等差、等比數(shù)列以及數(shù)列求和專題

..§6.2等差數(shù)列一．課程目標(biāo)1.理解等差數(shù)列的概念；2.掌握等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式；3.能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等差關(guān)系，并能用等差數(shù)列的有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題；4.了解等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系.二．知識梳理1.定義如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表示.數(shù)學(xué)語言表達式：an＋1－an＝d(n∈N*，d為常數(shù))，或an－an－1＝d(n≥2，d為常數(shù)).通項公式假設(shè)等差數(shù)列{an}的首項是a1，公差是d，那么其通項公式為an＝a1＋(n－1)d.3.前項和公式等差數(shù)列的前n項和公式：其中n∈N*，a1為首項，d為公差，an為第n項).等差數(shù)列的常用性質(zhì)數(shù)列{an}是等差數(shù)列，Sn是{an}的前n項和.(1)通項公式的推廣：(2)假設(shè)m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，那么有。特別的，當(dāng)時，(3)等差數(shù)列{an}的單調(diào)性：當(dāng)d＞0時，{an}是遞增數(shù)列；當(dāng)d＜0時，{an}是遞減數(shù)列；當(dāng)d＝0時，{an}是常數(shù)列.(4)假設(shè){an}是等差數(shù)列，公差為d，那么ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差為md的等差數(shù)列.(5)假設(shè)是等差數(shù)列，那么仍是等差數(shù)列.與等差數(shù)列各項和相關(guān)的性質(zhì)假設(shè)是等差數(shù)列，那么也是等差數(shù)列，其首項與的首項一樣，公差為的公差的。數(shù)列…也是等差數(shù)列.關(guān)于非零等差數(shù)列奇數(shù)項與偶數(shù)項的性質(zhì)。.假設(shè)項數(shù)為，那么。.假設(shè)項數(shù)為，那么，，?！?〕假設(shè)兩個等差數(shù)列的前項和分別為，那么5.等差數(shù)列的前n項和公式與函數(shù)的關(guān)系：〔1〕，數(shù)列{an}是等差數(shù)列?Sn＝An2＋Bn(A，B為常數(shù)).〔2〕在等差數(shù)列{an}中，a1＞0，d＜0，那么Sn存在最大值；假設(shè)a1＜0，d＞0，那么Sn存在最小值.三．考點梳理1.等差數(shù)列的概念及運算例1.(2016·全國Ⅰ卷)等差數(shù)列{an}前9項的和為27，a10＝8，那么a100＝()A.100 B.99 C.98 D.97例2.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，S3＝6，S4＝12，那么S6＝________.練習(xí)1.(2015·全國Ⅰ卷){an}是公差為1的等差數(shù)列，Sn為{an}的前n項和.假設(shè)S8＝4S4，那么a10等于()A.eq\f(17,2) B.eq\f(19,2) C.10 D.122.等差數(shù)列的性質(zhì)例1.(2015·全國Ⅱ卷)設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和，假設(shè)a1＋a3＋a5＝3，那么S5＝()A.5 B.7 C.9 D.11例2.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，假設(shè)S3＝9，S6＝36，那么a7＋a8＋a9等于()A.63 B.45 C.36 D.27例3.假設(shè)一個等差數(shù)列前3項的和為34，最后3項的和為146，且所有項的和為390，那么這個數(shù)列的項數(shù)為()A.13 B.12 C.11 D.10例4.(2015·卷)在等差數(shù)列{an}中，假設(shè)a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝25，那么a2＋a8＝________.例5.(2016·調(diào)研)數(shù)列{an}是等差數(shù)列，a1＋a7＝－8，a2＝2，那么數(shù)列{an}的公差d等于()A.－1B.－2 C.－3 D.－4例6.設(shè)等差數(shù)列{an}，{bn}的前n項和分別為Sn，Tn，假設(shè)對任意自然數(shù)n都有eq\f(Sn,Tn)＝eq\f(2n－3,4n－3)，那么eq\f(a9,b5＋b7)＋eq\f(a3,b8＋b4)的值為________.3.等差數(shù)列與函數(shù)例1.