“構(gòu)造函數(shù)”巧求參數(shù)范圍

/專題二“構(gòu)造函數(shù)”，巧求參數(shù)范圍函數(shù)方程思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，函數(shù)問題可以利用方程求解，方程解的情況可借助于函數(shù)的圖象和性質(zhì)求解.高考命題常常以基本初等函數(shù)為載體，主要考查以下三個方面：（1）零點(diǎn)所在區(qū)間——零點(diǎn)存在性定理；（2）二次方程根的分布問題；（3）判斷零點(diǎn)的個數(shù)問題；（4）根據(jù)零點(diǎn)的情況確定參數(shù)的值或范圍；（5）根據(jù)零點(diǎn)的情況討論函數(shù)的性質(zhì)或證明不等式等.本專題圍繞高考壓軸題中求參數(shù)范圍問題，構(gòu)造函數(shù)，例題說法，高效訓(xùn)練.【典型例題】第一招參變分離，構(gòu)造函數(shù)例1.【2019屆高三第一次全國大聯(lián)考】若函數(shù)恰有三個零點(diǎn)，則的取值范圍為()A． B．（） C． D．（）【答案】D【解析】當(dāng)時，為減函數(shù)，令易得，所以只需有兩個零點(diǎn)，令則問題可轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象與的圖象有兩個交點(diǎn).求導(dǎo)可得，令，即，可解得；令，即，可解得，所以當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增，由此可知當(dāng)時，函數(shù)取得最小值，即．在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)與的簡圖如圖所示，根據(jù)圖可得故選D.第二招根據(jù)方程做差，構(gòu)造函數(shù)例2.【東北三省三校（哈爾濱師大附中、東北師大附中、遼寧省實(shí)驗(yàn)中學(xué))2019屆高三第一次模擬】已知函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)），.（1）當(dāng)時，求函數(shù)的極小值；（2）若當(dāng)時，關(guān)于的方程有且只有一個實(shí)數(shù)解，求的取值范圍.【答案】（1）0（2）【解析】（1）當(dāng)時，，，令則列表如下：1單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以.（2）設(shè)，，設(shè)，，由得，，，在單調(diào)遞增，即在單調(diào)遞增，，①當(dāng)，即時，時，，在單調(diào)遞增,又，故當(dāng)時，關(guān)于的方程有且只有一個實(shí)數(shù)解，符合題意.②當(dāng)，即時，由（1）可知，所以，又故，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，又，故當(dāng)時，，在內(nèi)，關(guān)于的方程有一個實(shí)數(shù)解1.又時，，單調(diào)遞增，且，令，,,故在單調(diào)遞增，又在單調(diào)遞增，故，故，又，由零點(diǎn)存在定理可知，，故在內(nèi)，關(guān)于的方程有一個實(shí)數(shù)解.又在內(nèi)，關(guān)于的方程有一個實(shí)數(shù)解1，不合題意.綜上，.第三招求導(dǎo)轉(zhuǎn)化，構(gòu)造函數(shù)例3.【山東省菏澤市2019屆高三下學(xué)期第一次模擬】已知函數(shù).（1）設(shè)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)在其定義域內(nèi)有兩個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間.（2）【解析】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，令，則令，得；令，得所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.所以所以對任意恒成立，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間.（2）（法一）：的定義域?yàn)?，所以“函?shù)在其定義域內(nèi)有兩個零點(diǎn)”等價于“方程在區(qū)間內(nèi)有兩個不同的實(shí)數(shù)根”即方程在區(qū)間內(nèi)有兩個不同的實(shí)數(shù)根故上述問題可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)與函數(shù)的圖像在上有兩個不同的交點(diǎn)，如圖若令過原點(diǎn)且與函數(shù)圖像相切的直線斜率為，由圖可得令切點(diǎn)由，得，所以又，所以，解得：于是，所以故實(shí)數(shù)的取值范圍是（法二）的定義域?yàn)?，，?dāng)時，，所以在單調(diào)遞增，所以在不會有兩個零點(diǎn)，不合題意，當(dāng)時，令，得，在上，，在上單調(diào)遞增，在上，，在上單調(diào)遞減，所以，又時，，時，，要使有兩個零點(diǎn)，則有即所以所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.第四招換元轉(zhuǎn)化，構(gòu)造函數(shù)例4．【四川省高中2019屆高三二診】已知．