2022-2023學(xué)年福建省莆田市高一下學(xué)期期末質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年福建省莆田市高一下學(xué)期期末質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試題一、單選題1．復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）的共軛復(fù)數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用復(fù)數(shù)的除法法則計算出，從而求出共軛復(fù)數(shù).【詳解】，所以共軛復(fù)數(shù)是.故選：.2．已知向量，且，則（

）A．4 B．-4 C．2 D．-2【答案】A【分析】由向量減法的坐標(biāo)運(yùn)算和向量共線的坐標(biāo)表示，列方程求解.【詳解】向量，則有，由，得，解得.故選：A.3．某區(qū)政府為了加強(qiáng)民兵預(yù)備役建設(shè)，每年都按期開展民兵預(yù)備役軍事訓(xùn)練，訓(xùn)練后期對每位民兵進(jìn)行射擊考核．民兵甲在考核中射擊了8發(fā)，所得環(huán)數(shù)分別為，若民兵甲的平均得環(huán)數(shù)為8，則這組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為（

）A．8 B．8.5 C．9 D．9.5【答案】B【分析】由平均數(shù)求出的值，將這組數(shù)據(jù)從小到大的順序排列，由百分位數(shù)的定義即可求解.【詳解】由題意可得：，解得：，將這組數(shù)據(jù)從小到大的順序排列為，因為為整數(shù)，所以這組數(shù)據(jù)的75百分位數(shù)為，故選：B.4．已知復(fù)數(shù)滿足（是虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】復(fù)數(shù)，利用共軛復(fù)數(shù)的概念，復(fù)數(shù)的乘法，復(fù)數(shù)的相等，解方程即可.【詳解】復(fù)數(shù)，則，由，得，解得，所以.故選：B5．已知是兩條不同的直線，是兩個不重合的平面，則下列說法正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】C【分析】若，有可能，可判斷選項A；線面平行可判斷選項B由線面垂直可以得出面面平行可以判斷C選項，根據(jù)線面平行及面面垂直可判斷選項D.【詳解】對于選項A，有可能，故選項A為假命題；對于選項B，有可能，故選項B為假命題；對于選項C，，可得兩平面法向量共線,是兩個不重合的平面，進(jìn)而可得，故選項C為真命題.對于選項D，若，，有可能，故選項D為假命題；故選：C.6．如圖，要測量底部不能到達(dá)的電視塔AB的高度，在C點測得塔頂A的仰角是45°，在D點測得塔頂A的仰角是30°，并測得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40m，則電視塔的高度為A．m B．20mC．m D．40m【答案】D【分析】設(shè)，在中，利用余弦定理列出關(guān)于的方程，即可求解，得到答案．【詳解】由題意，設(shè)，則，在中，由余弦定理，得．化簡得解得．即AB=40m．故選D．【點睛】本題主要考查了三角形的實際應(yīng)用問題，其中解答解三角形實際問題時需要根據(jù)正、余弦定理結(jié)合已知條件靈活轉(zhuǎn)化邊角之間的關(guān)系，合理使用正、余弦定理列出方程是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎(chǔ)題．7．在中，為上一點，且滿足．若，則的值為（

