帶地形瞬變電磁場的fdd三維正演研究

帶地形瞬變電磁場的fdd三維正演研究

1帶地形瞬變電磁正演模擬在測量現(xiàn)場瞬變電磁體的過程中，測區(qū)的地形不可避免地會發(fā)生很大的變化。這是因?yàn)榈叵陆Y(jié)構(gòu)的有效信息外，有效的實(shí)際測量數(shù)據(jù)混合在一起。地形對實(shí)際測量、反演方法和測量數(shù)據(jù)的解釋具有重要的指導(dǎo)意義?，F(xiàn)有的關(guān)于瞬變電磁正演的研究包括有限元法(Finite-elementmethod,FEM)、積分方程法(Integralequationsmethod,IEM)、時域有限差分(Finitedifferencetimedomain,FDTD)方法[11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22]等,其中,帶地形瞬變電磁場正演模擬的研究相對較少[1,2,6,7,8,9,12,13,14].FEM進(jìn)行帶地形TEM三維正演時可以很好地刻畫地形,但其求解的過程需要解大型矩陣,耗費(fèi)大量時間.IEM的主要計算量與異常體或地形的規(guī)模、形狀有關(guān),當(dāng)?shù)匦屋^簡單時,IEM的計算量很小,可以高效地進(jìn)行計算.但若要計算較為復(fù)雜的地形時,IEM會明顯受到限制.Hohmann與Wang提出了一種基于修正的DuFort-Frankel格式的有限差分法,該方法可以顯式地得到任意時間點(diǎn)的電磁場分量;但他們沒有考慮如何計算帶地形情況下的電磁場.Endo與Noguchi提出了垂向網(wǎng)格變換算法,通過將帶地形的物理域的場映射到平坦的計算域,實(shí)現(xiàn)了對地形的近似;該算法在地表采用向上延拓作為邊界條件,但在地形起伏較大時并不能獲得準(zhǔn)確的邊界條件;該文還計算了簡單地形起伏的TEM場,但計算區(qū)域比較小,模型的設(shè)計僅限于單一模型.Mitsuhata利用有限元法分析了二維長偏移距瞬變電磁法(LongoffsetTEM,LOTEM)在電偶源激發(fā)的情況下地形的影響,認(rèn)為對于遠(yuǎn)離地形的測點(diǎn),地形的影響不顯著.唐新功等利用積分方程法進(jìn)行的LOTEM數(shù)值模擬表明,在電偶源情況下,地形的影響是一種“本地”的影響,并建議實(shí)際測量時選擇較平坦或開闊的地形;但該方法對地形刻畫采用的是階梯近似,所以其地形刻畫比較粗糙.李墩柱將非正交網(wǎng)格算法引入到瞬變電磁場中,在地表引入了空氣層,避免了地形起伏給向上延拓帶來的問題;該算法在由逆變分量計算協(xié)變分量時,采用某點(diǎn)周圍四個點(diǎn)的等權(quán)投影的平均來近似該點(diǎn)的對應(yīng)分量,當(dāng)網(wǎng)格的劃分存在一定梯度時,該近似可能帶來一定的誤差.本文針對李墩柱算法中存在的上述問題,提出了一種采用非等權(quán)投影的改進(jìn)算法,在一定程度上提高了該算法的精度.總體上講,以往針對地形影響的研究大都局限于對山峰、山谷、斜坡等地形類型的簡單分析,對決定地形影響效果的各種因素的討論并不充分.為此,本文利用我們改進(jìn)的非正交網(wǎng)格算法開展了瞬變電磁場的數(shù)值模擬研究,探討了地形的深度、寬度和相對源的距離等參數(shù)對瞬變電磁場的影響,獲得了一些初步認(rèn)識.2非正交網(wǎng)格fdtd2.1任意矢量的展開空間中的任意矢量都可以按照非正交的一般坐標(biāo)系(圖1)進(jìn)行展開.