2021第四次模擬數(shù)學(理科)試卷含解析

絕密★啟用前

2021年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試

理科數(shù)學試題卷

（銀川一中第四次模擬考試）

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。

淅D|n2.作答時.，務必將答案寫在答題卡上。寫在本試卷及草稿紙上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，滿分60分.在每小題給出的四個選項中，

只有一項是符合題目要求的.

1.集合尸==＞，Q=｛（x,y）\y=-x2+2\,則集合尸口。的真子集個

軟W數(shù)為

A.0B.1C.2D.3

—2021

2.已知復數(shù)2=則三的虛部是

1+1

A.-1B.-iC.1D.i

3.已知數(shù)列｛凡｝是首項為《，公差為d的等差數(shù)列，前〃項和為S“，滿足2%=%+5,

則S9=

A.35B.40C.45D.50

4.設直線爾2x-my=l,/2：（m-l）x-y=l,則“m=2"是的

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

5.已知3=（1,后），|方|=3,|,+2刈=4五，記Z與B夾角為，，則cos（/+2。）為

6.算盤是中國傳統(tǒng)的計算工具，是中國人在長期使用算籌的基礎上發(fā)明的，“珠算”一詞最

早見于東漢徐岳所撰的《數(shù)術(shù)記遺》，其中有云：“珠算控帶四時，經(jīng)緯三才北周甄

鸞為此作注，大意是：把木板刻為3部分，上、下兩部分是停游珠用的，中間一部分是

作定位用的.下圖是一把算盤的初始狀態(tài)，自右向左，分別是個位、十位、百位…，上

面一粒珠（簡稱上珠）代表5,下面一粒珠（簡稱下珠）是1,即五粒下珠的大小等于

同組一粒上珠的大小.現(xiàn)在從個位和十位這兩組中隨機選擇往下?lián)芤涣Ｉ现?，往上?

粒下珠，得到的數(shù)為質(zhì)數(shù)（除了1和本身沒有其它的約數(shù)）的概率是

梁、彳上珠

檔一"Ad山"5

卜下球

框、mw出出

c12

ABc.一D.

-\-133

7.蘇格蘭數(shù)學家科林麥克勞林（Co/加例收h"⑼研究出了著名的Maclaurin級數(shù)展開式，受

到了世界上頂尖數(shù)學家的廣泛認可，下面是麥克勞林建立的其中一個公式：

ln（l+x）=x-—+—+試根據(jù)此公式估計下面代數(shù)式

'，234v'n

四+半+孚《+...+(_1)產(chǎn)座匚+...（〃25）的近似值為（）（可能用到數(shù)值

n

In2.414=0.881,ln3.414=1.23)

A.3.23B.2.881

C.1.881D.1.23

8.已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為

3

A.—71

8

兀

B.

4

5

C.一R

24

7

D.一71

24俯視圖

若?在（上存在單調(diào)遞增區(qū)間，則的取值范圍是

9.#+#+220

A.(-00,0]B.y,o)C.[0,+00)D.(0,+oo)

10.設A,5是橢圓C:三+二=1長軸的兩個端點，若C上存在點M滿足NAM8=I2O。，

3m

則，〃的取值范圍是

A.(0,1]B.(0,l]u[3,+oo)C.(0,l]u[9,+<?)D.[9,+oo)

11.關于函數(shù)/(x)=|cosx|+cos|2x|有下列四個結(jié)論：ay(X)的值域為[-1,2]；

7T3冗

@f(x)在[0,彳]上單調(diào)遞減；?f(x)的圖象關于直線x=1對稱；?f(x)的最

小正周期為兀上述結(jié)論中，不正確命題的個數(shù)有

A.1個B.2個C.3個D.4個

12.若函數(shù)/(幻=丁+奴2+法+c有極值點斗,x?,且_/?(%)=&,則關于x的方程

3(f(x)y+2afM+b=0的不同實根個數(shù)是

A.2B.3C.3或4D.3或4或5

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

x-y-3<0

13.若實數(shù)x,y滿足約束條件Sx-y+SNO,則z=x-2y取得最大值的最優(yōu)解為

x+y-3<0

14.由y=-x?+2x+l,y=x,x=l,x=0圍成封閉圖形的面積為.

22

15.已知雙曲線C:亮-與=1的左右焦點分別是月，尸?，點2是C的右支上的一點(不

是頂點)，過用作NRPg的角平分線的垂線，垂足是M,O是原點，則|MO|=.

16.九連環(huán)是我國古代至今廣為流傳的一種益智游戲，它由九個鐵絲圓環(huán)相連成串，按一

定規(guī)則移動圓環(huán)的次數(shù)，決定解開圓環(huán)的個數(shù)在某種玩法中，用。“表示解下

〃(“49,〃eN*)個圓環(huán)所需的最少移動次數(shù)，數(shù)列｛?！埃凉M足弓=1,且

則解下〃(〃為奇數(shù))個環(huán)所需的最少移動次數(shù)為_________.(用含

2?！癬1+2,〃為奇數(shù)，

〃的式子表示)

三、解答題：共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17?21題為必考

題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。

(-)必考題：共60分)

17.(12分)

已知函數(shù)/(x)=sinxsin(x+馬+cos?(x——)--.