等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝13，S3＝S11，當(dāng)Sn最大時，n的值是()A.5 B.6 C.7 D.8例2.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1>0且eq\f(a6,a5)＝eq\f(9,11)，那么當(dāng)Sn取最大值時，n的值為()A.9 B.10 C.11 D.12例3.等差數(shù)列{an}滿足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，那么有()A.a1＋a101＞0B.a2＋a100＜0C.a3＋a99＝0D.a51＝51例4.正項等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，假設(shè)S12＝24，那么a6·a7的最大值為()A.36 B.6 C.4 D.2例5.設(shè){}是公差為d〔〕的無窮等差數(shù)列的前n項和，那么以下命題錯誤的選項是〔〕假設(shè)d<0，那么數(shù)列{}有最大項B.假設(shè)數(shù)列{}有最大項，那么d<0C.假設(shè)數(shù)列{}為遞增數(shù)列，那么對任意，均有>0D.假設(shè)對任意，均有>0，那么數(shù)列{}為遞增數(shù)列例6.設(shè)等差數(shù)列{an}滿足a2＝7，a4＝3，Sn是數(shù)列{an}的前n項和，那么使得Sn>0成立的最大的自然數(shù)n是()A．9B．10C．11D．12方法總結(jié)：求等差數(shù)列前n項和的最值，常用的方法：(1)利用等差數(shù)列的單調(diào)性，求出其正負(fù)轉(zhuǎn)折項；(2)利用性質(zhì)求出其正負(fù)轉(zhuǎn)折項，便可求得和的最值；(3)將等差數(shù)列的前n項和Sn＝An2＋Bn(A，B為常數(shù))看作二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最值.§6.3等比數(shù)列課程目標(biāo)理解等比數(shù)列的概念，掌握等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式；能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等比關(guān)系，并能用有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題；了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系.知識梳理1.等比數(shù)列的概念(1)如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個非零常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q(q≠0)表示.數(shù)學(xué)語言表達式：eq\f(an,an－1)＝q(n≥2，q為非零常數(shù))，或eq\f(an＋1,an)＝q(n∈N*，q為非零常數(shù)).(2)如果三個數(shù)a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項，其中G＝±eq\r(ab).2.等比數(shù)列的通項公式及前n項和公式(1)假設(shè)等比數(shù)列{an}的首項為a1，公比是q，那么其通項公式為an＝a1qn－1；通項公式的推廣：an＝amqn－m.(2)等比數(shù)列的前n項和公式：當(dāng)q＝1時，Sn＝na1；當(dāng)q≠1時，Sn＝eq\f(a1〔1－qn〕,1－q)＝eq\f(a1－anq,1－q).3.等比數(shù)列的性質(zhì){an}是等比數(shù)列，Sn是數(shù)列{an}的前n項和.(1)假設(shè)k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，那么有ak·al＝am·an.(2)數(shù)列〔是等比數(shù)列〕，，等也是等比數(shù)列。(3)相隔等距離的項組成的數(shù)列仍是等比數(shù)列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比數(shù)列，公比為qm.(4)當(dāng)q≠－1，或q＝－1且n為奇數(shù)時，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比數(shù)列，其公比為qn.(5)等比數(shù)列{an}的單調(diào)性：當(dāng)q＞1，a1＞0或0＜q＜1，a1＜0時，數(shù)列{an}是遞增數(shù)列；當(dāng)q＞1，a1＜0或0＜q＜1，a1＞0時，數(shù)列{an}是遞減數(shù)列；當(dāng)q＝1時，數(shù)列{an}是常數(shù)列.當(dāng)是偶數(shù)時，;當(dāng)為奇數(shù)時，考點梳理等比數(shù)列的概念及運算例1.