選C.6．如圖所示的兩個變量不具有相關(guān)關(guān)系的有________．(填序號)答案①④解析①是確定的函數(shù)關(guān)系；②中的點大都分布在一條曲線周圍；③中的點大都分布在一條直線周圍；④中點的分布沒有任何規(guī)律可言，x，y不具有相關(guān)關(guān)系．7．給出下列x，y值的數(shù)據(jù)如下：x1248y35917則根據(jù)數(shù)據(jù)可以判斷x和y的關(guān)系是________．(填“確定關(guān)系”“相關(guān)關(guān)系”或“沒有關(guān)系”)答案確定關(guān)系解析由表中數(shù)據(jù)可以得到x，y之間是一種函數(shù)關(guān)系：y＝2x＋1，所以x，y是一種確定的關(guān)系，即函數(shù)關(guān)系．8．對某高三學(xué)生在連續(xù)9次數(shù)學(xué)測試中的成績(單位：分)進(jìn)行統(tǒng)計得到如圖所示的散點圖．下面關(guān)于這位同學(xué)的數(shù)學(xué)成績的分析中，正確的序號有________．①該同學(xué)的數(shù)學(xué)成績總的趨勢是在逐步提高；②該同學(xué)在這連續(xù)九次測試中的最高分與最低分的差超過40分；③該同學(xué)的數(shù)學(xué)成績與測試序號具有線性相關(guān)性，且為正相關(guān)．答案①②③解析散點圖從左向右看呈上升趨勢，所以該同學(xué)的數(shù)學(xué)成績總的趨勢是在逐步提高，①正確；該同學(xué)在這連續(xù)九次測試中的最高分大于130分，最低分小于90分，極差超過40分，②正確；該同學(xué)的數(shù)學(xué)成績與測試序號具有比較明顯的線性相關(guān)性，且為正相關(guān)，③正確．9．某個男孩的年齡與身高的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表所示：年齡x(歲)123456身高y(cm)788798108115120(1)畫出散點圖；(2)判斷y與x是否具有線性相關(guān)關(guān)系，如果相關(guān)，是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)．解(1)散點圖如圖所示．(2)由圖知，所有數(shù)據(jù)點接近一條直線排列，因此，認(rèn)為y與x具有線性相關(guān)關(guān)系，且是正相關(guān)關(guān)系．10．關(guān)于兩個變量x和y的7組數(shù)據(jù)如下表所示：x21232527293235y711212466115325求變量y與x的樣本相關(guān)系數(shù)，并判斷變量y與x之間是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)．解eq\x\to(x)＝eq\f(1,7)(21＋23＋25＋27＋29＋32＋35)≈27.4，eq\x\to(y)＝eq\f(1,7)(7＋11＋21＋24＋66＋115＋325)≈81.3，eq\i\su(i＝1,7,x)eq\o\al(2,i)＝212＋232＋252＋272＋292＋322＋352＝5414，eq\i\su(i＝1,7,x)iyi＝21×7＋23×11＋25×21＋27×24＋29×66＋32×115＋35×325＝18542，eq\i\su(i＝1,7,y)eq\o\al(2,i)＝72＋112＋212＋242＋662＋1152＋3252＝124393，∴r＝eq\f(\i\su(i＝1,7,x)iyi－7\x\to(x)\x\to(y),\r(\i\su(i＝1,7,x)\o\al(2,i)－7\x\to(x)2\i\su(i＝1,7,y)\o\al(2,i)－7\x\to(y)2))＝eq\f(18542－7×27.4×81.3,\r(5414－7×27.42124393－7×81.32))≈eq\f(2948.66,3520.92)≈0.8375.∵r>0，∴變量y與x之間是正相關(guān)關(guān)系．11．兩個變量y與x的模型中，分別選擇了4個不同模型，它們的樣本相關(guān)系數(shù)r如下，其中擬合效果最好的模型是()模型模型1模型2模型3模型4樣本相關(guān)系數(shù)r0.980.800.500.25A.模型1B．模型2C．模型3D．模型4答案A12．某統(tǒng)計部門對四組成對樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計分析后，獲得如圖所示的散點圖，關(guān)于樣本相關(guān)系數(shù)的比較，其中正確的是()A．r4<r2<0<r1<r3 B．r2<r4<0<r1<r3C．r2<r4<0<r3<r1 D．r4<r2<0<r3<r1答案C解析根據(jù)散點圖的特征，數(shù)據(jù)大致呈增長趨勢的是正相關(guān)，數(shù)據(jù)呈遞減趨勢的是負(fù)相關(guān)；數(shù)據(jù)越集中在一條直線附近，說明相關(guān)性越強(qiáng)，由題中數(shù)據(jù)可知：(1)(3)為正相關(guān)，(2)(4)為負(fù)相關(guān)，故r1>0，r3>0，r2<0，r4<0，又(1)與(2)中散點圖更接近于一條直線，故r1>r3，r2<r4，因此r2<r4<0<r3<r1.故選C.13．如圖所示，有5組(x，y)數(shù)據(jù)，去掉哪一組數(shù)據(jù)之后，剩下的4組數(shù)據(jù)成線性相關(guān)關(guān)系()A．EB．DC．BD．A答案B解析去掉D組數(shù)據(jù)之后，剩下的4組數(shù)據(jù)成線性相關(guān)關(guān)系．14．高三年級267位學(xué)生參加期末考試，某班37位學(xué)生的語文成績、數(shù)學(xué)成績與總成績在全年級的排名情況如圖所示，甲、乙、丙為該班三位學(xué)生．從這次考試成績看：(1)在甲、乙兩人中，其語文成績名次比其總成績名次靠前的學(xué)生是________；(2)在語文和數(shù)學(xué)兩個科目中，丙同學(xué)的成績名次更靠前的科目是________．答案(1)乙(2)數(shù)學(xué)解析(1)在甲、乙兩人中，其語文成績名次比其總成績名次靠前的學(xué)生是乙；(2)由高三年級267位學(xué)生參加期末考試，某班37位學(xué)生的語文成績、數(shù)學(xué)成績與總成績在全年級的排名情況的散點圖可知，兩個圖中，同一個人的總成績是不會變的．第二個圖看，丙是從右往左數(shù)第5個點，即丙的總成績在班里倒數(shù)第5.在左邊的圖中，找到倒數(shù)第5個點，它表示的就是丙，發(fā)現(xiàn)這個點的位置比右邊圖中丙的位置高，所以語文名次更“大”，即數(shù)學(xué)的成績更靠前．15．某商家今年上半年各月的人均銷售額(單位：千元)與利潤率統(tǒng)計表如下：月份123456人均銷售額658347利潤率(%)12.610.418.53.08.116.3根據(jù)表中數(shù)據(jù)，下列說法正確的是()A．利潤率與人均銷售額成正比例函數(shù)關(guān)系B．利潤率與人均銷售額成反比例函數(shù)關(guān)系C．利潤率與人均銷售額成正相關(guān)關(guān)系D．利潤率與人均銷售額成負(fù)相關(guān)關(guān)系答案C解析根據(jù)題意，畫出利潤率與人均銷售額的散點圖，如圖所示．由散點圖可知，利潤率與人均銷售額成正相關(guān)關(guān)系．故選C.16．