2015-2021七年高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽真題分類(lèi)匯編 概率統(tǒng)計(jì)（學(xué)生版+解析版）（共2講）

2015-2021七年高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽真題分類(lèi)匯編

專(zhuān)題56概率統(tǒng)計(jì)第一講

1.[2021年吉林預(yù)賽】某食品廠制作了4種不同的精美卡片，在該廠生產(chǎn)的每袋食品中都隨機(jī)裝入一張卡

片，規(guī)定：如果收集齊了4種不同的卡片，便可獲得獎(jiǎng)品小明一次性購(gòu)買(mǎi)該種食品6袋，那么小明獲獎(jiǎng)的概

率是.

2.[2021年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽A卷一試】一顆質(zhì)地均勻的正方體骰子，六個(gè)面上分別標(biāo)有點(diǎn)數(shù)1,2,3,4,5,6.

隨機(jī)地拋擲該骰子三次（各次拋擲結(jié)果相互獨(dú)立），所得的點(diǎn)數(shù)依次為的,。2，。3,則事件+

a3l+la3-ail=6”發(fā)生的概率為.

3.（2021年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽B卷一試】設(shè)的,a2,是1,2,…,10的一個(gè)隨機(jī)排列，則在

。遂2，。2a3,…，這9個(gè)數(shù)中既出現(xiàn)9又出現(xiàn)12的概率為.

4.【2020年福建預(yù)賽】在以凸18邊形的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)構(gòu)成的三角形中，任取一個(gè)三角形,則所取的三角形與該

18邊形無(wú)公共邊的概率為.

5.【2020年甘肅預(yù)賽】從1,2,…,10中任取三個(gè)不同的數(shù).則這三個(gè)數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列的概率為

6.[2020年吉林預(yù)賽】?jī)扇溯喠魍稊S色子，每人每次投擲兩個(gè)，第一個(gè)使兩個(gè)色子點(diǎn)數(shù)之和大于6者為勝，否

則輪到另一個(gè)人投擲.則先投擲人獲勝的概率為.

7.【2020年新疆預(yù)賽】由集合｛1,2,3,4,…,10｝中選出5個(gè)數(shù)，組成該體合的子集，從這些子集中任取一個(gè)，

則取出的子集滿足該子集中的5個(gè)數(shù)中任意兩個(gè)數(shù)的和都不等于11拿概率為.

8.【2019年全國(guó)】在1,2,3…，10中隨機(jī)選出一個(gè)數(shù)“，在-1,-2,-3.…，-10中隨機(jī)選出一個(gè)數(shù)江則

/+匕被3整除的概率為.

9.【2019年江蘇預(yù)賽】從L2,3,4,5,6,7,8,9中任取3個(gè)不同的數(shù)，并從小到大排成一數(shù)列，此數(shù)列為等比數(shù)列

的概率為—.

答案《

【解析】滿足條件的等比數(shù)列共有4個(gè)1,3,9;2,4,8;4,6,9.

故所求概率P=A=A

10.【2019年上海預(yù)賽】某偵查班有12名戰(zhàn)士，其中報(bào)務(wù)員3名現(xiàn)將這12名戰(zhàn)士隨意分成三組，分別有3名、

4名、5名戰(zhàn)士則每一組均有1名報(bào)務(wù)員的概率為.

11.[2019年新疆預(yù)賽】隨機(jī)取一個(gè)由0和1構(gòu)成的8位數(shù)，它的偶數(shù)位數(shù)字之和與奇數(shù)位數(shù)字之和相等的

概率為.

12.【2019年貴州預(yù)賽】已知m。{11,13,15,17,19},nG{2000,2001,……,2019}則nf的個(gè)位數(shù)是1的概率為一

13.【2018年江蘇預(yù)賽】將1,2,3,4,5,6,7,8,9這9個(gè)數(shù)隨機(jī)填入3X3的方格表中，每個(gè)小方格恰

填寫(xiě)一個(gè)數(shù)，且所填數(shù)各不相同，則使每行、每列所填數(shù)之和都是奇數(shù)的概率是.

14.[2018年重慶預(yù)賽】從正九邊形中任取三個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成三角形，則正九邊形的中心在三角形內(nèi)的概率

15.【2018年安徽預(yù)賽】從1,2,…，10中隨機(jī)抽取三個(gè)各不相同的數(shù)字，其樣本方差s24l的概率

16.【2018年山東預(yù)賽】甲、乙兩人輪流擲一枚硬幣至正面朝上或者朝下，規(guī)定誰(shuí)先擲出正面朝上為贏；

前一場(chǎng)的輸者，則下一場(chǎng)先擲.若第一場(chǎng)甲先擲，則甲匾得第n場(chǎng)的概率為.

17.【2018年湖北預(yù)賽】一枚骰子連貫投擲四次，從第二次起每次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)都不小于前一次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)

的概率為.

18.【2018年甘肅預(yù)賽】某市公租房房源位于4B,C三個(gè)小區(qū)，每位申請(qǐng)人只能申請(qǐng)其中一個(gè)小區(qū)的房

子.申請(qǐng)其中任意一個(gè)小區(qū)的房子是等可能的，則該市的任意4位申請(qǐng)人中，恰有2人申請(qǐng)4小區(qū)房源的

概率是.

19.【2018年福建預(yù)賽】從如圖所示的，由9個(gè)單位小方格組成的，3x3方格表的16個(gè)頂點(diǎn)中任取三個(gè)

頂點(diǎn)，則這三個(gè)點(diǎn)構(gòu)成直角三角形的概率為.

20.【2018年全國(guó)】將1,2,3,4,5,6隨機(jī)排成一行，記為小b,c,d,e,f,則Hc+時(shí)是偶數(shù)的概率

為.

21.12018高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽A卷（第01試）】將1,2,3,4,5,6隨機(jī)排成一行，記為”,，c,d,e,f,則

。歷+的,是偶數(shù)的概率為.

22.【2018高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽B卷（第01試）】將1,2,3,4,5,6隨機(jī)排成一行，記為，b,c,d,e,f,

則時(shí)c+d牙是奇數(shù)的概率為.

