三招破解三角形解的個(gè)數(shù)問(wèn)題資料文檔

三招破解三角形解的個(gè)數(shù)問(wèn)題下面是關(guān)于解三角形解的個(gè)數(shù)的探究

在任意三角形中，A，B，C三個(gè)角，a，b，c三條邊，這六個(gè)變量中，如果已知其中的任意三個(gè)，在很多情況下，可以將三角形唯一確定。然而，有沒(méi)有例外呢？這取決于這三個(gè)已知條件之間的關(guān)系。

1、已知三角形的三個(gè)角A，B，C：幾何證明：根據(jù)相似三角形的知識(shí)，已知三角形的三個(gè)角，則三角形的形狀唯一確定，但不能確定三邊的長(zhǎng)度。三角形有無(wú)數(shù)解。代數(shù)證明：三角形的外接圓直徑取任意正實(shí)數(shù)時(shí)，都成立。對(duì)于每一個(gè)2R，都有對(duì)應(yīng)的a，b，c的值。因此，三角形有無(wú)數(shù)解。

2、已知三角形的兩角A，B，及其夾邊c：幾何證明：根據(jù)ASA定理，三角形有唯一解。代數(shù)證明：根據(jù)A+B+C=π，可唯一確定C。已知C，c，A，B，根據(jù)正弦定理，可唯一確定a，b。即，三角形有唯一解。

3、已知三角形的兩角A，B，及其中一角的對(duì)邊a：幾何證明：根據(jù)ASA定理，三角形有唯一解。代數(shù)證明：根據(jù)A+B+C=π，可唯一確定C。已知A，a，B，C，根據(jù)正弦定理，可唯一確定b，c。即，三角形有唯一解。

4、已知4、已知三角形的兩邊a，b，及其夾角C：幾何證明：根據(jù)SAS定理，三角形有唯一解。代數(shù)證明：根據(jù)余弦定理，c2=a2+b2-2abcosC，可確定c2。又由于c>0，可唯一確定c。已知C，c，a，b，根據(jù)正弦定理，可唯一確定sinA，sinB。再根據(jù)內(nèi)角和、大邊對(duì)大角，可唯一確定A，B。即，三角形有唯一解。

5、已知三角形的兩邊a，b，及其中一邊的對(duì)角A：（1）若已知角為銳角：如下圖，已知A，a，b。以C為圓心、a為半徑作圓，與c所在射線的交點(diǎn)即點(diǎn)B位置。隨著a的取值范圍的不同，圓與射線的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)也不相同：

即，當(dāng)A為銳角時(shí)：當(dāng)a<bsinA時(shí)，無(wú)交點(diǎn)，三角形無(wú)解；當(dāng)a=bsinA時(shí)，有一個(gè)交點(diǎn)，三角形有唯一解；當(dāng)bsinA<a<b時(shí)，有兩個(gè)交點(diǎn)，三角形有兩個(gè)解；當(dāng)a=b時(shí)，除點(diǎn)A本身外，只有一個(gè)交點(diǎn)，三角形有唯一解；當(dāng)a>b時(shí)，有一個(gè)交點(diǎn)，三角形也有唯一解。（2）當(dāng)A為直角時(shí)：根據(jù)勾股定理，當(dāng)a<b或a=b時(shí)，c無(wú)實(shí)數(shù)根，即三角形無(wú)解。根據(jù)HL定理，當(dāng)勾股定理能夠成立時(shí)，即a>b時(shí)，三角形有唯一解。（3）當(dāng)A為鈍角時(shí)：像（1）中那樣作圖。發(fā)現(xiàn)：若a>b，則三角形有唯一解；否則，三角形無(wú)解。