現(xiàn)隨機(jī)抽取了我校10名學(xué)生在入學(xué)考試中的數(shù)學(xué)成績(x)與入學(xué)后的第一次考試數(shù)學(xué)成績(y)，數(shù)據(jù)如下表：學(xué)生號12345678910x12010811710410311010410599108y84648468696869465771計算這10個學(xué)生的兩次數(shù)學(xué)考試成績的樣本相關(guān)系數(shù)r，并判斷兩者是否具有線性相關(guān)關(guān)系．解eq\x\to(x)＝eq\f(1,10)×(120＋108＋…＋99＋108)＝107.8，eq\x\to(y)＝eq\f(1,10)×(84＋64＋…＋57＋71)＝68，eq\i\su(i＝1,10,x)eq\o\al(2,i)＝1202＋1082＋…＋992＋1082＝116584，eq\i\su(i＝1,10,y)eq\o\al(2,i)＝842＋642＋…＋572＋712＝47384，eq\i\su(i＝1,10,x)iyi＝120×84＋108×64＋…＋108×71＝73796，∴樣本相關(guān)系數(shù)為r＝eq\f(73796－10×107.8×68,\r(116584－10×107.8247384－10×682))≈0.7506，∴這10個學(xué)生的兩次數(shù)學(xué)考試成績具有線性相關(guān)關(guān)系．§8.2一元線性回歸模型及其應(yīng)用學(xué)習(xí)目標(biāo)1.結(jié)合實例，了解一元線性回歸模型的含義，了解模型參數(shù)的統(tǒng)計意義.2.了解最小二乘原理，掌握一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計方法.3.針對實際問題，會用一元線性回歸模型進(jìn)行預(yù)測．知識點一一元線性回歸模型稱eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Y＝bx＋a＋e，,Ee＝0，De＝σ2))為Y關(guān)于x的一元線性回歸模型．其中Y稱為因變量或響應(yīng)變量，x稱為自變量或解釋變量，a稱為截距參數(shù)，b稱為斜率參數(shù)；e是Y與bx＋a之間的隨機(jī)誤差，如果e＝0，那么Y與x之間的關(guān)系就可以用一元線性函數(shù)模型來描述．知識點二最小二乘法將eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))稱為Y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程，也稱經(jīng)驗回歸函數(shù)或經(jīng)驗回歸公式，其圖形稱為經(jīng)驗回歸直線，這種求經(jīng)驗回歸方程的方法叫做最小二乘法，求得的eq\o(b,\s\up6(^))，eq\o(a,\s\up6(^))叫做b，a的最小二乘估計，其中eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x).思考1經(jīng)驗回歸方程一定過成對樣本數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中的某一點嗎？答案不一定．思考2點(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))在經(jīng)驗回歸直線上嗎？答案在．知識點三殘差與殘差分析1．殘差對于響應(yīng)變量Y，通過觀測得到的數(shù)據(jù)稱為觀測值，通過經(jīng)驗回歸方程得到的eq\o(y,\s\up6(^))稱為預(yù)測值，觀測值減去預(yù)測值稱為殘差．2．殘差分析殘差是隨機(jī)誤差的估計結(jié)果，通過對殘差的分析可以判斷模型刻畫數(shù)據(jù)的效果，以及判斷原始數(shù)據(jù)中是否存在可疑數(shù)據(jù)等，這方面工作稱為殘差分析．知識點四對模型刻畫數(shù)據(jù)效果的分析1．殘差圖法在殘差圖中，如果殘差比較均勻地集中在以橫軸為對稱軸的水平帶狀區(qū)域內(nèi)，則說明經(jīng)驗回歸方程較好地刻畫了兩個變量的關(guān)系．2．殘差平方和法殘差平方和eq\i\su(i＝1,n,)(yi－eq\o(y,\s\up6(^))i)2越小，模型的擬合效果越好．3．R2法可以用R2＝1－eq\f(\i\su(i＝1,n,)yi－\o(y,\s\up6(^))i2,\i\su(i＝1,n,)yi－\x\to(y)2)來比較兩個模型的擬合效果，R2越大，模型擬合效果越好，R2越小，模型擬合效果越差．思考利用經(jīng)驗回歸方程求得的函數(shù)值一定是真實值嗎？答案不一定，他只是真實值的一個預(yù)測估計值．1．求經(jīng)驗回歸方程前可以不進(jìn)行相關(guān)性檢驗．(×)2．在殘差圖中，縱坐標(biāo)為殘差，橫坐標(biāo)可以選為樣本編號．(√)3．利用經(jīng)驗回歸方程求出的值是準(zhǔn)確值．(×)4．殘差平方和越小，線性回歸模型的擬合效果越好．(√)5．R2越小，線性回歸模型的擬合效果越好．(×)一、求經(jīng)驗回歸方程例1某研究機(jī)構(gòu)對高三學(xué)生的記憶力x和判斷力y進(jìn)行統(tǒng)計分析，得下表數(shù)據(jù)：x681012y2356(1)請畫出上表數(shù)據(jù)的散點圖；(2)請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))；(3)試根據(jù)求出的經(jīng)驗回歸方程，預(yù)測記憶力為9的同學(xué)的判斷力．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(參考公式：\o(b,\s\up6(^))＝\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\x\to(x)·\x\to(y),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)，\o(a,\s\up6(^))＝\x\to(y)－\o(b,\s\up6(^))\x\to(x)))解(1)散點圖如圖所示：(2)eq\x\to(x)＝eq\f(6＋8＋10＋12,4)＝9，eq\x\to(y)＝eq\f(2＋3＋5＋6,4)＝4，eq\i\su(i＝1,4,x)eq\o\al(2,i)＝62＋82＋102＋122＝344，eq\i\su(i＝1,4,x)iyi＝6×2＋8×3＋10×5＋12×6＝158，eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(158－4×9×4,344－4×92)＝eq\f(14,20)＝0.7，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)＝4－0.7×9＝－2.3，故經(jīng)驗回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝0.7x－2.3.(3)由(2)中經(jīng)驗回歸方程可知，當(dāng)x＝9時，eq\o(y,\s\up6(^))＝0.7×9－2.3＝4，即預(yù)測記憶力為9的同學(xué)的判斷力為4.反思感悟求經(jīng)驗回歸方程可分如下四步來完成(1)列：列表表示xi，yi，xeq\o\al(2,i)，xiyi.(2)算：計算eq\x\to(x)，eq\x\to(y)，eq\i\su(i＝1,n,x)eq\o\al(2,i)，eq\i\su(i＝1,n,x)iyi.