若選取該坐標(biāo)系的三分量作為基矢量,則可以得到任意矢量的展開式(以電場為例):在非正交坐標(biāo)系中,相應(yīng)于上述協(xié)變基矢量Ai,存在一套相應(yīng)的逆基,稱為逆變基矢量Ai,其定義如下:其中,協(xié)變基與逆變基有如下關(guān)系:gij與gij稱為度量張量的分量.同樣的,任意矢量也可對逆變基矢量進(jìn)行展開.將協(xié)變基定義為非正交網(wǎng)格的棱,則該坐標(biāo)系中線積分與面積分可分別表示如下:2.2等式困難時電場與磁場的自然恢復(fù)對于麥克斯韋方程組,散度方程可以利用邊界條件自然滿足,實(shí)際計算中主要是對兩個旋度方程進(jìn)行計算.網(wǎng)格的劃分采用Yee網(wǎng)格,電場定義在網(wǎng)格的棱心和整數(shù)時間點(diǎn)上,磁場各分量定義在網(wǎng)格的面心和半整數(shù)時間點(diǎn),考察積分形式的安培定律和法拉第定律,在各向同性的情況下可以表示為:將式中的線積分和面積分利用式(5),(6)表示.對時間的一階導(dǎo)數(shù)采用中心差分近似,可以得到其中,Ji,j,k,分別表示電場和磁場相應(yīng)位置協(xié)變基矢量圍成的晶格體積.最后,為完成電場與磁場的迭代,需要將等式左邊的電場與磁場的逆變分量轉(zhuǎn)換為協(xié)變分量.考慮到Y(jié)ee網(wǎng)格的任意點(diǎn)只定義了一個分量,相應(yīng)的另外兩個分量需要由該點(diǎn)周圍點(diǎn)的分量平均近似得到:其中g(shù)′ii=Ai·AHi.Ai,AHi分別表示電場與磁場相應(yīng)位置的基矢量.非正交網(wǎng)格的穩(wěn)定性條件為:其中,sup代表上限(upper-bound).同時,因?yàn)樗沧冸姶艌鼋茷閿U(kuò)散場,為了保證方程中的波動不會影響到擴(kuò)散項(xiàng),還需要保證最大時間步長:其中α的選取一般小于0.2.2.3網(wǎng)格劃分存在梯度的誤差的消除在上一小節(jié)介紹的非正交網(wǎng)格FDTD方法中,由逆變分量計算協(xié)變分量時,不同方向分量間的投影采用了等權(quán)投影作為近似.這在網(wǎng)格的劃分存在梯度時,可能帶來一定的誤差.為此,本文進(jìn)行以下改進(jìn),將上述等權(quán)投影改為相應(yīng)位置實(shí)際的不等權(quán)投影,即通過每一點(diǎn)場的分量乘以相應(yīng)位置上的度量張量來計算相應(yīng)的投影,從而減小在帶地形模型中由于網(wǎng)格劃分存在梯度所帶來的誤差.這樣,式(11)、(12)可修正如下:2.4初始磁場的初始響應(yīng)在本文數(shù)值模擬中,采用磁偶極子源作為激勵源,便于與相應(yīng)的理論解進(jìn)行對比檢驗(yàn).為避免磁偶極子源的奇異性,數(shù)值模擬中常使用某一時刻的初始場來代替源的影響.模擬脈沖信號下的電磁場,在柱坐標(biāo)下,磁矩為M的磁偶極子產(chǎn)生的電場的階躍響應(yīng)為對式(17)求t的一階數(shù)值導(dǎo)數(shù)即可以得到電場的初始響應(yīng),再求旋度即可得到磁場的初始響應(yīng).在上邊界,由于地形起伏的影響,采用向上延拓邊界條件有一定的困難.在本研究中直接將空氣層作為模型的一部分,用電導(dǎo)率為10-6S/m的高阻層來近似.數(shù)值模擬表明這種近似并不會對結(jié)果造成明顯的影響.由于空氣層的引入會導(dǎo)致空氣層中的波動傳播很遠(yuǎn),因此,對于外邊界,我們采用卷積完全匹配層(CPML)作為吸收邊界.3數(shù)值模擬結(jié)果為了驗(yàn)證算法的有效性,我們在均勻半空間模型(圖2,紅實(shí)線為地下均勻介質(zhì)與空氣的界面)的地下介質(zhì)內(nèi)部引入虛擬的高斯地形界面(圖2中黑實(shí)線所示),在圖2中品紅實(shí)線以下的均勻半空間采納非正交網(wǎng)格.