求的極值；若有兩個不同解，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）有極小值，為；無極大值；（2）【解析】的定義域是，，令，解得：，令，解得：，故在遞減，在遞增，故時，；記，，則，故可轉(zhuǎn)化成，即：，令，，令，解得：，令，解得：，故在遞增，在遞減，且時，，時，故，由，，的性質(zhì)有：，和有兩個不同交點(diǎn)，，且，，各有一解，即有2個不同解，，和僅有1個交點(diǎn)，且，有2個不同的解，即有兩個不同解，取其它值時，最多1個解，綜上，的范圍是【規(guī)律與方法】構(gòu)造函數(shù)的幾種常用的構(gòu)造技巧：1.通過作差構(gòu)造函數(shù)：作差構(gòu)造新的函數(shù)，通過研究新函數(shù)的性質(zhì)從而得出結(jié)論．當(dāng)然，適合用這個方法解的題目中，構(gòu)造的函數(shù)要易于求導(dǎo)，易于判斷導(dǎo)數(shù)的正負(fù)．2.利用“換元法”構(gòu)造函數(shù)，換元的目的是簡化函數(shù)的形式．3.先分離參數(shù)再構(gòu)造函數(shù)，將方程變形為m=h(x)，構(gòu)造函數(shù)h(x)，研究h(x)的性質(zhì)來確定實(shí)數(shù)m的取值范圍．4.根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的結(jié)構(gòu)，構(gòu)造函數(shù).【提升訓(xùn)練】1．【福建省2019屆備考關(guān)鍵問題指導(dǎo)適應(yīng)性練習(xí)（四)】已知函數(shù)，，若關(guān)于的方程在區(qū)間內(nèi)有兩個實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A． B． C． D．【答案】A【解析】易知當(dāng)≤0時，方程只有一個解，所以>0．令，，令得，為函數(shù)的極小值點(diǎn)，又關(guān)于的方程=在區(qū)間內(nèi)有兩個實(shí)數(shù)解，所以，解得，故選A.2．【河北省唐山市2019屆高三下學(xué)期第一次模擬】設(shè)函數(shù)，有且僅有一個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的值為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】∵函數(shù)，有且只有一個零點(diǎn)，∴方程，，有且只有一個實(shí)數(shù)根，令g（x）=，則g′（x）=，當(dāng)時，g′（x）0，當(dāng)時，g′（x）0，∴g（x）在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)x=時，g（x）取得極大值g（）=，又g（0）=g（）=0，∴若方程，，有且只有一個實(shí)數(shù)根，則a=故選B.3.【山東省濟(jì)寧市2019屆高三第一次模擬】已知當(dāng)時，關(guān)于的方程有唯一實(shí)數(shù)解，則所在的區(qū)間是()A．(3，4) B．(4，5) C．(5，6) D．(6．7)【答案】C【解析】由xlnx+（3﹣a）x+a＝0，得，令f（x）（x＞1），則f′（x）．令g（x）＝x﹣lnx﹣4，則g′（x）＝10，∴g（x）在（1，+∞）上為增函數(shù)，∵g（5）＝1﹣ln5＜0，g（6）＝2﹣ln6＞0，∴存在唯一x0∈（5，6），使得g（x0）＝0，∴當(dāng)x∈（1，x0）時，f′（x）＜0，當(dāng)x∈（x0，+∞）時，f′（x）＞0．則f（x）在（1，x0）上單調(diào)遞減，在（x0，+∞）上單調(diào)遞增．∴f（x）min＝f（x0）．∵﹣4＝0，∴，則∈（5，6）．∴a所在的區(qū)間是（5，6）．故選：C4．【天津市和平區(qū)2019屆高三下學(xué)期第一次調(diào)查】已知函數(shù)，若關(guān)于的方程恰有三個不相等的實(shí)數(shù)解,則的取值范圍是A． B． C． D．【答案】C【解析】關(guān)于的方程恰有三個不相等的實(shí)數(shù)解，即方程恰有三個不相等的實(shí)數(shù)解，即與有三個不同的交點(diǎn).令，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增；且當(dāng)時，，當(dāng)時，，，當(dāng)時，，據(jù)此繪制函數(shù)的圖像如圖所示，結(jié)合函數(shù)圖像可知，滿足題意時的取值范圍是.本題選擇C選項(xiàng).5．【安徽省合肥市2019屆高三第二次檢測】設(shè)函數(shù)，若函數(shù)有三個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】設(shè)，則，在上遞減，在上遞增，，且時，，有三個零點(diǎn)等價于與的圖象有三個交點(diǎn)，畫出的圖象，如圖，由圖可得，時，與的圖象有三個交點(diǎn)，此時，函數(shù)有三個零點(diǎn)，實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選D.6.【江西省南昌市2019屆高三第一次模擬】已知函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)），，直線是曲線在處的切線.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）是否存在，使得在上有唯一零點(diǎn)？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）存在k=0或2.