23.12017高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽A卷（第01試）】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)集K=｛（x,y）\x,y=~\,0,1在

K中隨機(jī)取出三個(gè)點(diǎn)，則這三點(diǎn)中存在兩點(diǎn)之間距離為6的概率是.

24.12017高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽B卷（第01試）】在平面直角坐標(biāo)系，中，點(diǎn)集K=｛（x,y）\x,y=—1,0,1｝.在

K中隨機(jī)取出三個(gè)點(diǎn)，則這三個(gè)點(diǎn)兩兩之間距離均不超過(guò)2的概率為.

25.【2017年天津預(yù)賽】正2017邊形4遇2”/2017內(nèi)接于單位圓。，任取它的兩個(gè)不同頂點(diǎn)4,勺則編「明〉

之的概率是.

26.【2017年福建預(yù)賽】將8個(gè)三好生名額分配給甲、乙.丙、丁4個(gè)班級(jí)，每班至少1個(gè)名額，則甲班恰好分

到2個(gè)名額的概率為.

27.【2017年湖北預(yù)賽】六個(gè)人圍成一圈玩擲硬幣游戲（硬幣質(zhì)地均勻），每人擲一次硬幣.規(guī)定：硬幣反面朝上

的要表演節(jié)目，正面朝上的不用表演，則沒(méi)有兩個(gè)表演者相鄰的概率為.

28.【2017年陜西預(yù)賽】袋中裝有2個(gè)紅球,3個(gè)白球、個(gè)黃球，從中任取4個(gè)球,則其中三種顏色的球都有的

概率是.

29.[2017年甘肅預(yù)賽】某校高三年級(jí)要從5名男生和2名女生中任選3名代表參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽（每人被選中

的機(jī)會(huì)均等），則在男生甲被選中的情況下,男生乙和女生丙至少一個(gè)被選中的概率是.

30.【2017年貴州預(yù)賽】擲一枚硬幣，每次出現(xiàn)正面得1分，出現(xiàn)反面得2分.反復(fù)擲這枚硬幣，則恰好得n分的

概率為.

31.【2017年安徽預(yù)賽】設(shè)正八面體的邊長(zhǎng)是1,則其兩個(gè)平行表面之間的距離是.

32.【2017年安徽預(yù)賽】設(shè)n是正整數(shù)，隨機(jī)選?。?,2，…/｝的非空子集A和民則4nB不是空集的概率是一

33.[2017年廣東預(yù)賽】從各位數(shù)字兩兩不等且和為10的所有四位數(shù)中任取兩個(gè)數(shù)，則2017被取到的可能

性為.

34.[2017年廣西預(yù)賽】一名籃球隊(duì)員進(jìn)行投籃練習(xí).若第n次投籃投中，則第n4-1次投籃投中的概率為玄若第

n次投籃不中，則第n+1次投籃投中的概率為|.若該隊(duì)員第1次投籃投中的概率為|,則第4次投籃投中的概率

為.

35.[2017年新疆預(yù)賽】在邊長(zhǎng)為3的正方形中隨機(jī)選取n個(gè)點(diǎn)，其中與正方形的頂點(diǎn)距離小于1的點(diǎn)有m個(gè),

則用隨機(jī)模擬的方法得到的圓周率兀的試驗(yàn)值為.

2015-2021七年高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽真題分類(lèi)匯編

專(zhuān)題56概率統(tǒng)計(jì)第一緝

1.【2021年吉林預(yù)賽】某食品廠制作了4種不同的精美卡片，在該廠生產(chǎn)的每袋食品中都隨機(jī)裝入一張卡

片，規(guī)定：如果收集齊了4種不同的卡片，便可獲得獎(jiǎng)品小明一次性購(gòu)買(mǎi)該種食品6袋，那么小明獲獎(jiǎng)的概

率是.

【答案】gl

【解析】總共有46種可能，其中獲獎(jiǎng)的情況可分為兩類(lèi)，第一類(lèi)是有3袋食品的卡片相同的獲獎(jiǎng)情況（即

AAABCD）有瑤x4!種，第二類(lèi)是有兩組2袋食品的卡片相同的獲獎(jiǎng)情況（即AABBCD）有竿x4!種.

所以概率是愛(ài).

2.[2021年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽A卷一試】一顆質(zhì)地均勻的正方體骰子，六個(gè)面上分別標(biāo)有點(diǎn)數(shù)1,2,3,4,5,6.

隨機(jī)地拋擲該骰子三次（各次拋擲結(jié)果相互獨(dú)立），所得的點(diǎn)數(shù)依次為由,。243,則事件”|即-a2|+|a2-

a3\+|a3-%|=6”發(fā)生的概率為.

【答案】；

a

【解析】注意到|@i-a2\+\a2-Q3I+1。3-i\=2%蹌%-Zm.map因此，擲得的三個(gè)點(diǎn)數(shù)的,a?，的滿足

條件，當(dāng)且僅當(dāng)最大數(shù)與最小數(shù)之差為3,即是X，%++3的一個(gè)排歹lj,其中％E{1,2,3},d6

{0,123}.

對(duì)每個(gè)xG{1,2,3},當(dāng)d=0或d=3時(shí),%，工+d,x+3各有3種不同的排列，當(dāng)d=1或d=2時(shí),+d,x+3

各有6種不同的排列.

因此，滿足條件的點(diǎn)數(shù)出,。2，03有3x（2x34-2x6）=54種情況.

從而所求概率為號(hào)=

6，4

3.[2021年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽B卷一試】設(shè)的,。2,…,a]。是12…,10的一個(gè)隨機(jī)排列，則在

2a3,…，。9。10這9個(gè)數(shù)中既出現(xiàn)9又出現(xiàn)12的概率為.

【答案嗎

【解析】一個(gè)隨機(jī)排列滿足要求當(dāng)且僅當(dāng)該排列中1.9兩數(shù)相鄰，且2,6與3,4中至少有一對(duì)數(shù)相鄰.現(xiàn)計(jì)算這

樣的排列的個(gè)數(shù)N.設(shè)這些排列中2,6相鄰的排列有Ni個(gè)，3,4相鄰的排列有4個(gè),2,6與3,4兩對(duì)數(shù)都相鄰的

排列有N3個(gè).