）A．1 B． C． D．2【答案】C【分析】根據(jù)三點共線的結(jié)論結(jié)合平面向量基本定理可得，再利用數(shù)量積的定義與運(yùn)算律求解.【詳解】由題意可得：，因為三點共線，則，且，又因為，則，可得，解得，可得，所以，即.故選：C.8．幾何中常用表示的測度，當(dāng)為曲線?平面圖形和空間幾何體時，分別表示其長度?面積和體積．是邊長為4的正三角形，為內(nèi)部的動點（含邊界），在空間中，到點的距離為1的點的軌跡為，則等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先確定到動點P距離為1的點的軌跡所構(gòu)成的空間體的形狀，然后由空間幾何體的體積公式求解即可．【詳解】到動點P距離為1的點的軌跡所構(gòu)成的空間體在垂直于平面的視角下看，如圖所示：其中，，區(qū)域內(nèi)的幾何體為半圓柱，，，區(qū)域內(nèi)的幾何體為被平面截的部分球，球心分別為A，B，C，區(qū)域內(nèi)的幾何體為棱柱，其高為2．由，，為矩形，所以，，是正三角形，，則有，同理，，則，所以，，這三個區(qū)域的幾何體合成一個完整的半徑為1的球，體積為；，，這三個區(qū)域內(nèi)的半圓柱體積為（其中表示半圓底面）；區(qū)域內(nèi)的棱柱體積為.所以幾何體L的體積等于．故選：D.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查了空間中動點軌跡的求解，空間幾何體的體積公式，解題的關(guān)鍵是確定動點的軌跡是何種空間幾何體，考查了空間想象能力與邏輯推理能力.二、多選題9．已知為虛數(shù)單位，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．若，則C．若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則D．若，則【答案】ABD【分析】A選項，根據(jù)復(fù)數(shù)的乘方運(yùn)算法則計算出答案；B選項，設(shè)，則，從而根據(jù)求出，B正確；C選項，設(shè)，分別求出；D選項，化簡得到，從而求出模長.【詳解】A選項，，A正確；B選項，設(shè)，，則，若，則，即，解得，則，，B正確；C選項，復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，設(shè)，，則，故，C錯誤；D選項，若，則，故，D正確.故選：ABD10．某景區(qū)為了解游客人數(shù)的變化規(guī)律，提高旅游服務(wù)質(zhì)量，收集并整理了2017年1月至2019年12月期間月接待游客量（單位：千人次）的數(shù)據(jù)，繪制了如圖所示的折線圖．根據(jù)該折線圖，則下列結(jié)論正確的是（

）

A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．每年月接待游客的增長量最多是8月D．每年1月至6月的月接待游客量相對同年7月至12月的月接待游客量，波動性更小【答案】BD【分析】根據(jù)折線圖提供的數(shù)據(jù)逐一判斷各選項．【詳解】由2017年1月至2019年12月期間月接待游客量的折線圖得：在A中，很明顯有些月份游客量在下降，故A選項錯誤；在B中，年接待游客量雖然逐月波動，但總體上逐年增加，故B選項正確；在C中，每年月接待游客的增長量最多是7月，故C選項錯誤；在D中，各年1月至6月的月接待游客量相對于7月至12月，波動性更小，變化比較平穩(wěn)，故D選項正確．故選：BD．11．如圖，兩兩互相垂直，三棱錐是正四面體，則下列結(jié)論正確的是（

）

A．二面角的大小為B．C．若的中心為，則三點共線D．三棱錐的外接球過點【答案】BCD【分析】由已知可得，取的中點，可得，，所以為二面角的平面角，設(shè)，求出、，在中由余弦定理可判斷A；連接，利用線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理可判斷B；根據(jù)三棱錐是正三棱錐得平面，三棱錐是正三棱錐得平面可判斷C；幾何體與棱長為正方體有相同的外接球可判斷D.【詳解】對于A，由已知可得，，，而，所以，取的中點，連接、，可得，，所以為二面角的平面角，設(shè)，則，，，在中，由余弦定理可得，故A錯誤；

對于B，由A選項連接，因為，所以，因為，平面，所以平面，平面，所以，故B正確；

對于C，由選項A可知三棱錐是正三棱錐，且平面，三棱錐也是正三棱錐，平面，則三點共線，故C正確；

對于D，由A選項是棱長為正四面體，三棱錐是側(cè)棱長為，底面邊長為的正三棱錐，所以幾何體與棱長為正方體有相同的外接球，故D正確.