(3)代：代入公式計算eq\o(a,\s\up6(^))，eq\o(b,\s\up6(^))的值．(4)寫：寫出經(jīng)驗回歸方程．跟蹤訓(xùn)練1隨著我國經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，居民儲蓄存款逐年增長．設(shè)某地區(qū)城鄉(xiāng)居民人民幣儲蓄存款(年底余額)如下表：年份20152016201720182019時間代號t12345儲蓄存款y(千億元)567810(1)求y關(guān)于t的經(jīng)驗回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))t＋eq\o(a,\s\up6(^))；(2)用所求經(jīng)驗回歸方程預(yù)測該地區(qū)2021年(t＝7)的人民幣儲蓄存款．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(參考公式：\o(b,\s\up6(^))＝\f(\i\su(i＝1,n,t)iyi－n\x\to(t)\x\to(y),\i\su(i＝1,n,t)\o\al(2,i)－n\x\to(t)2)，\o(a,\s\up6(^))＝\x\to(y)－\o(b,\s\up6(^))\x\to(t)))解(1)由題意可知，n＝5，eq\x\to(t)＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,t)i＝eq\f(15,5)＝3，eq\x\to(y)＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,y)i＝eq\f(36,5)＝7.2.又eq\i\su(i＝1,n,t)eq\o\al(2,i)＝55，eq\i\su(i＝1,n,t)iyi＝120，計算得，eq\o(b,\s\up6(^))＝1.2，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(t)＝7.2－1.2×3＝3.6.故所求經(jīng)驗回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝1.2t＋3.6.(2)將t＝7代入eq\o(y,\s\up6(^))＝1.2t＋3.6，可得eq\o(y,\s\up6(^))＝1.2×7＋3.6＝12(千億元)，所以預(yù)測該地區(qū)2021年的人民幣儲蓄存款為12千億元．二、線性回歸分析例2已知某種商品的價格x(單位：元)與需求量y(單位：件)之間的關(guān)系有如下一組數(shù)據(jù)：x1416182022y1210753求y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程，并借助殘差平方和和R2說明回歸模型擬合效果的好壞．解eq\x\to(x)＝eq\f(1,5)×(14＋16＋18＋20＋22)＝18，eq\x\to(y)＝eq\f(1,5)×(12＋10＋7＋5＋3)＝7.4，eq\i\su(i＝1,5,x)eq\o\al(2,i)＝142＋162＋182＋202＋222＝1660，eq\i\su(i＝1,5,x)iyi＝14×12＋16×10＋18×7＋20×5＋22×3＝620，所以eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,5,x)iyi－5\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,5,x)\o\al(2,i)－5\x\to(x)2)＝eq\f(620－5×18×7.4,1660－5×182)＝－1.15，eq\o(a,\s\up6(^))＝7.4＋1.15×18＝28.1，所以所求經(jīng)驗回歸方程是eq\o(y,\s\up6(^))＝－1.15x＋28.1.列出殘差表：yi－eq\o(y,\s\up6(^))i00.3－0.4－0.10.2yi－eq\x\to(y)4.62.6－0.4－2.4－4.4所以eq\i\su(i＝1,5,)(yi－eq\o(y,\s\up6(^))i)2＝0.3，eq\i\su(i＝1,5,)(yi－eq\x\to(y))2＝53.2，R2＝1－eq\f(\i\su(i＝1,5,)yi－\o(y,\s\up6(^))i2,\i\su(i＝1,5,)yi－\x\to(y)2)≈0.994，所以回歸模型的擬合效果很好．反思感悟刻畫回歸效果的三種方法(1)殘差圖法，殘差點比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域內(nèi)說明選用的模型比較合適．(2)殘差平方和法：殘差平方和eq\i\su(i＝1,n,)(yi－eq\o(y,\s\up6(^))i)2越小，模型的擬合效果越好．(3)R2法：R2＝1－eq\f(\i\su(i＝1,n,)yi－\o(y,\s\up6(^))i2,\i\su(i＝1,n,)yi－\x\to(y)2)越接近1，表明模型的擬合效果越好．跟蹤訓(xùn)練2為研究重量x(單位：克)對彈簧長度y(單位：厘米)的影響，對不同重量的6個物體進(jìn)行測量，數(shù)據(jù)如下表所示：x51015202530y7.258.128.959.9010.911.8(1)作出散點圖并求經(jīng)驗回歸方程；(2)求出R2;(3)進(jìn)行殘差分析．解(1)散點圖如圖.eq\x\to(x)＝eq\f(1,6)×(5＋10＋15＋20＋25＋30)＝17.5，eq\x\to(y)＝eq\f(1,6)×(7.25＋8.12＋8.95＋9.90＋10.9＋11.8)≈9.487，eq\i\su(i＝1,6,x)eq\o\al(2,i)＝2275，eq\i\su(i＝1,6,y)eq\o\al(2,i)＝554.6594，eq\i\su(i＝1,6,x)iyi＝1076.2，計算得，eq\o(b,\s\up6(^))≈0.183，eq\o(a,\s\up6(^))≈6.285，所求經(jīng)驗回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝0.183x＋6.285.(2)殘差表如下：yi－eq\o(y,\s\up6(^))i0.050.005－0.08－0.0450.040.025yi－eq\x\to(y)－2.237－1.367－0.5370.4131.4132.313所以eq\i\su(i＝1,6,)(yi－eq\o(y,\s\up6(^))i)2≈0.01318，eq\i\su(i＝1,6,)(yi－eq\x\to(y))2≈14.6783.所以R2≈1－eq\f(0.01318,14.6783)≈0.9991，所以回歸模型的擬合效果很好．(3)由殘差表中的數(shù)值可以看出第3個樣本點的殘差比較大，需要確認(rèn)在采集這個數(shù)據(jù)的時候是否有人為的錯誤，如果有，則需要糾正數(shù)據(jù)，重新建立回歸模型；由表中數(shù)據(jù)可以看出殘差點比較均勻地落在寬度不超過0.15的狹窄的水平帶狀區(qū)域中，說明選用的線性回歸模型的精度較高，由以上分析可知，彈簧長度與重量成線性關(guān)系．三、非線性回歸例3下表為收集到的一組數(shù)據(jù)：x21232527293235y711212466115325(1)作出x與y的散點圖，并猜測x與y之間的關(guān)系；(2)建立x與y的關(guān)系，預(yù)報回歸模型并計算殘差；(3)利用所得模型，預(yù)測x＝40時y的值．