為計(jì)算M，先將1,9兩數(shù)“捆綁”,2,6兩數(shù)“捆綁”，并將它們與剩下的6個(gè)數(shù)進(jìn)行排列，有8!種方式，又考慮到1,9

的次序與2,6的次序，得Ni=2?x8!.

23

類(lèi)似可知N?=2x8!,N3=2X7!.

由容斥原理，N=M+N2-必=8x(8!-7!)=7x8!.

因此,所求概率為卷=點(diǎn)

4.【2020年福建預(yù)賽】在以凸18邊形的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)構(gòu)成的三角形中，任取一個(gè)三角形,則所取的三角形與該

18邊形無(wú)公共邊的概率為.

【答案】卷

【解析】以凸18邊形的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形個(gè)數(shù)為C"

對(duì)于凸18邊形的任意一個(gè)頂點(diǎn)A,要取與凸18邊形無(wú)公共邊的三角形的一個(gè)頂點(diǎn)，則三角形的另兩個(gè)頂點(diǎn)

B,C不能為頂點(diǎn)4在凸18邊形中的兩條邊的另兩個(gè)頂點(diǎn)，只是其他15個(gè)頂點(diǎn)中的不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)，共有

C%-14種不同的選取方法.故與原凸18邊形無(wú)公共邊的三角形個(gè)數(shù)為]x18(Cfs-14).

因此,所求的概率為當(dāng)上4=裊.

5.【2020年甘肅預(yù)賽】從1,2,…,10中任取三個(gè)不同的數(shù).則這三個(gè)數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列的概率為

【答案】J

O

【解析】設(shè)取出的三個(gè)數(shù)為a>b>c.由題意，知a、c奇偶性相同.故p=g髻=M=；.

1206

6.[2020年吉林預(yù)賽】?jī)扇溯喠魍稊S色子，每人每次投擲兩個(gè)，第一個(gè)使兩個(gè)色子點(diǎn)數(shù)之和大于6者為勝，否

則輪到另一個(gè)人投擲.則先投擲人獲勝的概率為.

【答案】g

【解析】同時(shí)投擲兩個(gè)色子點(diǎn)數(shù)和大于6的概率為2=白，從而，先投擲人的獲勝概率為

3612

V+舄￥X5+舄尸X5+…

7112

=——X-----寸=一.

121-—17

144

7.【2020年新疆預(yù)賽】由集合{1,234,…,10}中選出5個(gè)數(shù)，組成該體合的子集，從這些子集中任取一個(gè)，

則取出的子集滿足該子集中的5個(gè)數(shù)中任意兩個(gè)數(shù)的和都不等于11拿概率為.

【答案】白

【解析】易知由集合{1,2,3,4,…,10}中選出5個(gè)數(shù)，組成該體合的子集個(gè)數(shù)為：C;o=252；滿足子集中的

5個(gè)數(shù)中任意兩個(gè)數(shù)的和都不等于11的子集個(gè)數(shù)，可以這樣考慮：先把數(shù)字分成5組：

{1,10),{2,9},{3,8},{4,7},{5,6)，由于選出的5個(gè)數(shù)中，任意兩個(gè)數(shù)的和都不等于11,所以從每組中任選一個(gè)數(shù)

字即可，故共可組成2x2x2x2x2=32(個(gè))這樣的子集.

所以概率為:。=三=2.

8.【2019年全國(guó)】在1,2,3…，10中隨機(jī)選出一個(gè)數(shù)。，在-1,-2,-3.…，-10中隨機(jī)選出一個(gè)數(shù)6,則

a2+b被3整除的概率為.

【答案】急

【解析】若。仁{1，2,4,5,7,8,10},a2=1mod3.

若a?+b三0mod3nb三一1mod3nbe{-1,-4,-7,-10).

若ad[3,6,9(,a2=0mod3.

若a2+b=0mod3=>a=0mod3nbe{-3,-6,—9).

：.a2+b為3的倍數(shù)的概率為歿衿=急

9.【2019年江蘇預(yù)賽】從123,4,5,6,7,8,9中任取3個(gè)不同的數(shù)，并從小到大排成一數(shù)列，此數(shù)列為等比數(shù)列

的概率為—.

答叁

【解析】滿足條件的等比數(shù)列共有4個(gè):1,2,4;1,3,9;2,4,8;4,6,9.

故所求概率P=白=《.

10.[2019年上海預(yù)賽】某偵查班有12名戰(zhàn)士，其中報(bào)務(wù)員3名現(xiàn)將這12名戰(zhàn)士隨意分成三組，分別有3名、

4名、5名戰(zhàn)士則每一組均有1名報(bào)務(wù)員的概率為.

【答案】亮

【解析】注意到，將12名戰(zhàn)士隨意分成三組，每組分別有3名、4名、5名戰(zhàn)士的分法共有C；2CjC：=27720

種淇中，滿足每一組均有1名報(bào)務(wù)員的分法有C犯為:=7560種.

故每一組均有1名報(bào)務(wù)員的概率為篇=青

11.【2019年新疆預(yù)賽】隨機(jī)取一個(gè)由0和1構(gòu)成的8位數(shù)，它的偶數(shù)位數(shù)字之和與奇數(shù)位數(shù)字之和相等的

概率為.

【答案噎

【解析】設(shè)a是滿足題意的8位數(shù)，故知其偶數(shù)位上的1的個(gè)數(shù)和在奇數(shù)位上的1的個(gè)數(shù)相同，從而在奇

數(shù)位上與偶數(shù)位上的1的個(gè)數(shù)可能為1,2,3或4.注意到首位為1,下面分情況討論：

⑴奇數(shù)位上與偶數(shù)位上有1個(gè)1,3個(gè)0,共有以?Cl=4種可能；

⑴奇數(shù)位上與偶數(shù)位上有2個(gè)1,2個(gè)0.共有瑪-Cl=18種可能；

⑴奇數(shù)位上與偶數(shù)位上有3個(gè)1,I個(gè)0,共有C>Cl=12種可能；

(iv)奇數(shù)位上與偶數(shù)位上有4個(gè)1,共有?■酸=1種可能；

合計(jì)共有4+18+12+1=35個(gè)滿足條件的自然數(shù)n.乂因?yàn)?和1構(gòu)成的8位數(shù)共有27=128個(gè)，從而概率為

