第七章套利定價理論APT

第七章套利定價理論（APT）第一節(jié)

套利的概念及無套利法則2006年@賀莉萍投資學(xué)第7章StephenRoss教授一直對CAPM持批評態(tài)度，1976年他以套利觀點為基礎(chǔ)開發(fā)了另一個資產(chǎn)定價模型，稱為套利定價模型投資學(xué)第7章羅斯簡介羅斯生于1944年，1970年獲哈佛大學(xué)經(jīng)濟學(xué)博士學(xué)位。羅斯曾任美國金融學(xué)會主席，現(xiàn)任羅爾－羅斯資產(chǎn)管理公司總裁。羅斯研究過許多重大課題，在APT、期權(quán)定價理論、利率的期限結(jié)構(gòu)等方面作出過突出貢獻(xiàn)。他的關(guān)于風(fēng)險和套利的思想已成為許多投資公司的基本理念。

投資學(xué)第7章一、APT的提出1976年，羅斯在《經(jīng)濟理論雜志》上發(fā)表論文“資本資產(chǎn)定價的套利理論”，提出了一種新的定價模型—APT。APT用無套利法則定義均衡，不需要M的存在，且所需假設(shè)比CAPM少投資學(xué)第7章二、什么是套利？APT是建立在一個很重要的概念--套利(Arbitrage)之上的。套利：是一個經(jīng)濟學(xué)術(shù)語。指利用資產(chǎn)定價之間的不一致進行資金轉(zhuǎn)移，從中賺取無風(fēng)險利潤的行為。同時進行等量資產(chǎn)的買賣，以便從其價格差異中獲利套利的一個重要特點是無風(fēng)險性，因此存續(xù)時間很短。投資學(xué)第7章兩種典型的套利行為當(dāng)前時刻凈支出為0，將來獲得正收益。期初投資為零，通常是通過賣空一些資產(chǎn)并同時購買另一些資產(chǎn)來實現(xiàn)。好處：免費的午餐，白手起家。如向某銀行以2%的年利率貸款1萬元一年，用這1萬元購買一年期利率為4%的國庫劵，可套利200元。

投資學(xué)第7章當(dāng)前時刻凈支出為正，將來凈現(xiàn)金流確定為零。如沒有將賣空的收益全部用于購買資產(chǎn)，從而先獲得收益。好處：現(xiàn)在就可賺錢。如，有一集郵愛好者要以1000元賣某張珍貴郵票給你，而剛好不久前另一位集郵愛好者向你尋購這種郵票，并支付了1200元定金。投資學(xué)第7章三、APT的研究內(nèi)容APT理論對證券收益率的解釋以多因素模型為基礎(chǔ)，認(rèn)為證券的收益率是一組系統(tǒng)因素的線性函數(shù)APT研究如何運用無套利條件下的因素模型，來使期望收益和風(fēng)險的關(guān)系簡單化這種風(fēng)險收益分析方法稱為APT投資學(xué)第7章四、無套利法則一價法則和等值等價法則統(tǒng)一稱為無套利法則?！耙粌r法則”如期貨“等值等價法則”套利還應(yīng)包括那些“相似”資產(chǎn)構(gòu)成的近似套利機會。兩種具相同風(fēng)險的資產(chǎn)不能以不同的期望收益率出售，否則會出現(xiàn)套利機會投資學(xué)第7章實際中我們在運用套利概念時，更多的是指風(fēng)險套利。投資學(xué)第7章APT對資產(chǎn)的評價不是基于馬克維茨模型，而是基于無套利原則和因素模型。APT的基本原理：由無套利原則，在因素模型下，具相同因素敏感性的資產(chǎn)（或組合），應(yīng)提供相同的期望收益率。否則，“準(zhǔn)套利”機會便產(chǎn)生——APT邏輯核心。五、APT的基本原理投資學(xué)第7章六、APT的基本假設(shè)市場是有效的投資者追求效用最大化（套利）不必對投資者風(fēng)險偏好作假設(shè)？資產(chǎn)回報可用因素模型表示市場處于均衡狀態(tài)資產(chǎn)數(shù)量眾多隨機誤差項用來衡量收益中的非系統(tǒng)風(fēng)險部分，它與所有因素及其他證券的誤差項之間彼此不相關(guān)。投資學(xué)第7章套利行為將導(dǎo)致一個資產(chǎn)價格的調(diào)整過程，最終套利機會消失！無套利均衡套利行為是市場均衡價格形成的一個決定因素。套利行為評價投資學(xué)第7章例：存在三只證券時如何創(chuàng)造套利機會？證券價格情形1的回報情形2的回報A7050100B6030120C8038112三只證券A、B、C能以表中的價格在當(dāng)前購買，且從現(xiàn)在起1年內(nèi)每只證券只能產(chǎn)生情形1和情形2這兩種回報之一。投資學(xué)第7章構(gòu)造一個包含A和B的投資組合，它將與證券C在情形1或情形2具有相同的收益。以WA和WB分別表示其投資比例。則兩種情形下的回報如下：情形1：50WA+30WB=38情形2：100WA+120WB=112聯(lián)立兩等式可解出：WA=0.4WB=0.6投資學(xué)第7章投資組合（A+B）的單位成本