在單調(diào)遞減的等比數(shù)列中，假設(shè)，，那么＝()A.2 B.4 C.eq\r(2) D.2eq\r(2)例2.公比不為1的等比數(shù)列滿足，假設(shè)，那么的值為()A.8 B.9 C.10 D.11例3.(2015·全國Ⅰ卷)在數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn為{an}的前n項和.假設(shè)Sn＝126，那么n＝________.2.等比數(shù)列的性質(zhì)例1.(2016·全國Ⅰ卷)設(shè)等比數(shù)列滿足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，那么a1a2…an的最大值為________.例2.設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，假設(shè)eq\f(S6,S3)＝3，那么eq\f(S9,S6)＝()A.2 B.eq\f(7,3) C.eq\f(8,3) D.3例3.(2015·全國Ⅱ卷)等比數(shù)列{an}滿足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，那么a3＋a5＋a7＝()A.21 B.42 C.63 D.84例4.設(shè)各項都是正數(shù)的等比數(shù)列{an}，Sn為前n項和，且S10＝10，S30＝70，那么S40等于()A.150 B.－200C.150或－200 D.400或－50例5.在正項等比數(shù)列{an}中，a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，an－1anan＋1＝324，那么n等于()A.12 B.13 C.14 D.15例6.數(shù)列{an}中，對任意n∈N*，a1＋a2＋a3＋…＋an＝3n－1，那么aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋aeq\o\al(2,3)＋…＋aeq\o\al(2,n)等于()A.(3n－1)2B.eq\f(1,2)(9n－1)C.9n－1 D.eq\f(1,4)(3n－1)例7.在等比數(shù)列{an}中，a2＝1，那么其前3項的和S3的取值圍是________.例8.數(shù)列{an}滿足log3an＋1＝log3an＋1(n∈N*)，且a2＋a4＋a6＝9，那么的值是()－5B．－eq\f(1,5)C．5 D．eq\f(1,5)例9.在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，，那么=〔〕A.8B．6C．4 D．例10.假設(shè)等比數(shù)列的前項均為正數(shù)，且，那么_________.§6.3數(shù)列求和一．課程目標(biāo)：熟練掌握等差、等比數(shù)列的前n項和公式；2.掌握非等差數(shù)列、非等比數(shù)列求和的幾種常見方法.二．知識梳理1.求數(shù)列的前n項和的方法(1)公式法①等差數(shù)列的前n項和公式Sn＝eq\f(n〔a1＋an〕,2)＝na1＋eq\f(n〔n－1〕,2)d.②等比數(shù)列的前n項和公式(ⅰ)當(dāng)q＝1時，Sn＝na1；(ⅱ)當(dāng)q≠1時，Sn＝eq\f(a1〔1－qn〕,1－q)＝eq\f(a1－anq,1－q).(2)分組轉(zhuǎn)化法把數(shù)列的每一項分成兩項或幾項，使其轉(zhuǎn)化為幾個等差、等比數(shù)列，再求解.(3)裂項相消法把數(shù)列的通項拆成兩項之差求和，正負(fù)相消剩下首尾假設(shè)干項.(4)倒序相加法把數(shù)列分別正著寫和倒著寫再相加，即等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)過程的推廣.(5)錯位相減法主要用于一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列對應(yīng)項相乘所得的數(shù)列的求和，即等比數(shù)列求和公式的推導(dǎo)過程的推廣.2.常見的裂項公式(1)(2)＝(3)三．考點梳理1.求數(shù)列的通項公式。例1.數(shù)列{an}滿足，其中n∈N*．設(shè)，求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求出的通項公式；例2.數(shù)列{an}滿足a1=，an+1=，n∈N+．求證：數(shù)列{﹣2}是等比數(shù)列，并且求出數(shù)列{an}的通項公式；例3.數(shù)列的前n項和為Sn，，〔n∈N*且n≥2〕，數(shù)列滿足：，且〔n∈N*且n≥2〕．〔Ⅰ〕求數(shù)列的通項公式；〔Ⅱ〕求證：數(shù)列為等比數(shù)列；例4.在數(shù)列中，．證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；例5.數(shù)列滿足，〔〕。設(shè)，求數(shù)列的通項公式。例6.數(shù)列{an}滿足，且(n

?