整個計算區(qū)域(包括品紅線以上網(wǎng)格與底部網(wǎng)格)均采用非正交網(wǎng)格算法進(jìn)行計算.非正交網(wǎng)格算法在正交網(wǎng)格中自動退化為常規(guī)的FDTD算法.在網(wǎng)格的底部,網(wǎng)格的劃分是由非正交網(wǎng)格逐漸向最底層吸收邊界的正交網(wǎng)格過渡得到.考慮到實(shí)際測量時是記錄z方向的電動勢(即磁場Hz分量的響應(yīng)),本文只針對Hz分量的結(jié)果進(jìn)行討論.圖3給出了上述模型在虛擬地形界面處不同時刻的理論解(藍(lán)實(shí)線)以及李墩柱的非正交FDTD算法(紅實(shí)線)和本文提出的改進(jìn)的非正交FDTD算法(淡藍(lán)實(shí)線)的數(shù)值模擬結(jié)果.從圖3可以看出,無論是李墩柱算法還是本文的改進(jìn)算法的數(shù)值模擬結(jié)果都與理論解非常接近,兩種數(shù)值算法的結(jié)果也很一致,表明非正交FDTD算法可以有效地模擬帶地形的瞬變電磁場.為了進(jìn)一步考察本文提出的改進(jìn)算法的效果,我們對圖3的黑色矩形區(qū)域進(jìn)行放大,如圖4a所示.結(jié)果顯示,與李墩柱算法的結(jié)果(紅實(shí)線)相比,本文改進(jìn)算法的結(jié)果(淡藍(lán)實(shí)線)更接近于理論解(藍(lán)實(shí)線),與理論解的誤差分析結(jié)果(圖4(b—d))也表明改進(jìn)算法比李墩柱算法在精度方面有一定的提高.4地形寬度x,y的特征為簡單起見,本文統(tǒng)一用高斯型的地形來近似各種地形模型,定義垂直方向的z坐標(biāo)軸正方向向下,0點(diǎn)在地表,地形上任意點(diǎn)(x,y)的z坐標(biāo)為:其中,點(diǎn)(x1,y1)為地形在地表的中心位置,h為地形深度(見圖5a,即地形在點(diǎn)(x1,y1)的z值,正值表示山谷,負(fù)值表示山峰),寬度特征參數(shù)l1(見圖5a)和l2(見圖5b)分別為描述沿水平方向x和y的地形寬度特征的參數(shù).4.1帶地形模型對半空間環(huán)境的整體影響為了考察地形深度變化對瞬變電磁場的影響,我們令地形寬度特征參數(shù)l1和l2均為400m,圖5a給出了深度分別為h1=100m,h2=200m,h3=300m和h4=400m的山谷模型的剖面示意圖,源位于點(diǎn)(0,0,0),地形模型在地表的中心點(diǎn)相對源的距離|x1|為1600m,且在x軸負(fù)方向,地下介質(zhì)電導(dǎo)率為10-2S/m,空氣中電導(dǎo)率近似取為10-6S/m.由于帶地形情形下的場可以看作半空間的場與地形影響的疊加,為了定量描述地形對瞬變電磁場的影響,我們將帶地形模型在地表的數(shù)值模擬結(jié)果減去半空間模型的相應(yīng)結(jié)果,并計算其與半空間模型背景場的比值.作為一個例子,我們針對圖5a所示的山谷模型進(jìn)行了數(shù)值模擬,圖6給出了地形深度對瞬變電磁場的歸一化影響隨時間演化的結(jié)果.圖中地形的寬度由品紅線標(biāo)出,五角星指示源的位置.圖6表明,隨著地形深度增加,地形對場的影響的強(qiáng)度和范圍也逐漸變大,但影響的范圍集中在地形附近.圖中折線的產(chǎn)生是由于在“煙圈”附近的值很小,所以場的變化與背景場的比值很大,等值線變化比較密集.因此,折線的軌跡可以表示“煙圈”傳播的軌跡.為了進(jìn)一步定量考察地形對瞬變電磁場的整體影響,我們基于圖5a所示帶地形模型計算得到的磁場Hz分量,并選擇地形所在的x軸負(fù)半軸作為考察對象,按照以下公式計算地形整體影響相對于半空間模型理論解的歸一化相對誤差,其中,分別代表帶地形模型數(shù)值解和半空間模型理論解在x軸負(fù)半軸的值.