故選：BCD.12．已知的三個角的對邊分別為，且是邊上的動點，則的值可能為（

）A． B． C． D．【答案】CD【分析】根據(jù)余弦定理的邊角互化求出，設(shè)，根據(jù)向量的數(shù)量積的定義將待求表達(dá)式用關(guān)于的二次函數(shù)來表達(dá)即可解決.【詳解】由余弦定理，，則，可得.設(shè)，則（），，設(shè)，由，，是開口向上的二次函數(shù)，故，又，故時，.故選：CD

三、填空題13．某校為了提升學(xué)生的中華文化素養(yǎng)，開設(shè)書法?對聯(lián)?燈謎三個校本課程班，每位學(xué)生只報一個校本課程班，學(xué)校對高一?高二年級報名的學(xué)生人數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計，結(jié)果如下表．已知張華對上述三個校本課程班，采用樣本量比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法，抽取一個總樣本量為30的樣本，其中對聯(lián)班的學(xué)生抽取10名，則．

課程年級書法對聯(lián)燈謎高一1530高二453010【答案】20【分析】根據(jù)分層抽樣的特點列出方程，求出答案.【詳解】一共有學(xué)生人數(shù)為，其中對聯(lián)班學(xué)生人數(shù)為，則根據(jù)分層抽樣的特點，得到，解得.故答案為：2014．如圖，在四棱錐中，底面是矩形，側(cè)面是正三角形，平面平面，則二面角的大小是．

【答案】【分析】由定義作出二面角的平面角，然后解三角形即可.【詳解】

過作，垂足為，過作，垂足為，連接.平面平面，平面平面，又，平面，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可得，平面，又平面，故，又，，平面，故平面，由平面，故，于是二面角的平面角為，根據(jù)題目數(shù)據(jù)，在中，，，則，則.故答案為：15．在正三角形中，為上的點，，垂足為，且交于點，若，則的值是．【答案】/【分析】根據(jù)題意分析可得，結(jié)合平面向量的線性運(yùn)算可得，進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】由題意可知：，因為，且，可得，又因為，則，所以.因為，則，所以.故答案為：.

四、雙空題16．如圖，在正四棱柱中，四邊形是邊長為2的正方形，分別是棱的中點，分別是棱上動點．當(dāng)直線與底面所成角最小時線段的長度是，四面體的體積是．

【答案】【分析】根據(jù)題意可得直線與底面所成角即為直線與底面所成角，結(jié)合線面夾角分析可得點為點時，取到最小.空1：利用勾股定理求的長；空2：利用轉(zhuǎn)換頂點法求體積.【詳解】因為平面∥平面，則直線與底面所成角即為直線與底面所成角，過點作∥交于點，連接，

因為平面，則平面，所以直線與底面所成角為，設(shè)，可知：，則，當(dāng)，即點為點時，取到最小，即取到最小.空1：因為，則，可得；空2：因為分別是棱的中點，則∥，又因為∥，則∥，且平面，平面，可得∥平面，所以上任一點到平面的距離相等，不妨令點為點，則.故答案為：；.

【點睛】關(guān)鍵點睛：轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用：（1）根據(jù)面面平行，將直線與底面所成角轉(zhuǎn)化為直線與底面所成角；（2）根據(jù)線面平行，取點為點，利用轉(zhuǎn)換頂點法求三棱錐的體積.五、解答題17．已知向量，.(1)求向量與的夾角的余弦值；(2)若向量，求向量在向量上的投影向量（用坐標(biāo)表示）.【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示公式、平面向量模的坐標(biāo)表示公式進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)平面向量減法的坐標(biāo)表示公式，結(jié)合投影向量的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】（1），，，則；（2），，與同向的單位向量.∴在上的投影向量，.18．已知向量，函數(shù)．(1)若，求的值；(2)已知的三個角的對邊分別為的面積為，求的值．【答案】(1)(2)2【分析】（1）利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算結(jié)合三角函數(shù)恒等變換公式求出，再由化簡可求出的值；（2）由結(jié)合（1）可得，再由三角形的面積可求出，然后利用余弦定理可得，再利用正弦定理可求得結(jié)果.【詳解】（1）因為所以因為，所以．所以，即．（2）因為，由（1）得．因為，所以，即．在中，由余弦定理得由，得，所以．19．在四棱錐中，平面，點分別為的中點．