代數(shù)證明：a2=b2+c2-2bccosA（余弦定理）∴c2+(-2bcosA)c+(b2-a2)=0△=(-2bcosA)2-4(b2-a2)=4b2cos2A-4b2+4a2=4[a2-b2(1-cos2A)]=4(a2-b2sin2A)分類(lèi)討論：①△<0：∴4(a2-b2sin2A)<0∴a2-b2sin2A<0∴a2<b2sin2A又∵a>0，b>0，sinA>0∴a<bsinA此時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根，c不存在。即，當(dāng)a<bsinA時(shí)，三角形無(wú)解。②△=0：∴4(a2-b2sin2A)=0∴a2-b2sin2A=0∴a2=b2sin2A又∵a>0，b>0，sinA>0∴a=bsinA此時(shí)，方程有兩個(gè)相同的實(shí)數(shù)根。分類(lèi)討論：（1）-(-2bcosA)/1>0：2bcosA>0又∵b>0∴cosA>0∴A為銳角此時(shí)，兩根之和為正又∵兩根相等∴兩根都為正∴c為正，且唯一確定。已知A，a，b，c，根據(jù)正弦定理，可唯一確定B，C。即，當(dāng)A為銳角，且a=bsinA時(shí)，三角形唯一確定。（2）-(-2bcosA)/1<0：∴2bcosA<0又∵b>0∴cosA<0∴A為鈍角此時(shí)，兩根之和為負(fù)又∵兩根相等∴兩根都為負(fù)∴沒(méi)有使c成立的根。即，當(dāng)A為鈍角，且a=bsinA時(shí)，三角形無(wú)解。（3）-(-2bcosA)/1=0：2bcosA=0∴cosA=0∴A為直角此時(shí)，兩根之和=0又∵兩根相等∴兩根都=0∴沒(méi)有使c成立的根。即，當(dāng)A為直角，且a=bsinA時(shí)，三角形無(wú)解。③△>0：∴4(a2-b2sin2A)>0∴a2-b2sin2A>0∴a2>b2sin2A又∵a>0，b>0，sinA>0∴a>bsinA此時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。分類(lèi)討論：（1）(b2-a2)/1<0：∴b2-a2<0∴a2>b2又∵a>0，b>0∴a>b∵sinA<=1∴bsinA<=b∴當(dāng)a>b時(shí)，a必定大于bsinA，方程一定有解。此時(shí)，兩根乘積為負(fù)，即兩根一正一負(fù)，只有一個(gè)c滿(mǎn)足條件。因此，c唯一確定。已知A，a，b，c，根據(jù)正弦定理，可唯一確定B，C。即，當(dāng)a>b時(shí)，三角形唯一確定。（2）(b2-a2)/1=0：∴b2-a2=0∴a2=b2又∵a>0，b>0∴a=b此時(shí)，兩根乘積=0∴其中一根=0。分類(lèi)討論：（i）-(-2bcosA)/1>0：∴2bcosA>0又∵b>0∴cosA>0∴A是銳角此時(shí)，兩根之和>0又∵一根為零∴另一根為正∴c唯一確定已知A，a，b，c，根據(jù)正弦定理，可唯一確定B，C。即，當(dāng)A為銳角，且a=b時(shí)，三角形唯一確定。（ii）-(-2bcosA)/1=0：∴2bcosA=0又∵b>0∴cosA=0∴A是直角此時(shí)，兩根之和=0又∵其中一根=0∴另一根=0∴沒(méi)有使c成立的根∴三角形無(wú)解即，當(dāng)A為直角，且a=b時(shí)，三角形無(wú)解。（iii）-(-2bcosA)/1<0：∴2bcosA<0又∵b>0∴cosA<0∴A是鈍角此時(shí)，兩根之和=0又∵其中一根為零∴另一根也為零∴沒(méi)有使c成立的根∴三角形無(wú)解即，當(dāng)A為直鈍角，且a=b時(shí)，三角形無(wú)解。（3）(b2-a2)/1>0：∴b2-a2>0，∴a2<b2又∵a>0，b>0∴a<b此時(shí)兩根乘積>0∴兩根同號(hào)分類(lèi)討論：（i）-(-2bcosA)/1>0：∴2bcosA>0又∵b>0∴cosA>0∴A是銳角此時(shí)兩根之和>0又∵兩根同號(hào)∴兩根都>0即，c有兩個(gè)值。對(duì)于每一個(gè)c值，已知A，a，b，c，根據(jù)正弦定理，都可唯一確定B，C。即，當(dāng)A為銳角，且a=b時(shí)，三角形有兩解。2）-(-2bcosA)/1=0：此時(shí)兩根之和為零又∵兩根同號(hào)∴不成立。3）-(-2bcosA)/1<0：∴2bcosA<0又∵b>0∴cosA<0∴A為鈍角此時(shí)兩根之和<0又∵兩根同號(hào)∴兩根都<0∴沒(méi)有使c成立的根∴三角形無(wú)解即，當(dāng)A為直鈍角，且a=b時(shí)，三角形無(wú)解。綜上所述：①若A為銳角：（1）當(dāng)a<bsinA時(shí)，無(wú)解；（2）當(dāng)a=bsinA或a=b或a>b時(shí)，有一解；（3）當(dāng)bsinA<a<b時(shí)，有兩解。②若A為直角或鈍角：（1）當(dāng)a<b或a=b時(shí)，無(wú)解；（2）當(dāng)a>b時(shí)，有一解。

6、已知三角形的三邊a，b，c：幾何證明：根據(jù)SSS定理，三角形有唯一解。代數(shù)證明：根據(jù)余弦定理，a2=b2+c2-2bccosA，可唯一確定A。同理，可分別唯一確定B，C。即，三角形有唯一解。

可見(jiàn)，幾何方法、代數(shù)方法得出的結(jié)果是相同的。初中時(shí)解三角形，大體上依賴(lài)于幾何直觀。然而，運(yùn)用幾何直觀時(shí)，比較容易忽略一些特殊情況。相比而言，代數(shù)運(yùn)算更加嚴(yán)謹(jǐn)、可靠，并且更加容易應(yīng)對(duì)復(fù)雜的情況。因此，我們要在高中階段學(xué)習(xí)并且應(yīng)用正弦定理、余弦定理等代數(shù)工具。

數(shù)學(xué)，是個(gè)神奇的東西。三角形解的個(gè)數(shù)問(wèn)題正余弦定理篇三角形解的個(gè)數(shù)問(wèn)題

學(xué)習(xí)了正弦定理、余弦定理之后,學(xué)生經(jīng)常對(duì)如何判斷三角形解的個(gè)數(shù)而煩擾。結(jié)合初中全等三角形的判定定理,若已知三角形的三邊(且符合任意兩邊之和大于第三邊)、兩邊一夾角、兩角一邊,則該三角形有唯一解。但是如果已知三角形的兩邊及其中一邊的對(duì)角時(shí),解的情況又如何呢?這個(gè)方法和學(xué)校老師教的畫(huà)圓法有區(qū)別嗎？有區(qū)別嗎？有區(qū)別嗎？本質(zhì)上沒(méi)有區(qū)別哦！該方法只是強(qiáng)調(diào)具體操