雙曲線單元測試題

《雙曲線》單元測試題一、選擇題：(本大題共10小題，每小題5分，共50分．)1．已知焦點在x軸上的雙曲線的漸近線方程是y＝±4x，則該雙曲線的離心率是(A)A.eq\r(17)B.eq\r(15)C.eq\f(\r(17),4)D.eq\f(\r(15),4)2．若雙曲線過點(m，n)(m>n>0)，且漸近線方程為y＝±x，則雙曲線的焦點(A)A．在x軸上 B．在y軸上C．在x軸或y軸上 D．無法判斷是否在坐標軸上3．雙曲線虛軸的一個端點為M，兩個焦點為F1、F2，∠F1MF2＝120°，則雙曲線的離心率為(B)A.eq\r(3)B.eq\f(\r(6),2)C.eq\f(\r(6),3) D.eq\f(\r(3),3)4．已知雙曲線9y2－m2x2＝1(m>0)的一個頂點到它的一條漸近線的距離為eq\f(1,5)，則m等于(D)A．1B．2C．3D．45．已知雙曲線的兩個焦點為F1(－eq\r(10)，0)、F2(eq\r(10)，0)，M是此雙曲線上的一點，且滿足則該雙曲線的方程是(A)A.eq\f(x2,9)－y2＝1B．x2－eq\f(y2,9)＝1C.eq\f(x2,3)－eq\f(y2,7)＝1 D.eq\f(x2,7)－eq\f(y2,3)＝16．設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線x2－eq\f(y2,24)＝1的兩個焦點，P是雙曲線上的一點，且3|PF1|＝4|PF2|，則△PF1F2的面積等于(C)A．4eq\r(2)B．8eq\r(3)C．24

D．487．P是雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)上的點，F(xiàn)1，F(xiàn)2是其焦點，雙曲線的離心率是eq\f(5,4)，且·＝0，若△F1PF2的面積是9，則a＋b的值等于(B)A．4B．7C．6D．58．設(shè)F1、F2分別為雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點．若在雙曲線右支上存在點P，滿足|PF2|＝|F1F2|，且F2到直線PF1的距離等于雙曲線的實軸長，則該雙曲線的漸近線方程為(C)A．3x±4y＝0B．3x±5y＝0C．4x±3y＝0D．5x±4y＝09．過雙曲線x2－y2＝8的左焦點F1有一條弦PQ在左支上，若|PQ|＝7，F(xiàn)2是雙曲線的右焦點，則△PF2Q的周長是(C)A．28 B．14－8eq\r(2)C．14＋8eq\r(2) D．8eq\r(2)10．我們把離心率為e＝eq\f(\r(5)＋1,2)的雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)稱為黃金雙曲線．給出以下幾個說法：①雙曲線x2－eq\f(2y2,\r(5)＋1)＝1是黃金雙曲線；②若b2＝ac，則該雙曲線是黃金雙曲線；③若∠F1B1A2④若∠MON＝90°，則該雙曲線是黃金雙曲線．其中正確的是(D)A．①②B．①③C．①③④D．①②③④二、填空題：(本大題共5小題，每小題5分，共25分，把正確答案填在題后的橫線上．)11．如圖，橢圓①，②與雙曲線③，④的離心率分別為e1，e2，e3，e4，其大小關(guān)系為__e1<e2<e4<e3____________．12．已知雙曲線x2－eq\f(y2,3)＝1的左頂點為A1，右焦點為F2，P為雙曲線右支上一點，則·的最小值為___－2_____．13．已知點P是雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1上除頂點外的任意一點，F(xiàn)1、F2分別為左、右焦點，c為半焦距，△PF1F2的內(nèi)切圓與F1F2切于點M，則|F1M|·|F2M|＝__b2______.14．已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1(－c,0)、F2(c,0)．若雙曲線上存在點P，使eq\f(sin∠PF1F2,sin∠PF2F1)＝eq\f(a,c)，則該雙曲線的離心率的取值范圍是___(1，eq\r(2)＋1)_____15．以雙曲線的實軸為虛軸，虛軸為實軸的雙曲線叫做原雙曲線的共軛雙曲線，若一條雙曲線與它的共軛雙曲線的離心率分別為e1，e2，則當(dāng)它們的實、虛軸都在變化時，eeq\o\al(2,1)＋eeq\o\al(2,2)的最小值是___4_____．三、解答題：(本大題共4小題，共45分．)16.(本題滿分10分)已知雙曲線的中心在原點，焦點F1，F(xiàn)2在坐標軸上，離心率為eq\r(2)，且過點(4，－eq\r(10))．點M(3，m)在雙曲線上．(1)求雙曲線方程；(2)求證：·＝0；(3)求△F1MF2面積．解：(1)∵e＝eq\r(2)，∴可設(shè)雙曲線方程為x2－y2＝λ.∵過點(4，－eq\r(10))，∴16－10＝λ，即λ＝6.∴雙曲線方程為x2－y2＝6.