35

128,

12.【2019年貴州預(yù)賽】已知m。{11,13,15,17,19},nd{2000,2001,……,2019}則nf的個(gè)位數(shù)是1的概率為一

【答案】|

【解析】3m=11,ne{2000,2001.........2019}時(shí),nf的個(gè)位數(shù)都是1,此時(shí)有20種選法;

當(dāng)m=13,ne{2000.2004.2008,2012,2016)BJ',mn的個(gè)位數(shù)都是1,此時(shí)有5種選法；

當(dāng)m=15時(shí),m"的個(gè)位數(shù)不可能為1,此時(shí)有0種選法；

當(dāng)m=17,ne(2000,2004,2008,2012,2016)lft,mn的個(gè)位數(shù)都是1,此時(shí)有5種選法；

當(dāng)m=19,ne{2000,2002,2004,……,2018}時(shí),m。的個(gè)位數(shù)都是I,此時(shí)有10種選法；

綜上，所求概率為20+5+0+5+102

5X205

13.【2018年江蘇預(yù)賽】將1,2,3,4,5,6,7,8,9這9個(gè)數(shù)隨機(jī)填入3x3的方格表中，每個(gè)小方格恰

填寫(xiě)一個(gè)數(shù)，且所填數(shù)各不相同，則使每行、每列所填數(shù)之和都是奇數(shù)的概率是.

【解析】

要使每行、每列所填數(shù)之和都是奇數(shù)，必須使每行或每列中要么只有個(gè)奇數(shù)，要么三個(gè)全為奇數(shù)，故滿足

條件的填法共有日x盤(pán)x5!x4/種.因此所求的概率為史等絲=白

14.(2018年重慶預(yù)賽】從正九邊形中任取三個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成三角形，則正九邊形的中心在三角形內(nèi)的概率

【答案】搐

14

【解析】

如圖，正9邊形中包含中心的三角形有以下三種形狀:

對(duì)于(1),有3種情況；對(duì)于(2),有9種情況：對(duì)于(3)；有18種情況；故所求概率為

3+9+18_故答案為：裔

-Cl—-141

15.【2018年安徽預(yù)賽】從1,2,…，10中隨機(jī)抽取三個(gè)各不相同的數(shù)字，其樣本方差s24l的概率

【答案】"

【解析】

/<%2<%的樣本方差52=32：=1(/一君241，當(dāng)且僅當(dāng)乙、&、與是連續(xù)的正整數(shù)?

故PG?—2..

故答案為:專(zhuān)

16.【2018年山東預(yù)賽】甲、乙兩人輪流擲一枚硬幣至正面朝上或者朝下，規(guī)定誰(shuí)先擲出正面朝上為贏；

前一場(chǎng)的輸者，則下一場(chǎng)先擲.若第一場(chǎng)甲先擲，則甲贏得第n場(chǎng)的概率為.

【答案】:"21

【解析】

設(shè)甲贏得第n場(chǎng)的概率為Pn，在每一場(chǎng)先擲的人贏得的概率為：++...+G）2"T+…=|t

所以Pl=1'Pn=^Pn-l+|（1-Pn-1）=|-^Pn-l'

由此得Pn~1=-^（Pn-1-1），Pl

因此Pn=!+（（-）1，n>l-

17.【2018年湖北預(yù)賽】一枚骰子連貫投擲四次，從第二次起每次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)都不小于前一次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)

的概率為.

【答案】"

【解析】

設(shè)由、a?、。3、。4分別是四次投擲骰子得到的點(diǎn)數(shù)，那么（%,。2，。3，。4）共有64種不同的情況.

如果從第二次起每次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)都不小于前一次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，則

ax<a2<a3<a4.

若％、。2、Q3、。4的值都相等，貝！1（。1，。2，。3，。4）有此種不同的情況；

若出、a2>Q3、4恰好取兩個(gè)不同的值，則（內(nèi),。2，。3，。4）有3盤(pán)種不同的情況;

若為、a2>Q3、。4恰好取3個(gè)不同的值,則3[,。2，的，。4）有3段種不同的情況;

若a2>。3、@4恰好取4個(gè)不同的值，則（%,。2，。3，。4）有C]種不同的情況.

因此，滿足的<a2<a3<@4的情況共有此+3cl+3盤(pán)+以=126（種）.

故所求的概率為繁=盤(pán)

18.【2018年甘肅預(yù)賽】某市公租房房源位于4B,C三個(gè)小區(qū)，每位申請(qǐng)人只能申請(qǐng)其中一個(gè)小區(qū)的房

子.申請(qǐng)其中任意一個(gè)小區(qū)的房子是等可能的，則該市的任意4位申請(qǐng)人中，恰有2人申請(qǐng)4小區(qū)房源的

概率是.

【答案】捺

【解析】

本題為古典概型，2=盥等=當(dāng)

19.【2018年福建預(yù)賽】從如圖所示的，由9個(gè)單位小方格組成的，3x3方格表的16個(gè)頂點(diǎn)中任取三個(gè)

頂點(diǎn)，則這三個(gè)點(diǎn)構(gòu)成直角三角形的概率為.

【答案】卷

【解析】

先計(jì)算矩形的個(gè)數(shù)，再計(jì)算直角三角形的個(gè)數(shù).

如圖所示，根據(jù)矩形特點(diǎn)，由這16個(gè)點(diǎn)可以構(gòu)成C；XC；=36個(gè)不同的矩形.

又每個(gè)矩形可以分割成4個(gè)不同的宜角三角形，且不同的矩形，分割所得的直角三角形也不同.

因此，可得4x36=144個(gè)直角頂點(diǎn)在矩形頂點(diǎn)的不同的直角三角形.

再算直角頂點(diǎn)不在矩形頂點(diǎn)：

（1）在1X2的矩形中，有直角頂點(diǎn)不在矩形頂點(diǎn)，邊長(zhǎng)分別為（或,瘋,2）的直角三角形兩個(gè).而1x2矩

形橫向、縱向各有6個(gè)，故共有2x12=24個(gè).

