2021-2022學年新教材人教A版數(shù)學必修第一冊學案：5. 6 函數(shù)

5.6函數(shù)y=Asin(s*+0)

最新課程標準學科核心素養(yǎng)

1.結合具體實例，了解y=4sin(s

1.掌握y=sinx與y=Asin(gr+°)圖象間的變換關系,

+9)的實際意義.

并能正確地指出其變換步驟.(教學抽象)

2.能借助圖象理解參數(shù)3,<p,A

2.會用“五點法畫函數(shù)y=Asin(①x+e)的圖象，借

的意義，了解參數(shù)的變化對函數(shù)圖

助函數(shù)圖象求出函數(shù)解+析式.(教學運算)

象的影響.

川川川川川I川川川川I川川川川川川川川川川“川川川川川川h課前預習卅川川川川川川I川川川川I川川川川川“川川川川川川川川h

教材要點

要點一A,co,9對函數(shù)y=Asin(ox+0)圖象的

影響對函數(shù)y=sin(x+p)圖象的影響

3.A對函數(shù)y=Asin(ttw+p)圖象的影響

狀元隨筆(1)A越大，函數(shù)圖象的最大值越大，最大值與A是正比例關系.

(2)3越大，函數(shù)圖象的周期越小，3越小，周期越大，周期與3為反比例關系.

(3)(p大于0時，函數(shù)圖象向左平移，<p小于0時，函數(shù)圖象向右平移，即“左加右減\”.

(4)由y=sinx到y(tǒng)=sin(x+(p)的圖象變換稱為相位變換；由y=sinx到y(tǒng)=sin(ox的圖

象變換稱為周期變換；由y=s山x到y(tǒng)=As加x的圖象變換稱為振幅變換.

要點二函數(shù)y=Asin(sx+p),A>0,co>0的

有關性質1.定義域：R.

2.值域：.

3.周期性：7=27t皆.

CD

4.對稱性：對稱中心(嚀生，0),對稱軸是直線X吟券Otez).

5.奇偶性：當9=E(%eZ)時是奇函數(shù)；當夕=桁+方(ZWZ)時是偶函數(shù).

6.單調性：通過整體代換可求出其單調區(qū)間.

狀元隨筆研究函數(shù)y=As加(cox+(p)性質的基本策略

(1)借助周期性：研究函數(shù)的單調區(qū)間、對稱性等問題時，可以先研究在一個周期內的

單調區(qū)間、對稱性，再利用周期性推廣到全體實數(shù).

(2)整體思想：研究當xG[a,0]時的函數(shù)的值域時，應將cox+(p看作一個整體0,利用

xG[a,0]求出0的范圍，再結合y=s山。的圖象求值域.

基礎自測

1.思考辨析(正確的畫“J”，錯誤的畫“X”)

(1)把函數(shù)y=sin2r的圖象向左平移￡個單位長度，得到函數(shù)y=sin(2x+1)的圖

象.()

(2)要得到函數(shù)y=sin(—x+學的圖象，可把函數(shù)y=sin(一力的圖象向左平移胃個單

位長度.()

(3)把函數(shù)y=sinx的圖象上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，得到y(tǒng)=sin2x的圖

象.()

(4)函數(shù))，=cos的圖象是由函數(shù)產cosx的圖象向右平移1個單位長度得到

的.()

2.為了得到函數(shù)y=sin(X—即的圖象，只需把函數(shù)y=sinx的圖象()

A.向左平移;個單位長度

B.向右平移1個單位長度

C.向上平移W個單位長度

D.向下平移W個單位長度

3.函數(shù)y=cos4x的圖象可由函數(shù)丁=以)§龍的圖象經過怎樣的變換得到()

A.所有點的橫坐標為變?yōu)樵瓉淼?倍

B.所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍

C.所有點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍

D.所有點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍

4.若函數(shù)y=sin("求+夕)(①>0)的部分圖象如圖，則co=

“川川川川川川川川川川川川川川川川川川川川I川川川川“川h丁陶陶?凰5解透t川川川"用川川卅卅"卅川卅卅川卅"N卅卅卅"川川川勿川’

三角函數(shù)圖象的變換

角度1同名三角函數(shù)圖象的變換

例1由函數(shù)y=sinx的圖象經過怎樣的變換，可以得到函數(shù)y=12sin(2%一意+1

的圖象.