(1)求證：平面；(2)過點的平面交于點，求的值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）通過證明和，證明平面（2）通過證明所以，得是中點，可求的值.【詳解】（1）證明：因為是中點，，則有，所以四邊形是平行四邊形，有．因為，所以，因為平面，平面，所以．因為，平面，，所以平面．因為平面，所以．因為是中點，所以，所以．因為平面，，所以平面．（2）取中點，連接，如圖所示，

因為是中點，所以，．因為，所以．所以四邊形是平行四邊形，所以．因為平面，平面，所以平面．因為平面平面，平面，所以．因為是中點，所以是中點，所以．20．某校共有高中生3000人，其中男女生比例約為，學(xué)校要對該校全體高中生的身高信息進(jìn)行統(tǒng)計．(1)采用簡單隨機(jī)抽樣的方法，從該校全體高中生中抽取一個容量為的樣本，得到頻數(shù)分布表和頻率分布直方圖（如下）．身高（單位：）頻數(shù)3624根據(jù)圖表信息，求的值，并把頻率分布直方圖補(bǔ)充完整．(2)按男生?女生在全體學(xué)生中所占的比例，采用分層隨機(jī)抽樣的方法，共抽取總樣本量為200的樣本，并知道男生樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為172，方差為16，女生樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為160，方差為20，估計該校高中生身高的總體平均數(shù)及方差．【答案】(1)，，，；直方圖見解析；(2)總樣本平均數(shù)為，方差為52.16【分析】（1）由區(qū)間上的頻率和頻數(shù)，計算出，再由直方圖中的頻率計算和，結(jié)合頻數(shù)分布表算出所缺區(qū)間的頻率補(bǔ)充完整頻率分布直方圖.（2）由分層抽樣得男女生人數(shù)，利用已知數(shù)據(jù)和總體平均數(shù)和方差公式計算結(jié)果.【詳解】（1）因為身高在區(qū)間上的頻率為，身高在區(qū)間上的頻數(shù)24，所以所以，，．所以身高在區(qū)間上的頻率為，在區(qū)間上的頻率為．由此可補(bǔ)充完整頻率分布直方圖：（2）由分層抽樣可知，樣本中男生120人，女生80人，把男生樣本記為，其平均數(shù)記為，方差記為；把女生樣本記為，其平均數(shù)記為，方差記為；把總樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)記為，方差記為．則總樣本平均數(shù)．由，得同理可得．所以總樣本方差所以估計該校高中生身高的總體平均數(shù)為167.2，方差為52.16．21．已知的三個角的對邊分別為．(1)求；(2)若，求的面積．【答案】(1)(2)【分析】（1）已知條件由正弦定理角化邊，再由余弦定理求出，可得角的值；（2）向量數(shù)量積結(jié)合余弦定理，求出，面積公式求面積；或向量數(shù)量積結(jié)合正弦定理，利用兩角差的正弦公式和輔助角公式，求出，面積公式求面積.【詳解】（1）因為，由正弦定理可得，即，由余弦定理得又，所以．（2）解法一：由平面向量數(shù)量積的定義可得，所以，所以①，因為，所以②，①-②得，則，代入①得，所以，所以解法二：由平面向量數(shù)量積的定義可得，因為，所以，由，得，，所以．因為，又由（1）知，即，所以．所以，即．所以，即．因為，則，則，即，則，所以為直角三角形，則．所以．22．已知三棱錐，點是的外心．

(1)若，求證：；(2)求點到平面距離的最大值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用條件，得到，再利用幾何關(guān)系得到，從而得到平面，再利用線面垂直的性質(zhì)即