（2）在2x3的矩形中，有直角頂點(diǎn)不在矩形頂點(diǎn)，邊長(zhǎng)分別為（VI,遍,舊）的直角三角形4個(gè)，邊長(zhǎng)分

別為（企,2口,炳的直角三角形4個(gè).而2x3矩形橫向、縱向各有兩個(gè)，故共有（4+4）x4=32個(gè).

20.【2018年全國(guó)】將1,2,3,4,5.6隨機(jī)排成一行，記為a,b,c,d,e,f,則abc+慮/'是偶數(shù)的概率

為?

【答案】"

【解析】先考慮時(shí)為奇數(shù)的情況，此時(shí)"c,可一奇一偶，若為奇數(shù)，則。，b,c為1,3,5

的排列，進(jìn)而d，e,./?為2,4,6的排列，這樣有3!x3!=36種情況，由對(duì)稱(chēng)性可知，使abc+慮/'為奇數(shù)

的情況數(shù)為36x2=72種.從而"c+網(wǎng)為偶數(shù)的概率為1=1一券=2

o!7NU10

21.12018高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽A卷（第01試）】將1,2,3,4,5,6隨機(jī)排成一行，記為a,,c,d,e,f,則

Mc+呵是偶數(shù)的概率為.

【答案】"

【解析】先考慮。兒+時(shí)為奇數(shù)的情況，此時(shí)“be、def-奇」偶，

若。加為奇數(shù)，則a、b、c為I、3、5的排列，進(jìn)而4、e、/為2、4、6的排列，

這樣有3!x3!=36種情況，由對(duì)稱(chēng)性可知，使。加+則為奇數(shù)的情況數(shù)為36x2=72種.

從而成+時(shí)為偶數(shù)的概率為1一號(hào)=1一嬴=春

22.12018高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽B卷（第01試）】將1,2,3,4,5,6隨機(jī)排成一行，記為，b,c,d,e,f,

則abc+何是奇數(shù)的概率為.

【答案】"

【解析】當(dāng)abc+dgf為奇數(shù)時(shí)，abc,def必為J一奇一偶，

若“加為奇數(shù)，則a,h,c為1,3,5的排列，d,e,于為2,4,6的排列，這樣有3以3!=36種情況.由對(duì)

稱(chēng)性可知，滿足條件的情況數(shù)為36x2=72種.

從而所求概率為看=券==

23.12017高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽A卷（第01試）】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)集K=｛（x,y）\x,y=~1,0,1在

K中隨機(jī)取出三個(gè)點(diǎn)，則這三點(diǎn)中存在兩點(diǎn)之間距離為遙的概率是.

【答案】

【解析】易知K中有9個(gè)點(diǎn)，故在K中隨機(jī)取出三個(gè)點(diǎn)的方式數(shù)為Cg=84種.

>y

A1.人"人

AxO441

??

44As

將K中的點(diǎn)按如圖標(biāo)記為公,4，???，4），。，其中有8對(duì)點(diǎn)之間的距離為6.

由對(duì)稱(chēng)性，考慮取公,4兩點(diǎn)的情況，則剩下的一個(gè)點(diǎn)有7種取法，這樣有7x8=56個(gè)三點(diǎn)組（不計(jì)每組中

三點(diǎn)的次序）.

對(duì)每個(gè)A,（i=l,2,8）,K中恰有4+3,4+5兩點(diǎn)與之距離為由（這里下標(biāo)按模8理解），

因而恰有｛4,4+3,4+5｝。=1,2,…,8）這8個(gè)三點(diǎn)組被記了兩次.

從而滿足條件的三點(diǎn)組個(gè)數(shù)為56-8=48,進(jìn)而所求概率為患=提

24.12017高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽B卷(第01試)】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)集K={(x,y)\x,y=~1,0,1}.在

K中隨機(jī)取出三個(gè)點(diǎn)，則這三個(gè)點(diǎn)兩兩之間距離均不超過(guò)2的概率為.

【答案】V

【解析】注意K中共有9個(gè)點(diǎn)，故在K中隨機(jī)取出三個(gè)點(diǎn)的方式數(shù)為C；=84種.

當(dāng)取出的三點(diǎn)兩兩之間距離不超過(guò)2時(shí)，有如下三種情況：

⑴三點(diǎn)在一橫線或-縱線上，有6種情況.

(2)三點(diǎn)是邊長(zhǎng)為1,1,近的等腰直角三角形的頂點(diǎn)，有4x4=16種情況.

(3)三點(diǎn)是邊長(zhǎng)為魚(yú)，或,2的等腰直角三角形的頂點(diǎn)，其中，直角頂點(diǎn)位于(0,())的有4個(gè)，直角頂點(diǎn)位于

(±1,0)、(0,±1)的各有一個(gè)共有8種情況.

綜上可知，選出三點(diǎn)兩兩之間距離不超過(guò)2的情況數(shù)為6+16+8=30,

進(jìn)而所求概率為患=2

8414

25.12017年天津預(yù)賽】正2017邊形①冬…4oi7內(nèi)接于單位圓。，任取它的兩個(gè)不同頂點(diǎn)?廁萬(wàn)?a)>

1的概率是.

【答案】|

【解析】提示:弧?西>：的充要條件是乙W4<60。.對(duì)任意給定的A，使得可。々<60。的點(diǎn)為?的取法有

[券Z].2=672種，因此，所求概率為盥=

L6J20163

26.【2017年福建預(yù)賽】將8個(gè)三好生名額分配給甲、乙.丙、丁4個(gè)班級(jí)，每班至少1個(gè)名額，則甲班恰好分

到2個(gè)名額的概率為.

【答案】|

【解析】提示:將8個(gè)三好生名額分配給甲、乙、丙、丁4個(gè)班級(jí)，每班至少1個(gè)名額的不同分配方案有。=

35種.

(用隔板法:將8個(gè)名額排成一排,在它們形成的7個(gè)空擋中排人3塊隔板，則每種排人隔板的方式對(duì)應(yīng)一種名

額分配方式，反之亦然.)

其中,甲班恰好分到2個(gè)名額的分配方案有廢=10種.

(相當(dāng)于將6個(gè)名額分配給3個(gè)班級(jí)，每班至少1個(gè)名額.)