【解析】（Ⅰ），由已知，有，即，解得.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，則令，則恒成立，所以在上單調(diào)遞減，又因?yàn)?，，所以存在唯一的，使得，且?dāng)時，，即，當(dāng)時，，即.所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.又因?yàn)楫?dāng)時，，，，，所以存在或，使得在上有唯一零點(diǎn).7．【山東省青島市2019屆高三3月一模】已知函數(shù)，，為自然對數(shù)的底數(shù).（1）當(dāng)時，證明：函數(shù)只有一個零點(diǎn)；（2）若函數(shù)存在兩個不同的極值點(diǎn)，，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）詳見解析；（2）.【解析】（1）由題知：，令，，當(dāng)，，所以在上單調(diào)遞減.因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，故只有一個零點(diǎn).（2）由（1）知：不合題意，當(dāng)時，因?yàn)?，；，；又因?yàn)?，所以；又因?yàn)?，因?yàn)楹瘮?shù)，，，所以，即，所以存在，滿足，所以，；，；，；此時存在兩個極值點(diǎn)，0，符合題意.當(dāng)時，因?yàn)?，；，；所以；所以，即在上單調(diào)遞減，所以無極值點(diǎn)，不合題意.綜上可得：.8.【陜西省咸陽市2019年高考模擬檢測（二)】已知函數(shù).（1）當(dāng)，求證；（2）若函數(shù)有兩個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)見證明；(2)【解析】（1）證明：當(dāng)時，，得，知在遞減，在遞增，，綜上知，當(dāng)時，.（2）法1：，，即，令，則，知在遞增，在遞減，注意到，當(dāng)時，；當(dāng)時，，且，由函數(shù)有個零點(diǎn)，即直線與函數(shù)圖像有兩個交點(diǎn)，得.法2：由得，，當(dāng)時，，知在上遞減，不滿足題意；當(dāng)時，，知在遞減，在遞增.，的零點(diǎn)個數(shù)為，即，綜上，若函數(shù)有兩個零點(diǎn)，則.9．【湖南省懷化市2019屆高三3月第一次模擬】設(shè)函數(shù).（1）若是的極大值點(diǎn)，求的取值范圍；（2）當(dāng)，時，方程（其中）有唯一實(shí)數(shù)解，求的值.【答案】（1）（2）【解析】（1）由題意，函數(shù)的定義域?yàn)?，則導(dǎo)數(shù)為由，得，∴①若，由，得.當(dāng)時，，此時單調(diào)遞增；當(dāng)時，，此時單調(diào)遞減.所以是的極大值點(diǎn)②若，由，得，或.因?yàn)槭堑臉O大值點(diǎn)，所以，解得綜合①②：的取值范圍是（2）因?yàn)榉匠逃形ㄒ粚?shí)數(shù)解，所以有唯一實(shí)數(shù)解設(shè)，則，令，即.因?yàn)?，，所以（舍去），?dāng)時，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，在單調(diào)遞增當(dāng)時，，取最小值則，即，所以，因?yàn)?，所以?）設(shè)函數(shù)，因?yàn)楫?dāng)時，是增函數(shù)，所以至多有一解因?yàn)?，所以方程?）的解為，即，解得10．【普通高中2019屆高三質(zhì)量監(jiān)測（二)】已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）若方程有兩個實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)見解析；(2)【解析】（1）由題可得，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，，，在上單調(diào)遞增；，，在上單調(diào)遞減.（2）令，，易知單調(diào)遞增且一定有大于0的零點(diǎn)，不妨設(shè)為，，即，，故若有有兩個零點(diǎn)，需滿足，即，令，，所以在上單調(diào)遞減.，所以的解集為，由，所以.當(dāng)時，，有，令，由于，所以，，故，所以，故，在上有唯一零點(diǎn)，另一方面，在上，當(dāng)時，由增長速度大，所以有，綜上，.11．【廣東省汕頭市2019年普通高考第一次模擬】已知．（1）討論的單調(diào)性；（2）若存在3個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）見解析；（2）【解析】（1）因?yàn)?，由，得或．（i）當(dāng)時，，在和上，，單調(diào)遞增；在上，，單調(diào)遞減，（ii）當(dāng)時，，在上，，單調(diào)遞增，（iii）當(dāng)時，，在和上，，單調(diào)遞增；在上，，單調(diào)遞減，（2），所以有一個零點(diǎn)．要使得有3個零點(diǎn)，即方程有2個實(shí)數(shù)根，又方程，令，即函數(shù)與圖像有兩個交點(diǎn)，令，得的單調(diào)性如表：1－－0＋＋↘↘極小值↗↗當(dāng)時，，又，的大致圖像如圖，所以，要使得有3個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為12．【山東省淄博市2019屆高三3月模擬】已知函數(shù).（1）若是的極大值點(diǎn)，求的值；（2）若在上只有一個零點(diǎn)，求的取值范圍.【