第06講對數(shù)與對數(shù)函數(shù)（原卷版）

第06講對數(shù)與對數(shù)函數(shù)1．對數(shù)的概念一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么數(shù)x叫做以a為底N的對數(shù)，記作x＝logaN，其中a叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)．以10為底的對數(shù)叫做常用對數(shù)，記作lgN.以e為底的對數(shù)叫做自然對數(shù)，記作lnN.(e＝2.71828…)2．對數(shù)的性質(zhì)與運(yùn)算性質(zhì)(1)對數(shù)的性質(zhì)：=1\*GB3①1的對數(shù)為零：loga1＝0.=2\*GB3②底的對數(shù)為1：logaa＝1.=3\*GB3③零和負(fù)數(shù)沒有對數(shù)．=4\*GB3④＝N(a>0，且a≠1，N>0)．(2)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)如果a>0，且a≠1，b>0，M>0，N>0，那么：①loga(MN)＝logaM＋logaN；②logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN；③＝eq\f(m,n)logab．(3)換底公式：logab＝eq\f(logcb,logca)(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1)．重要推論：=1\*GB3①logaN＝eq\f(1,logNa)(N>0，且N≠1；a>0，且a≠1)；=2\*GB3②logab·logbc·logcd＝logad(a>0，b>0，c>0，d>0，且a≠1，b≠1，c≠1)．3．對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)y＝logaxa>10<a<1圖象定義域(0，＋∞)值域R性質(zhì)過定點(diǎn)(1,0)，即x＝1時(shí)，y＝0當(dāng)x>1時(shí)，y>0；當(dāng)0<x<1時(shí)，y<0當(dāng)x>1時(shí)，y<0；當(dāng)0<x<1時(shí)，y>0在(0，＋∞)上是增函數(shù)在(0，＋∞)上是減函數(shù)指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0且a≠1)與對數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0且a≠1)互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線y＝x對稱．一．對數(shù)式的運(yùn)算例1．（1）已知2a=5b=m,且=1,則m=____.（2）求值：_________________．（3）計(jì)算：＝________．（4）已知，，用a、b表示__________．．（5）若log34?log48?log8m＝log416，則m＝___．（6）若是方程的兩個(gè)實(shí)根，則的值為______．【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】：解決對數(shù)運(yùn)算問題的常用方法(1)將真數(shù)化為底數(shù)的指數(shù)冪的形式進(jìn)行化簡．(2)將同底對數(shù)的和、差、倍合并．(3)利用換底公式將不同底的對數(shù)式轉(zhuǎn)化成同底的對數(shù)式，要注意換底公式的正用、逆用及變形應(yīng)用．(4)利用常用對數(shù)中的lg2＋lg5＝1.二．對數(shù)函數(shù)的圖像及應(yīng)用例2．（1）函數(shù)，，，的圖象如圖所示，則的大小順序是（）A．c＜d＜1＜a＜b B．1＜d＜c＜a＜bC．c＜d＜1＜b＜a D．d＜c＜1＜a＜b（2）已知函數(shù)的圖象如圖所示，則滿足的關(guān)系是（

）A． B．C． D．（3）函數(shù)，且與函數(shù)在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖象不可能的是（

）A．B．C．D．（4）函數(shù)（，且）的圖象恒過定點(diǎn)，若點(diǎn)在直線上（其中），則的最小值等于（）A．10 B．8 C．6 D．4（5）若對恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________________（6）函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為_______________.【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】：對數(shù)函數(shù)圖象的識(shí)別及應(yīng)用方法(1)在識(shí)別函數(shù)圖象時(shí)，要善于利用已知函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)圖象上的特殊點(diǎn)(與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、最高點(diǎn)、最低點(diǎn)等)排除不符合要求的選項(xiàng)．(2)一些對數(shù)型方程、不等式問題常轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)圖象問題，利用數(shù)形結(jié)合法求解．三．對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用命題點(diǎn)1比較指數(shù)式、對數(shù)式的大小例3．（1）設(shè)，，，則（