所以，所求的概率為禁=*

27.【2017年湖北預(yù)賽】六個(gè)人圍成一圈玩擲硬幣游戲（硬幣質(zhì)地均勻）海人擲一次硬幣.規(guī)定：硬幣反面朝上

的要表演節(jié)目，正面朝上的不用表演，則沒(méi)有兩個(gè)表演者相鄰的概率為.

【答案嗎

【解析】提示:所有情形共有26=64種，滿足題設(shè)的表演者至多3人.

易知表演人數(shù)恰為0,1、3且滿足題設(shè)的情形種數(shù)分別為1、6、2,

而恰有2人表演且滿足題設(shè)的情形有叱-6=9種.

故所求概率為P=上空=白

28.【2017年陜西預(yù)賽】袋中裝有2個(gè)紅球,3個(gè)白球、個(gè)黃球，從中任取4個(gè)球，則其中三種顏色的球都有的

概率是.

【答案w

【解析】提示：從袋中的9個(gè)球中任取4個(gè)，不同的取法共有弓=126（種），

其中三種顏色的球都有的取法有或+ClClCl+ClClCl=72（種）

故所求概率P=誄=*

29.（2017年甘肅預(yù)賽】某校高三年級(jí)要從5名男生和2名女生中任選3名代表參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽（每人被選中

的機(jī)會(huì)均等），則在男生甲被選中的情況下,男生乙和女生丙至少一個(gè)被選中的概率是.

【答案】|

【解析】提示:p=l-第=：.

「65

30.【2017年貴州預(yù)賽】擲一枚硬幣，每次出現(xiàn)正面得1分，出現(xiàn)反面得2分.反復(fù)擲這枚硬幣，則恰好得n分的

概率為.

【答案】|+］（-丁

【解析】提示:設(shè)得n分的概率為匕.得不到n分的情況只有先得n-1分，再擲出反面，概率為

所以1-4=>%=彈--1）=I-=（Apj（-3n1=-式-丁=4=W+!（一/

31.【2017年安徽預(yù)賽】設(shè)正八面體的邊長(zhǎng)是1,則其兩個(gè)平行表面之間的距離是.

【答案】曰

【解析】提示：不妨設(shè)此正八面體的六個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)是(土總0,0),(0，士合,0),(0,0,±*).

其兩個(gè)平行平面x+y+z=±劣之間的距離d=4=T.

V2y63

32.【2017年安徽預(yù)賽】設(shè)n是正整數(shù)，隨機(jī)選?。?,2,…,n｝的非空子集4和民則4n8不是空集的概率是一

4n-3n

【答案】

（2n-l）2

【解析】提示乂12…,?1｝共有2"個(gè)子集，其中以個(gè)子集X滿足|X|=個(gè)子集y滿足xn/=0,1</c<

所求概率是最于a=i或(2"一2"k)=

33.(2017年廣東預(yù)賽】從各位數(shù)字兩兩不等且和為10的所有四位數(shù)中任取兩個(gè)數(shù)，則2017被取到的可能

性為.

【答案】5

48

【解析】提示:方程+X2+x3+X4=10,0SX1<X2<X3<X4W9的整數(shù)解有且僅有01，乂2，%3*4)=

(0,1,2,7),(0,1,3,6),(0,1,4,5),(0,2,3,5),(1,2,3,4),

因此符合條件的四位數(shù)恰有:4x廢x3!+4!=96(T),

故所求概率為竺=

C9648

34.[2017年廣西預(yù)賽】一名籃球隊(duì)員進(jìn)行投籃練習(xí).若第n次投籃投中，則第n+1次投籃投中的概率為玄若第

n次投籃不中，則第71+1次投籃投中的概率為!.若該隊(duì)員第1次投籃投中的概率為|,則第4次投籃投中的概率

為.

【答案】9

81

【解析】提示:設(shè)該隊(duì)員投進(jìn)第n-1個(gè)球的概率為即.i，投失的概率為1-6-1，

則投進(jìn)第n個(gè)球的概率為g=|即-1+31-fln-l).

即anW(an-I_3an=；+如表.故。4=春

35.【2017年新疆預(yù)賽】在邊長(zhǎng)為3的正方形中隨機(jī)選取n個(gè)點(diǎn)，其中與正方形的頂點(diǎn)距離小于1的點(diǎn)有加個(gè),

則用隨機(jī)模擬的方法得到的圓周率兀的試驗(yàn)值為.

【答案】?

【解析】提示：由幾何概型概率計(jì)算公式得字一從而兀若.

2015-2021七年高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽真題分類(lèi)匯編

專(zhuān)題57概率統(tǒng)計(jì)第二講

1.【2017年內(nèi)蒙古預(yù)賽】在1,2,3,…,9這9個(gè)自然數(shù)中，任取3個(gè)數(shù).記x為這3個(gè)數(shù)中兩數(shù)相

鄰的組數(shù)（例如:若取3個(gè)數(shù)為1,2,3,則有兩組相鄰的數(shù)為1,2和2,3此時(shí)x的值是2）,則x的數(shù)

學(xué)期望為.

2.[2016年安徽預(yù)賽】等可能地隨機(jī)產(chǎn)生一個(gè)正整數(shù)xe{1,2,…,2016}.則x在二進(jìn)制下的

各位數(shù)字之和不超過(guò)8的概率為.

3.[2016年全國(guó)】袋子A中裝有兩張10元紙幣和三張1元紙幣，袋子B中裝有四張5元

紙幣和三張1元紙幣.現(xiàn)隨機(jī)從兩個(gè)袋子中各取出兩張紙幣.則A中剩下的紙幣面值之和

大于B中剩下的紙幣面值之和的概率為.

4.[2016年新疆預(yù)賽】在一個(gè)圓上隨機(jī)取三點(diǎn)，則以此三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是銳角三角形

的概率為.

5.【2016年江蘇預(yù)賽】若小張每天的睡眠時(shí)間在6?9小時(shí)之間隨機(jī)均勻分布，則小張連續(xù)

兩天平均睡眠時(shí)間不少于7小時(shí)的概率為.

6.【2016年湖南預(yù)賽】在一個(gè)均有小正方體的六個(gè)面中，三個(gè)面上標(biāo)數(shù)字0,兩個(gè)面上標(biāo)數(shù)

字1,一個(gè)面上標(biāo)數(shù)字2.將該小正方體拋擲兩次，則朝上的數(shù)之積的數(shù)學(xué)期望為.