解(1)作出散點圖如圖，從散點圖可以看出x與y不具有線性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)已有知識可以發(fā)現(xiàn)樣本點分布在某一條指數(shù)函數(shù)型曲線y＝c1的周圍，其中c1，c2為待定的參數(shù)．(2)對兩邊取對數(shù)把指數(shù)關(guān)系變?yōu)榫€性關(guān)系，令z＝lny，則有變換后的樣本點應(yīng)分布在直線z＝bx＋a(a＝lnc1，b＝c2)的周圍，這樣就可以利用經(jīng)驗回歸模型來建立y與x之間的非線性經(jīng)驗回歸方程了，數(shù)據(jù)可以轉(zhuǎn)化為x21232527293235z1.9462.3983.0453.1784.1904.7455.784求得經(jīng)驗回歸方程為eq\o(z,\s\up6(^))＝0.272x－3.849，∴eq\o(y,\s\up6(^))＝e0.272x－3.849.殘差表如下：yi711212466115325eq\o(y,\s\up6(^))i6.44311.10119.12532.95056.770128.381290.325eq\o(e,\s\up6(^))i0.557－0.1011.875－8.9509.23－13.38134.675(3)當(dāng)x＝40時，eq\o(y,\s\up6(^))＝e0.272×40－3.849≈1131.反思感悟非線性回歸問題的處理方法(1)指數(shù)函數(shù)型y＝ebx＋a①函數(shù)y＝ebx＋a的圖象，如圖所示；②處理方法：兩邊取對數(shù)得lny＝lnebx＋a，即lny＝bx＋a.令z＝lny，把原始數(shù)據(jù)(x，y)轉(zhuǎn)化為(x，z)，再根據(jù)線性回歸模型的方法求出a，b.(2)對數(shù)函數(shù)型y＝blnx＋a①函數(shù)y＝blnx＋a的圖象，如圖所示；②處理方法：設(shè)x′＝lnx，原方程可化為y＝bx′＋a，再根據(jù)線性回歸模型的方法求出a，b.(3)y＝bx2＋a型處理方法：設(shè)x′＝x2，原方程可化為y＝bx′＋a，再根據(jù)線性回歸模型的方法求出a，b.跟蹤訓(xùn)練3為了研究甲型H1N1中的某種細(xì)菌隨時間x變化的繁殖個數(shù)y，收集數(shù)據(jù)如下：天數(shù)x123456繁殖個數(shù)y612254995190求y關(guān)于x的非線性經(jīng)驗回歸方程．解作出散點圖如圖(1)所示．由散點圖看出樣本點分布在一條指數(shù)型曲線y＝cebx的周圍，則lny＝bx＋lnc.令z＝lny，a＝lnc，則z＝bx＋a.x123456z1.792.483.223.894.555.25相應(yīng)的散點圖如圖(2)所示．從圖(2)可以看出，變換后的樣本點分布在一條直線附近，因此可以用經(jīng)驗回歸方程來擬合．由表中數(shù)據(jù)得到經(jīng)驗回歸方程為eq\o(z,\s\up6(^))＝0.69x＋1.115.因此細(xì)菌的繁殖個數(shù)y關(guān)于天數(shù)x的非線性經(jīng)驗回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝e0.69x＋1.115.1．(多選)以下四個散點圖中，兩個變量的關(guān)系適合用線性回歸模型刻畫的是()答案AC解析AC中的點分布在一條直線附近，適合線性回歸模型．2．甲、乙、丙、丁四位同學(xué)在建立變量x，y的回歸模型時，分別選擇了4種不同模型，計算可得它們的決定系數(shù)R2分別如下表：甲乙丙丁R20.980.780.500.85哪位同學(xué)建立的回歸模型擬合效果最好()A．甲B．乙C．丙D．丁答案A解析決定系數(shù)R2越大，表示回歸模型的擬合效果越好．3．已知人的年齡x與人體脂肪含量的百分?jǐn)?shù)y的經(jīng)驗回歸方程為y＝0.577x－0.448，如果某人36歲，那么這個人的脂肪含量()A．一定是20.3%B．在20.3%附近的可能性比較大C．無任何參考數(shù)據(jù)D．以上解釋都無道理答案B解析將x＝36代入經(jīng)驗回歸方程得y＝0.577×36－0.448≈20.3，故這個人的脂肪含量在20.3%附近的可能性較大，故選B.4．由變量x與y相對應(yīng)的一組成對樣本數(shù)據(jù)(1，y1)，(5，y2)，(7，y3)，(13，y4)，(19，y5)得到的經(jīng)驗回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝2x＋45，則eq\x\to(y)＝________.答案63解析∵eq\x\to(x)＝eq\f(1,5)(1＋5＋7＋13＋19)＝9，eq\x\to(y)＝2eq\x\to(x)＋45，∴eq\x\to(y)＝2×9＋45＝63.5．在研究兩個變量的相關(guān)關(guān)系時，觀察散點圖發(fā)現(xiàn)樣本點集中于某一條指數(shù)曲線y＝ebx＋a的周圍．令eq\o(z,\s\up6(^))＝lny，求得經(jīng)驗回歸方程為eq\o(z,\s\up6(^))＝0.25x－2.58，則該模型的非線性經(jīng)驗回歸方程為________．答案eq\o(y,\s\up6(^))＝e0.25x－2.58解析因為eq\o(z,\s\up6(^))＝0.25x－2.58，eq\o(z,\s\up6(^))＝lny，所以eq\o(y,\s\up6(^))＝e0.25x－2.58.1．知識清單：(1)一元線性回歸模型．(2)最小二乘法、經(jīng)驗回歸方程的求法．(3)對模型刻畫數(shù)據(jù)效果的分析：殘差圖法、殘差平方和法和R2法．2．方法歸納：數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化化歸．3．常見誤區(qū)：不判斷變量間是否具有線性相關(guān)關(guān)系，盲目求解經(jīng)驗回歸方程致誤．1．如果兩個變量之間的線性相關(guān)程度很高，則其R2的值應(yīng)接近于()A．0.5B．2C．0D．1答案D解析R2越接近于1，相關(guān)程度越高，故選D.2．對變量x，y進(jìn)行回歸分析時，依據(jù)得到的4個不同的回歸模型畫出殘差圖，則下列模型擬合精度最高的是()答案A解析用殘差圖判斷模型的擬合效果，殘差點比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說明這樣的模型比較合適，帶狀區(qū)域的寬度越窄，說明模型的擬合精度越高．3．工人工資y(元)與勞動生產(chǎn)率x(千元)的相關(guān)關(guān)系的經(jīng)驗回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝50＋80x，下列判斷正確的是()A．勞動生產(chǎn)率為1000元時，工人工資為130元B．勞動生產(chǎn)率提高1000元時，工人工資平均提高80元C．勞動生產(chǎn)率提高1000元時，工人工資平均提高130元D．當(dāng)月工資為250元時，勞動生產(chǎn)率為2000元答案B解析因為經(jīng)驗回歸方程的斜率為80，所以x每增加1，y平均增加80，即勞動生產(chǎn)率提高1000元時，工人工資平均提高80元．4．兩個變量的散點圖如圖，可考慮用如下函數(shù)進(jìn)行擬合比較合理的是()A．y＝a·xb B．y＝a＋blnxC．y＝a·ebx D．y＝a·答案B解析由散點圖可知，此曲線類似對數(shù)函數(shù)型曲線，因此可用函數(shù)y＝a＋blnx模型進(jìn)行擬合．5．