方法")2佃

三角函數(shù)圖象變換的法一(先平移后伸縮)和法二(先伸縮后平移)需要注意以下兩點：

(1)兩種變換中平移的單位長度不同，分別是陽和,但平移方向是一致的.

(2)雖然兩種平移單位長度不同，但平移時平移的對象已有變化，所以得到的結果是一

致的.

角度2異名三角函數(shù)圖象的變換

例2為了得到函數(shù))，=sin(2x—聿)的圖象，可以將函數(shù)y=cos2x的圖象()

A.向右平移差個單位長度

B.向右平移號個單位長度

C.向左平移點個單位長度

D.向左平移1個單位長度

方法＞)3佃

不同名三角函數(shù)之間的變換方法

(1)利用誘導公式，尋找不同名三角函數(shù)之間的關系，主要利用方土a化簡.

(2)用誘導公式將不同名三角函數(shù)化為同名三角函數(shù)后，再根據(jù)平移、伸縮變換，得出

最終結果.

跟蹤訓練1(1)要得到函數(shù)y=3sin(2x+；)的圖象，只需將函數(shù)y=3sin2%的圖象

()

A.向左平移;個單位長度

B.向右平移彳個單位長度

C.向左平移/個單位長度

D.向右平移得個單位長度

(2)把函數(shù)y=cos(3%+舅的圖象適當變換就可以得到y(tǒng)=sin(-3外的圖象，這種變換

可以是()

A.向右平移；個單位長度

B.向左平移今個單位長度

C.向右平移自個單位長度

D.向左平移合個單位長度

函數(shù)y=Asin(5+9)的圖象

角度1“五點法'”作圖

例3作出函數(shù)y=2sin七+襲)的一個周期內的簡圖.

方法拉的

五點法作圖

五點法作函數(shù)y=4sin(cox+p)(xeR)圖象的步豚.

JT3兀

⑴列表，令3x+g=0,],兀，個，2兀，依次得出相應的(尤，》)值.

(2)描點.

(3)連線得函數(shù)在一個周期內的圖象.

(4)左右平移得到y(tǒng)=Asin(sx+9)，x￡R的圖象.

角度2由圖象求三角函數(shù)的解+析式

例4如圖所示，它是函數(shù)丫=4sin(3X+Q)(A>0,<O>0,一兀<夕<“)的圖象，貝丁該

函數(shù)的解+析式為.

方法歸的

根據(jù)三角函數(shù)的圖象求y=Asin(cox+g)的解+析式

(1)A:一般可由圖象上的最高點、最低點的縱坐標來確定|4|.

2兀

(2)(o:因為7=高,所以往往通過求周期7來確定④圖象上相鄰的兩個對稱中心間的

距離為彳,相鄰的兩條對稱軸之間的距離為J,相鄰的對稱軸與對稱中心之間距離為q.

(3)外①把圖象上的一個已知點的坐標代入來求.②尋找“五點作圖法\”中的某一點來

求，具體如下：利用“第一點”(即圖象上升時與x軸的交點)時，令cox+勿=0;利用“第

TT

二點”(即圖象的“峰點”)時，令3X+0=微；利用“第三點”(即圖象下降時與X軸的交

點)時，令3X+0=兀：利用“第四點”(即圖象的“谷點”)時，令5+(P=y:利用“第

五點V’時，令5+(p=2兀

注意：要觀察題目所給圖象是否適合用“五點作圖法\”.

JTTT

跟蹤訓練2(1)函數(shù)式x)=4sin(cox+夕)(4>0,M>0,一]<9<],xGR)的部分圖象

如圖所示，則函數(shù)y=/U）的解+析式為（）

A.y（x）=sin

於）=（當

C.cosx+D.fix）=cos

⑵用“五點法'”作出函數(shù)）'=啦sin（2x+J在［0,兀］上的圖象.

例5在①人外圖象過點《，1）,②/年）圖象關于直線x=y對稱，③Ax）圖象關于點

信0）對稱，這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并給出解答.

問題：已知次x）=2sin（＜yx+9）（0＞O,—9＜夕＜0）的最小正周期為2兀，.