6122

(1)求函數(shù)/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；

(2)已知銳角△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且/(與=6

求acosB-bcosC的取值范圍.

18.(12分)

有一款擊鼓小游戲規(guī)則如下：每盤游戲都需要擊鼓三次，每次擊鼓要么出現(xiàn)一次音樂，

要么不出現(xiàn)音樂；每盤游戲擊鼓三次后，出現(xiàn)一次音樂獲得10分，出現(xiàn)兩次音樂獲得20

分，出現(xiàn)三次音樂獲得50分，沒有出現(xiàn)音樂則扣除150分(即獲得一150分).設每次擊

鼓出現(xiàn)音樂的概率為,，且各次擊鼓出現(xiàn)音樂相互獨立.

2

(1)玩一盤游戲，至少出現(xiàn)一次音樂的概率是多少？

(2)設每盤游戲獲得的分數(shù)為X,求X的分布列；許多玩過這款游戲的人都發(fā)現(xiàn)，玩

的盤數(shù)越多，分數(shù)沒有增加反而減少了.請運用概率統(tǒng)計的相關知識分析其中的道理.

19.(12分)

如圖，在四棱錐P-A8C。中，側(cè)棱％，底面ABC。，AD//BC,Z4BC=90。，PA=

AB=BC=2,AD=\,M是棱PB中點.

(1)求證：AM〃平面PCD；

(2)設點N是線段CO上一動點，且ON=n)C,

當直線MN與平面物8所成的角最大時，求人的值.

20.(12分)

已知函數(shù)/(x)=x(lnx-m-1),m&R.

(1)若機=2,求曲線y=/(x)在點3/(e))處的切線方程；

(2)若對于任意xw［e,e2］,都有/(x)<41nx成立，求實數(shù)機的取值范圍.

21.(12分)

在直角坐標系x。)，中，動圓P與圓Q：(x-2)2+尸=1外切，且圓P與直線x=-l

相切，記動圓圓心P的軌跡為曲線C

(1)求曲線C的軌跡方程；

(2)設過定點S(-2,0)的動直線/與曲線C交于A,8兩點，試問：在曲線C上是

否存在點M(與A,8兩點相異)，當直線MA,MB的斜率存在時，直線MA,歷3的斜率

之和為定值？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由.

(-)選考題：共10分.請考生在第22、23兩題中任選一題做答，如果多做，則按所做的

第一題記分.

22.［選修4—4：坐標系與參數(shù)方程］

在平面直角坐標系中，圓C的參數(shù)方程為卜=尸：28$"(0為參數(shù))，以坐標原點為

極點，以X軸的正半軸為極軸建立極坐標系，且長度單位相同.

(1)求圓C的極坐標方程；

(2)若過原點的直線/被圓C截得的弦長為2,求直線/的傾斜角.

23.［選修4-5：不等式選講］

已知/(x)=|x-l|-?|x+l|.

(1)若a=l，解不等式/(x)<l；

(2)若不等式無解，求實數(shù)a的取值范圍.

銀川一中2021屆高三第四次模擬數(shù)學（理科）試卷參考答案

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，滿分60分.在每小題給出的四個選項中,

只有一項是符合題目要求的.

123456789101112

DCCADBBDDCAB

二'填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

,、7

13.(-2,-5)14.-15.416.2"-'

三、解答題：共70分，解答應寫出文字說明'證明過程或演算步驟.第17?21題為必考

題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。

,nit1

17.【解答】解：(1)由題意可得/(x)=sinxsin(x+A)+COS2(X—T?)-2

包+工+工--

sinx(7sinx2cosx)2cos(2xA)

_y3(l-cos2x)1月1

-4H4sin2x~4~cos2x+4sin2x

1+邑

=2sin2x4,

巴+<3nv37r

令22kn<lx—~2~±2kn9kCZ,解得4kn<x二丁十kn,kGZ,

n3n

故函數(shù)/(，)的單調(diào)遞減區(qū)間為[4+E,4+E],kCZ.

0-1上6_門_73

(2)由(1)知/(?)=zsinB+1-=W,解得sin8=工

nn

因為36(0,2),所以3=F

abcy/3

sf>i>1sinBsinC'3

由正弦定理可知-2,貝！Ja=2sin4,c=2sinC,

所以acosB-bcosC=亍一3cosc=sinA-V3cos(TT-4-=sinA+V3cos

+坦_3=巨_1二+

(A2)=sinA2cosA2sinA2cosA2sinA=cos(6A),

z_

KJ-r<

得

T可6A

在銳角AABC中，可得

—VA4--V.....-4-工一

因此362,貝！1cos(6+A)G(-2,2),

_11

故acosB-方cos。的取值范圍為(2,2).

1

18.【解答】解：(I)每盤游戲都需要擊鼓三次，每次擊鼓出現(xiàn)音樂的概率為2,且

各次擊鼓出現(xiàn)音樂相互獨立.