(多選)對于經(jīng)驗回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))(eq\o(b,\s\up6(^))>0)，下列說法正確的是()A．當(dāng)x增加一個單位時，eq\o(y,\s\up6(^))的值平均增加eq\o(b,\s\up6(^))個單位B．點(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))一定在eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))所表示的直線上C．當(dāng)x＝t時，一定有y＝eq\o(b,\s\up6(^))t＋eq\o(a,\s\up6(^))D．當(dāng)x＝t時，y的值近似為eq\o(b,\s\up6(^))t＋eq\o(a,\s\up6(^))答案ABD解析經(jīng)驗回歸方程是一個模擬函數(shù)，它表示的是一系列離散的點大致所在直線的位置及其大致變化規(guī)律，所以有些散點不一定在經(jīng)驗回歸直線上．6．某地區(qū)近10年居民的年收入x與年支出y之間的關(guān)系大致符合eq\o(y,\s\up6(^))＝0.8x＋0.1(單位：億元)，預(yù)計今年該地區(qū)居民收入為15億元，則今年支出估計是________億元．答案12.1解析將x＝15代入eq\o(y,\s\up6(^))＝0.8x＋0.1，得eq\o(y,\s\up6(^))＝12.1.7．若經(jīng)驗回歸直線方程中的回歸系數(shù)eq\o(b,\s\up6(^))＝0，則樣本相關(guān)系數(shù)r＝________.答案0解析樣本相關(guān)系數(shù)r＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\r(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)2\i\su(i＝1,n,)yi－\x\to(y)2))與eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)2)的分子相同，故r＝0.8．某品牌服裝專賣店為了解保暖襯衣的銷售量y(件)與平均氣溫x(℃)之間的關(guān)系，隨機(jī)統(tǒng)計了連續(xù)四旬的銷售量與當(dāng)旬平均氣溫，其數(shù)據(jù)如表：時間二月上旬二月中旬二月下旬三月上旬旬平均氣溫x(℃)381217旬銷售量y(件)55m3324由表中數(shù)據(jù)算出經(jīng)驗回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))中的eq\o(b,\s\up6(^))＝－2，樣本點的中心為(10,38)．(1)表中數(shù)據(jù)m＝________；(2)氣象部門預(yù)測三月中旬的平均氣溫約為22℃，據(jù)此估計，該品牌的保暖襯衣在三月中旬的銷售量約為________件．答案(1)40(2)14解析(1)由eq\x\to(y)＝38，得m＝40.(2)由eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)得eq\o(a,\s\up6(^))＝58，故eq\o(y,\s\up6(^))＝－2x＋58，當(dāng)x＝22時，eq\o(y,\s\up6(^))＝14，故三月中旬的銷售量約為14件．9．已知變量x，y有如下對應(yīng)數(shù)據(jù)：x1234y1345(1)作出散點圖；(2)用最小二乘法求關(guān)于x，y的經(jīng)驗回歸方程．解(1)散點圖如圖所示．(2)eq\x\to(x)＝eq\f(1＋2＋3＋4,4)＝eq\f(5,2)，eq\x\to(y)＝eq\f(1＋3＋4＋5,4)＝eq\f(13,4)，eq\i\su(i＝1,4,x)iyi＝1＋6＋12＋20＝39，eq\i\su(i＝1,4,x)eq\o\al(2,i)＝1＋4＋9＋16＝30，eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(39－4×\f(5,2)×\f(13,4),30－4×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))2)＝eq\f(13,10)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\f(13,4)－eq\f(13,10)×eq\f(5,2)＝0，所以eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\f(13,10)x即為所求的經(jīng)驗回歸方程．10．由某種設(shè)備的使用年限xi(年)與所支出的維修費yi(萬元)的數(shù)據(jù)資料算得如下結(jié)果，eq\i\su(i＝1,5,x)eq\o\al(2,i)＝90，eq\i\su(i＝1,5,x)iyi＝112，eq\i\su(i＝1,5,x)i＝20，eq\i\su(i＝1,5,y)i＝25.(1)求所支出的維修費y關(guān)于使用年限x的經(jīng)驗回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))；(2)①判斷變量x與y之間是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)；②當(dāng)使用年限為8年時，試估計支出的維修費是多少？解(1)∵eq\i\su(i＝1,5,x)i＝20，eq\i\su(i＝1,5,y)i＝25，∴eq\x\to(x)＝eq\f(1,5)eq\i\su(i＝1,5,x)i＝4，eq\x\to(y)＝eq\f(1,5)eq\i\su(i＝1,5,y)i＝5，∴eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,5,x)iyi－5\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,5,x)\o\al(2,i)－5\x\to(x)2)＝eq\f(112－5×4×5,90－5×42)＝1.2，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)＝5－1.2×4＝0.2.∴所求經(jīng)驗回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝1.2x＋0.2.(2)①由(1)知eq\o(b,\s\up6(^))＝1.2>0，∴變量x與y之間是正相關(guān)．②由(1)知，當(dāng)x＝8時，eq\o(y,\s\up6(^))＝1.2×8＋0.2＝9.8，即使用年限為8年時，支出的維修費約是9.8萬元．11．設(shè)兩個變量x和Y之間具有線性相關(guān)關(guān)系，它們的樣本相關(guān)系數(shù)是r，Y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程的回歸系數(shù)為eq\o(b,\s\up6(^))，回歸截距是eq\o(a,\s\up6(^))，那么必有()A.eq\o(b,\s\up6(^))與r的符號相同 B.eq\o(a,\s\up6(^))與r的符號相同C.eq\o(b,\s\up6(^))與r的符號相反 D.eq\o(a,\s\up6(^))與r的符號相反答案A解析eq\o(b,\s\up6(^))與r的符號相同．12．恩格爾系數(shù)是食品支出總額占個人消費支出總額的比重．