（1）求函數(shù)述x）的解+析式；

（2）將段）的圖象上所有點向左平移占個單位長度，再將得到的圖象上每個點的橫坐標

縮短到原來的￡（縱坐標不變），得到函數(shù)丫=8。）的圖象，求g（x）的單調遞增區(qū)間.

方法歸他

研究函數(shù)y=Asin(①x+p)性質的基本策略

(1)首先將所給函數(shù)的解+析式轉化為y=Asin(①x+p)的形式；

(2)熟記正弦函數(shù)y=sinx的圖象與基本性質：

(3)充分利用整體代換思想解決問題；

(4)熟記有關y=Asin(5+9)的奇偶性、對稱性、單調性的重要結論.

7T

跟蹤訓練3已知函數(shù)7U)=Asin(cox+0),x￡R(其中A>0,co>0,OVgV])的周期

為兀，且圖象上的一個最低點為M管，一2).

(1)求兀v)的解+析式；

(2)當xw[o,時，求40的最值.

易錯辨析三角函數(shù)圖象變換規(guī)則不清致誤

例6為了得到〉=$布；x的圖象，只需要將y=sin(%一§的圖象()

A.向左平移/個單位B.向右平移/個單位

C.向左平移1個單位D.向右平移W個單位

詳細分析：：y=sin(5一看)=sin|(了一稱，

...當由〉=5苗&一]的圖象得丫二成!！gX的圖象時，應該是向左平移1個單位.

易錯警示

易錯原因糾錯心得

在解決三角函數(shù)圖象的平移變換時，注意以下幾點：

錯因1:審題不清，沒有弄清哪一(1)平移之前應先將函數(shù)解+析式化為同名的函數(shù)；

個函數(shù)圖象變換得另一個函數(shù)圖(2)弄清楚平移的方向，即平移哪個函數(shù)的圖象，得到哪

象；個函數(shù)的圖象要清楚；

錯因2：平移的單位長度由于忽視(3)平移的單位數(shù)是針對單一自變量x而言的，不是a>x+q>

X的系數(shù)導致錯誤.

中的心而是七.

課堂十分鐘

1.要得函數(shù)〉=$萬》的圖象，只需將函數(shù)y=sin(x—的圖象()

A.向左平移g個單位長度

B.向右平移胃個單位長度

C.向左平移專個單位長度

D.向右平移考個單位長度

2.要得到函數(shù)產cos(3》+號的圖象，需將函數(shù)產cos3x的圖象()

A.向左平移點個單位長度

B.向左平移5個單位長度

C.向右平移占個單位長度

D.向右平移g個單位長度

3.y=/(x)是以27t為周期的周期函數(shù)，其圖象的一部分如下圖所示，則y=Xx)的解+析

式為()

A.y=3sin(x+1)B.y=_3sin(x+1)

C.y=3sin(x—1)D.y=—3sin(x-1)

TT

4.把函數(shù))，=sinx(xGR)的圖象上所有的點向左平行移動1個單位長度，再把所得圖象

上所有點的橫坐標縮短到原來的3倍（縱坐標不變），得到的圖象所表示的函數(shù)是

7TJT

5.已知函數(shù)/（x）=Asin（tt）x+夕）（A＞0,。＞0,一弓＜夕＜5）的一段圖象如圖所示.

⑴求7U）的解+析式；

（2）求7U）的單調減區(qū)間，并指出ZU）的最大值及取到最大值時X的集合.

5.6函數(shù)y=Asin(0X+。)

新知初探?課前預習

要點一

1.左右

3.A

要點二

2.[-A,A]

[基礎自測]

1.(1)X(2)X(3)X(4)7

2.答案：B

3.答案：B

4.答案：4

題型探究?課堂解透

例1詳細分析：方法一y=sinx的圖象

方法二y=sinx的圖象

所有點的縱坐標伸長到原來的2倍

*3；=2sinx

橫坐標不變

關于才軸作對稱變換?

的圖象--------------------7=-2sinJT的

所有點的橫坐標縮短到原來的4倍

縱坐標不變

向右平移合個單位長度

-2sin2.x的圖象----------------------a,

=-2sin（21r---/）的圖象

向上平移1個單位長度./

-----------------------?y——2sinI2JC-

）+1的圖象.

例2詳細分析：因為y=cos2A-=sin（級+^），而y=sin[2（x—1）+與=sin

（2xf）,所以y=cos2x的圖象向右平移生個單位長度可得到尸sinQ一§的圖象.