0.4×70+0.6×60=64；證券C單位成本為80

投資者花64元就獲得了與證券C相同的回報。設(shè)計套利機會：按0.4和0.6的比例買入A和B并賣空C。投資學(xué)第7章套利結(jié)果如下圖，其中組合的價值是100萬元，賣空的C也是100萬元情形1和情形2，都在沒有風(fēng)險的情況下獲利了。這樣的機會將被市場迅速消除？A、B、C的市場價格會發(fā)生什么變化？證券投資情形1情形2A4028.571557.1429B6030120C-100-47.5-140總計011.071537.1429投資學(xué)第7章第二節(jié)單因素和多因素APT模型羅斯在提出APT時，首先考察的是單因素模型。2006年@賀莉萍投資學(xué)第7章APT假設(shè)證券回報可用預(yù)期到的回報和未預(yù)期到的回報兩部分來解釋，構(gòu)成了一個特殊的因素模型。共同因素對其期望值的偏離預(yù)期的回報一、單因素模型投資學(xué)第7章二、多因素模型例：設(shè)某證券收益受通脹率、利息率和GDP增長率三個系統(tǒng)風(fēng)險因素的影響：……投資學(xué)第7章三、構(gòu)建套利組合據(jù)APT，投資者會盡力發(fā)現(xiàn)構(gòu)造套利組合的可能，以便在不增加風(fēng)險的情況下提高回報率。投資學(xué)第7章套利組合是同時滿足下列三個條件的證券組合：零投資：不需要追加任何額外投資無風(fēng)險：既無系統(tǒng)性風(fēng)險，即套利組合對因素的敏感度為0，也無非系統(tǒng)性風(fēng)險正收益：套利組合的期望收益大于零當(dāng)市場達(dá)到均衡時，套利組合的預(yù)期收益為0

投資學(xué)第7章用數(shù)學(xué)表示就是：投資學(xué)第7章四、套利定價模型（APTModel）（一）APT結(jié)構(gòu)形式為一個均衡狀態(tài)下的因素模型羅斯是基于以下兩點來推導(dǎo)APT模型的（1）在一個有效市場中，當(dāng)市場處于均衡狀態(tài)時，不存在無風(fēng)險套利機會。（2）對一個高度多元化的資產(chǎn)組合來說，只有幾個共同因素需要補償。證券i與這些共同因素的關(guān)系為：投資學(xué)第7章套利定價理論中的資產(chǎn)定價可分解為兩部分：無風(fēng)險利率因素風(fēng)險收益率套利定價模型可表述為：一種證券的預(yù)期收益率與它的影響因素線性相關(guān)，截距等于無風(fēng)險收益率投資學(xué)第7章（二）套利定價模型推導(dǎo)假設(shè)構(gòu)造一個套利組合：以無風(fēng)險利率借入1元錢，投資在兩種資產(chǎn)上，構(gòu)造一個自融資組合。假設(shè)無風(fēng)險利率為，兩個資產(chǎn)是資產(chǎn)i和j，在因素模型的假定下，套利組合的收益為（忽略殘差）：投資學(xué)第7章若不存在套利機會，則該套利組合的收益為0=投資學(xué)第7章命題7.1：假設(shè)n種資產(chǎn)其收益率受m個因素決定（m<n），即其中，i=1,2,…,n；j=1,2,…,m，則:嚴(yán)格證明投資學(xué)第7章證明：假設(shè)在資產(chǎn)i上投資wi，構(gòu)造零投資且無風(fēng)險組合，即wi