據(jù)某機(jī)構(gòu)預(yù)測，n(n≥10)個城市職工購買食品的人均支出y(千元)與人均月消費支出x(千元)具有線性相關(guān)關(guān)系，且經(jīng)驗回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝0.4x＋1.2，若其中某城市職工的人均月消費支出為5千元，則該城市職工的月恩格爾系數(shù)約為()A．60%B．64%C．58%D．55%答案B解析把x＝5代入經(jīng)驗回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝0.4x＋1.2中，得eq\o(y,\s\up6(^))＝0.4×5＋1.2＝3.2，則該城市職工的月恩格爾系數(shù)約為eq\f(3.2,5)＝0.64＝64%，故選B.13．(多選)設(shè)某大學(xué)的女生體重y(單位：kg)與身高x(單位：cm)具有線性相關(guān)關(guān)系．根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1,2，…，n)，用最小二乘法建立的經(jīng)驗回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝0.85x－85.71，則下列結(jié)論中正確的是()A．y與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系B．經(jīng)驗回歸方程過樣本點的中心(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))C．若該大學(xué)某女生身高增加1cm，則其體重約增加0.85kgD．若該大學(xué)某女生身高為170cm，則可判定其體重必為58.79kg答案ABC解析A，B，C均正確，是經(jīng)驗回歸方程的性質(zhì)，D項是錯誤的，經(jīng)驗回歸方程只能預(yù)測學(xué)生的體重，應(yīng)為大約58.79kg.14．某數(shù)學(xué)老師身高176cm，他爺爺、父親和兒子的身高分別是173cm,170cm,182cm.因兒子的身高與父親的身高有關(guān)，該老師用線性回歸分析的方法預(yù)測他孫子的身高為________cm.答案185解析因為兒子的身高與父親的身高有關(guān)，所以設(shè)兒子的身高為Y(單位：cm)，父親身高為X(單位：cm)，根據(jù)數(shù)據(jù)列表：X173170176Y170176182由表中數(shù)據(jù)，求得回歸系數(shù)eq\o(b,\s\up6(^))＝1，eq\o(a,\s\up6(^))＝3.于是兒子身高與父親身高的關(guān)系式為Y＝X＋3，當(dāng)X＝182時，Y＝185.故預(yù)測該老師的孫子的身高為185cm.15．已知變量y關(guān)于x的非線性經(jīng)驗回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝eeq\o(b,\s\up6(^))x－0.5，其一組數(shù)據(jù)如下表所示：x1234yee3e4e6若x＝5，則預(yù)測y的值可能為()A．e5B．C．e7D．答案D解析將式子兩邊取對數(shù)，得到lneq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x－0.5，令z＝lneq\o(y,\s\up6(^))，得到z＝eq\o(b,\s\up6(^))x－0.5，列出x，z的取值對應(yīng)的表格如下：x1234z1346則eq\x\to(x)＝eq\f(1＋2＋3＋4,4)＝2.5，eq\x\to(z)＝eq\f(1＋3＋4＋6,4)＝3.5，∵(eq\x\to(x)，eq\x\to(z))滿足z＝eq\o(b,\s\up6(^))x－0.5，∴3.5＝eq\o(b,\s\up6(^))×2.5－0.5，解得eq\o(b,\s\up6(^))＝1.6，∴z＝1.6x－0.5，∴eq\o(y,\s\up6(^))＝e1.6x－0.5，當(dāng)x＝5時，eq\o(y,\s\up6(^))＝e1.6×5－0.5＝.16．某工廠為了對新研發(fā)的一種產(chǎn)品進(jìn)行合理定價，將該產(chǎn)品按事先擬定的價格進(jìn)行試銷，得到如下數(shù)據(jù)：單價x(元)88.28.48.68.89銷量y(件)908483807568(1)求經(jīng)驗回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，其中eq\o(b,\s\up6(^))＝－20；(2)預(yù)計在今后的銷售中，銷量與單價仍然服從(1)中的關(guān)系，且該產(chǎn)品的成本是4元/件，為使工廠獲得最大利潤，該產(chǎn)品的單價應(yīng)定為多少元？(利潤＝銷售收入－成本)解(1)由于eq\x\to(x)＝eq\f(1,6)×(8＋8.2＋8.4＋8.6＋8.8＋9)＝8.5，eq\x\to(y)＝eq\f(1,6)×(90＋84＋83＋80＋75＋68)＝80.所以eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)＝80＋20×8.5＝250，從而經(jīng)驗回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝－20x＋250.(2)設(shè)工廠獲得的利潤為L元，依題意得L＝x(－20x＋250)－4(－20x＋250)＝－20x2＋330x－1000＝－20(x－8.25)2＋361.25.故當(dāng)單價定為8.25元時，工廠可獲得最大利潤．微專題2概率與統(tǒng)計的綜合應(yīng)用概率與統(tǒng)計內(nèi)容在考試考查中逐步呈現(xiàn)出綜合性、應(yīng)用性和創(chuàng)新性等特點，該題目的設(shè)置常常以社會、經(jīng)濟(jì)、科技發(fā)展為背景，以考生比較熟悉的實際應(yīng)用問題為載體，考查學(xué)生統(tǒng)計圖表的識別，應(yīng)用基礎(chǔ)知識和基本方法分析問題和解決問題的能力，充分體現(xiàn)了概率與統(tǒng)計的工具性和交匯性．一、統(tǒng)計圖表與正態(tài)分布例1從某技術(shù)公司開發(fā)的某種產(chǎn)品中隨機(jī)抽取200件，測量這些產(chǎn)品的一項質(zhì)量指標(biāo)(記為Z)，由測量結(jié)果得如下頻率分布直方圖：(1)公司規(guī)定：當(dāng)Z≥95時，產(chǎn)品為正品；當(dāng)Z<95時，產(chǎn)品為次品．公司每生產(chǎn)一件這種產(chǎn)品，若是正品，則盈利90元；若是次品，則虧損30元．記ξ為生產(chǎn)一件這種產(chǎn)品的利潤，求隨機(jī)變量ξ的分布列和均值；(2)由頻率分布直方圖可以認(rèn)為，Z服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，其中μ近似為樣本平均數(shù)x，σ2近似為樣本方差s2(同一組中的數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表)．①利用該正態(tài)分布，求P(87.8≤Z≤112.2)；②某客戶從該公司購買了500件這種產(chǎn)品，記X表示這500件產(chǎn)品中該項質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間[87.8,112.2]內(nèi)的產(chǎn)品件數(shù)，利用①的結(jié)果，求E(X)．