）A． B． C． D．（2）（多選）已知實(shí)數(shù)，，滿足，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．（3）設(shè)，，則（

）A． B． C． D．（4）設(shè)x、y、z為正數(shù)，且，則（）A．2x<3y<5z B．5z<2x<3yC．3y<5z<2x D．3y<2x<5z（5）已知，，，則（

）A． B．C． D．【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】：(1)比較指數(shù)式和對數(shù)式的大小，可以利用函數(shù)的單調(diào)性，引入中間量；有時(shí)也可用數(shù)形結(jié)合的方法．(2)解題時(shí)要根據(jù)實(shí)際情況來構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行比較，如果指數(shù)相同，而底數(shù)不同則構(gòu)造冪函數(shù)，若底數(shù)相同而指數(shù)不同則構(gòu)造指數(shù)函數(shù)，若引入中間量，一般選0或1.(3)比較對數(shù)值大小時(shí)常用的四種方法:=1\*GB3①同底數(shù)的利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性．=2\*GB3②同真數(shù)的利用對數(shù)函數(shù)的圖象或用換底公式轉(zhuǎn)化．=3\*GB3③底數(shù)和真數(shù)都不同，找中間量．=4\*GB3④若底數(shù)為同一參數(shù)，則根據(jù)底數(shù)對對數(shù)函數(shù)單調(diào)性的影響，對底數(shù)進(jìn)行分類討論．命題點(diǎn)2解對數(shù)方程或不等式例4．（1）已知集合,，則(

)A． B． C． D．（2）設(shè)函數(shù)f(x)＝若f(a)>f(－a)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．(－1,0)∪(0,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C．(－1,0)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0,1)（3）已知函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，且f(x)在上是增函數(shù)，若，則不等式的解集為（

）A．{x|x>2} B． C．{或x>2} D．{或x>2}（4）已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，若對于任意，恒成立，則的取值范圍是（）A． B． C． D．（5）方程的解是________.（6）已知，且=1\*GB3①當(dāng)時(shí)，解不等式；=2\*GB3②在恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】：對數(shù)不等式的三種考查類型及解法(1)形如logax>logab的不等式，借助y＝logax的單調(diào)性求解，如果a的取值不確定，需分a>1與0<a<1兩種情況進(jìn)行討論．(2)形如logax>b的不等式，應(yīng)將b化為以a為底數(shù)的對數(shù)式的形式(b＝logaab)，再借助y＝logax的單調(diào)性求解．(3)形如logf(x)a>logg(x)a(f(x)，g(x)>0且不等于1，a>0)的不等式，可利用換底公式化為同底的對數(shù)進(jìn)行求解，或利用函數(shù)圖象求解．命題點(diǎn)3對數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用例5．（1）設(shè)函數(shù)，則f(x)（

）A．是偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增 B．是奇函數(shù)，且在單調(diào)遞減C．是偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增 D．是奇函數(shù)，且在單調(diào)遞減（2）若f(x)＝lg(x2－2ax＋1＋a)在區(qū)間(－∞，1]上單調(diào)遞減，則a的取值范圍為()A．[1,2) B．[1,2]C．[1，＋∞) D．[2，＋∞)【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】：利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，求與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)值域和復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問題，必須弄清三方面的問題：一是定義域，所有問題都必須在定義域內(nèi)討論；二是底數(shù)與1的大小關(guān)系；三是復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成，即它是由哪些基本初等函數(shù)復(fù)合而成的．另外，解題時(shí)要注意數(shù)形結(jié)合、分類討論、轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用．（3）已知函數(shù)，若對任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】：利用參變量分離法求解函數(shù)不等式恒（能）成立，可根據(jù)以下原則進(jìn)行求解：（1），；（2），；（3），；（4），.（4）已知函數(shù)，，若存在，對任意，使得，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．（1，4）【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】：雙變量存在與恒成立問題：若，成立，則；若，成立，則；若，成立，則；若，成立，則；若，成立，則的值域是的子集．（5）已知函數(shù)，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A． B． C． D．（6）若關(guān)于的不等式在上恒成立，則的取值范圍為______．1．函數(shù)的圖象大致是（）A．B．C．D．2．在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)，的圖象不可能的是（