7.【2016年湖北預(yù)賽】袋子中有五個(gè)白球、四個(gè)紅球和三個(gè)黃球，從中任意取出四個(gè)球，各

種顏色的球均有的概率.

8.【2016年河南預(yù)賽】甲乙兩人各自獨(dú)立地拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，甲拋10次，乙拋11

次。則乙出現(xiàn)正面朝上的次數(shù)比甲出現(xiàn)正面朝上的次數(shù)多的概率為。

9.12016高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽（第01試）】袋子A中裝有2張10元紙幣和3張1元紙幣，袋子

B中裝有4張5元紙幣和3張1元紙幣.現(xiàn)隨機(jī)從兩個(gè)袋子中各取出兩張紙幣，則A中剩下

的紙幣面值之和大于B中剩下的紙幣面值之和的概率為.

10.【2015年全國(guó)】在正方體中隨機(jī)取三條棱，它們兩兩異面的概率為.

11.【2015年上海預(yù)賽】投擲兩次色子，設(shè)第一次、第二次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)分別?、b.則

使得關(guān)于x的二次方程/+a%+b=0有兩個(gè)小于-1的不相等實(shí)要的概率為（用

數(shù)字作答）.

12.【2015年上海預(yù)賽】某地區(qū)的電話號(hào)碼由八個(gè)數(shù)碼組成，且首位數(shù)碼不為零，則電話

號(hào)碼的八個(gè)數(shù)碼均不相同的概率為（用小數(shù)表示）.

13.【2015年陜西預(yù)賽】某人拋擲一枚硬幣，出現(xiàn)正面向上和反面向上的概率均為點(diǎn)構(gòu)造數(shù)

歹弧}，使斯=廠’第:欠吵上[記%=的+。2+-“+即則2片0，且58=2的概率

1-1,第n次反面向上.

為（用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)作答）.

14.【2015年遼寧預(yù)賽】一道數(shù)學(xué)競(jìng)賽題，甲、乙、丙三人單獨(dú)解出此題的概率分別為工、

ab

二,其中，a、氏c均為小于10的正整數(shù).現(xiàn)甲、乙、丙同時(shí)獨(dú)立解答此題若三人中恰有一人

C

解出此題的概率為卷則三人均未解出此題的概率為.

15.【2015年江蘇預(yù)賽】隨機(jī)拋擲三個(gè)大小、質(zhì)地相同的正方體色子.在三個(gè)色子所示數(shù)字中

最小值是3的概率為

16.【2015年河南預(yù)賽】一名籃球運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行投球練習(xí).若他投進(jìn)前一球，則投進(jìn)后一球的概

率為|;若他投不進(jìn)前一球，則投進(jìn)后的一球概率為:已知該隊(duì)員投進(jìn)第1球的概率為|.則

他投進(jìn)第4球的概率為.

17.12015高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽（第01試）】在正方體中隨機(jī)取3條棱，它們兩兩異面的概率為

18.【2016年陜西預(yù)賽】從1,2....20這20個(gè)數(shù)中，任取三個(gè)不同的數(shù).則這三個(gè)數(shù)構(gòu)成

等差數(shù)列的概率為（）.

A.—B.—C.—D.—

19193838

19.[2016年天津預(yù)賽】擲兩次色子，用X記兩次擲得點(diǎn)數(shù)的最大值.則下列各數(shù)中,與期望

E（X）最接近的數(shù)為（）

A.4B.4工C.5D.5-

22

20.[2015年湖南預(yù)賽】將某選手的9個(gè)得分去掉1個(gè)最高分，去掉1個(gè)最低分,7個(gè)剩余分?jǐn)?shù)

的平均分為91.現(xiàn)場(chǎng)作的9個(gè)分?jǐn)?shù)的莖葉圖后來(lái)有1個(gè)數(shù)據(jù)模糊，無(wú)法辨認(rèn)，在圖中以x表示,

則7個(gè)剩余分?jǐn)?shù)的方差為（）

877

9I010.?91

116366A/7

A.—B.一C.36D.

977

21.【2015年黑龍江預(yù)賽】甲、乙兩人玩猜數(shù)字游戲，先由甲心中想一個(gè)數(shù)字，記為a,再由

乙猜甲剛才所想的數(shù)字，把乙猜的數(shù)字記為b,其中，a、才€{1,2,…,6}.若愴一團(tuán)41,則稱(chēng)

甲乙“心相近”?，F(xiàn)任意找兩人玩這個(gè)游戲，則它們心相近的概率為（）。

A.-B.-C.—D.—

991818

22.【2020年甘肅預(yù)賽】某校高二男生體育課上做投籃球游戲，兩人一組.每輪游戲中，每小組

兩人每人投籃兩次,投籃命中的次數(shù)之和不少于3次稱(chēng)為“優(yōu)秀小組”.甲和乙同一小組，甲、乙

投籃命中的概率分別為Pl，

p2-

32

⑴若Pl==T，求在第一輪游戲中他們獲得優(yōu)秀小組的概率.

-4>P23

4

(2)若Pi+p2=3，且游戲中甲、乙二人組要獲得優(yōu)秀小組次數(shù)為16次,則理論上至少

要進(jìn)行多少輪游戲才行?并求此時(shí)Pl，p2的值.

23.【2018年甘肅預(yù)賽】已知由甲、乙兩位男生和丙、丁兩位女生組成的四人沖關(guān)小組，

參加由某電視臺(tái)舉辦的知識(shí)類(lèi)答題闖關(guān)活動(dòng)，活動(dòng)共有四關(guān)，設(shè)男生闖過(guò)一至四關(guān)的概率

依次是m，i，女生闖過(guò)一至四關(guān)的概率依次是:

65435432

(1)求男生闖過(guò)四關(guān)的概率；

(2)設(shè)彳表示四人沖關(guān)小組闖過(guò)四關(guān)的人數(shù)，求隨機(jī)變量f的分布列和期望.