(2)證明：法一：由(1)可知，雙曲線中a＝b＝eq\r(6)，∴c＝2eq\r(3)，∴F1(－2eq\r(3)，0)，F(xiàn)2(2eq\r(3)，0)，∴kMF1＝eq\f(m,3＋2\r(3))，kMF2＝eq\f(m,3－2\r(3))，kMF1·kMF2＝eq\f(m2,9－12)＝－eq\f(m2,3).∵點(3，m)在雙曲線上，∴9－m2＝6，m2＝3，故kMF1·kMF2＝－1，∴MF1⊥MF2.∴·＝0.法二：∵＝(－3－2eq\r(3)，－m)，＝(2eq\r(3)－3，－m)，∴·＝(3＋2eq\r(3))×(3－2eq\r(3))＋m2＝－3＋m2，∵M點在雙曲線上，∴9－m2＝6，即m2－3＝0，∴·＝0.(3)△F1MF2的底|F1F2|＝4eq\r(3)，由(2)知m＝±eq\r(3).∴△F1MF2的高h＝|m|＝eq\r(3)，∴S△F1MF2＝6.17．(本題滿分10分)已知曲線C：eq\f(y2,λ)＋x2＝1.(1)由曲線C上任一點E向x軸作垂線，垂足為F，動點P滿足，求點P的軌跡．P的軌跡可能是圓嗎？請說明理由；(2)如果直線l的斜率為eq\r(2)，且過點M(0，－2)，直線l交曲線C于A、B兩點，又，求曲線C的方程．解：(1)設(shè)E(x0，y0)，P(x，y)，則F(x0,0)，∵，∴(x－x0，y)＝3(x－x0，y－y0)．∴代入eq\f(y\o\al(2,0),λ)＋xeq\o\al(2,0)＝1中，得eq\f(4y2,9λ)＋x2＝1為P點的軌跡方程．當(dāng)λ＝eq\f(4,9)時，軌跡是圓．(2)由題設(shè)知直線l的方程為y＝eq\r(2)x－2，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯(lián)立方程組消去y得：(λ＋2)x2－4eq\r(2)x＋4－λ＝0.∵方程組有兩解，∴λ＋2≠0且Δ>0，∴λ>2或λ<0且λ≠－2，x1·x2＝eq\f(4－λ,λ＋2)，而＝x1x2＋(y1＋2)·(y2＋2)＝x1x2＋eq\r(2)x1·eq\r(2)x2＝3x1x2＝eq\f(3(4－λ),λ＋2)，∴eq\f(4－λ,λ＋2)＝－eq\f(3,2)，解得λ＝－14.∴曲線C的方程是x2－eq\f(y2,14)＝1.18．(本題滿分12分)如圖，P是以F1、F2為焦點的雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1上的一點，已知(1)求雙曲線的離心率e；(2)過點P作直線分別與雙曲線的兩漸近線相交于P1、P2兩點，若.求雙曲線C的方程．解：(1)由得，即△F1PF2為直角三角形．設(shè)＝2r，于是有(2r)2＋r2＝4c2和2r－r＝2a，也就是5×(2a)2＝4c2，所以e＝eq\r(5).(2)eq\f(b,a)＝eq\r(e2－1)＝2，可設(shè)P1(x1,2x1)，P2(x2，－2x2)，P(x，y)，則＝x1x2－4x1x2＝－eq\f(27,4)，所以x1x2＝eq\f(9,4).①由即x＝eq\f(2x1＋x2,3)，y＝eq\f(2(2x1－x2),3)；又因為點P在雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1上，所以eq\f((2x1＋x2)2,9a2)－eq\f(4(2x1－x2)2,9b2)＝1，又b2＝4a2，代入上式整理得x1x2＝eq\f(9,8)a2②，由①②得a2＝2，b2＝8，故所求雙曲線方程為eq\f(x2,2)－eq\f(y2,8)＝1.19．(本題滿分13分)已知中心在原點的雙曲線C的右焦點為(2,0)，實軸長為2eq\r(3).(1)求雙曲線C的方程；(2)若直線l：y＝kx＋eq\r(2)與雙曲線C左支交于A、B兩點，求k的取值范圍；(3)在(2)的條件下，線段AB的垂直平分線l0與y軸交于M(0，m)，求m的取值范圍．解：(1)設(shè)雙曲線C的方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)．由已知得：a＝eq\r(3)，c＝2，再由a2＋b2＝c2，∴b2＝1，∴雙曲線C的方程為eq\f(x2,3)－y2＝1.(2)設(shè)A(xA，yA)、B(xB，yB)，將y＝kx＋eq\r(2)代入eq\f(x2,3)－y2＝1，得：(1－3k2)x2－6eq\r(2)kx－9＝0.由題意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－3k2≠0，,Δ＝361－k2>0，,xA＋xB＝\f(6\r(2)k,1－3k2)<0，,xAxB＝\f(－9,1－3k2)>0，))解得eq\f(\r(3),3)<k<1.∴當(dāng)eq\f(\r(3),3)<k<1時，l與雙曲線左支有兩個交點．(3)由(2)得：xA＋xB＝eq\f(6\r(2)k,1－3k2)，∴yA＋yB＝(kxA＋eq\r(2))＋(kxB＋eq\r(2))＝k(xA＋xB)＋2eq\r(2)＝eq\f