附：eq\r(150)≈12.2.若Z～N(μ，σ2)，則P(μ－σ≤Z≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤Z≤μ＋2σ)≈0.9545.解(1)由頻率估計概率，產(chǎn)品為正品的概率為(0.033＋0.024＋0.008＋0.002)×10＝0.67，所以隨機(jī)變量ξ的分布列為ξ90－30P0.670.33所以E(ξ)＝90×0.67＋(－30)×0.33＝50.4.(2)由頻率分布直方圖知，抽取產(chǎn)品的該項質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)μ和樣本方差σ2分別為μ＝70×0.02＋80×0.09＋90×0.22＋100×0.33＋110×0.24＋120×0.08＋130×0.02＝100，σ2＝(－30)2×0.02＋(－20)2×0.09＋(－10)2×0.22＋02×0.33＋102×0.24＋202×0.08＋302×0.02＝150.①因為Z～N(100,150)，從而P(87.8≤Z≤112.2)＝P(100－12.2≤Z≤100＋12.2)≈0.6827.②由①知，一件產(chǎn)品中該項質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間[87.8，112.2]內(nèi)的概率約為0.6827，依題意知X～B(500，0.6827)，所以E(X)＝500×0.6827＝341.35.反思感悟本題以統(tǒng)計圖表為載體，將正態(tài)分布、二項分布、頻率分布直方圖巧妙的融合在一起，體現(xiàn)了知識的整合性與交匯融合性，搞清這些統(tǒng)計圖表的含義，掌握好樣本特征的計數(shù)方法、各類概率的計算方法及均值與方差的運算是解決問題的關(guān)鍵．二、統(tǒng)計圖表與統(tǒng)計分析例2一家大型超市委托某機(jī)構(gòu)調(diào)查該超市的顧客使用移動支付的情況．調(diào)查人員從年齡在20歲至60歲的顧客中，隨機(jī)抽取了200人，調(diào)查結(jié)果如圖：(1)為推廣移動支付，超市準(zhǔn)備對使用移動支付的每位顧客贈送1個環(huán)保購物袋．若某日該超市預(yù)計有10000人購物，試根據(jù)上述數(shù)據(jù)估計，該超市當(dāng)天應(yīng)準(zhǔn)備多少個環(huán)保購物袋？(2)填寫下面列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷在小概率值α＝0.001的獨立性檢驗下，能否推斷使用移動支付與年齡有關(guān)？移動支付年齡合計年齡<40年齡≥40使用不使用合計200(3)現(xiàn)從該超市這200位顧客年齡在[55,60]的人中，隨機(jī)抽取2人，記這兩人中使用移動支付的顧客為X人，求X的分布列．附：χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)α0.1000.0500.0100.001xα2.7063.8416.63510.828解(1)根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，由頻率估計概率，根據(jù)已知可預(yù)計該超市顧客使用移動支付的概率為：eq\f(20＋25＋25＋15＋15＋10＋8＋7,200)＝eq\f(5,8)，∴超市當(dāng)天應(yīng)準(zhǔn)備的環(huán)保購物袋個數(shù)為10000×eq\f(5,8)＝6250.(2)補(bǔ)充列聯(lián)表為移動支付年齡合計年齡<40年齡≥40使用8540125不使用106575合計95105200零假設(shè)H0：移動支付與年齡無關(guān)，則χ2＝eq\f(200×85×65－40×102,125×75×95×105)≈56.17，∵56.17>10.828，∴在小概率值α＝0.001的獨立性檢驗下，可以認(rèn)為使用移動支付與年齡有關(guān)．(3)X的可能取值為0,1,2，P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(2,22),C\o\al(2,29))＝eq\f(33,58)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,22)C\o\al(1,7),C\o\al(2,29))＝eq\f(11,29)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,7),C\o\al(2,29))＝eq\f(3,58)，∴X的分布列為X012Peq\f(33,58)eq\f(11,29)eq\f(3,58)三、概率統(tǒng)計中的決策問題例3某企業(yè)打算處理一批產(chǎn)品，這些產(chǎn)品每箱100件，以箱為單位銷售．已知這批產(chǎn)品中每箱出現(xiàn)的廢品率只有兩種：可能10%或者20%，兩種可能對應(yīng)的概率均為0.5.假設(shè)該產(chǎn)品正品每件市場價格為100元，廢品不值錢．現(xiàn)處理價格為每箱8400元，遇到廢品不予更換．以一箱產(chǎn)品中正品的價格均值作為決策依據(jù)．(1)在不開箱檢驗的情況下，判斷是否可以購買；(2)現(xiàn)允許開箱，有放回地隨機(jī)從一箱中抽取2件產(chǎn)品進(jìn)行檢驗．①若此箱出現(xiàn)的廢品率為20%，記抽到的廢品數(shù)為X，求X的分布列和均值；②若已發(fā)現(xiàn)在抽取檢驗的2件產(chǎn)品中，其中恰有一件是廢品，判斷是否可以購買．解(1)在不開箱檢驗的情況下，一箱產(chǎn)品中正品的價格均值為：E(ξ)＝100×(1－0.2)×100×0.5＋100×(1－0.1)×100×0.5＝8500>8400，∴在不開箱檢驗的情況下，可以購買．(2)①X的可能取值為0,1,2，P(X＝0)＝Ceq\o\al(0,2)×0.20×0.82＝0.64，P(X＝1)＝Ceq\o\al(1,2)×0.21×0.81＝0.32，P(X＝2)＝Ceq\o\al(2,2)×0.22×0.80＝0.04，∴X的分布列為X012P0.640.320.04E(X)＝0×0.64＋1×0.32＋2×0.04＝0.4.②設(shè)事件A：發(fā)現(xiàn)在抽取檢驗的2件產(chǎn)品中，其中恰有一件是廢品，則P(A)＝Ceq\o\al(1,2)×0.2×0.8×0.5＋Ceq\o\al(1,2)×0.1×0.9×0.5＝0.25，一箱產(chǎn)品中，設(shè)正品的價格的均值為η，則η＝8000,9000，事件B1：抽取的廢品率為20%的一箱，則P(η＝8000)＝P(B1|A)＝eq\f(PAB1,PA)＝eq\f(C\o\al(1,2)×0.2×0.8×0.5,0.25)＝0.64，事件B2：抽取的廢品率為10%的一箱，則P(η＝9000)＝P(B2|A)＝eq\f(PAB2,PA)＝eq\f(C\o\al(1,2)×0.1×0.9×0.5,0.25)＝0.36，∴E(η)＝8000×0.64＋9000×0.36＝8360<8400，∴已發(fā)現(xiàn)在抽取檢驗的2件產(chǎn)品中，其中恰有一件是廢品，不可以購買．四、概率統(tǒng)計中的最值問題例4某超市計劃按月訂購一種冰激凌，每天進(jìn)貨量相同，進(jìn)貨成本為每桶5元，售價為每桶7元，未售出的冰激凌以每桶3元的價格當(dāng)天全部處理完畢，根據(jù)往年銷售經(jīng)驗，每天需求量與當(dāng)天最高氣溫(單位：℃)有關(guān)，如果最高氣溫不低于25℃，需求量為600桶，如果最高氣溫(單位：℃)位于區(qū)間[20,25)，需求量為400桶，如果最高氣溫低于20℃，需求量為200桶．