滿足：零投資無風(fēng)險（7.2）（7.1）即，1、bj（j=1,2,…,m)線性無關(guān)。投資學(xué)第7章如市場有效，則會有套利均衡，則零投資、無風(fēng)險的組合必然無收益則：這等價于，只要對于任意的W，如果有：投資學(xué)第7章根據(jù)線性代數(shù)知識，而后又產(chǎn)生了應(yīng)滿足的一個正交條件，由于已經(jīng)滿足式（7.1）和（7.2），因此為這m+1個向量的線性組合，即存在一組不全為零的m+1個系數(shù)使得：投資學(xué)第7章abC在向量空間中，如果向量a、b正交于c，如果d也正交與c，則d必須落在由a和b張成的二維空間上，d可以由a、b線性表示！0示意圖：向量空間投資學(xué)第7章五、期望收益與實際收益兩式有很多相似之處，但意義完全不同。

右式描述的是證券i的期望收益率。左式描述的是i的實際收益率。在因素實際值出現(xiàn)之前，i的期望收益由右式描述。因素的預(yù)期變化對收益率的影響已包含在中。當(dāng)因素實際值公布后，其與期望值的偏離，會導(dǎo)致i的實際收益率偏離其期望收益率。投資學(xué)第7章六、APT的意義若bij＝0，則資產(chǎn)為無風(fēng)險資產(chǎn)，則若bij≠0，則期望回報隨著的增加而增大，所以是因子的風(fēng)險價格。自變量投資學(xué)第7章結(jié)論：當(dāng)所有證券關(guān)于特定因素的風(fēng)險價格都相等時，則證券之間不存在套利機會。投資學(xué)第7章套利行為將對證券價格產(chǎn)生影響，其預(yù)期收益率也將作出調(diào)整。投資者為獲利必盡可能購入h，使其價格上升，預(yù)期收益率下降，最終到達(dá)APT定價線。在均衡時，所有證券都落在套利定價線上。APT定價線投資學(xué)第7章七、相同貝塔值的充分分散化組合有相同的期望收益率圖中實線顯示在不同的F下，一個bA=1的充分分散化資產(chǎn)組合A的收益情況。A的期望收益是10%，由于bA=1，因此組合的收益為E(rA)+bAF=10%+1.0×F

如系統(tǒng)因素F為3%，則

組合的收益就為13%；如系統(tǒng)因素F為-3%，則組合的收益就為7%。投資學(xué)第7章圖上虛線代表另一充分分散化資產(chǎn)組合B的收益。假定其收益期望值為8%，bB也等于1。則A和B可否共存呢？

？在套利的作用下，A和B的收益差會逐漸消失。相同貝塔值的充分分散化組合的均衡收益是唯一的。投資學(xué)第7章八、不同貝塔值的組合，其風(fēng)險溢價與貝塔成比例任何貝塔值為0.5的組合都是斜線上同一點，否則就存在套利機會所有貝塔值不同的組合都在同一條斜線APT上，一旦不在一條線上，就會導(dǎo)致套利投資學(xué)第7章第三節(jié)