3

玩一盤游戲，至少出現(xiàn)一次音樂的概率是：P=1-C?(1)°(l-^)=g(

(II)設每盤游戲獲得的分數(shù)為X,則X可能取值為-150,10,20,50,

P(X=-150)=C?(1)°(1-1)3=g,

P(X=10)=C3(1)(1-T)2=1

P(X=20)=C3(|)2(1-4)=1,

P(X=50)=C3(J)3=1

；.X的分布列為：

X-150102050

p

_1_3315

：.E(X)=T50xff+10xff+20x1r+50x

二每盤游戲得分的平均數(shù)是一2,得負分，

...由概率統(tǒng)計的相關知識可知：玩的盤數(shù)越多，分數(shù)沒有增加反而減少了.

19.【解答】(I)證明：以點A為原點建立如圖所示的空間直角坐標系，則A(0,0,

0),B(0,2,0),C(2,2,0),D(1,0,0),P(0,0,2),M(0,1,1),

:.AM=(0,1,1),PD=(1,o,-2),CD=(-1,-2,0)

_(x-2z=0

設平面PC。的法向量是3=(x,y,z),貝！Il-x-2v=0

令z=L貝!Ix=2,y=-1,于是n=(2,-1,1)

TTTT

VAMn-0,4Ml.n,.?.AM〃平面PC。...(6

分)

(H)解：由點N是線段CD上的一點，可設DN=XDC=X(lr2,0)

R=AD+DN=(1,0,O)+M1,2,0)=(1+A,2X,0)MN=AN-AM=

(1+X,2入，0)-(0,1,1)=(1+A,2A-1,-1)

又面R18的法向量為6=(1,0,0)

設MN與平面PAB所成的角為0

則

(1+A,2入-1,-1)-(1,0,0)1+入I_

sivB=

J(1+A)Z+(2A-1)2+1、以2-2入+3I―

?1+入?_?1?_?1?

；5(14-1)2-12(1+A)+10-，5-百10島A-卜0(互蚪)

132

當E=G時，即5=3+3入，入=專時，$皿0最大,

：.MN與平面PAB所成的角最大時入

20.【詳解】(1)/(x)=(lnx—3)x,f(e)=-2e

/Xx)=--x+lnx-3=lnx-2,則攵=/'(e)=-1

X

所以y=/(x)在點(e,7(e))處的切線方程為y+2e=-(x-e)即x+y+e=0

(3)因為對于任意xe［e,e2］,都有/(x)<41nx成立，所以/(x)-41nx<0,

即問題轉(zhuǎn)化為(％-4)Inx—(m+l)x<0對于xe［e,e?］恒成立，

即m+1對于xw［e,e2］恒成立，

人/、(x-4)Inx.I，/、41nx+x-4

令晨上1——--，貝心(幻二-----2——，

XX

令/(x)=41nx+x_4,貝［］/(X)=3+1〉0,

x

所以/(X)在區(qū)間［e,e?］上單調(diào)遞增，

故小)min=?e)=e-4+4=e>0,進而g'(x)>0,

所以g(x)在區(qū)間［e,e2］上單調(diào)遞增，

函數(shù)g(X)max=g(e2)=2—5，

要使〃z+1〉C"4)】nx對于xe［e,e?］恒成立，只要加+1>g(x)max，

所以機+1>2—5,即實數(shù)機的取值范圍是11-5,+刃］.

21.【解答】解：(1)設P(x,y),圓尸的半徑為r,

因為動圓尸與圓Q：（X-2）2+y2=l外切，...............................（1分）

所以j（x-2）2+y2=r+i,①............................................c

分）

又動圓P與直線x=-l相切，

所以r=x+l,②................................................................................................................（3分）

由①②消去r得產(chǎn)=8為，

所以曲線C的軌跡方程為V=8x...................................................................................（5分）

（2）假設存在曲線C上的點M滿足題設條件，不妨設M（xo,刈），A（xi,ji）,〃（X2,

）2）,

貝|JJo=8x0,y?=8*i,另=8*2,"必=d=就，

u__8

Xj-XnV?+Vn?...（6分）

k+k=8+8=8（力+「2+2>。：|

所以MAMB-yt+yo*5-,+（九+及）ro+y/2,③..................（7分）

顯然動直線，的斜率存在且非零，設，：x=ty-2,

（y2=8x

聯(lián)立方程組lx=tv-2,消去X得y2-80+16=0,

由A>0得f>l或fV-1,所以yi+y2=8f,yo?2=16,且yi分2.................................（8分）

r.11._woyuJ_m

代入③式得'1MMs一不布而，令衣布而一（機為常數(shù)），

整理得（8"iyo-64）t+（my；-16y（）+16m）=0,④.....................................“分）

因為④式對任意P（-8,-1）U（1,+00）恒成立，

|8my0-64=0

所以|m^-16yo+16m=O>...............................................................................（10分）

所以lvn=4或IVn=-4,即M（2,4）或M（2,-4）,

即存在曲線C上的點M（2,4）或M（2,-4）滿足題意...