答案：B

跟蹤訓練1詳細分析：（l）：y=3sin（2x+：）=3sin2^r+|^=3sin2（x+<p）,：.1（p—

f,：.<p=l,故需將函數(shù)y=3sin2x的圖象向左平移;個單位長度.故選C.

...將y=sin]—3口一自）]的圖象向左平移三個單位長度就可以得到丫=而!!（-3x）的圖

象.故選D.

答案：（1）C（2）D

例3詳細分析：令,列表如下:

7T2兀5兀8兀1171

X-3TTT

3兀

0712冗

t2T

y020-20

描點連線并向左右兩邊分別擴展，得到如圖所示的函數(shù)圖象:

例4詳細分析：解法一（單調性法）由圖象可知：

A-2,7=竽YD=3兀=誓，則（o=1.

?.?點（兀，0）在遞減的那段圖象上，

.十°G5+2E,苧+2&兀］（AGZ）,

則由sin停+9）=0,得爭+°=（2&+l）7t（&CZ）.

V—n＜（p＜Ti,.

，該函數(shù)的解+析式為y=2sin停x+1）.

解法二（最值點法）由圖象可得7=3兀，A=2,則①=,,將最高點坐標停，2）代入y

=2sin停x+s）,得2sin（專+,=2,

TTJTTT

?,升+*=2E+E（k￡Z）,：.（p=2kn+^/七Z）.

又一兀〈8＜兀,：?（p=q.

,該函數(shù)的解+析式為y=2sin停為+§.

2

解法三（起始點法）由題圖得7=3兀，A—2,故。=g,函數(shù)y=Asin（＜wx+夕）的圖象一

般由“五點法”作出，而起始點的橫坐標刈正是由（oxo+9=0解得的，故只要找出起始點

的橫坐標M）,就可以迅速求得角0.由圖象求得3=1,Xo=甘，9=—0必=一|x（一?

".該函數(shù)的解+析式為y=2sin停工+鼻）.

解法四（圖象平移法）由圖象知，將函數(shù)y=2sin2的圖象沿x軸向左平移F71個單位

長度，就得到本題的圖象，故所求函數(shù)的解+析式為y=2sin［翡十3］，即y=2sin6r+g.

答案：y=2sin&+5）

跟蹤訓練2詳細分析：（1）由圖象得A=l,{=y-j,所以T=2n,則o=l.

將點怎，1）代入函數(shù)段）解+析式得sin（襲+0）=1，又一與〈片，所以94，因此函數(shù)

y（x）=sin（x+§.故選B.

（2）列出x,y的對應值表：

三3兀5兀7兀

X-88TTT

7T3兀

2x+：0兀2兀

2T

y0也0一也0

描點，連線，如圖所示.

答案：（1）B（2）見解+析

例5詳細分析：若選①：（1）由已知得=2兀，則。=1,

于是?x）=2sin（x+9）

因為外）圖象過點（率1）,

所以sin仁+8,即cos9=T，

IT7T

又因為一5<3<o,所以勿=一?,

故於)=2sin(l1).

(2)由已知得g(x)=2sin(2x-/，

于是2E—5<2x—￡<2%兀+1,

解得kn—^4WE+壽,

OO

故g（x）的單調遞增區(qū)間為［也一7T"E+引57r（MZ）.

若選②：⑴由已知得，T=~=2兀，

則co=\9

于是7U）=2sin（x+p）.

因為?x）圖象關于直線工=空對稱，所以爭+勿=%兀+，,

即0=4兀一季（A￡Z）

IT7T

又因為一］＜夕＜0,所以0=一5,

故_/(x)=2sin(%一襲).

(2)由已知得g(x)=2sin(2x—今)

由2E—］W2x—專,

即24碧.

故g（x）的單調遞增區(qū)間為［%兀一翁，E+翁（ZWZ）.

27r

若選③：（1）由已知得T=京=2兀，則①=1,

于是於）=2sin（x+（p）.

因為於）圖象關于點（去O）對稱，所以1+（p=k7t,

TTTT

即0=E一d（AWZ）,又因為一］＜”0,

所以夕=一事，故火x）=2sinQ一季）.

（2）由已知得g（x）=2sin（2x-§,