APT的另一種表達(dá)則稱該組合p為純因子組合(類似于CAPM的M)投資學(xué)第7章在兩因子模型下，我們有即投資學(xué)第7章第1因子的風(fēng)險價格第2因子的風(fēng)險價格這樣可將APT的表達(dá)式可改寫成：投資學(xué)第7章在多元化資產(chǎn)組合中，各資產(chǎn)對某因素有著不同的敏感度可通過對資產(chǎn)進行適當(dāng)組合而使其對某一因素的敏感度為0或1。證券的期望收益率等于無風(fēng)險收益率，加上m個因素的風(fēng)險補償；資產(chǎn)對因素的敏感度越大，則其應(yīng)得到的風(fēng)險補償越大。投資學(xué)第7章一、APT與CAPM的聯(lián)系兩者的研究對象相同——風(fēng)險資產(chǎn)的定價，應(yīng)用的核心都是尋找價格被誤定的證券。APT與CAPM的一致性（APT導(dǎo)出了與CAPM相似的一種關(guān)系）當(dāng)收益率通過單一因素（指數(shù)收益率）形成時，APT形成了一種與CAPM模型相似的關(guān)系。APT被認(rèn)為是廣義的CAPM模型，是CAPM模型的修正和補充。CAPM可看作是APT在某些更嚴(yán)格假設(shè)下的特例。投資學(xué)第7章二、APT與CAPM的不同APT模型更具體地表現(xiàn)為尋找套利機會。在CAPM中，M居于不可或缺的地位。在實際應(yīng)用中，只要指數(shù)基金等組合即可滿足APT，所以APT的適用性更強兩種理論市場均衡的得出不同。投資學(xué)第7章三、APT對資產(chǎn)組合的指導(dǎo)意義APT對系統(tǒng)風(fēng)險進行了細(xì)分，使投資者能測量資產(chǎn)對各系統(tǒng)因素的敏感系數(shù)，使組合的選擇更準(zhǔn)確。如基金可選擇最佳的因素敏感系數(shù)的組合。APT是一個相對較新的理論，仍在繼續(xù)檢驗它的有效性。研究表明，APT對證券收益率的解釋力更強，但在理論的嚴(yán)密性上卻相對不足。投資學(xué)第7章APT在實際應(yīng)用上仍存在一些沒解決的問題。局限：影響證券收益率的系統(tǒng)因素的數(shù)量和性質(zhì)實踐中因素的選擇常具有經(jīng)驗性和隨意性。且每項因素都要計算相應(yīng)的貝塔值，所以在對資產(chǎn)估值的實際應(yīng)用中，CAPM比APT使用得更廣泛。四、APT的局限性投資學(xué)第7章討論：因素的選擇要利用APT來定價，首先須辨別市場中重要的因素的類別。Pari和Chen收集了1975—1980年，2090家公司股票月報酬回報率，以因素分析辨認(rèn)重要因素，使模型的殘差相互獨立，以符合APT的假設(shè)，他們歸納了三類因素。投資學(xué)第7章總體經(jīng)濟活動其強弱可以GDP的增減來代表。能源因素它影響消費者的消費能力，尤其是能源價格的變動，對通貨膨脹具有顯著的影響利率變動它影響公司的資本成本投資學(xué)第7章例子若無風(fēng)險利率為6％，使用APT確定該股票的均衡收益率。該股票價格是低估還是高估了？解釋原因。投資學(xué)第7章E(r)=15％。低于基于風(fēng)險要求的預(yù)期收益率16%，該股票定價過高。根據(jù)APT，該股票的期望收益率為投資學(xué)第7章首先，分析市場是否處于均衡狀態(tài)；如市場是非均衡的，投資者會如何行動；其次，分析投資者的行為會如何影響市場并最終使市場重建均衡；最后，分析在市場均衡狀態(tài)下，證券的預(yù)期收益由什么決定。APT的分析思路投資學(xué)第7章練習(xí)一考慮單因素APT模型。資產(chǎn)組合A的β值為1.2，期望收益率為14%。資產(chǎn)組合B的β值為0.7，期望收益率為9%。無風(fēng)險收益率為5%。（1）是否存在套利機會？（2）如存在，如何套利？投資學(xué)第7章練習(xí)二考慮單因素APT模型。股票A和股票B的期望收益率分別為12%和16%，無風(fēng)險收益率為5%。假設(shè)股票B的β值為1.1。如果不存在套利機會，求股票A的β值？投資學(xué)第7章練習(xí)三考慮如下一種特定股票收益的多因素證券收益模型：要素因子載荷

風(fēng)險溢價（％）通貨膨脹1.26行業(yè)生產(chǎn)0.58石油價格0.33（a）短期國庫券可提供6%的收益率，如市場認(rèn)為該股票是公平定價的，求出該股票的期望收益率。投資學(xué)第7章（b）假定下面第一列給出的三種宏觀因素的值是市場預(yù)測值，而