N*)。(1)求數(shù)列{an}的通項公式;(2)令=

+，求數(shù)列{bn}的前n項和.例7.數(shù)列{an}中，，且．〔1〕求；〔2〕求數(shù)列的通項公式；求通項公式的方法：①利用；②根據(jù)目標(biāo)數(shù)列構(gòu)造等差、等比數(shù)列，然后通過等差、等比數(shù)列的通項公式反推出原數(shù)列的通項公式；③如果遞推公式是有數(shù)列的前后三項組成，可先構(gòu)造等比或等差數(shù)列，然后按照2的步驟進展反推。2.數(shù)列求和〔1〕分組轉(zhuǎn)化法①假設(shè)數(shù)列{}的通項公式為＝，且，為等差或等比數(shù)列，可采用分組求和法求數(shù)列{}的前n項和.②假設(shè)數(shù)列{}的通項公式為＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an，n為奇數(shù)，,bn，n為偶數(shù)，))其中數(shù)列，是等比數(shù)列或等差數(shù)列，可采用分組求和法求的前n項和.例1.在數(shù)列中，，〔〕．〔1〕求數(shù)列的通項公式；〔2〕求證：數(shù)列是等差數(shù)列；〔3〕設(shè)數(shù)列{}滿足=，求{}的前n項和．例2.是等比數(shù)列，前n項和為Sn(n∈N*)，且，.(1)求的通項公式；(2)假設(shè)對任意的n∈N*，是和的等差中項，求數(shù)列的前項和.例3.數(shù)列1eq\f(1,2)，3eq\f(1,4)，5eq\f(1,8)，7eq\f(1,16)，…，(2n－1)＋eq\f(1,2n)，…的前n項和Sn的值等于()A.n2＋1－eq\f(1,2n) B.2n2－n＋1－eq\f(1,2n)C.n2＋1－eq\f(1,2n－1) D.n2－n＋1－eq\f(1,2n)例4.數(shù)列{an}的通項公式，其前n項和為Sn，那么S2016等于()A.1008 B.2016 C.504 D.0裂項相消法：①利用裂項相消法求和時，應(yīng)注意抵消后并不一定只剩下第一項和最后一項，也有可能前面剩兩項，后面也剩兩項.②將通項公式裂項后，有時候需要調(diào)整前面的系數(shù)，使裂開的兩項之差和系數(shù)之積與原通項公式相等.例1.(2015·全國Ⅰ卷)Sn為數(shù)列{an}的前n項和.an>0，aeq\o\al(2,n)＋2an＝4Sn＋3.(1)求{an}的通項公式；(2)設(shè)bn＝eq\f(1,anan＋1)，求數(shù)列{bn}的前n項和.例2.設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，S3＝a7，a8－2a3＝3.(1)求an；(2)設(shè)bn＝eq\f(1,Sn)，求數(shù)列{bn}的前n項和為Tn.例3.數(shù)列{an}的前n項和Sn=﹣an﹣+2〔n∈N*〕，數(shù)列{bn}滿足bn=2nan．〔1〕求證數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項公式；〔2〕設(shè)=，數(shù)列{}的前n項和為Tn，求滿足Tn＜〔n∈N*〕的n的最大值．例4.數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1=1，且an+1=2Sn+1，n∈N?．〔1〕求數(shù)列{an}的通項公式；〔2〕令c=log3a2n，bn=，記數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，假設(shè)對任意n∈N?，λ＜Tn恒成立，數(shù)λ的取值圍．錯位相