圖7給出了計算得到的地形深度的整體歸一化影響隨時間的變化曲線.沿x軸負(fù)半軸各點(diǎn)所受地形影響隨時間演化結(jié)果(圖6)表明,在早期,地形對垂直磁場的影響主要集中在地形附近.圖7對地形整體效應(yīng)的計算結(jié)果則顯示,地形對場整體的影響在早期相對較小,這反映了場的主要能量此時還沒有傳過來;隨著“煙圈”到達(dá)地形處,地形對場產(chǎn)生的整體影響相對較大,但其隨時間增加的幅度逐漸趨于平緩,在一定程度上反映了地形的影響也隨著場的衰減而減弱.圖8給出了地形最低點(diǎn)處場值隨時間的變化曲線.可以看出隨著地形深度的增加,該點(diǎn)處場偏離半空間結(jié)果的幅度也相應(yīng)地增加,這與地形整體的歸一化影響相一致.4.2y軸方向地形寬度變化對x軸負(fù)半軸的磁場歸一化影響由于本研究采用的是高斯型地形模型,其寬度的改變可以通過寬度特征參數(shù)l1和l2來控制.為方便起見,我們定義高斯型地形的寬度d為地形的兩側(cè)的深度減小為最大深度1/e處的距離,即x和y軸方向的寬度分別滿足dx=2l1和dy=2l2(參見圖5b的模型俯視圖).為了考察地形寬度對瞬變電磁場的影響,作為具體的算例,保持源的位置、地形中心位置以及x軸方向的寬度等參數(shù)與圖5a中400m山谷模型一致(亦即l1不變),令l2的取值從400m變化到700m(步長為100m),即相應(yīng)y軸方向的寬度由800m變化到1400m(步長為200m).類似圖6的做法,我們將帶地形模型在地表的數(shù)值模擬結(jié)果減去半空間模型的理論解,并相對半空間的理論解進(jìn)行歸一化.圖9給出了y軸方向地形寬度變化模型對瞬變電磁場在x軸負(fù)半軸(x軸方向地形寬度由品紅線標(biāo)出)的歸一化影響隨時間的演化結(jié)果.圖9表明,盡管地形的y軸方向?qū)挾扔?00m變化到1400m,地形對x軸負(fù)半軸的磁場垂直分量的影響范圍和幅度并沒有顯著的變化.類似圖7的做法,圖10給出了地形y軸方向?qū)挾茸兓瘜軸負(fù)半軸磁場垂直分量的整體影響情況,結(jié)果顯示,與地形深度相比,上述影響依舊不太顯著.4.3源-地形條件的影響考慮到源與地形中心的距離可能也是影響瞬變電磁場的相關(guān)因素之一,我們比較了相同地形(深度、寬度)條件下,源與地形中心距離改變時,地形模型對瞬變電磁場的影響.作為具體的算例,我們選擇深度為400m的山谷模型,水平方向的兩個寬度特征參數(shù)均為400m,令地形中心與源的距離分別為1600m,1720m,1840m和1960m.從圖11可以看出,“煙圈”抵達(dá)地形處的時間隨著源與地形相對位置的增加而增加,地形的影響范圍在“煙圈”到達(dá)地形處以前,主要集中在地形附近,幾乎不隨源與地形中心相對距離的變化而明顯變化,但受影響的強(qiáng)度隨之有所改變.隨著“煙圈”抵達(dá)地形處,地形對瞬變電磁場的影響范圍和強(qiáng)度都發(fā)生了變化.圖12給出了地形對瞬變電磁場的整體影響,結(jié)果反映源與地形相對位置的變化導(dǎo)致地形對瞬變電磁場的影響隨時間而變化,不再是單調(diào)的影響.在早期,地形對場整體的影響相對有限,但隨著場逐漸到達(dá)地形處,地形對場的整體影響逐漸增大,且隨地形與源相對距離的增加而減小,這在一定程度上反映了地形對場整體的影響隨著距離的增加而推遲.5瞬變電磁的數(shù)值模擬本文的數(shù)值模擬研究表明,非正交網(wǎng)格可以有效地模擬帶地形的瞬變電磁場,與以往帶地形瞬變電磁正演中采納的梯度網(wǎng)格和垂向變換網(wǎng)格相比,非正