24.【2017年甘肅預(yù)賽】在一次全省科普知識(shí)競(jìng)賽中，某市3000名參賽選手的初賽成績(jī)統(tǒng)計(jì)

(1)求t的值，并估計(jì)該市選手在本次競(jìng)賽中,成績(jī)?cè)冢?0,90)上的選手人數(shù)；

(2)如果在本次競(jìng)賽中該市計(jì)劃選取1500人人圍決賽，那么進(jìn)人決賽選手的分?jǐn)?shù)應(yīng)該如何制

定？

(3)如果用該市參賽選手的成績(jī)情況估計(jì)全省參賽選手的成績(jī)情況，現(xiàn)從全省參賽選手中隨機(jī)

抽取4名選手，記成績(jī)?cè)?0(含80)分以上的選手人數(shù)為f,試求f的分布列和期望.

25.【2017年黑龍江預(yù)賽】某單位甲、乙兩個(gè)科室人數(shù)及男女工作人員分布情況如下表.現(xiàn)采

用分層抽樣方法(層內(nèi)采用不放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣)從甲、乙兩個(gè)科室中共抽取3名工作人員進(jìn)

行一項(xiàng)關(guān)于“低碳生活”的調(diào)查.

(1)求從甲、乙兩科室各抽取的人數(shù)；

(2)求從甲科室抽取的工作人員中至少有1名女性的概率；

(3)記f表示抽取的3名工作人員中男性的人數(shù)，求f的分布列及數(shù)學(xué)期望.

性別

一_、、人數(shù)、

男女

科別J''''J

甲科室64

乙科室32

26.[2016年上海預(yù)賽】設(shè)n為給定的大于2的整數(shù)。有n個(gè)外表上沒(méi)有區(qū)別的袋子，第

k（k=l,2,…,n）個(gè)袋中有k個(gè)紅球，n-k個(gè)白球。將這些袋子混合后，任選一個(gè)袋子，并且從中

連續(xù)取出三個(gè)球（每次取出不放回）。求第三次取出的為白球的概率。

27.【2016年甘肅預(yù)賽】在某電視娛樂(lè)節(jié)目的游戲活動(dòng)中，每人需完成A、B、C三個(gè)項(xiàng)目.

已知選手甲完成A、B、C三個(gè)項(xiàng)目的概率分別為]1之每個(gè)項(xiàng)目之間相互獨(dú)立.

（1）選手甲對(duì)A、B、C三個(gè)項(xiàng)目各做一次，求甲至少完成一個(gè)項(xiàng)目的概率.

（2）該活動(dòng)要求項(xiàng)目A、B各做兩次，項(xiàng)目C做三次.若兩次項(xiàng)目A均完成，則進(jìn)行項(xiàng)目

B,并獲得積分a；兩次項(xiàng)目B均完成，則進(jìn)行項(xiàng)目C,并獲積分3a；三次項(xiàng)目C只要兩次

成功，則該選手闖關(guān)成功并獲積分6a（積分不累計(jì)），且每個(gè)項(xiàng)目之間互相獨(dú)立用X表示

選手甲所獲積分的數(shù)值，寫(xiě)出X的分布列并求數(shù)學(xué)期望.

28.【2015年黑龍江預(yù)賽】在一個(gè)盒子中，放有標(biāo)號(hào)分別1、2、3的三張卡片，現(xiàn)從這個(gè)盒

子中，有放回地先后抽得兩張卡片的標(biāo)號(hào)分別為x、y,記f=|x-2|+|y-x|。

（1）求隨機(jī)變量f的最大值，并求事件'取得最大值”的概率；

（2）求隨機(jī)變量f的分布列和數(shù)學(xué)期望。

2015-2021七年高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽真題分類(lèi)匯編

專(zhuān)題57概率統(tǒng)計(jì)第二講

1.[2017年內(nèi)蒙古預(yù)賽】在1,2,3,…,9這9個(gè)自然數(shù)中，任取3個(gè)數(shù).記x為這3個(gè)數(shù)中兩數(shù)相鄰的組數(shù)(例如:

若取3個(gè)數(shù)為1,2,3,則有兩組相鄰的數(shù)為1,2和2,3此時(shí)x的值是2),則x的數(shù)學(xué)期望為.

【答案】|

【解析】提示：做出如下分布列

012

X

35427

p(%)848484

所以Ex=^x0+卷xl+^x2.

2.[2016年安徽預(yù)賽】等可能地隨機(jī)產(chǎn)生一個(gè)正整數(shù)x6{1,2,…,2016}.則x在二進(jìn)制下的各位數(shù)字之和不

超過(guò)8的概率為.

【答案】g|

【解析】

設(shè)xe{l,2,2016}的二進(jìn)制表示為(X10X9…刀1殉)2,即x=2：：0々2((尢e{0,1}).

特別地，2016的二進(jìn)制表示為(11111100000)2.

接下來(lái)考慮滿足>8的x的個(gè)數(shù)，其充分必要條件為

P=Xt=oxi<5,且q=Xi=oxiN9-p.

如此x的個(gè)數(shù)為2PW5或點(diǎn)=C^Cl(麾+0)=51.

qN9-p

從而，二進(jìn)制下的各位數(shù)字之和不超過(guò)8的x的個(gè)數(shù)為2016-51=1965.

因此，所求概率黑=綏.

2016672

3.(2016年全國(guó)】袋子A中裝有兩張10元紙幣和三張1元紙幣，袋子B中裝有四張5元紙幣和三張1元

紙幣.現(xiàn)隨機(jī)從兩個(gè)袋子中各取出兩張紙幣.則A中剩下的紙幣面值之和大于B中剩下的紙幣面值之和的

概率為.

【答案】宗

【解析】

一種取法符合要求，等價(jià)于從A中取走的兩張紙幣的總面值a小于從B中取走的兩張紙幣的總面值b,從

而，a<bS5+5=10.故只能從A中取走兩張1元紙幣，相應(yīng)的取法數(shù)為耨=3.

又此時(shí)b>a=2,即從B中取走的兩張紙幣不能均為1元紙幣，相應(yīng)有或=18種取法.

因此，所求的概率為瞟=德=套

Ge<.?7_LU入OO

4.【2016年新疆預(yù)賽】在一個(gè)圓上隨機(jī)取三點(diǎn)，則以此三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是銳角三角形的