）A．B．C．D．3．若函數(shù)（且）在R上既是奇函數(shù)，又是減函數(shù)，則的大致圖象是（

）A． B．C． D．4．函數(shù)的圖象大致是（

）A．B．C．D．5．已知函數(shù)，，的圖象如圖所示，則a，b，c的大小關(guān)系為（

）A．B．C．D．6．若函數(shù)的大致圖象如圖，其中為常數(shù)，則函數(shù)的大致圖象是（

）A．B．C．D．7．已知，若關(guān)于x的方程有四個(gè)不相等的實(shí)根，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．如圖，函數(shù)的圖象為折線，則不等式的解集是（）A． B．C． D．9．已知函數(shù)，若，，均不相等，且==，則的取值范圍是（

）A．（1，10） B．(5，6) C．(10，12) D．(20，24)10．已知，，，則以下不等式正確的是（

）A． B． C． D．11．已知，則與的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．不確定12．設(shè),,則

A． B． C． D．13．若，，則x，y，z的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．14．若a＝log54，b＝log43，c，則（）A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．a(chǎn)＞b＞c D．c＞b＞a15．設(shè)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，若，，，則，，的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．16．已知，則下列不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．17．若，則的取值范圍是（）A． B． C． D．18．已知是偶函數(shù)，它在，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．19．已知集合，，若，則的可能取值組成的集合為（

）A． B． C． D．20．命題“”為真命題的一個(gè)充分不必要條件是（

）A． B． C． D．21．設(shè)集合，則（

）A． B． C． D．22．定義在上的偶函數(shù)在上是減函數(shù)，且，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．23．已知函數(shù)，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．24．定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則關(guān)于的函數(shù)的所有零點(diǎn)之和為（

）A． B．C． D．25．已知函數(shù)的周期為2，當(dāng)時(shí)，，那么函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像的交點(diǎn)共有（

）A．10個(gè) B．9個(gè) C．8個(gè) D．1個(gè)26．已知函數(shù)，若互不相等的實(shí)數(shù)、、滿足，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．27．（多選）已知函數(shù)f(x)＝，關(guān)于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一個(gè)實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值是（

）A．1 B．0 C．2 D．328．（多選）已知函數(shù)，下列四個(gè)命題正確的是（

）.A．函數(shù)為偶函數(shù)B．若，其中，，，則C．函數(shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù)D．若，則29．30．________．31．設(shè)實(shí)數(shù)x滿足，且，則______.32．已知，且，則A的值是___________.33．方程的解為___________.34．若，則．35．函數(shù)的零點(diǎn)是_______.36．法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬于1640年提出了猜想：是質(zhì)數(shù).這種具有美妙形式的數(shù)被稱為費(fèi)馬數(shù)，因?yàn)殡S著n的增大，迅速增大，所以要判斷費(fèi)馬的猜想是否正確非常不容易，一直到1732年才被數(shù)學(xué)家歐拉算出滿足，則滿足的最小正整數(shù)_________.37．已知，且，則的最小值為___________.38．已知函數(shù)，若且，則的取值范圍為___________.39．已知函數(shù)經(jīng)過定點(diǎn)A,定點(diǎn)A也在函數(shù)的圖象上，_________．40．函數(shù)的所有零點(diǎn)之和為__________．41．已知當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為________.42．關(guān)于函數(shù)，有以下四個(gè)命題：①函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)增函數(shù)；②函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱；③函數(shù)的定義域?yàn)?；④函?shù)的值域?yàn)?其中所有正確命題的序號(hào)是________.43．,的最大值為___________44．時(shí)，恒成立，則的取值范圍是