為了確定六月份的訂購計劃，統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表：最高氣溫(℃)[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40]天數(shù)216362574以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率．(1)求六月份這種冰激凌一天的需求量X(單位：桶)的分布列；(2)設(shè)六月份一天銷售這種冰激凌的利潤為Y(單位：元)，當(dāng)六月份這種冰激凌一天的進(jìn)貨量n(單位：桶)為多少時，Y的均值取得最大值？解(1)由已知得，X的所有可能取值為200,400,600，記六月份最高氣溫低于20℃為事件A1，最高氣溫(單位：℃)位于區(qū)間[20,25)為事件A2，最高氣溫不低于25℃為事件A3，根據(jù)題意，結(jié)合頻數(shù)分布表，用頻率估計概率，可知P(X＝200)＝P(A1)＝eq\f(18,90)＝eq\f(1,5)，P(X＝400)＝P(A2)＝eq\f(36,90)＝eq\f(2,5)，P(X＝600)＝P(A3)＝eq\f(36,90)＝eq\f(2,5)，故六月份這種冰激凌一天的需求量X(單位：桶)的分布列為X200400600Peq\f(1,5)eq\f(2,5)eq\f(2,5)(2)由題意得，當(dāng)n≤200時，E(Y)＝2n≤400；當(dāng)200<n≤400時，E(Y)＝eq\f(1,5)×[200×2＋(n－200)×(－2)]＋eq\f(4,5)×n×2＝eq\f(6,5)n＋160∈(400,640]；當(dāng)400<n≤600時，E(Y)＝eq\f(1,5)×[200×2＋(n－200)×(－2)]＋eq\f(2,5)×[400×2＋(n－400)×(－2)]＋eq\f(2,5)×n×2＝－eq\f(2,5)n＋800∈[560,640)；當(dāng)n>600時，E(Y)＝eq\f(1,5)×[200×2＋(n－200)×(－2)]＋eq\f(2,5)×[400×2＋(n－400)×(－2)]＋eq\f(2,5)×[600×2＋(n－600)×(－2)]＝1760－2n<560.所以當(dāng)n＝400時，Y的均值取得最大值640.章末復(fù)習(xí)課一、變量的相關(guān)性1．變量的相關(guān)關(guān)系與樣本相關(guān)系數(shù)是學(xué)習(xí)一元線性回歸模型的前提和基礎(chǔ)，前者可借助散點圖從直觀上分析變量間的相關(guān)性，后者從數(shù)量上準(zhǔn)確刻化了兩個變量的相關(guān)程度．2．在學(xué)習(xí)該部分知識時，體會直觀想象和數(shù)學(xué)運算的素養(yǎng)．例1(1)下列兩個變量具有相關(guān)關(guān)系且不是函數(shù)關(guān)系的是()A．圓的半徑與面積B．勻速行駛的車輛的行駛距離與時間C．莊稼的產(chǎn)量與施肥量D．人的身高與視力答案C解析對于A，圓的半徑與面積是確定的關(guān)系，是函數(shù)關(guān)系；對于B，勻速行駛的車輛的行駛距離與時間是確定的關(guān)系，是函數(shù)關(guān)系；對于C，莊稼的產(chǎn)量與施肥量在一定范圍內(nèi)有相關(guān)關(guān)系，不是函數(shù)關(guān)系；對于D，人的身高與視力，不具有相關(guān)關(guān)系，也不是函數(shù)關(guān)系．故選C.(2)在一次試驗中，測得(x，y)的四組值分別為(1,2)，(2,0)，(4，－4)，(－1,6)，則y與x的樣本相關(guān)系數(shù)為________．答案－1解析方法一eq\x\to(x)＝1.5，eq\x\to(y)＝1，eq\i\su(i＝1,4,x)eq\o\al(2,i)＝22，eq\i\su(i＝1,4,y)eq\o\al(2,i)＝56，eq\i\su(i＝1,4,x)iyi＝－20，樣本相關(guān)系數(shù)r＝eq\f(－20－4×1.5×1,\r(22－4×1.5256－4×12))＝－1.方法二觀察四個點，發(fā)現(xiàn)其在一條單調(diào)遞減的直線上，故y與x的樣本相關(guān)系數(shù)為－1.反思感悟變量相關(guān)性的判斷的兩種方法(1)散點圖法：直觀形象．(2)公式法：可用公式精確計算，需注意特殊情形的樣本相關(guān)系數(shù)．如點在一條直線上，|r|＝1，且當(dāng)r＝1時，正相關(guān)；r＝－1時，負(fù)相關(guān)．跟蹤訓(xùn)練1(1)已知變量x和y滿足關(guān)系y＝－2x＋1，變量y與z正相關(guān)，下列結(jié)論中正確的是()A．x與y正相關(guān)，x與z負(fù)相關(guān)B．x與y正相關(guān)，x與z正相關(guān)C．x與y負(fù)相關(guān)，x與z負(fù)相關(guān)D．x與y負(fù)相關(guān)，x與z正相關(guān)答案C解析根據(jù)題意，變量x和y滿足關(guān)系y＝－2x＋1，其比例系數(shù)為－2<0，所以x與y負(fù)相關(guān)；又由變量y與z正相關(guān)，則x與z負(fù)相關(guān)．故選C.(2)如圖所示，給出了樣本容量均為7的A，B兩組成對樣本數(shù)據(jù)的散點圖，已知A組成對樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)為r1，B組成對樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)為r2，則()A．r1＝r2 B．r1<r2C．r1>r2 D．無法判定答案C解析根據(jù)A，B兩組成對樣本數(shù)據(jù)的散點圖知，A組成對樣本數(shù)據(jù)幾乎在一條直線上，且成正相關(guān)，∴樣本相關(guān)系數(shù)為r1應(yīng)最接近1，B組成對樣本數(shù)據(jù)分散在一條直線附近，也成正相關(guān)，∴樣本相關(guān)系數(shù)為r2，滿足r2<r1，即r1>r2，故選C.二、一元線性回歸模型及其應(yīng)用1．該知識點是具有線性相關(guān)關(guān)系的兩變量的一種擬合應(yīng)用，目的是借助函數(shù)的思想對實際問題做出預(yù)測和分析．2．主要培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模和數(shù)據(jù)分析的素養(yǎng)．例2一商場對每天進(jìn)店人數(shù)和商品銷售件數(shù)進(jìn)行了統(tǒng)計對比，得到如下表格：人數(shù)xi10152025303540件數(shù)yi471215202327其中i＝1,2,3,4,5,6,7.(1)以每天進(jìn)店人數(shù)為橫坐標(biāo)，每天商品銷售件數(shù)為縱坐標(biāo)，畫出散點圖；(2)求經(jīng)驗回歸方程；(結(jié)果保留到小數(shù)點后兩位)(3)預(yù)測進(jìn)店人數(shù)為80時商品銷售的件數(shù)．(結(jié)果保留整數(shù))參考公式：經(jīng)驗回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，eq\o(b,\s\up6(^